О ВАРИАНТАХ ВЫБОРА ДИАГРАММ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ И НЕ ТОЛЬКО Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГОТЕЛА

Научная статья УДК 539.3: 624.012

ГРНТИ: 30.19: Механика деформируемого твердого тела

ВАК: 1.1.8. - Механика деформируемого твёрдого тела (физико-математические науки) doi:10.51608/26867818_2022_2_81

О ВАРИАНТАХ ВЫБОРА ДИАГРАММ ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ И НЕ ТОЛЬКО

ТРЕЩЕВ Александр Анатольевич, член-корреспондент РААСН, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Строительство, строительные материалы и конструкции»

ЗАХАРОВА Ирина Александровна,

кандидат физико-математических наук, доцент

СУДАКОВА Инга Анатольевна,

кандидат технических наук, доцент Тульский государственный университет

(300012, Россия, Тула, пр-т Ленина, 92, e-mail: taa58@yandex.ru)

Аннотация. Приводится анализ имеющихся экспериментальных и теоретических сведений по силовому деформированию бетона как композитного материала и стальных стержней - прототипов арматуры в составе железобетонных конструкций. Оценивается наличие «ниспадающих» ветвей на диаграммах деформирования эталонных образцов материалов, появляющихся как результат стандартной обработки экспериментальных данных. При этом указывается на противоречивость традиционной методики вычисления напряжений, возникающих в сечениях опытных образцов, по усилиям, создаваемым прессом и разрывной машиной, с использованием исходных размеров сечений этих образцов. Учет «ниспадающих» ветвей на диаграммах противоречит требованию положительной определенности энергии деформирования, вытекающего из постулата Дукера, что осложняет и может привести к невозможности использования для расчета сложных сооружений энергетический, вариационных методов и МКЭ в различных его формах. Рассмотрены аспекты энергетической непротиворечивости уравнений связи тензоров деформаций и напряжений, особенно, для композитных материалов при сложных напряженных состояниях. Рекомендовано для расчета конструкций, испытывающих сложные напряженные состояния, не пользоваться лишь нелинейными одноосными диаграммами с ниспадающими ветвями, по которым формулируются различные модификации теории малых упругопластических деформаций, хотя и с учетом различной жесткости и прочности при простых растяжении и сжатии. Для расчетов конструкций, выполненных из подобных композитных материалов и деформирующихся в условиях сложных напряженных состояний, предлагается использовать, сформулированные ранее одним из авторов, потенциальные соотношения связи между тензорами деформаций и напряжений. Эти потенциалы деформаций построены с использованием нормированных векторных пространств напряжений для начально изотропных композитных материалов, проявляющих зависимость механических свойств от вида напряженного состояния. Обладая гибким механизмом непрерывного учета изменения деформационных свойств композитных материалов при смене видов напряженного состояния в их теле, полученные уравнения тем более пригодны для определения НДС структур с классически физически линейными и нелинейными связями напряжений и деформаций. Для этих уравнений доказана теорема единственности и установлены ограничения в материальных функциях, отвечающие постулату Друкера.

Ключевые слова: ниспадающая ветвь диаграммы деформирования, начально изотропные материалы, потенциал деформаций, постулат Друкера, условные напряжений, истинные напряжения

Благодарности: работа выполнена при поддержке гранта Правительства Тульской области для выполнения работ в сфере науки и техники, договор №ДС/284.

Для цитирования: Трещев А.А., Захарова И.А., Судакова И.А. О вариантах выбора диаграмм деформирования композитных материалов и не только // Эксперт: теория и практика. 2022. № 2 (17). С. 81-90. doi:10.51608/26867818_2022_2_81.

© Авторы 2022 SPIN: 8966-7812 AuthorID: 453902

SPIN: 1211-6704 AuthorID: 444944

Original article

SELECTION OF DIAGRAMS FOR DEFORMATION OF COMPOSITE MATERIALS AND MORE

© The Authors 2022 TRESCHEV Alexander Anatolyevich, Corresponding Member of RAASN,

Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department

"Construction, building materials and structures"

ZAKHAROVA Irina Aleksandrovna,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor

SUDAKOVA Inga Anatolievna,

Candidate of Technical Sciences, Associate Professor

Tula State University

(300012, Russia, Tula, Lenin Ave., 92, e-mail: taa58@yandex.ru)

Annotation. The paper considers analysis of the available experimental and theoretical data on the force deformation of concrete as a composite material and steel rods - prototypes of reinforcement as part of reinforced concrete structures. The presence of "falling" branches on the deformation diagrams of reference samples of materials appearing as a result of standard processing of experimental data is estimated. At the same time, the inconsistency of the traditional method of calculating the stresses arising in the cross sections of the prototypes is indicated by the forces created by the press and the bursting machine, using the initial cross-section sizes of these samples. Taking into account the "falling" branches in the diagrams contradicts the requirement of positive certainty of the deformation energy resulting from Duiker's postulate, which complicates and may lead to the impossibility of using energy, variational methods and FEM in its various forms for calculating complex structures. Aspects of the energy consistency of the coupling equations of strain and stress tensors are considered, especially for composite materials under complex stress states. It is recommended not to use only nonlinear uniaxial diagrams with descending branches for the calculation of structures experiencing complex stress states, according to which various modifications of the theory of small elastic-plastic deformations are formulated, although taking into account different stiffness and strength under simple tension and compression. For calculations of structures made of similar composite materials and deformed under conditions of complex stress states, it is proposed to use the potential relationship between strain and stress tensors formulated earlier by one of the authors. These strain potentials are constructed using normalized stress vector spaces for initially isotropic composite materials showing the dependence of mechanical properties on the type of stress state. Having a flexible mechanism for continuously taking into account changes in the deformation properties of composite materials when changing the types of stress state in their body, the obtained equations are all the more suitable for determining the stress-strain state of structures with classically physically linear and nonlinear stress and strain relationships. The uniqueness theorem is proved for these equations and restrictions in material functions corresponding to Drucker's postulate are established.

