Турбулентный безымпульсный след: элементарная теория и эксперимент Текст научной статьи по специальности «Физика»

/ I 4 /<-41 & 1

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ > >

Том. XXIII 1992 М 3

УДК 532.526.048.3

ТУРБУЛЕНТНЫЙ БЕЗЫМПУЛЬСНЫЙ СЛЕД: ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТ

А. В. Пилюгин

Получено аналитическое автомодельное ^решение для безымпульсного следа в рамках модели вихревой вязкости и при дополнительном предположении, что асимптотическое затухание сдвигового напряжения пропорционально затуханию максимального дефекта скорости, возведенного в степень 5 (где 1<з<2). Показано, что аналитическое решение наилучшим образом согласуется с экспериментальными данными [1, 2] только при одном значении параметра 5. Найдено, что в плоско# случае 5= 1,85, в осесимметричном в = 1,58. По сравнению с полученным ранее аналитическим решением [3] данное аналитическое решение обладает ббльшим физическим смыслом, поскольку отражает экспериментально обнаруженный баланс в механизме переноса и порождения сдвигового напряжения и дисбаланс в механизме переноса и порождения пульсационной кинетической энергии [1, 2].

В отличие от спутных течений с ненулевым дефицитом импульса (для которых 5 = 2) спутные безымпульсные течения имеют следующую особенность [2]: при переносе спутной струей кинетической энергии пульсаций можно пренебречь порождением пульсационной энергии, обусловленным работой среднего движения против рейнольдсовых напряжений, по сравнению с переносом пульсационной энергии средним движением. В то же время в случае сдвигового напряжения соблюдается баланс между переносом сдвигового напряжения средним движением и его порождением за счет взаимодействия пульсэ-ционного движения и среднего течения. Это приводит к тому, что сдвиговое напряжение затухает быстрее кинетической энергии пульсаций, что особенно ощутимо в осесимметричном случае (значение параметра $ = 1,58 заметно отличается от предельного значения 5 = 2). Во всех остальных случаях, связанных с отклонением дефицита импульса спутного течения от нулевого значения, соблюдается баланс между переносом и порождением средним движением как напряжения, так и кинетической энергии пульсаций, что соответствует предельному значению 5 = 2 и приводит к пропорциональному затуханию сдвигового напряжения и кинетической энергии пульсаций. (Именно этот случай ранее был рассмотрен в работе [3]). В данщй работе на основе дополнительных предположений, привлекаемых замыкания уравнений

турбулентного движения, сделана попытка учесть эту особенность безым-пульсных следов.

Рассмотрим случай симметричного возмущения течения с нулевым дефицитом импульса. Схема такого течения представлена на рис. 1, где введены следующие обозначения: К0 — скорость невозмущенного набегающего потока, Уа — максимальный дефицит скорости для данного сечения следа, ы'2 —

нормальный компонент турбулентного напряжения в продольном направлении, V'2 — нормальный компонент турбулентного напряжения в поперечном направлении, т = — и'у' — касательный компонент турбулентного напряжения, 11/2 — характерная для данного сечения следа полуширина профиля (ы*2)1/2 (отрезок секущей, проведенной параллельно оси абсцисс через ординату, равную (й'т2ах)|/2/2), й — характерный поперечный геометрический размер источника возмущений, х, у — абсцисса и ордината заданной точки поля соответственно. "Начало координат совпадает с положением источника возмущений.

Принято считать, что поле скорости безымпульсного следа, осредненное но достаточно большому промежутку времени, является стационарным и двумерным. При этом предполагается, что силы молекулярной вязкости пренебрежимо малы* а внешний градиент давления в продольном направлении отсутствует. Тогда при- обычных предположениях пограничного слоя течение описывается следующей системой уравнений [4]:

“ -зг+ ” 1г+-к1^+7- -£■'(»*'=0 •

Параметр к = О соответствует плоскому течению, /г = 1 — осесимметричному. Первое уравнение системы является уравнением импульсов в продольном направлении, учитывающим вклад нормальных напряжений Рейнольдса, а второе — уравнением неразрывцости. Знак осреднения здесь и в дальнейшем сохранен только над членами, являющимися компонентами тензора напряжений Рейнольдса. Здесь и в дальнейшем в уравнениях все величины скорости считаются нормированными к скорости набегающего потока, турбулентные напряжения — к квадрату скорости набегающего потока, а геометрические размеры — к характерному поперечному размеру источника возмущений.

