О едином методологическом подходе, описывающем группу автомодельных решений свободной сдвиговой турбулентности на основе обобщенной индуктивной теории Рейхардта Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XXI 1990

№ 3

УДК 532.525.2

О ЕДИНОМ МЕТОДОЛОГИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ, ОПИСЫВАЮЩЕМ ГРУППУ АВТОМОДЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ СВОБОДНОЙ СДВИГОВОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННОЙ ИНДУКТИВНОЙ ТЕОРИИ РЕЙХАРДТА

А. В. Пилюгин

На основе так называемой индуктивной теории турбулентности развит единый методологический подход, описывающий в аналитическом виде всю группу физически содержательных автомодельных решений свободной сдвиговой турбулентности. Проведена модификация замыкающего феноменологического соотношения, моделирующего перенос импульса в поперечном направлении, которая позволила перенести результаты теории Рейхардта на спутные струйные течения. Показано, что наиболее эффективным универсальным подходом, позволяющим в аналитическом виде представить всю группу физически содержательных автомодельных решений свободной сдвиговой турбулентности, является подход, основанный на методе группового анализа, который в последнее время с успехом применяется для решения прикладных задач газовой динамики и механики жидкости. Получены (по крайней мере формально) в аналитическом виде решения для струйных течений с нулевым дефицитом импульса. Проведено сравнение результатов обобщенной индуктивной теории Рейхардта с результатами других теорий, некоторыми экспериментальными данными и известными степенными асимптотиками автомодельных течений.

Известно, что среди различных инженерных методов расчета турбулентных струйных течений, основанных на моделировании турбулентного касательного напряжения с помощью различных эмпирических соотношений, нет единого методологического подхода к описанию всей группы физически содержательных автомодельных решений свободной сдвиговой турбулентности. Однако такой, подход существует, и, как показано в настоящей работе, он восходит к идее, выдвинутой Г. Рей-хардтом.

На основе критического изучения обширного экспериментального материала о свободной сдвиговой турбулентности, а также на основе своих собственных очень тщательных измерений Рейхардт установил, что в любом случае профиль скоростей с большой точностью может быть аппроксимирован либо гауссовской функцией ошибок, либо интегралом ошибок. Нетрудно проверить, что обе функции обладают од-

ним общим свойством: каждая из них является частным решением уравнения теплопроводности. С опорой на этот факт метод индукции позволяет сделать довольно сильное предположение о том, что эволюцию свободной сдвиговой турбулентности можно моделировать на уровне линейного уравнения теплопроводности.

С целью вывода такого уравнения Рейхардтом была предложена феноменологическая модель переноса импульса в виде закона теплопроводности [1]:

При подстановке этого соотношения в уравнение для продольной компоненты импульса, предварительно приведенного при помощи уравнения неразрывности к дивергентному виду, получается линейное уравнение типа уравнения теплопроводности:

Существенным недостатком метода Рейхардта, как было отмечено в работе {2], является то обстоятельство, что исходное уравнение не удовлетворяет преобразованию Галилея (неинвариантно относительно сдвига по скорости), поэтому результаты теории Рейхардта являются корректными только для затопленных струйных течений и не переносятся строгим образом на случай спутных течений. Заметим, что основная идея метода Рейхардта заключалась в том, что вид феноменологического замыкающего соотношения подбирался по виду основного уравнения импульсов в продольном направлении с учетом преобразования последнего в уравнение теплопроводности. Посмотрев на проблему под таким углом зрения, становится ясно, как избавиться от указанного недостатка метода Рейхардта. Для этого вначале необходимо преобразовать основное уравнение импульсов к форме, инвариантной относительно преобразования Галилея, т. е. перейти к новой дивергентной форме записи в терминах плотности избыточного импульса. Далее в терминах плотности избыточного импульса следует переписать феноменологическое замыкающее соотношение. В результате получается линейное уравнение типа уравнения теплопроводности в инвариантной форме. Рассмотрим методику расчета более подробно.