Keywords: the descending branch of the deformation diagram, initially isotropic materials, deformation potential, Drucker's postulate, conditional stresses, true stresses

Acknowledgments: the work was carried out with the support of a grant from the Government of the Tula region for work in the field of science and technology, contract No. DS/284.

For citation: Treschev A.A., Zakharova I.A., Sudakova I.A. Selection of diagrams for deformation of composite materials and more // Expert: theory and practice. 2022. No. 2 (17). Pp. 81-90. (In Russ.). doi:10.51608/26867818_2022_2_81.

Введение. Развитие строительной техники и технологий в исторически обозримый период является основой развития практически всех отраслей экономики. По-видимому, одними из первых «инженеров» и исследователей в период становления цивилизации «человека-разумного» были те, кто занимались возведением пещер для своего проживания. Отсутствие у них простейших инженерных знаний, как видно из истории последних пяти веков, создали предпосылки для становления и развития многих направлений науки и техники и особенно механики. В настоящее время развитие строительной науки и

техники тесно связано со многими областями человеческой жизнедеятельности, так как без создания новых строительных объектов различного назначения дальнейший прогресс человечества невозможен.

Современная строительная наука является неотъемлемой частью фундаментальной, которая не только закладывает основы развития дальнейших исследований и получения новых знаний, но и предпосылки для долгосрочных технологических прорывов, создания новых композитных материалов, конструкций, выполненных из них, а в конечном счете, создания

комфортной среды обитания современного человека и его прогресса. Развитие прорывных технологий и оригинальных научных идей невозможно без критического анализа предшествующих исследований.

В настоящее время для изделий машиностроения, оборудования объектов энергетики, конструкций зданий и сооружений чаще стали использоваться композитные материалы, обладающие особыми механическими свойствами, которые кардинально отличаются от однородных структур типа стали и условно однородных, каковой является древесина. Наиболее распространенным и, наверное, первым композитным строительным материалом является бетон и железобетон. Известно, что в составе железобетона используются два совершенно различных по своим физико-механическим свойствам материала: неоднородный начально изотропный композитный бетон и, как правило, структурно однородная стальная арматура [1 - 22]. Кроме традиционных бетонов и железобетона все чаще применяются облегченные композиты, обладающие не меньшей жесткостью и прочностью, а иногда и имеющие более высокие эти показатели [23 - 32]. Однако эти композиты по своей структуре наряду с начальной изотропией могут быть неоднородны, анизотропны, объединять два и более разных по свойствам наполнителей, а общим для них, а также для бетона и железобетона, являются зависимости физико-механических свойств от вида напряженного состояния [1 - 47]. Наиболее встречающейся структурной анизотропией среди этих материалов является класс ортотропии. Известно, что даже традиционно применяемые в строительстве железобетоны, стальные и легко сплавные прокаты обладают ортотропией декартового типа, а древесина - цилиндрического.

Бетон, как композит, не смотря на его ярко выраженную разносопротивляемость, изначально структурно изотропен [1 - 22]. Свою анизотропию он приобретает только после образования трещин или даже до этого, когда в него вводятся армирующие стержни, превращая последний в железобетон [1 -22]. В отличие от «сильно» наполненных армирующими волокнами композитов, массово применяемый железобетон имеет армирование до 3% и его расчетные модели изначально строятся по отдельным эталонным диаграммам деформирования бетона и арматуры с учетом окончательной совокупной неоднородности. Однако большинство расчетных моделей исходят из не инвариантности исходных диаграмм деформирования бетона только при одноосном растяжении и сжатии, а в дальнейшем, в основном, обобщенный закон Гука, преобразованный за счет нелинейности в подобие теории малых упру-гопластических деформаций А.А. Ильюшина [2 - 16]. В этих моделях считается, что влияние других видов напряженного состояния на силовую реакцию бе-

тона будет учтено автоматически. Но как показали многочисленные эксперименты по пропорциональному нагружению эталонных образцов бетона, его реальное деформирование демонстрирует заметные погрешности теоретических моделей при сложных видах напряженного состояния, отличающихся от одноосных [17 - 22].

Известен ряд работ, в которых усовершенствование расчетных моделей основываются на аппроксимации эмпирических данных путем учета, так называемых, «ниспадающих ветвей» одноосных диаграмм деформирования бетона и стальной арматуры [2 - 16] и даже в последнюю версию свода правил по проектированию бетонных и железобетонных конструкций [1]. Примерный вид, используемых в работах [2 - 16], диаграмм деформирования бетона и арматуры представлен на рис. 1, 2, 3, а диаграммы бетона, внесенные в свод правил [1] - на рис. 4.

<31 77?.

му ¿ъш е Кь

Рис. 1. Примерные диаграммы осевых растяжения и сжатия бетона

Рис. 2. Примерная диаграмма растяжения малоуглеродистой стали

Sbt ~ Rb,ser 9(tg e = Ebvb)

НО. 2% £¡¡и % Рис. 3. Примерная диаграмма растяжения легированной стали

5Ь = -Яь.аег

Рис. 4. Диаграммы осевых растяжения и сжатия, принятые в СП63.13330.2018

Подробный обзор известных вариантов принимаемых в расчетах конструкций диаграмм деформирования бетона и стальной арматуры приведен в работе [22]. Следует заметить, что использование «ниспадающих ветвей» диаграмм деформирования бетона и стальной арматуры в расчетных моделей весьма противоречиво и до настоящего времени не подвергались детальному анализу и критической оценки.