Рассмотрим такой режим течения, при котором среднее движение переносит слабоменяющееся поперечное распределение средней скорости. Пусть Ди = = (ы — ио)/и0 ~ и*/11о — характерное значение избыточной скорости* I» ~ ^1/2/^ — характерный поперечный масштаб, 1Х ~ х/й — характерный продольный масштаб. Предположим, что количественной характеристикой такого режима течения является оценка А и ~ 1У/1Х -С 1, из которой сразу же следует, что Ди//* ~ Ди2/1у и V ~ Ди1у/1х ~ Ды2. При выводе последнего соотношения использовалось уравнение неразрывности. Кроме того, сделаем предположение о квазиизотропности нормальных напряжений Рейнольдса:

й* ~й'2 - I?2 ~ ш'2 - |?2 ^ Ли2,

где (? = й'2 + о'2 + а;'2, _____

а также предположим, что ы'у' ~ Ди1, где, как будет выяснено ниже, параметр 5 изменяется в пределах 1 <; х ^ 2.

На основании этих соотношений получим следующую иерархию оценок членов уравнения импульсов:

ди • Аи ди А и2

“ дх ~ 1Х ’ 0 ду~ I, ’

д ( -'2 -'2\ Диг

17й -у — >

у* дУ КУ “ и ' 1а 1Х

ды2

Отбрасывая в уравнении импульсов члены с порядком величины ~ -у- и выше

и используя в качестве замыкающего соотношения модель вихревой вязкости, .получим:

+ ——(ы*‘й7«7) = 0 ; дх т о» ду ’

(1)

дАи

u'v' = -A(jt)

ду

Исследование системы (1) проводится по схеме, предложенной в работе [3]. Система уравнений (1) эквивалентна уравнению

дАи

дх у> ду (ук ду ) ’

X

которое подстановкой х= ^ А (х) dx сводится к обычному уравнению теплопро-

*о

водности

у* ду \У ду )

дАи

дх у

Интересующие нас автомодельные решения принадлежат группе симметрии уравнения теплопроводности:

Ди — Sc”/2 F(r\), т) = у2/х,

причем вид функции F(r\) определяется обыкновенным дифференциальным уравнением

4т, F" + {2(1 + к) + n)F' - -fF = 0.

Выбор параметра т осуществляется из физических соображений, и в плоском случае (Л = 0) т = — 3, в осесимметричном (к = 1) т = — 4, так как с; няющейся характеристикой течения является дипольный момент

ОО +оо оо \—k

М= ^ (2л)кук+2u&udy ж ^ (2п)кук+2Audy — пкх 2 2 •

— оо(0) — ос(0)

Связь между А(х), х и х определяется из вида асимптотики замыкающего соотношения, левая часть которого

ИГИ' ~ Ди5 ~?"5/2Р(л).

При этом правая часть

А(х)

т~ I

дАи Лх - 2 ■. Г~

-аГ~!Пх 'Чч^Л-

Условие однородности по х левой и правой части замыкающего соотношения дает

2

~ / \ I— т(«— 1)

* ~ (х — х0)

откуда

А(х) — 7^= Ао(х — х0)

где хо является началом автомодельного участка (полюс автомодельности), так как в общем случае начало автомодельного решения смещено относительно источника возмущений. Введя вместо константы Ло константу О — = 2 [ 1 — т (« — 1)] Ло, решения можно представить в следующем компактном виде:

т ^

Ли-------—X.)1—<—> {-2=І-ч—1} е--«;

І I )

I—т(5—.1)

ии = —

/)(лО)

м

1 —1)

й2( ПО)

|+*

2

(1 —т(і— 1))

-л/л {

3—к

2-=-*

8

Ч}

»— П/4 •

Л =

£>(х-х0)

2

I—т(5—1)

(2)