Как это принято в модельных расчетах турбулентных струйных течений, будем исходить из двумерного уравнения импульса в приближении пограничного слоя, в котором опускаются члены, содержащие градиент давления и молекулярную вязкость:

и уравнения неразрывности:

где & = О соответствует плоскому, а 6=1 осесимметричному случаю. Умножая уравнение (2) на величину избыточной скорости (и — и^) и складывая с уравнением (1), после выделения полных дифференциалов приходим к уравнению:

(2)

д_

{р (и - Нос)} 4-{Р и (« — и»)} + -V Т" 1У* Р ^ — «со) 1 = 0 •

дх ук Оу

Поскольку свободные сдвиговые течения являются стационарными в среднем, то после операции осреднения получаем:

7й- |р и (и — Иос)} + -у {У pv (и — «»)) = 0 . (3)

дх ук ду

Уравнение (3) означает, что дивергенция плотности потока избыточного импульса равна нулю, откуда с учетом теоремы Остроградского — Гаусса сразу же следует свойство сохранения величины избыточного импульса:

+°°______________

J -- (2Tt)ft j рц (и — «о,) yk dy = const.

-00 (0)

Следуя методу Рейхардта, для получения линейного уравнения эволюции плотности потока избыточного импульса в качестве аппроксимирующего соотношения, моделирующего перенос плотности потока избыточного импульса в поперечном направлении, введем «закон теплопроводности»:

pV (и — Мао) = — Л0 b' (x) b (х) 4- ри (и — Uoо) , (4)

ду

где b (х) — характерный поперечный размер турбулентного ядра. Полагая А(х) =Лоb'(x)b(x) и принимая и<Х) = 0, p = const, приходим к известному замыкающему соотношению Рейхардта [1]. Член Ь'(х) введен в Л(х) для того, чтобы отразить влияние скорости расширения турбулентного ядра, а Ъ (х) — для того, чтобы соблюсти при этом одинаковую размерность в левой и правой части замыкающего соотношения. Предположение о том, что замыкающее соотношение Рейхардта допускает обобщение в виде (4), обязательно должно подтверждаться результатами эксперимента, согласующимися с выводами из предлагаемой полуэмпирической теории. В частности, теория должна правильно предсказывать известные степенные законы автомодельного развития слоя смешения, спутной и затопленной струй, безымпульсного следа, что будет продемонстрировано в дальнейшем.

Подставляя соотношение (4) в уравнение (3), получаем уравнение эволюции свободного сдвигового течения:

{ри (и Исо)} = л (л:) -L -Jy ри (М-Моо)};

Л (я) = А0 b' (х) Ь (х) ; Л0 = const .

С целью исследования свойств уравнения (5) перейдем от физической переменной х к параметрической переменной х по формуле:

х — Г Л (х) dx = — Л0 Ьг (х). (6)

* 2

В результате такой подстановки уравнение (5) сводится к обычному уравнению теплопроводности:

{pa(It_«ee)} = -L А {у*± pM(M-Woo)j. (7)

Дальнейший анализ проводится в духе работы [4]. Легко проверяется, что уравнение теплопроводности инвариантно относительно

группы симметрии:

X = О? X , у— Лу , ри(и — Ноо) = Чт ри (и — Ыоо) .

Эта группа имеет два независимых инварианта:

Рассмотрим задачу Коши уравнения теплопроводности применительно

к группе симметрии. Получаем, что Ф = Я(г1), но тогда ри(и — их) =

= д:2 Т7(г^). В результате для группы симметрии исходное уравнение теплопроводности сводится к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка:

По-прежнему £ = 0 соответствует плоскому, а к= 1 — осесимметричному случаю. Решение этого уравнения будет определяться параметром т. Выбор параметра т должен, в свою очередь, определяться физической постановкой задачи.

В случае спутной струи или следа имеем условие сохранения избыточного импульса течения. Действительно, проинтегрировав обе части уравнения (7) поперек турбулентной области и воспользовавшись соотношением (4), получим:

Откуда непосредственно и следует постоянство величины избыточного импульса. Применительно к решениям группы симметрии получим:

Требование инвариантности этих величин дает следующие значения параметра т:

Формально второе независимое решение можно построить по формуле Лиувилля, однако оно не является физическим решением задачи. Неиз-

т

4т) р" + {2 (1 + к) ■+■ 7)} Р' — -у- Р = 0 .