Основные методы и материалы. Рассмотрим качественную оценку аппроксимаций диаграмм деформирования бетона и стальной арматуры с учетом «ниспадающих ветвей». Кроме того, для построения моделей расчета железобетонных конструкций, особенно пространственных и массивных, авторами рекомендуется использовать нелинейный потенциал деформаций, свободный от недостатков уравнений состояния [23 - 42] и предложенный в работах [43 -45]. Ниже для этого потенциала доказана теорема единственности и определены ограничения, накладываемые на материальные функции, устанавливае-

мые требованием выпуклости энергетической поверхности в соответствии с постулатом Друкера.

Общие сведения из механики деформируемого твердого тела об энергетической непротиворечивости уравнений состояния. Очевидно, что при построении уравнений состояния для любых материалов с учетом гипотезы сплошности среды вплоть до исчерпания ресурса пластичности, образования трещин и начала разрушения, необходимо соблюдать законы термодинамики и закон сохранения энергии [48 - 54]. При достижении временного сопротивления при растяжении образцов упругопластических материалов типа сталей происходит образование «шейки» пластичности (рис. 5). В бетонных образцах достижение временного сопротивления сжатию или растяжению сопровождается раздроблением сплошной структуры с образованием плоскостей разрушения (рис. 6). В указанные моменты наблюдается уменьшение эффективных поперечных сечений эталонных образцов, оказывающих сопротивление силовому воздействию.

Де

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9

Изначально при проведении механических испытаний как бетонных, так и стальных образцов, обработка экспериментальных данных и вычисление возникающих напряжений производится по отношению к начальным размерам их сечений, то есть в конфигурациях условных напряжений [48 -54].

Таким образом, в процессе деформирования конструкционных материалов, при достижении временного сопротивления происходит не только изменение размеров исходных сечений эталонных образцов, но и изменение их начальной структуры. При этом конструкционных материалов обработку эмпирических данных необходимо проводить с использованием не условных напряжений, а истинных, как это продемонстрировано в фундаментальных трудах [48 - 54]. Тогда на диаграммах прирост компонентов напряжений должен приводить к росту деформаций. Обобщенная диаграмма деформирования должна не противоречить форме, приведенной на рис. 7. То есть дополнительное нагружение Аст> 0 должно создавать дополнительную деформацию Ае>0 и их произведение Аст- Ае>0, а это свидетельствует о том, что приращение напряжения Аст> 0 на дополнительной деформации Ае>0 совершает положительную работу. Материал при этом принято называть устойчивым [48 - 54].

В случае если на кривой диаграммы появляется «ниспадающая ветвь», то дальнейший рост деформации приводит к снижению напряжений (рис. 8), а, следовательно, на этом участке дополнительное напряжение Аст совершает отрицательную работу Аст- Ае<0. Материал, обладающий подобными диаграммами, трактуется как неустойчивый [48 - 54]. На самом деле при расчетах конструкций, выполненных из таких материалов, как показано выше и в фундаментальных работах по механике [48 - 54], целесообразно использовать не параметры условных напряжений, которые рассчитывались по начальным конфигурациям испытываемых образцов, а величины истинных напряжений с учетом изменения их эффективных площадей сечений, сопротивляющихся прикладываемым усилиям. Такой подход возможно применить к таким материалам по

структуре как сталь. При моделировании механического поведения бетона ввиду серьезного изменения не только начального сечения образцов, но и их структуры, простой пересчет напряжений не даст должного эффекта. Использование при этом «ниспадающих ветвей» также не дает преимуществ. На данном направлении перспективным представляется не учет одноосных «ниспадающих ветвей», а введение на этапе разработки расчетных моделей конкретных конструкций после образования трещин параметров или тензоров поврежденности сплошной среды [20 - 22].

Наличие диаграмм, у которых рост напряжений ведет к снижению деформаций, свидетельствует о том, что механическая работа, несомненно, отрицательна Аст- Ае<0 (рис. 9), а это совершенно не соответствует закону сохранения энергии, позволяя «бесплатно» выделять энергию.

Приведенные выше доводы свидетельствуют о том, что математически строго сформулированная деформационная теория композитных материалов должна не противоречить постулату Друкера, изначально примененному к упрочняющимся упругопла-стическим материалам [48 - 54]. С развитием механики применение этого постулата было расширено и распространено на уравнения состояния упругих изотропных и анизотропных материалов [50 - 55] и далее - на структуры, упругопластические деформационные свойства которых определяются в зависимости от вида напряженного состояния [37, 39, 43 -45, 56].

На протяжении предыдущих 40 лет исследователи деформирования и прочности бетона стремились обосновать принимаемые аппроксимации «ниспадающих ветвей» одноосных диаграмм [1 - 16] (см. рис. 1, 4). Хотя для арматурных сталей диаграммы деформирования, вводимые в расчетные модели, преимущественно ограничивали уровнем, не превышающим временного сопротивления [22]. Во всех рассмотренных исследованиях отсутствует переход к истинным напряжениям, введение которых заметно усложнит расчетные модели, тем более, что это возможно для арматуры, а железобетонная конструкция в целом при образовании шейки

пластичности в стержнях уже находится в стадии разрушения. Стремление охарактеризовать деформирование бетона и других материалов на участках «ниспадающих ветвей» отчасти может быть оправдано только для балочно-стержневых конструкций, модели расчета которых ограничены одномерными задачи или сведенными к ним в случаях необходимости вычисления касательных напряжений в их сечениях.