где т = — 3, к = 0 — соответствуют плоскому случай), т = — 4, к = 1 — осесимметричному. При 5 = 2 эти решения переходят в известные решения работы [3] и допускают следующую физическую интерпретацию. Источником сингулярных возмущений автомодельного решения в случае спутной струи является особенность типа «источник», а в случае следа — особенность типа «стол»/Источником сингулярных возмущений автомодельного решения в случае безымпульсного следа является особенность типа «диполь», т. е. комбинация источника и стока с суммарной нулевой интенсивностью^ расстояние между которыми по сравнению с расстоянием от источника возмущений до заданной точки поля исчезающе мало. Таким образом, автомодельные решения безымпульсного следа определяются тремя константами (М — величиной дипольного момента, й — постоянной, характеризующей степень расширения турбулентного ядра течения, х0 — эффективным началом автомодельного развития течения) и степенным параметром 5. При сравнении с экспериментом эти константы неудобны, так как не поддаются прямому измерению. Однако их можно определить косвенным образом. С этой целью проведем следующую подстановку:

откуда

где

І2=Л/4,

1 =

■VВ М*) ’

I

М*) = К,(х — х0)

2

і — т(5 — I)

*и=-

м

D{nD)

М

'+* 2

кт =------------

{1 — m(s — 1)1 D2 (лD)

В результате решения (2) перепишем в виде

1+»

2

Ли = Ки(х — х0)

1 —mis— 1)

1 — (2 — Л) |2} е-

u'v' = Кх(х — х0)

i(3-k)-(2-k) I2) |е~

Прежде чем провести сравнение с экспериментом, выясним физический

смысл степенного параметра 5. ___

Рассмотрим уравнение баланса и'и' в приближении пограничного слоя и в предположении квазиизотропности нормальных компонент напряжения Рейнольдса [5]:

ди'у'

дх

ди'у'

ду

-Н^7)++£(«v+.,■>» -р-(%■+%).

Конвективный перенос средним движением сдвигового напряжения определяется членом

du'v'

дх

■ий

и’у’ dt I dx ■

Порождение турбулентного сдвигового напряжения за счет взаимодействия пульсационного движения и среднего течения определяется членом,

ду

При соблюдении баланса между порождением и переносом средним течением сдвигового напряжения из однопорядковости этих членов следует, что

m(2— s)

1 —m(s— 1)

Случай 5 = 2 соответствует спутным течениям с ненулевым дефицитом импульса и характеризуется одинаковым затуханием как сдвигового напряжения, так и кинетической энергии пульсации. Случай 1 < 5 < 2 соответствует спутным течениям с нулевым дефицитом импульса и характеризуется более быстрым затуханием сдвигового напряжения по сравнению с кинетической энергией пульсаций [5]. Степенной параметр 5 определяется по известным экспериментальным данным работ [2, 3], представленным в таблице. Методика определения параметра 5 состояла в следующем. Известно, что эффективная толщина сдвигового слоя, дефицит скорости, сдвиговое напряжение и кинетическая энергия пульсаций изменяются по следующим степенным законам.:

М*)

2

1

(* — *0)

1—m(s—-1)

v,

ип

' {х — Х0)

1 —m(s — I)

Аы;

и'У’ш

UI

(х-х0)

1 —m(s — 1)

А и*

UI

■ (х ~ Х0)

2 m(s—l)

I —m(s — I)

