CC BY
22
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 79
MSC 35J65
УБЫВАНИЕ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С МЛАДШИМИ ЧЛЕНАМИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Л.М. Кожевникова, А.А. Хаджи
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, пр. Ленина, 37, Стерлитамак, 453100, Россия, e-mail: kosul@mail.ru, anna_5955@mail.ru
Ключевые слова: эллиптические уравнения, неограниченные области, граничные задачи, анизотропные уравнения.
Работа посвящена некоторому классу анизотропных эллиптических уравнений второго порядка, представителем которого является модельное уравнение вида
П
Yl l^-24**) Ха - \u\k-2U = Ф(Х), (1)
a=1
Pn > ■■■ > P2 > Pi > 1, k > 1.
Для него в произвольной неограниченной области С С Rn = {x = (x1,x2, ...,xn)}, n > 2, рассматривается задача Дирихле с однородным граничным условием
и\дп = 0 (2)
Основной результат этой работы — исследование зависимости скорости убывания решения задачи (1), (2) от геометрии неограниченной области С и показателей нелинейности.
Положим: || • ||р — норма в пространстве Lp(C), p = (p1,p2, ...,pn). Определим про-
О
странство W к 1 (С) как пополнение пространства С'Д’(О) по норме
n
^ (0) = £ к. il + Ык-
р a=1
Определение. Обобщенным решением задачи (1), (2) с Ф(х) G Lk/(k-1)(C), назовем
О
функцию u(x) G Wk p(С), удовлетворяющую интегральному тождеству
\Uxa \Pa 2U
v
+ (\u\k 2u + Ф(х))-
}
dx
0
О
ДЛЯ любой функции v(x) GW k p(C).
80 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
И.М. Колодий [1] установил ограниченность решений некоторого класса анизотропных эллиптических уравнений в ограниченных областях. Здесь приведен результат об ограниченности решений задачи (1), (2) в неограниченных областях О.
Теорема 1. Пусть u(x) — обобщенное решение задачи (1), (2) и выполнены условия
П
1 < ^ 1/pa < 1 + n/k2, к2 — nk + n > 0.
a=1
Тогда
vraimax |u(x)| < C,
где C — константа, зависящая от pa, k, n, ЦФЦ^д^-р.
Двусторонние оценки, характеризующие убывание решения задачи Дирихле для анизотропных уравнений без младших членов, получены в работе [2]. Здесь приведем оценку сверху для решения уравнения (1).
Будем рассматривать неограниченные области расположенные вдоль выделенной оси Oxs, s Е 2,n (область О лежит в полупространстве xs > 0 и течение yr = {х Е
О | xs = r} те пусто при любом r > 0). Введем обозначения: Oba = {х Е О a < xs < b}, значения a = 0, b = то опускаются.
Определим геометрическую характеристику неограниченной области О :
v(r) = inf{\\gxi\\РЪ1г дД) Е со°°(О), WgWp-inr = ^ > r> 0. Предполагаются выполненными следующие условия:
h(p)dp=
i
supp Ф(х) С Ок°, R0 > 0.
Теорема 2. Существуют положительные числа к, M такие, что для ограниченного обобщенного решения u(x) задачи (1), (2) при r > 2R0 справедлива оценка
X!WMxa fpl,П,
a=1
+нщ < мexp —к v(p)dp
r
Работа поддержана РФФИ (грант № 13-01-0081-а).
Литература
1. Колодий И.М. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных уравнений // Вестник МГУ. - 1970. - №5. - С.45-52.
2. Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Вестник СамГТУ. - 2013. - 30, №1.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 81
SOLUTIONS DECREASING OF ANISOTROPIC ELLIPTIC EQUATIONS WITH YOUNGER TERMS IN UNBOUNDED DOMAINS
L.M. Kozhevnikova, A.A. Kliadzhi
Sterlitamak department of Bashkir State University Lenin Av., 68, Sterlitamak, 453103, Russia, e-mail: kosul@mail.ru, anna_5955@mail.ru
Key words: elliptic equations, unbounded domains, boundary problems, anisotropic equations.