Расчет более сложных конструкций при реализации в них двумерных или пространственных напряженных состояниях, которые реализуются в пластинах, оболочках, пространственных несущих остовах высотных зданий и в массивных гидросооружениях, использование диаграмм с «ниспадающими ветвями» бетона наталкивается на серьезные проблемы. Объяснение этому объясняется тем, что задачи механики существенно усложнились и получение замкнутых аналитических решений практически невозможно. Эти задачи принято решать с привлечением численных методов, среди которых широко востребованным является метод конечных элементов (МКЭ) различных классов [57 - 59]. Широкое распространение МКЭ и многих современных численных методов объясняется их построением в рамках вариаций функционалов энергетической природы, а законы механики требуют положительной определенности энергии, так как в противном случае нарушается закон сохранения энергии [37, 39, 43 - 45, 48 - 59], а численный алгоритм не дает решение.

Рекомендуемый потенциал деформаций, учитывающий чувствительность бетона к виду напряженного состояния. Для начально изотропных материалов, каковым до нагружения является бетон, в работах [43 - 45] ранее был предложен нелинейный потенциал деформаций, построенный с использованием двух нормированных векторных пространств напряжений. В этих же работах обоснована методика вычисления материальных функций по результатам обработки простейших опытов одноосного растяжения и сжатия, а также продемонстрированы преимущества получаемых уравнений состояния по сравнению с другими моделями. Впервые вариант нормированных пространств напряжений был приведен в работе [46] и усовершенствован в последующих исследованиях [43 - 45, 47].

Нелинейный потенциал деформаций [43 - 45] в наиболее универсальном нормированном пространстве, связанном с девиаторной площадкой, имеет вид:

Ш = (Ае + ве^)а2 + (Се + + Еец Со53ф )т2 + +[(Ар + Б£)а2 + (Ср + йр1 + ЕрЦ Саз 3ф)т2]п , (1) где Ае, Се, ве, ое, Ее - константы квазилинейной части, а Ар, Ср, Вр, йр, Ер - константы нелинейной части потенциала, определяемые с

использованием метода наименьших квадратов (см. [43 - 45]); п - показатель нелинейности материала не обязательно целое число (см. [43 -45]); СаБу = ^ = а/Б0 - нормированные нормальные напряжения; Б1пу=^ = т/Б0 - нормированные касательные напряжения;

Б0 =у[о2 + т2 - норма векторного пространства при существовании условия нормировки + ^2 = 1; ст = 5,уст,у/3 - гидростатическое напряжение; х = ^Б^Бц /3 - октаэдрическое

-2 , „2

касательное напряжение;

S ij = аij -S¡Р -

девиатор напряжений; Ьц - символы Кронекера; у - угол между нормалью к девиаторной площадке и вектором Б0 ;

СоБ3ф = л/2с1е1:(5)у)/т3 - фазовый инвариант

напряжений.

Связь тензоров деформаций и напряжений для физически нелинейных материалов можно установить путем дифференцирования потенциала (1) согласно правилам Кастильяно:

дш дш ч

екк =; чц, (1=1,2,3, />ц. (2)

у кк дтц

Результаты дифференцирования по формулам (2) и значения констант для бетонов и других разносопротивляющихся материалов приведены в работах [43 - 45].

Единственность решения и проверка постулата Друкера для рекомендованного потенциала. При формулировке определяющих уравнений применительно к материалам любой структуры при соблюдении гипотезы сплошности, как доказано в работах [50, 52 - 56], необходимо выполнять проверку энергетической непротиворечивости в соответствии с постулатом Друкера и осуществлять доказательство единственности решений. Известно, что у проблемы обеспечения единственности решений в механике существуют два аспекта, первый, из которых разрешается в обеспечении выпуклости энергетической поверхности потенциала деформаций, определяемой благодаря постулату Друкера [37, 39, 50, 52, 54 - 56]:

S2W

^km^ij

S°kmS°ij * 0 .

(3)

Применение условия(3) к потенциалу деформаций (1) позволяет выделить квадратичные формы двух видов, а их положительная определенность обеспечивает выпуклость энергетической поверхности потенциала и устанавливает ограничения, накладываемые на материальные функции. В общем случае построение потенциала деформаций W (1) в рамках параметров нормированного пространства представлялось в виде его исходных функцией от

у, ф, ^, а в этом случае условие (3) в более подробной форме выглядит следующим образом:

3W

ЭSn

fdW \ ,f5W

SCT,v8e,v =81-|8S0 +81-|8у + 8|-|8ф +

V Эу J

ÔW

dSç VdaU J

dW,

--с

Эу

Эу Эст/;

V U J

dW

V Эф

f Л

+ЕрЛ(6^2 -л2)^3ф] + SQ4n(n - 1)[(Ap + BpÇ)a2 + (Cp + DpÇ + +fpЛCos3ф)т2](n-2) [2(Cp -Ap3Вр^2Л-Dp^2 -2Ç2) + +3Е^л2 Cos3ф]2 ;

V U J

8a¡J > 0 . (4)

-23 -

52W Ç —

ЭуЭф r

Совокупность вариаций (4) распадается на две квадратичные формы, первая из которых зависит от инвариантных функциональных аргументов у,ф,S0, а вторая - от т12,т23,т13. Первая форма, отвечающая за изменение инвариантов у, ф, s0, сводится к проверке матричного неравенства:

C^-SC, >0; (/, j = 1,2,3), (5)

где Ci= S0; Сг=у; Сз=Ф - аргументы матрицы, обладающей симметрией, элементы которой определяются в соответствии с процедурой (4):

С11 = = 2ед3 + 2В„^л2 + 2ЕеЛ3 Cos3ф + 2АД2 + 2Сец2 + 5S2

+п[(Ар + йр^)а2 + (Cp + Dpl + fpЛCos3ф)т2](n-1) (2Apl2 + +2СрЦ2 + 2Bpl3 + 2Dpl^2 + 2^рЛ3 ^3ф) + +4S2n(n - 1)[(Ар + Bpl)tf2 + (Cp + Dpl + EpЛCos3ф)т-](n--)(Bpl3 + +Dpl42 + Apl2 + СрЛ2 + ЕрЛ3 ^3ф)2;

d2W 1 OW 999

С12 =т— - - • — = So[2(Ce - Ае)1л-3Ве12л- - ^ + oS0oy So оу

+3Ее1л2Со53ф] + 2S0 n(n - 1)[(Ар + Bpl)tf2 + (Cp + Dpl +

+fpЛCos3ф)т2](n-2) (Bpl3 + Dp^2 + Apl2 +

CpЛ2 + ЕpЛ3 Cos3ф)[2(Cp -

-Аp )1л - 3Bpl\ - Dpл(л2 - 2l2) + 3Ep^2 Cos 3ф] +

+Son[K + Bpl)a2 + (Cp + Dpl + EpЛCos3ф)т2](n-1) [2(Cp -

6S0n[(Ap + BpÇ)a2 + +(Cp + DpÇ + Ep л Cos 3ф)т2](п-1) Е^л^т3ф-3So4n(n - 1)[(Ap + BpÇ)a2 + (Cp + DpÇ + Ep] Cos 3ф)](п-2) >

хЕрл331п3ф [2(Ср - Ар )^л- 3йр^2л-Орл(л2 - 2^2) + 3Ер^л2 СоБЗф];

32Щ 9 ЭМ дW1 9 9 9 9

Сзз + ^0л2•—1 + = 50л2[2(Се -+ 2^2 + 5ф2 Э50 Эу

+Сел2)- БеЕ2 + +л2) + Еел(3£,2 + 2л2-9)СоБ3ф] +

+502л2п[(Ар + йр^)ст2 + (Cp + Dpl + ЕрлСоз3ф)т2](п-1)[2(Ср -

-Ар)^2 + 2(Ар^2 + Срл2)- Вр+

йр+л2) + Ерл(3^2 + 2л2 -

-9)СоБ3ф] + б04п(п - 1)[(Ар + Бр^)ст2 +

+(Ср + Ор^ + ЕрлСоБ3ф)т2](п-2) (Ерл3Бт3ф)2 . Для симметричной матрицы [С] достаточным и необходимым условиями положительной определенности в соответствии с критерием Сильвестра является обязательность положительности ее главных миноров, то есть:

A4 = С11С22 - С2 > 0 ;

-Ap)Ç] -3BpÇ2r- Dp](r2 -2Ç2) + 3EpÇл2Cos3ф] ;

Э 2W 1 ЭW

С

— = -3SoEe]3 Sin3ф - 3S(

13 ■

Э^Эф S( Эф

n[(Ap + BpÇ)a + +(Cp + DpÇ + EpлCos3ф)т2](n-1) Epл3Sin3ф-6S(3n(n - 1)[(Ap + +BpÇ)a2 + (Cp + DpÇ + EpлCos3ф)т2](n-2) Epл3Sin3ф(вpÇ3 + +Dp^л2 + ApÇ2 + Cpл2 + Epл3 Cos3ф) ;

Э^ ЭW 9 99 9 9

С22 + So-т- = So2[2(Ae -Се)(л2-Ç2) + 2(AeÇ + Сел2) +

Эу2

ЭSn

+вeÇ(2л2-Ç2) + DeÇ(2Ç2 - 5л2) + EeЛ(6Ç2-л2)Со53ф] + +S(n[(Ap + BpÇ)a2 + (Cp + DpÇ + EpЛCos3ф)т2](n-1)[2(Ap --Cp)(л2 -Ç2) + 2(ApÇ2 + CpЛ2) + вpÇ(2л2 -Ç2) +

DpÇ(2Ç2 -5л2) +

А5 = С11С33 - С13 - 0 ; А6 - С22С33 - С23 - 0 ;

Ау - ¿е![Су] - 0 .

Для второй квадратичной формы, завязанной с поворотом осей, положительная определенность устанавливается в результате проверки неравенства: Н<л/3, (6)

где ю - разность фаз напряжений и деформаций.

При этом известно [37, 50 - 55], что неравенство (6) определяет весь интервал изменения фазы подобия девиаторов напряжений и деформаций и, следовательно, квадратичная форма номер два всегда неотрицательна.

Другая сторона проблемы доказательства единственности при выполнении условия устойчивости энергетической функции по Друкеру [37, 50 - 55] решается прямым подтверждением справедливости этой теоремы. Обычно для доказательства теоремы единственности используются простые математические манипуляции, заключающиеся в начальной записи системы уравнений механики деформируемого твердого тела в полном объеме. Очевидно, что уравнения равновесия могут быть представлены в виде:

+

A, = си > 0 ; a2 = С22 > 0 ; A3 = С33 > o ;

а цц + ^ = 0. Связи компонентов тензоров деформаций и напряжений определяются в соответствии с процедурой Кастильяно (2). При малых деформациях, которые возникают вплоть до разрушения бетонных и железобетонных конструкций, зависимости между перемещениями и компонентами тензора деформаций определяются уравнениями Коши: е ц = 0,5(Ч,ц + ии) .