+°°

-о>(0)

-~оо(0)

0

0

т = — 1, 6 = 0; т — — 2, к=\, что определяет вид исходных дифференциальных уравнений:

4т)Р' + (2 + 7))^ +1/=- = 0, к = 0,

4т)Р' + (4 + т})^' + /:’ = 0, Л>=1 и вид получаемых решений:

Т7 = се—Ы*, & = 0, & = 1.

вестная константа определяется из условия нормировки по величине избыточного импульса. Окончательно имеем:

----------- у

ри(м — Иое) == 9—7= —т=-, к =--0,

1У * Ух

J е~У3147

ри (« — Иоо) = ^ ~--- , 6=1,

что представляет сингулярное решение задачи Коши типа источника. Положительный знак избыточного импульса соответствует спутной струе, отрицательный — следу.

Покажем, что сингулярное решение задачи Коши типа диполя соответствует асимптотическому решению безымпульсного следа. В этом случае величина избыточного импульса тождественно равна нулю, и сохраняющейся характеристикой течения является дипольный момент [5]:

+ со

М = (2 к)к I* ри(и—«со)у2 ук (1у, £ = 0, 1.

—о£<о)

Продемонстрируем инвариантность величины М. Доказательство проведем для плоского случая. Аналогия с осесимметричным случаем в процессе доказательства станет очевидной. Умножим обе части уравнения теплопроводности на у2 и проинтегрируем поперек турбулентной области:

+ оо +оо

а г* ___________ л ^2_____________

^ | ри(и — И„)У йу= I у25рри(« — и^)йу.

-00

Интегрируя правую часть полученного выражения по частям, получим:

+оо 4-оо +оо

(V ^ри (и - их) йу = у2 ^ Ри(и - их)

—00

+ оо

2ури (и —- Моо)

4-

4

2 J ри (и — uoo)dy = 0.

Это следует из того обстоятельства, что ри(и—и*,) затухает быстрее, чем по закону уг1. В противном случае суммарный избыточный импульс являлся бы расходящейся величиной, а он по условию задачи равен нулю. В результате, интегрируя левую часть по х, получаем:

+ СО

J у2ри(и — Uoc) dy — M— const.

— оо

В осесимметричном случае доказательство отличается только тем, что в силу недекартовой метрики величина ри(и—Иоо) затухает быстрее, чем по закону у~2. Итак, в случае решений группы симметрии имеем:

т+3 _

М — х 2 J r\dr\, k = 0,

о

m+4 оо

Требование инвариантности этих величин дает следующие значения параметра т:

/те = — 3, 6 = 0; т = — 4, 6=1,

что определяет вид исходных дифференциальных уравнений:

4пГ" + (2 + 7))Г+^Р = 0, 6 = 0,

4^" + (4 + т1)/7' + 2^ = 0, 6=1

и вид получаемых решений:

/?=с(!-1)е-ч/«, 6 = 0,

^ = с(|—і| е-П 6 = 1.

Неизвестная константа определяется из условия нормировки по величине дипольного момента. В результате получаем сингулярные решения задачи Коши дипольного типа:

—;--------------------ч М /, у2\е~уЩх , п

ри(и Иоо) — 8>л-(1 -2~) ~з/2 . к — °»

----------: М Л у3 \ е~у*/4х , .

р 6=1.

Получим функциональную связь между параметрической и физической переменной. С этой целью изучим асимптотику замыкающего соотношения (4)- Для сокращения записи введем обозначение избыточной скорости А и=и—Иоо И избыточной ПЛОТНОСТИ Др = р—Роо, причем

____________т

при — С1 и — <1. Так как ри(и — и00)—х2 Р (т;) — Ьт Р (т)), то

коо Рсо

ри (и — и») ~ Ь» Г (г,) *5 = Ь” Р' (71) Ц ~ ь*-1Р (7]).

