Убывание решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

76 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

MSC 35К55

УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ДВОЙНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТВЮ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Л.М. Кожевникова, А.А. Леонтьев

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, пр. Ленина, 37, Стерлитамак, 453100, Россия, e-mail: kosul@mail.ru, alexey_leontiev@inbox.ru

Ключевые слова: параболические уравнения, неограниченные области, первая смешанная задача.

Пусть П — неограниченная область пространства Rn = {x = (x1,x2,..., xn)}, n > 2. В цилиндре D = {t > 0} x П для анизотропного параболического уравнения второго порядка с двойной нелинейностью рассматривается первая смешанная задача

(Ы u)t ^ ](ga(UXa )Uxa )xa , k> 1, (t, x) C D; (1)

a=1

u(t, x)|s = 0, S = {t > 0} x dП; (2)

u(0,x) = ф(х), ф(х) C Lk(П), фха(x) C LPa(П), a =1,n. (3)

Предполагается, что неотрицательные функции ga(s), s > 0, a = 1,n, подчиняются условиям: g(0) = 0, g(s) C C 1(0, to),

as(Pa-2)/2 < ga(s) < as(Pa-2)/2, p^(s)/2 < ga(s) + g'a(s)s < baa(s), a = 1,n,

с положительными константами a > d, 2b > p1 > k (p1 < p2 < ... < pn). Например, ga(s) = s(Pa-2)/2, a =1,n, b = pn.

Работа посвящена исследованию зависимости скорости стабилизации при t ^ то решения задачи (1)-(3) с финитной начальной функцией ф(х) от показателей нелинейности.

Банаховы пространства W k р(П), W k p(DT), W k p(DT) определим как пополнения пространств С°°(П), C°(D—+1), соответственно, по нормам ||u||w 1(П) =

'Yha=1 11 UXa 11 Lpa (П) + IMLfc^), |u|^°’p(DT) = НиНЧ:(ДТ) + S a=1 llUXa IILpa (DT), llUllw)’p(DT) =

|u|wfc’p(DT) + llu IIbk(DT).

О

Определение. Обобщенным решением задачи (1)-(3) с функцией p(x) CW k,р(П)

назовем функцию u(t, x) такую, что при всех T > 0 u(t, x) C WkP(DT) и удовлетворяет интегралвному тождеству

n

\k-2WVt + ^ ga(uXa )uXa VXa

a=1

^ dxdt = j

Mx)\k V(xM0, x)dx

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 77

для любой функции v(t, x) EW l’p(DT), v(T, x) = 0.

Существование решения задачи (l)-(3) доказывается методом галеркинских приближений, который был предложен Ф.Х. Мукминовым для модельного изотропного параболического уравнения с двойной нелинейностью и обобщен авторами статьи на уравнения вида (1) (см. [1], [2]).

П

Утверждение. Если l/pa < 1 + n/pn, то обобщенное решение u(t, x) задачи

a=l

(1)-(3) с ограниченной начальной функцией ф(х) является ограниченным.

Приведем результат об убывании для областей, расположенных вдоль выделенной оси Oxs, s E 1,n (облаеть П лежит в полупространстве xs > 0 сечение yr = {х E П I xs = г} не пусто и ограничено при любом r > 0). Предполагается, что

supp ф Е QRo, R0 > 0.

Теорема 1. Существуют C(ф,к,р1, а,Ъ) > 0 и ограниченное решение u(t, х) задачи (1)-(3) тагше, что при всех t > 0 справедливо неравенство

ll«(t)iu,,<п, >lMW(П, (C(ф) + i)-1/<P1-k).

Для r > 0 введем следующие обозначения:

/(r) = inf j УХ1 ^

LP1 <Yr) g(x) E C0)(П), llgIUP1 <Yr) = ^ ,

Pi(r) = inf {||gxihP1 <nr) g(W E C0OO(П), MW<Qr) = ^ , Qr = {x E Q Ixs < r}. Предполагается, что выполнено условие: lim p1(r) = 0. Иначе достигается максималь-

Г^<Х>

ная скорость убывания решения, т.е. справедлива оценка

llu(t)hk<П) < Mt-1/<Pl-k) , t> 0 .

Теорема 2. Пусть s E 2,n. Если выполнены условия:

Г

p1(r) > Cr-a, r > 1, a,C > 0 , lim [ vPl/Ps (p)dp = to ,

r^<x In r J 1

то существуют M(ps,p1, ||ф||ьк<п)) > 0 и ограниченное решение u(t, x) задачи (1)-(3) такие, что для любого £ E (0,1) справедлива оценка

llu(t)lW<П) < Mt-<1-£)/<Pl-k), t> 0.

Работа поддержана РФФИ (грант № 13-01-0081-а).

78 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

Литература

1. Кожевникова Л.М., Леонтвев А.А. Оценки решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейноствю // Уфимский математический журнал. - 2011. - 3, №4. -С.64-85.

2. Кожевникова Л.М., Леонтвев А.А. Убвшание решения анизотропного параболического уравнения с двойной нелинейноствю в неограниченных областях // Уфимский математический журнал. - 2013. - 5, №1. - С.65-83.

SOLUTIONS DECREASING OF ANISOTROPIC PARABOLIC EQUATIONS

WITH DOUBLE NONLINEARITY IN UNBOUNDED DOMAINS

L.M. Kozhevnikova, A.A. Leontiev

Sterlitamak department of Bashkir State University Lenin Av., 68, Sterlitamak, 453103, Russia, e-mail: kosul@mail.ru, alexey_leontiev@inbox.ru

Key words: parabolic equations, unbounded domains, first mixed problem.