Далее делается предположение, что поверхностный контур деформируемого тела А составлен двумя областями: А = Аи + Ат, а в отдельной точке поверхности, имеющей координаты х,- существуют зависимости:

и = и*, х,- е Ау ; а цпц = Т* , X,. е Ат . (7)

После этого предполагается, что одинаковые объемные силы при одинаковых граничных условиях определены двумя несовпадающими решениями а'ц,еЦ,и] и а",е",и". Одним и двумя штрихами отмечены бесконечно близкие состояния деформируемого тела, что указывает на то, что и разности а ц =аЦ-а",

ец = е ц - е", и = и! - и" обязательно, бесконечно малы, удовлетворяя уравнениям равновесия при ^ = о и контурных нулевых напряжениях: а^пц = 0, х,- е Ат ; и = 0 , X; е А/. Для бесконечно малых а ц, ец, отбрасывая

малые величины высших порядков малости, приходим к очевидным зависимостям: д2ш

eij ~ ~ <km.

(8)

ЧшдаЦ

Тогда опуская из рассмотрения объемные силы ^ = 0, выполнив домножение параметров статики на и и проведя интегрирование по объему, получаем уравнение:

Г а ^¡Ы = Г (аци,),цdV- Г аце^ = 0 . (9)

* V »V V

В случае принятых нулевых граничных условиях ацПц = 0, х,- еАт ; и, = 0, х,- еАу интеграл

Г (а и-,),jdV = Г апи^А по формуле Остроградского

Г V Г А

- Гаусса приводится к нулю и с учетом зависимостей (8), получаем

{ °ij?ijdV = { Jv J\

d2W V д<У:;д<5к

<ij<kmdV .

(10)

Выполнение постулата Друкера, устанавливаемого неравенствами (3), (4), (5), подтверждает, что подынтегральное выражение положительно при окт^0, а равенство интеграла нулю достигается только при нулевых ац. Этот факт свидетельствует о

доказанности теоремы единственности, а потенциал деформаций (1) можно рекомендовать для использования при расчете конструкций, выполненных из

композитных материалов чувствительных к виду напряженного состояния, каковым являются бетон и железобетон.

Заключение. Виду изменения начальной конфигурации, то есть сечений образцов композитных (типа бетонов, полимеров, других полухрупких тел) и даже однородных материалов (типа стальных стержней или профильного проката), обладающих определенным ресурсом пластичности и проявляющих упрочнение в процессе деформирования, попытки внести уточнения в расчетные модели конструкций за счет учета ниспадающих ветвей диаграмм зачастую не совсем оправданы. Если к моделированию экспериментальных данных по нагружению эталонных образцов подходить не упрошенным способом вычисления условных напряжений для начальных конфигураций, а строго соблюдая законы нелинейной механики и определять истинные напряжения, или учитывать изменение структуры материалов, вводя параметры или тензоры поврежденности, но уже в методики расчета конструкций, то ниспадающие ветви диаграмм пропадают. Конечно учет ниспадающих ветвей допустим, но при расчете стержневых элементов балочного типа, а для пространственных конструкций и массивных сооружений он приводит к нарушению закона сохранения энергии в рамках гипотезы сплошности. Поэтому ввиду большого разнообразия композитных материалов, проявляющих нетрадиционные, с точки зрения классической механики, свойства, при постулировании уравнений состояния для них, необходимо проверить соблюдение постулата устойчивости по Друкеру (3).

Таким образом, потенциал деформаций (1), как показала проверка условий (3) - (6) и доказанная теорема единственности решений, можно рекомендовать для деформационно-прочностных расчетов конструкций, выполненных из композитных материалов типа бетона и железобетона [17 - 22], графито-композитов марок АРВ и ВПП [43 - 45], фторопласта [26], серых чугунов [23, 24]. Сравнения экспериментальных диаграмм « ац -ект », полученных при сложных видах напряженного состояния, с теоретически рассчитанными и представленными в инвариантных координатах для этих материалов приведены в работах [43 - 45, 47]. Данные сравнения продемонстрировали высокую точность и универсальность потенциала (1). Определяющие соотношения для однородных структур неоднократно подвергались подобным проверкам, результаты их широко известны [48 - 55] и здесь это обсуждению не подлежит.

Список источников

1. СП 63.13330.2018. Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения. - М.: Стандартин-форм, 2019. - 118 с.

2. Бондаренко, В.М. Влияние нисходящей ветви режимного силового сопротивления бетона на несущую способность железобетонных конструкций / В.М. Бондаренко, М.Е. Башкатова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2007. - №3. -С. 53 - 56.

3. Башкатова, М.Е. Интегральный модуль деформаций с учетом ниспадающей ветви диаграммы "е-о" / М.Е. Башкатова // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2008. - №1. - С. 50 - 53.

4. Карпенко, Н.И. К определению деформаций изгибаемых железобетонных элементов с использованием диаграмм деформирования бетона и арматуры / Н.И. Карпенко, Б.С. Соколов, О.В. Радайкин // Строительство и реконструкция. - 2012. - №2(40). - С. 11 - 20.