Таким образом, получаем асимптотику правой части соотношения

(4):

Л (*) ^ ри (и — Иоо) ~ ьт Ьх

С другой стороны, рг»(и — Uoc)~pu£ui — ~ЬтРЫ) — . Из уравнения,

ы и

неразрывности в случае спутной струи получаем асимптотическое условие v—Ди, а в случае затопленной струи v — и, но поскольку р и Д и Д и , v , „

-—к----------то =— от — в случае спутной струи и следа и

Роомоо и

^ — const—в случае затопленной струи.

Таким образом, асимптотика левой части:

~Ьт — в случае затопленной струи;

~Ь2т — в случае спутной струи и следа.

Условие однородности по Ь левой и правой части замыкающего соотношения дает’асимптотику развития турбулентной области:

Ь~х — в затопленной струе;

1

b—хх~т— в спутной струе и следе.

Интерес представляет предельный случай т — О, при котором закон развития турбулентного ядра в затопленной и спутной струях одинаков (Ь~х), а избыточный импульс жидкости, вовлекаемой в турбулентное движение, пропорционален поперечному размеру области смешения: 1~Ь, 6 = 0; 1~Ь2, 6=1. В плоском случае (6 = 0) такое течение представляет собой асимптотически развитый слой смешения между двумя полубесконечными однородными потоками, текущими параллельно и обладающими в силу разного полного давления различными динамическими напорами. Определяющее дифференциальное уравнение имеет вид:

4т)Р' + (2 + 7))^ = 0, 6 = 0, решением которого является функция:

Р = С2 + Сг (Vе’/4 Л,

—00

где % = у IVх = VЪ-

Неизвестные константы определяются из асимптотических граничных условий на бесконечности, и после несложных алгебраических преобразований решение представляется в виде:

р^= р-м1 + р+й+ ^ р±_и2+-р-и- С ри - 2 1 2 ) '

о

где индекс « + » соответствует верхнему однородному потоку, а индекс «—» соответствует нижнему однородному потоку.

Изобаричный осесимметричный слой смешения физически невозможен, так как такое течение за счет зоны рециркуляции, поддерживающей баланс массы в слое смешения, обязательно будет самоинду-цировать градиент давления. Формальное математическое решение изо-баричного осесимметричного слоя смешения является чисто мнимым, поскольку содержит неинтегрируемую особенность на оси симметрии.

Возвращаясь к функциональной связи между физической и параметрической переменной, запишем ее в наиболее общем виде:

Л л

х = ^ Л (х) йх — ^ Л0 Ь' (х) Ь (л) йх = Л0 (х — л;0)

2

1-га

где х0 — координата начального сингулярного возмущения «полюс автомодельности», п — степенной параметр, равный нулю в случае затопленной струи и слоя смешения и равный т в случае спутной струи и следа; Ло— неизвестный коэффициент пропорциональности, который с практической точки зрения, чтобы избежать численных коэффициентов в физической плоскости, удобно связать с постоянной О следующим образом: Ло=£>/2(1—п).

Результат группового анализа представлен в виде сводки всех физически содержательных автомодельных решений, приведенных в таблице. Отметим, что автомодельные решения для плоского слоя смешения и затопленных струй, полученные методом Рейхардта, были известны и ранее [1, 3], однако остальные результаты, касающиеся спутных струйных течений, не могли быть получены ранее методом Рейхардта в силу того естественного ограничения, которое налагал на него принцип относительности Галилея.

Параметр

группы

Геометрия

течения

Физический

тип

Вид решения

Автомодельная

переменная

Мера сдвига

Вихревая вязкость

т = О

Плоское

Слой

смешения

_ Р-мІ+Р+иі Р“а =----+

2у

У И (х — х0)

Р+

4-Р-ИІ Г 2У* У

Р+“+-Р_«1

£>

А(х) = — (х — х0)

т = ~\

Плоское

Затопленная струя

рЦ2 = ... е

—1\/4

VъО (ЛГ — х0)

■*1 =

о (•* — *о)2

Импульс струи J

Л (*) = — (х — х0) 2

т ~ — 2

Осесиммет-

ричное

Затопленная струя

яО (ЛГ—лг0)2

4у2

й(Х — Ж0)2

Импульс струи У

О

А (*) = -тр (* — х0)

т — — 1

Плоское

Спутная струя (след)

Р «(и —ите) =

-і)/4

4у2

(*— *о)1/2

о (X — ЛГ0)

Избыточный импульс струи ^ (сх)

А (х) = £>/4

/п = —2

Осесиммет-

ричное

Спутная струя (след)

Р« (“ - “сс) =

«-^/4

тс О (х—х(|)

,2/3

Т| = .

