CC BY
35
Вычислительные технологии
Том 9, № 4, 2004
ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ БЕЗЫМПУЛЬСНОГО ТУРБУЛЕНТНОГО СЛЕДА В УСТОЙЧИВО СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ
СРЕДЕ*
О. Ф. ВОРОПАЕВА Институт вычислительных технологий СО РАН, Новосибирск, Россия
e-mail: vorop@ict.nsc.ru
A review of the numerical models and results of investigations on the momentumless turbulent wake dynamics in a stably stratified media is presented.
Введение
Турбулентные следы за телами вращения являются классическим объектом исследования теоретической, вычислительной и прикладной гидродинамики, имеющим весьма важные практические приложения. Следам и другим локальным турбулентным образованиям отводится важная роль в формировании тонкослоистой микростуктуры океана, при обтекании тел, в задачах энергетики и экологии. Инструментальные измерения параметров следоподобных образований в неоднородной по плотности (температуре) среде даже в лабораторных условиях представляют собой труднорешаемую задачу. В связи с этим разработка надежных и эффективных численных моделей и исследование на их основе турбулентных течений в следах за телами в устойчиво стратифицированных средах является весьма актуальной проблемой.
Достаточно хорошо известно, что течение в турбулентном следе за телом, движущимся в устойчиво стратифицированной жидкости, обладает рядом особенностей, отличающих его от течения в однородной среде. При сравнительно слабой устойчивой стратификации турбулентный след вначале развивается почти так же, как и в однородной жидкости, и расширяется в плоскости, ортогональной оси движения тела, симметрично. Однако вертикальной турбулентной диффузии препятствуют архимедовы силы, так что след приобретает сплющенную форму и, наконец, совсем перестает расти в вертикальном направлении. Из-за турбулентного перемешивания плотность жидкости в пределах следа распределена более равномерно, чем вне его. Архимедовы силы стремятся восстановить прежнее невозмущенное состояние устойчивой стратификации, возвращая частицы жидкости на горизонты их равновесного состояния. В результате в плоскости, ортогональной оси движения
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 01-01-00783, № 04-01-00209) и НШ 2314.2003.1 президента РФ.
© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2004.
тела, возникают конвективные течения, приводящие к активному образованию внутренних волн в окружающей жидкости [1-3].
В данной работе представлен обзор численных моделей и выполненных с их применением исследований турбулентных следов за телами с движителем, собственная тяга которого уравновешивает силу гидродинамического сопротивления — безымпульсных следов. Особенностью таких турбулентных следов является их более быстрое вырождение в сравнении с турбулентными следами за буксируемыми телами [4-6].
Лабораторные эксперименты. Для начала обратимся к имеющимся экспериментальным данным. Одной из первых работ, в которых в условиях лабораторного эксперимента было установлено, что турбулентный след в линейно стратифицированной среде существенно отличается от следа в однородной жидкости, является, по-видимому, работа Schooley & Stewart [7]. В ней продемонстрированы основные особенности развития турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде — коллапс (сплющивание) следа и генерация следом внутренних волн, представлены также некоторые теоретические оценки параметров генерируемых внутренних волн.
В работе Merrit [3] кроме результатов оригинальных лабораторных измерений размеров турбулентного следа в линейно стратифицированной среде и расстояния от тела, на котором начинается коллапс следа, содержится также анализ этих данных. Отмечается, в частности, что характерными параметрами течения являются отношение времени после образования следа к периоду Вяйсяля — Брента T и плотностное число Фруда Fr:
Fr = T = = 1
d ' v/ag N
(a > 0 — константа, определяемая градиентом плотности невозмущенной жидкости ps(z), Uж — скорость набегающего потока, D — характерный размер тела, N — частота Вяйсяля — Брента, g — ускорение силы тяжести).
Наиболее детальные лабораторные измерения характеристик турбулентности в следах за телами, движущимися в линейно стратифицированной среде, проведены Lin & Pao [8] (некоторые результаты экспериментов этих авторов для следов в однородной и линейно стратифицированной средах, в том числе данные о вырождении дефекта продольной компоненты осредненной скорости, можно найти в [9, 10]). В [8] представлены подробные количественные данные о поведении линейных размеров следа и интенсивностей турбулентных флуктуаций полей плотности и скорости в безымпульсном турбулентном следе для достаточно широкого диапазона чисел Фруда, включая трудно моделируемые в лабораторных условиях большие значения этого параметра. Полученные данные иллюстрируют анизотропный характер вырождения интенсивностей пульсационных составляющих горизонтальной и вертикальной компонент скорости на больших расстояниях от тела.
Детальный анализ экспериментальных данных о вырождении турбулентных следов за буксируемыми и самодвижущимися телами в линейно стратифицированных жидкостях и теоретические оценки параметров внутренних волн выполнены в работах Voisin [11] и Чашечкина [12].