Au2(s_l),

X 11Я Д/1 /2 и„ “шах °тах ■1/2*.. _10Г “'"шах 102

а й Ах и0 и0 и0 (4 иЪ

Плоское течение

1* 0,23* — 0,36* 0,370* 0,317* 17,199* 5,42*

5 0,67 0,11 0,080 0,098 0,090 1,225 0,269

10 0,86 0,038 0,036 0,034 0,053 0,416 0,089

15 0,97 0,022 0,026 0,039 0,037 0,211 0,040

20 1,05 0,016 0,022 0,032 0,030 0,137 0,026

30 1,20 0,015 0,012 0,022 0,020 0,069* 0,014

45 1,35 0,01 0,0092 0,016 0,014 0,034 0,0054

60 1,46 0,0073 0,0069 0,012 0,011 0,021 0,0026

75 1,54 0,0053 0,0045 0,01 0,009 0,014 0,0020

Осесимметричное течение

4* 0,515» . - 0,363* 0,246* 0,198* 13,70* 1,62*

5* 0,60* 0,085* 0,252* 0,163* 0,127* 5,808* 0,656*

7 0,72 0,06 0,134 0,110 0,0993 3,172 0,307

10 0,875 0,052 0,059 0,0745 0,0700 1,481 0,131

15 1,025 0,030 0,0277 0,0535 0,0452 0,689 0,051

20 1,12 0,019 0,0149 0,0425 0,0355 0,418 0,024

25 1,21 0,018 0,0092 0,0330 0,0310 0,283 0,014

35 1,35 0,014 — 0,0239 0,0232 0,158 0,0065

50 1,52 0,011 — 0,0170 0,0162 0,078 —

* Неавтомодельное развитие течения

** Для осесимметричного течения приведен^ значения (<7та*/Уо) • 102.

поэтому, варьируя в в пределах от 1 до 2, для каждого фиксированного значения 5 методом наименьших квадратов определялись полюс автомодельности и неизвестные константы пропорциональности. Далее для каждой кривой минимальный квадратичный разброс экспериментальных точек (дисперсия) нормировался к характерному среднему значению, определяемому по выборке экспериментальных точек. Получаемые таким образом нормированные величины дисперсии <ц являлись, в свою очередь, составляющими суммарной дисперсии

По минимальной величине о,и1Л (рис. 2) определялись характерные значения 5. При вычислении шаг по в составлял 0,01, промежуточные значения интерполировались сплайнами. В плоском случае о,и[Л достигает минимального значения при $ = 1,85, в осесимметричном — при 5 = 1,58. Гарантированная

а) Плоский случай (5=1,85)

Ю 1520 30 456015 х/0° 6) Осесимметричный случай (5=1,58)

15 202535 50 х/Л

Рис. 3

точность определения оптимального значения 5 — до второго знака после запятой, хр — до первого знака после запятой. Данные расчётов и экспериментальные точки ДЛЯ /1/2 /Й, Уё/Ю'о, «'«так /^0, 9тах/^0 В ЛОГЭрИфмИЧвСКОМ МЭСШТабе представлены на рис. 3. Данные теории и экспериментальные точки для автомодельного профиля избыточной скорости и сдвигового напряжения представ-» лены на рис. 4 (£ = 0, плоское течение) и рис. 5 (*=1, осесимметричное течение). Ноль и экстремум функции дефицита скорости, как это следует из выражений (3), определяются по формулам:

_т/о, _ -«(*-!)) .

К *ли1

£гшп '

кик,

Таким образом, при оптимальном выборе параметра 5 теория удовлетворительно согласуется с экспериментом.

Покажем, что в спутных течениях с нулевым дефицитом импульса перенос кинетической энергии пульсаций средним движением превалирует над возникновением пульсационной энергии за счет работы среднего движения против__рейнольдсовых напряжений. Рассмотрим уравнение баланса </2 в

приближении пограничного слоя и в предположении квазиизотропности нормальных компонент напряжения Рейнольдса [5]:

Плоский случай

Осесимметричный слдчвй

да* . да2

ы-г—Н иЧг-

дх ду

++}+2Зг = ~ 2" {■г?'??} ■

(В правой части уравнения суммирование производится по повторяющимся индексам).

Проведем оценку членов уравнения, ответственных за конвективный перенос, осуществляемый средним движением, и возникновение пульсационной энергии за счет работы среднего движения против рейнольдсовых напряжений:

3</2 ,, ф <11

и -2- ~ и 0 -г-;

дх и I йх

ди ,, Ди

ду

и'и' ~ иоиV

На основании этого оценим их отношение

ди —?—7 ТТ 2т(2-!1

и V и V ----- ,- 5)

ду г, I / и'и’ \ . , (11 / \ 1— т(5-1)

~^1г~и‘тп[~Ьг)»“/*-(*-*,)

дх 0 I <1х

Однопорядковость этих членов достигается только в предельном случае 5 = 2. В плоском и осесимметричном безымпульсных спутных течениях (1 < 5 < 2) это отношение асимптотически вырождается. Отметим, что в уравнении баланса кинетической энергии пульсаций весьма существен член, учитывающий диссипацию кинетической энергии пульсаций в тепло. Действительно, при отсутствии диссипативных процессов сохраняющейся характеристикой течения была бы величина

2Е — $ (2лу/У^У ~ /*+'<72,

-оо(0)

НО

Ь+ 1+2т(« — 1) I — т($— И

является убывающей величиной как плоском случае (к = 0, т = — 3, 5 = = 1,85), так и в осесимметричном (к = 1, т — — 4, 5 = 1,58).