4у2

О (ЛГ — ЛГ0)

,2/3

Избыточный импульс струи

Псх)

А (х) =(х—х0) 1/3,

турбулентность вырождается

Параметр группы Геометрия течения Физический тип Вид решения Автомодельная переменная Мера сдвига Вихревая вязкость

т — — а. Плоское Безымпуль-сный след ри (“-“оо> = _ М / Т) | \ е~ ^ 2 у (л: - лг0)3/4 4уа 11 0(х — лг0)1/2 Дипольный момент ./И О . ,9 АМ=уМ°) 1/2, турбулентность вырождается

т = — 4 Осесиммет- Безымпуль- ри (и-им) = Дипольный А (*) = С*--*оГ3/5. турбулентность вырождается

ричное сный след _ м /ч Л *-^4 ^ 4 ^ (*-лг0)4'5 £>(* -лг0)2'5 момент М

Заметим, что одновременно таблица является сводкой сингулярных фундаментальных решений (функций Грина) уравнения теплопроводности, что позволяет с ее помощью решить задачу эволюции свободного сдвигового течения с произвольно заданным начальным распределением избыточного импульса (задачу Коши). В этом случае общее решение представляется в виде свертки начального распределения и соответствующей функции Грина [6]. Подобные задачи возникают в инженерных приложениях при истечении газа из концентрических сопел и длинных труб, смешения спутных струй и развития слоя смешения при наличии толстого пограничного слоя [3].

Поскольку при развитом турбулентном обмене в свободных сдвиговых течениях передача тепла и импульса осуществляется благодаря одному конвективному механизму, то полученные результаты без труда переносятся на решение тепловой задачи. Имеет место изоморфизм между импульсной и тепловой задачами: математически это выражается формальной заменой величины (и—«<*,) на величину ср(Т—Т^).

Подводя итог методу Рейхардта, заметим, что в отличие от других полуэмпирических теорий учет напряжений, порождаемых пульсацион-ными членами, осуществлен опосредовано на уровне замыкающего соотношения, моделирующего перенос импульса, т. е. путем введения определяющего предельного соотношения, характеризующего устойчивое стационарное состояние осредненного течения, к которому оно приходит под воздействием внутренних напряжений. В этом случае, как уже было отмечено выше, универсальность замыкающего соотношения (4) для различных типов течения должна подтверждаться результатами эксперимента, согласующимися с выводами из предлагаемой теории. На следующих конкретных физических примерах выясним, каким образом полученные решения согласуются с данными других теорий, подтвержденных экспериментально-

Слабосжимаемое течение с малой разницей нормальных напряжений при постоянном внешнем потоке:

а) случай смешения двух однородных потоков

"р, — р и, — и_

+ «т-4—=-----£«1»

у(Р+ + Р_) у (“++«_)

согласно оценкам работы [7] нормальное и касательное напряжения порядка

Т

^ (р+ “+ + Р_ «1) у (р+ «+ + Р_ «1)

1. (и+ + «_)

— в пренебрежении членами ~0(е2) соответствующее табличное реше-

ние трансформируется в известное решение Гёртлера [1]

— и I 4- и и, — и

и — -----1- ^-9----ег^Е);

б) случай спутного течения с ненулевым дефицитом импульса

^ Р°° « ~~7Т~~ ' ' 6 « 1 >

5___Ученые записки № 3

65

согласно оценкам работы [7] нормальное и касательное напряжения порядка

Роо"^ Р« и1>

— в пренебрежении членами ~0(е2) соответствующее табличное решение переходит в известное гауссовское распределение дефекта средней скорости спутного течения [1].