Лабораторные опыты показывают, что в тех случаях, когда распределение плотности невозмущенной жидкости по глубине задается существенно нелинейным, картина течения может сильно отличаться от наблюдаемой в линейно стратифицированной среде. Наиболее характерные изменения были продемонстрированы Gilreath & Brandt [13] на примере движения тела в слое раздела пикноклина, представляющего собой непрерывный аналог
двуслойной жидкости. В ходе экспериментов варьировалось соотношение толщины высокоградиентной прослойки пикноклина и диаметра тела. Представлены данные о качественной картине течения, отмечена тенденция к формированию (в случае, когда толщина прослойки меньше диаметра тела) близких к стационарным внутренних волн конечной амплитуды; выполнены теоретические оценки наблюдаемых внутренних волн.
В работе Voropaev et al. [14] исследуются крупные вихревые структуры, образующиеся при маневрировании самодвижущегося тела в стратифицированной среде; определены условия формирования вихревых структур в следах, получены данные об основных характеристиках вихрей.
Весьма значительная часть исследований безымпульсных турбулентных следов в стратифицированной жидкости выполнена в рамках упрощенных представлений — в плоской постановке. В лабораторных условиях в бассейне с неподвижной стратифицированной жидкостью с помощью разного рода турбулизаторов создавалась плоская область турбулентных возмущений, время развития которой предполагалось равным времени жизни следа.
Автором одной из наиболее ранних экспериментальных работ, в которых изучался двумерный нестационарный аналог трехмерного турбулентного следа за движущимся телом в линейно стратифицированной среде, был Schooley [15] (ссылки на другие ранние работы имеются, например, в [3]). Трохан и Чашечкин [16] провели исследование фазовой картины внутренних волн. В экспериментах Kao, Pao [17] рассматривалось течение, генерируемое турбулизованной областью в пикноклине: изучалась волновая картина течения, в частности, были получены данные о возникновении в пикноклине уединенных внутренних волн.
Экспериментальному изучению развития области турбулизованной жидкости в тонкослоистой среде посвящена работа Попова [18]. Исследовано изменение формы турбулентного пятна в зависимости от его расположения относительно прослоек жидкости с большими градиентами плотности. Как установлено в [18], основной особенностью рассматриваемого течения является преимущественное растекание пятна в виде узких языков вдоль высокоградиентных прослоек, а именно — вдоль расположенных внутри этих прослоек горизонтальных плоскостей, соответствующих равновесному положению частиц перемешанной жидкости.
Качественное представление о рассматриваемом течении дают многочисленные исследования ламинарных перемешанных областей в стратифицированных средах. Наиболее полные обзоры работ этого направления (как экспериментальных, так и численно-теоретических) можно найти в [19, 20]. Из экспериментальных работ в первую очередь необходимо упомянуть лабораторные опыты Wu [21], посвященные изучению коллапса однородного по плотности пятна в линейно стратифицированной среде. Maxworthy [22] изучал внутренние волны, формирующиеся при развитии перемешанных областей в пик-ноклине, включая стационарные волновые образования. В опытах Мадерича, Кулика [23] изучались закономерности растекания интрузий в тонкослоистой среде. Основное внимание уделялось установлению характера зависимости течения в пикноклине от соотношения характерного размера интрузии и толщины слоя раздела (слоя с максимальными градиентами плотности). В частности, было продемонстрировано (вслед за [24], где проводилось численное моделирование течения на основе уравнений Эйлера в приближении Обербека — Буссинеска) формирование уединенных внутренних волн при эволюции перемешанной области в "узком" слое раздела, когда размер области значительно превосходит толщину слоя раздела.
Данные, полученные в ходе лабораторных экспериментов (дополнительные ссылки
можно найти в приводимой литературе), имеют важное значение для понимания процессов, происходящих при эволюции турбулентных следов. Следует отметить, однако, что количественное, а зачастую и качественное воспроизведение результатов этих исследований является затруднительным для численного моделирования из-за недостатка исходных данных об условиях проведения экспериментов (во многих экспериментах турбулизующее устройство оставалось в зоне смешения во все время их проведения). В большинстве из них также отсутствуют более или менее полные количественные данные о поведении основных характеристик течения (в особенности это относится к измерениям характеристик турбулентности). Это обстоятельство, по-видимому, служит подтверждением того факта, что экспериментальное исследование данного класса течений, так же как и его численное моделирование, представляет собой весьма трудноразрешимую задачу.
Некоторые сведения о полуэмпирических моделях турбулентности. Основным инструментом при проведении теоретических и численных исследований турбулентных следов за телами с движителями, как и многих других турбулентных течений, были и остаются до настоящего времени полуэмпирические модели турбулентности. Их подробное описание, в том числе с изложением физических аспектов и принципов построения, можно найти в [25-31]. Ниже будут приведены некоторые основные сведения, необходимые для дальнейшего изложения.