Интересно сопоставить полученные результаты с моделью [6], которая постулирует перенос турбулентной вязкости как скалярнрй субстанции с коэффициентом переноса XV/ при наличии порождения и исчезновения этой субстанции. Покажем, что в случае безымпульсных течений при переносе турбулентной вязкости нельзя пренебрегать членами, моделирующими порождение этой субстанции. Предположим, что при больших числах Рейнольдса, когда вязкой диссипацией можно пренебречь, процесс переноса турбулентной вязкости аналогичен процессу переноса пассивной примеси, т. е. в уравнении переноса отсутствуют члены, моделирующие возникновение турбулентной вязкости. Тогда в предельном случае, сохраняя только главные члены, ответственные за перенос турбулентной вязкости, получим:

/ г <5у1 1 д ( * д'’/1

<4>

Можно показать, что при V/ -*■ 0 (у-*-оо) и определенной симметрии

сохраняющейся при переносе характеристикой является величина

(2л)* ^ укч1с1у = сог^ .

(5)

0(0)

Для нахождения автомодельных решений применим метод Фурье, т. е. ищем решение в виде V/ = 0 (х)р (|), где I = у/1 (х).

Из выражения (5) следует, что

(6)

Тогда с учетом (6) при разделении переменных уравнение (4) принимает вид

М/ёх х 0

+ ■

Р +

к + 1

—— = сог^,

откуда следует, что если 1(х) — (дс — дс0)р, то 0(дс) ~(х — х0) р . С учетом вы-

1+»

ражения (6) окончательно получаем р = 3^-, т. е. 0(дс) — х0) 3+к

Определим вихревую вязкость как среднее значение V,, взятое по эффективной толщине сдвигового слоя

. -+*оо ' оо

Л(*) = -гтг 5 укч1йу = Цх)^кр(5)<*£.

-оо(0)

из которого следует, что Л(х) ~ 0(дс), однако с учетом найденных значений в ни в плоском, ни в осесимметричном случае это соотношение не выполняется: в плоском случае Л(х) ~ (х — х0)~°' , 0(х) ~ (х — лг0)—1/3; в осесим-

метричном случае Л(*) ~ (х — хо)~°'39?6, в(х) ~ (х — *о)_1/2- Полученное противоречие доказывает однопорядковость членов, моделирующих перенос и порождение турбулентной вязкости, а значит, еще раз подтверждает тот факт, что в случае сдвигового течения соблюдается определенный баланс между переносом сдвигового напряжения средним движением и его созданием за счет взаимодействия пульсационного движения и среднего течения.

Приведем также детальное сравнение результатов нестоящей работы и работы [7], в которой решается аналогичная задача для осесимметричного следа с использованием дифференциальной модели турбулентности. Для выявления степенных асимптотик основных характеристик осесимметричного безым-пульсного следа в работе [7] предлагается наряду с уравнением баланса импульса среднего движения рассмотреть уравнения баланса турбулентных напряжений Рейнольдса. В качестве условий, замыкающих задачу, используются следующие эмпирические модели пульсационных членов уравнений баланса:

дщ ди, 2 , с .

дх, дХ] 3 *4'

'?2{/*'1г=(1 ~а*) и‘ик^Г1 + 0 ~а') к“^3' к к

где rfl, йг, кр, ка, се — константы модели турбулентности, £ — интегральный масштаб, Л(х) — вихревая вязкость. С тем чтобы замкнуть задачу, необходимо связать I и Л(х) с другими физическими переменными. В работе [7] предполагается, что Л(дс) ~ л[йлЬ, Ь—/|/2 и, таким образом,

т = А (х)^-~иГ,

т. е. применительно к нашему случаю 5 = 1,5. При таком значении параметра 5, получаем, что ц2 ~ 1)л- В обозначениях [7]