5. Карпенко, Н.И. Анализ и совершенствование криволинейных диаграмм деформирования бетона для расчета железобетонных конструкций по деформационной схеме / Н.И. Карпенко, Б.С. Соколов, О.В. Радайкин // Промышленное и гражданское строительство. - 2013. -№1. - С. 25-30.

6. Карпенко, Н.И. О формировании физических соотношений для бетонных элементов при объемном напряженном состоянии в приращениях / Н.И. Карпенко, С.Н. Карпенко // Жилищное строительство. - 2015. - №3. -С. 10-13.

7. Карпенко, Н.И. Теория деформирования железобетона с трещинами / Н.И.Карпенко. - М.: Стройиздат, 1976. - 208 с.

8. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона / Н.И. Карпенко. - М.: Стройиздат, 1996. - 416 с.

9. Мурашкин, Г.В. Моделирование диаграмм деформирования бетона и схем напряженно-деформированного состояния / Г.В. Мурашкин, В.Г. Мурашкин // Известия вузов. Строительство. - 1997. - № 10. - С. 4-6.

10. Мурашкин, В.Г. "Стандартный" и "нестандартный" бетон: моделирование деформаций / В.Г. Мурашкин, Г.В. Мурашкин // Эксперт: теория и практика. - 2019. -№ 3(3). - С. 7-12. - DOI 10.24411/2686-7818-2019-00001.

11. Назаренко, В.Г. Диаграмма деформирования бетонов с учетом ниспадающей ветви / В.Г. Назаренко, А.В. Боровских // Бетон и железобетон. - 1999. - №2. -С. 5 - 19.

12. Радайкин, О.В. К построению диаграмм деформирования при одноосном кратковременном растяжении /сжатии с применением критерия повреждаемости / О.В. Радайкин // Вестник гражданских инженеров. -2017. - №6. - С. 71 - 78.

13. Радайкин, О.В. Сравнительный анализ различных диаграмм деформирования бетона по критерию энергозатрат на деформирование и разрушение / О.В. Радайкин // Вестник БГТУ им. В.Г.Шухова. - 2019. - №10. -С. 29 - 39.

14. Carreira D.J. Stress - strain relationship for plain concrete in compression / D.J. Carreira, K.H. Chu // ACI Journal Proceedings. ACI. 1985. P. 797 - 804.

15. Integral parameters of concrete diagrams for calculations of strength of reinforced concrete elements using the deformation model / V.A. Eryshev, N.I. Karpenko, A.O. Zhemchuyev // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2020. - Vol. 16, Issue 1. -С. 25 - 37.

16. Панфилов, Д.А. Обзор существующих диаграмм деформирования бетона при сжатии в отечественных и зарубежных нормативных документах / Д.А. Панфилов, А.А. Пищулев, К.И. Гималетдинов // Промышленное и гражданское строительство. - 2014. - № 3. - С. 80-83.

17. Bazant Z.P. Endochronic Theory of Inelasticity and Failure of Concrete / Z.P. Bazant, P.D. Bhat // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. - 1976. - Vol. 102. -№ EM4. - Р. 701-722.

18. Tasuji M.E. Stress-Strain Response and Fracture of Concrete in Biaxial Loading / M.E. Tasuji, F.O. Slate, A.H. Nilson // ACI Journal. - 1979. - №7. - P. 806-812.

19. Kupfer H.B. Das nicht-linear Verhalten des Betons bei Zweiachsinger Beanspruchung / H.B. Kupfer // Beton und Stahlbetonbau. - 1973. - №11. - P. 269-274.

20. Treshchev A.A. The Analysis of Stress-Strain State of Multi Storied Building Made of Cast Reinforced Concrete With Consideration of Effects of Different Resistance And Cracking / A.A. Treshchev, V.G. Telichko, N.V. Zolotov,

A.R. Ibragimov, A.A. Bobrishev // Revista Publicando. -2017. - Vol. 4. - No 13 (2). - Р. 249-263.

21. Treshchev A.A. Calculation of reinforced concrete shell of positive Gaussian curvature, given different resistant-ance of concrete and cracking / А.А. Treshchev, L.N. Shafig-ullin, V.G. Telichko, V.T. Erofeev // Astra Salvensis. - 2017. -No 2. - Р. 77-91.

22. Трещев, А.А. Теория деформирования пространственных железобетонных конструкций / А.А. Трещев, В.Г. Теличко. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2019. - 386 с

23. Леонов, М.Я. Зависимости между деформациями и напряжениями для полухрупких тел / М.Я. Леонов,

B.А. Паняев, К.Н. Русинко // Инж. журн. МТТ. - 1967. -№ 6. - С. 26 - 32.

24. Писаренко, Г.С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии / Г.С. Писаренко, А.А. Лебедев. - Киев: Наукова думка, 1976. - 416 с.

25. Романов, В.В. Исследование зависимости модуля упругости шлакокамнелитого материала от вида нагружения / В.В. Романов // Физ.-хим. исслед. по технологии стекла и ситалов. - М.: Наука, 1984. - С. 78-81.

26. Елсуфьев, С.А. Изучение деформирования фторопласта в условиях плоского напряженного состояния /

C.А. Елсуфьев, В.М. Чебанов // Исслед. по упругости и пластичности. 1971. - Вып. 8. - С. 209-213.

27. Schmueser D.W. Nonlinear Stress-Strain and Strength Response of Axisymmetric Bimodulus Composite Material Shells / D.W. Schmueser // AIAA Journal. - 1983. -V. 21. - №12. - P. 1742 - 1747.

28. Bert C.W. On the Behavior of Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials / C.W. Bert, L.N. Reddy, // ZАММ. - 1982. - V. 62. - № 6. - P. 213 - 219.