Слабосжимаемое течение с большими нормальными напряжениями (случай плоского спутного безымпульсного течения) дальняя асимптотика безымпульсного течения

Р — Роо ... и —и

роо

1,

при этом согласно оценкам работы [7] нормальное и касательное напряжения порядка

а Т

РооМоо Роо Моо

,6 3/2

ры (и — и^) и, таким образом, —^—2—~s-

г ас «оо

Вообще говоря, однопорядковость средних и пульсационных характеристик течения ставит под сомнение устойчивое существование безымпульсного спутного течения в автомодельном режиме. Обсуждение этого вопроса само по себе составляет предмет специального исследования, что далеко выходит за рамки настоящей работы, поэтому ограничимся только формальным анализом полученных автомодельных решений.

Из соответствующего табличного решения получаем, что е~ ~ (х—х0)-3/4, при этом толщина спутного течения Ь ~ (х—Хо)114 ■ Асимптотика толщины плоского безымпульсного следа Ь~(X—Хо)114 хорошо согласуется с экспериментальными данными работы |[8], однако асимптотика дефекта скорости следа е~ (х—х0)~'3/4 не согласуется с теоретическими оценками [7], основанными на более полном учете нормальных напряжений и анализе обобщенной автомодельности уравнения баланса пульсационной энергии. Согласно оценкам работы [7] асимптотика дефекта скорости спутного автомодельного течения е~ (х—х0)~312. Расхождение объясняется тем, что моделирование турбулентности на уровне замыкающего соотношения Рейхардта не учитывает в полной мере вклад нормальных напряжений, которые в случае безымпульсного течения существенны. Однако отметим, что на начальном участке развития автомодельного безымпульсного течения (х—х0)~О(1) такого расхождения не наблюдается. Действительно, в этом случае для конвективных членов среднего течения имеем несколько иные оценки

и — и и и

«—— в — 0(1),

'2

(“-“ос)2

00

поэтому — г2~(д: — х0)~314, отсюда е — (х — х0)~3/2. По ме-

Роо Иоо

ре удаления от тела вклад касательного напряжения в формиро-66

вание среднего течения становится пренебрежимо малым по сравнению со вкладом нормального напряжения е1/20, что в ре-

зультате и приводит к указанному расхождению в асимптотиках дефекта скорости.

Главный результат настоящей работы, в понимании автора, в том, что она закрывает проблему, поставленную Г. Рейхардтом. Заметив, что асимптотически развитое состояние свободной сдвиговой турбулентности хорошо аппроксимируется базисным набором двух функций, являющихся частным решением уравнения теплопроводности, Рей-хардт, говоря современным научным языком, поставил перед собой проблему, найти однозначное отображение группы симметрии уравнения теплопроводности на группу автомодельных решений свободной сдвиговой турбулентности. Эту проблему ему удалось решить лишь отчасти — для затопленных струйных течений. Полностью — включая типы спутных струйных течений — эта проблема решена в настоящей работе.

В заключение автор выражает благодарность В. Я. Нейланду и А. С. Гиневскому за обсуждение результатов работы и конструктивную критику.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: 1974.

2. X и н ц е И. О. Турбулентность. — М.: Физматгиз, 1963.

3. В у л и с Л. А., К а ш к а р о в В. П. Теория струй вязкой жидкости.— М.: Наука, 1965.

4. Биркгофф Г. М.: Гидродинамика, 1954.

5. Биркгофф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы, каверны. — М.: Изд. иностр. лит., 1964.

6. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. IV, ч. II. — М.:

Наука, 1981.

7. Г о р о д ц о в В. А. Автомодельность и слабые замыкающие соотношения для симметричной свободной турбулентности. — Изв. АН СССР. МЖГ, 1979, № 1.

8. Naudasher Е. Flow in the wake of self-propellea bodies and related sources of turbulence. —■ Journal of Fluid Mechanics, 1965, vol. 22, pt. 4.

Рукопись поступила 15/IV 1988 г.