и„ ~ *л|; д2 ~ хп2; (й,2 - €'2) ~ *л3,

11^' ~хл4; /1/2 ~хпЪ,

то степенные асимптотики основных характеристик безымпульсного следа выражаются через константы модели турбулентности следующим образом [7]:

40^ _ „(1-0 + 2 П1 — Пг— 4(1-,!,)+I ; 4(1 - <Г) + I ’

6(1+2^+1 2(1_Й1,

4(1-4) + 1 ’ 5 4(1-4) + ! •

В качестве константы с?| в работе [7] предложено использовать значение

6 _ , ,гг 3

— 1,455; л5 = и

16 3

0,7, для которого получаем: лг = — т-г » — 1,455; л5 = — ж 0,276. В нашем

случае л2 = у^.-4:.°о°|8 ~ — 1,398; я5 = , + 4‘ 0 -8 » 0,301. И те, и другие данные в пределах экспериментального разброса хорошо согласуются с экспериментальными. Из условия ц2 ~ ий получаем лг = лз, откуда кр/к,1 = 1. Как следует из сравнения с экспериментом [2], это значение хорошо подходит для асимптотического затухания касательного напряжения ~хЛ4, но неудовлетворительно согласуется с асимптотикой дефекта скорости ~х"К Для последней более подходит значение кр/ка, лежащее между 1,5 и 2, но при нем нарушается асимптотически достигаемая сходимость касательного напряжения ~х'14 с экспериментальными данными [2], поэтому в [7] выбран компромиссный вариант кр/ка = 1,2. В нашем случае значение параметра 5 выбирается оптимальным образом по всем основным характеристикам безымпульсного следа, причем предполагается, что вихревая вязкость с дефектом скорости связана менее жестко: А (х) ~ (У;*_|/|/2. Для осесимметричного случая 5 = 1,58, что хотя и близко к значению 5== 1,5 но все же отличается от него на такую величину, которая обеспечивает более удовлетворительное согласование теории с экспериментом.

При отыскании профиля дефекта скорости в [7] предлагается исходить из уравнения импульсов

I 1 д (..7717П д (~~7г

(уи'и') = — -4-(и'2 — и'2)

дх у ду я дх

и модели вихревой ВЯЗКОСТИ

Отличием от настоящей работы здесь является то, что в уравнении импульсов сохранен член, учитывающий вклад нормальных напряжений Рейнольдса,

В квазиизотропном приближении он того же порядка малости, что и отбра-

0 д&и

сываемыи конвективным член и> следовательно, не может существенным

образом влиять на решение однородной задачи (что отмечено и в [7]). Дальнейший-анализ исходной системы уравнений в [7] проведен иным способом, и поскольку не учитывались групповые свойства искомого решения однородной задачи, то это обстоятельство и не позволило выразить его в явном виде через аналитические функции.

В заключение автор выражает благодарность В. А. Сабельникову за полезную информацию и ценную критику, высказанную в ходе обсуждения проблемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cimbala J. М., Park W. J. An experimental investigation of the turbulent structure of a two-dimensional momentumless wake//J. of Fluid Mechanics.— 1990. Vol. 123.

2. Naudasher E. Flow in the wake of self-propelled bodies and related sources of turbulence//J. of Fluid Mechanics.—1965. Vol. 22, pt. 4.

3. Пилюгин А. В.О едином методологическом подходе, описывающем группу автомодельных решений свободной сдвиговой турбулентности на основе обобщенной индуктивной теории Рейхардта//Учевые записки ЦАГИ.—1990. Т. 21, № 3.

4. Т а у н с е н д А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом.—М.: Изд-во иностр. лит., 1959.

5. Г о р о д ц о в В. А. Автомодельность и слабые замыкающие соотношения для симметричной свободной турбулентности//Изв. АН СССР, МГЖ-— 1979. № 1.

6. N е е V. М., Kovasznay L. S. 1. G. Simple phenomenological theory,of turbulent shear flows//Physics of Fluids. — 1969. Vol. 12, N 3.

7 Fin son M. L. Similarity behaviour of momentumless turbulent wakes// J. of FJuid Mechanics.— 1975. Vol. 71, pt. 3.

Рукопись поступила 24/X 1990 г.