29. Jones R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Material / R.M. Jones // AIAA Journal. - 1980. - V. 18. - № 8. - Р. 995 - 1001.

30. Reddy J.N. Nonlinear bending of bimodular-mate-rial plates / J.N. Reddy, W.C. Chao // J. Solids a. Structures, 1983. - tol. 19. - N 3. - P. 229 - 237.

31. Nelson D.A. Theoretical and experimental correlation of material models for non-linear deformation of graphite / D.A. Nelson, R.M. Jones, // AIAA Journal. - 1976. - V. 14 -№10. - P. 1427-1435.

32. Jones R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and Compression / R.M. Jones // AIAA Journal. - 1977. - V. 15. - №1. - P. 16-25.

33. Шапиро, Г.С. О деформациях тел, обладающих различным сопротивлением растяжению и сжатию / Г.С. Шапиро // Инж. журн. МТТ. - 1966. - №2. - С. 123-125.

34. Матченко, Н.М. О связи между напряжениями и деформациями в разномодульных изотропных средах / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников // Инж. журн. МТТ. -1968. - №6. - С. 108-110.

35. Панферов, В.М. Теория упругости и деформационная теория пластичности для тел с различными свойствами на сжатие, растяжение и кручение / В.М. Панферов // Докл. АН СССР. - 1968. - Т. 180. - №1. - С. 41-44.

36. Быков, Д.Л. О некоторых соотношениях между инвариантами напряжений и деформаций в физически нелинейных средах / Д.Л. Быков // Упругость и неупругость. 1971. - Вып. 2. - С. 114 - 128.

37. Цвелодуб, И.Ю. К разномодульной теории упругости изотропных материалов / И.Ю. Цвелодуб // Динамика сплошной среды. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1977. - Вып. 32. - С. 123-131.

38. Вялов, С.С. Реологические основы механики грунтов / С.С. Вялов. - М.: Высшая школа, 1978. - 447 с.

39. Амбарцумян, С.А. Разномодульная теория упругости / С.А. Амбарцумян. - М.: Наука, 1982. 320 с.

40. Петров, В.В. Деформирование элементов конструкций из нелинейно разномодульного неоднородного материала / В.В. Петров, И.Г. Овчинников, В.К. Иноземцев. - Саратов: СГУ, 1989. - 160 с.

41. Березин, А.В. О законах деформирования раз-номодульных дилатирующих сред / А.В. Березин // Проблемы машиностроения и автоматизации. Международный журнал ИМАШ РАН. - 2007. - №2. - С. 70-72.

42. Пахомов Б.М. Применение теории собственных напряжений к описанию нелинейного деформирования разносопротивляющихся материалов // Вестник МВТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. - 2015. - №2. - С. 91106.

43. Ковалев, Д.Г. Исследование упругопластиче-ского деформирования разносопротивляющихся материалов / Д.Г. Ковалев, А.А. Трещев // Изв. высших учеб. заведений. Строительство. - 1999. - №8. - C. 29-33.

44. Матченко, Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 2. Нелиней-

ные соотношения / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников, А.А. Трещев // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - №4. - С. 87-95.

45. Трещев А.А. Теория деформирования и прочности разносопротивляющихся материалов. - Тула: ТулГУ, 2020. - 359 с.

46. Трещев, А.А. О соотношениях теории упругости для изотропного разномодульного тела / А.А. Трещев, Н.М. Матченко // ТПИ.-Тула, 1982. - 4 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.04.82, №2056-82.

47. Матченко, Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 1. Квазилинейные соотношения / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников, А.А. Трещев // Изв. РАН. МТТ. - 1995. - №1. - С. 73-78.

48. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. - Часть 1: Малые деформации / Дж.Ф. Белл. - М.: Наука, 1984. - 600 с.

49. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. - Часть 2: Большие деформации / Дж.Ф. Белл. - М.: Наука, 1984. - 432 с.

50. Качанов Л.М. Основы теории пластичности - М.: Наука, 1969. 420 с.

51. Новожилов В.В. Теория упругости - Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

52. Толоконников Л.А.: Механика деформируемого твердого тела. - М.: Высшая школа, 1979. - 318 с.

53. Теория упругости / А.И. Лурье. - М.: Наука, 1970.

- 940 с.

54. Нелинейная теория упругости / А.И.Лурье. - М.: Наука, 1980. 612 с.

55. Турсунов, Б.С. О свойствах потенциала напряжений упругих тел / Б.С. Турсунов // ПММ. - 1970. -Т. 34. - Вып. 1. - С. 15-22.

56. Ломакин, Е.В. О единственности решения задач теории упругости для изотропного разномодульного тела / Е.В. Ломакин // Изв. АН СССР. МТТ. - 1979. - №2. - С. 42-45.

57. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел / А.И. Голованов, Д.В. Бережной - Казань: ДАС, 2001. - 301 с.

58. Голованов, А.И. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций / А.И. Голованов, О.Н. Тюленева, А.Ф. Шигабутдинов - М.: Физматлит, 2006. - 392 с.

59. Zienkiewicz O.C. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals 7th Edition / O.C. Zienkiewicz, R.L.Taylor, J.Z.Zhu. - Butterworth-Heinemann, 2013. - 756 p.

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Статья поступила в редакцию 10.03.2022; одобрена после рецензирования 22.03.2022; принята к публикации 22.03.2022.

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

The article was submitted 10.03.2022; approved after reviewing 22.03.2022; accepted for publication 22.03.2022.