Для построения полуэмпирических моделей турбулентности мгновенные гидродинамические характеристики течения представляются в виде суммы средних и пульсационных составляющих. В результате привлекаемая для описания турбулентного течения в следе за телом, движущимся в устойчиво стратифицированной среде, система осредненных уравнений Навье — Стокса в приближении Обербека — Буссинеска (для статистически стационарного класса течений) записывается в следующем виде [31]:
ад = _ i эр, + v + W- ^
дхк ро dxi ро oxk
а® = _ + хД(е); (0.2)
дхк дхк
dUk
x
k
0, i,k = 1, 2, 3. (0.3)
Здесь и ниже штрихом помечены пульсационные составляющие; угловые скобки ( ) — символ осреднения; А — оператор Лапласа; по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Кроме того, приняты следующие обозначения: и = и, и2 = V, и3 = Ш — компоненты скорости осредненного движения в направлении осей Х\ = х, х2 = у, х3 = г; и'1 = и', и'2 = V, и'3 = и' — пульсационные составляющие скорости; в — температура; р — плотность жидкости, (р\) = (р) — р3 — осредненный дефицит плотности; р3 = р3(г) — плотность невозмущенной жидкости, р0 = р3 (0); р\ — отклонение давления от гидростатического, обусловленного стратификацией р3; V, х — коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности; д = (0,0, —д). Плотность жидкости считается линейной функцией температуры: р — р0 = — вр0(в — во), где во = в(0), в — коэффициент объемного расширения; стратификация предполагается устойчивой ( dр3/dz < 0) и слабой.
Для построения замкнутой системы уравнений (0.1)-(0.3) необходимо выбрать способ аппроксимации неизвестных одноточечных корреляционных моментов второго порядка — компонент тензора рейнольдсовых напряжений (Пи') (г, к = 1, 2, 3) и вектора турбулентных потоков (и'кр') (к = 1, 2, 3), фигурирующих в правых частях этих уравнений. Рассмо-
трим кратко иерархию полуэмпирических моделей турбулентности, привлекаемых для расчетов интересующего нас течения.
Наиболее общая модель турбулентности второго порядка включает следующие дифференциальные уравнения переноса моментов второго порядка (см., например, [25, 28, 32]). Уравнение переноса компонент тензора рейнольдсовых напряжений может быть записано в виде (здесь и всюду в данном пункте индексы принимают значения г, к, I = 1, 2, 3):
д ) д ) д ) + + ^^^ = Вгз + Ргз + Сгз + Пгз -£гз• (0"4)
Слагаемые Ру и Оу представляют собой порождение за счет осредненного движения и архимедовых сил соответственно (здесь и ниже также по повторяющимся индексам предполагается суммирование):
,м ди, ди 1 ^ _ 1
Ри = -1 (и*%> дХк + (изик> дХ^/, = рО ((^р >Л' +^Р ^^
2Р = Ргг, 20 = °гг-
В правой части (0.4) Оу, еу — диффузионные и диссипативные слагаемые, Пу — слагаемые с турбулентными пульсациями давления. Их точные представления содержат новые неизвестные двойные и тройные корреляции пульсационных величин, что требует привлечения дополнительных гипотез. Приведем наиболее часто применяемые [33, 34]:
^ д д о д е. ! д (иХ-)
--^(и1и^и^-) =-дх; (и;иги) = дХ1с*е (ики1) дХк ; (0-5)
Щ = -С1е ( КЦ) - 28ц Л - с2 ( Ргу - 2¿г,Р ) - с3 ( 0гу - 2¿у0 ) ; (0-6)
егУ = 3 ¿уе- (0-7)
Энергия турбулентности по определению равна е = ((и/2) + (V'2) + (и>/2))/2.
Дифференциальные уравнения переноса компонент вектора турбулентных потоков (игр') и величины дисперсии турбулентных флуктуаций плотности (р'2) могут быть записаны (с учетом достаточно общепринятых аппроксимаций) в следующем виде:
гд(игр'>, т,д(игр'>, Тх,дкро д е, , д(игр'> л , м д(р>, ,, ди
+ + = ТТ"(ики;)-^1 - (игик+ (икр')^ +
дх ду д! дх; к дхк \ г дхк дхк/
+ 9-(р'2) + С2ТРгт - С1Те(игр'); (0.8)
р0е
^ + ^ + ^ = А с е (ик,) -(е - 2(ик р') % - ст е <р'2). (0.9)
Р-т=«л ш - рг <ря>-
Наконец, в дополнение к представленным уравнениям переноса одноточечных корреляционных моментов второго порядка должны быть привлечены соотношения, в той или иной мере характеризующие пространственный масштаб турбулентности. Одним из наиболее
универсальных способов следует считать определение скорости диссипации е из уравнения [25, 28]
де де де е е2
иде + уд^ + = + с£1 -(Р + С) - с£2(0.10) дх ду дг е е
в котором аппроксимация диффузионных слагаемых, как правило, согласуется с представлением соответствующих членов в уравнении переноса энергии турбулентности. Альтернативой уравнению (0.10) является непосредственное определение характерного масштаба турбулентности Ь из геометрических соображений либо из решения дифференциального уравнения для этой величины [25]. Заключительный этап в создании замкнутой математической модели — определение эмпирических постоянных с5, с1, с2, с3, с^, с^, с1т, с2т, ст, с£1, се2. Наиболее употребительные наборы значений приведены в обзорной статье
[25].
С целью получения упрощенных моделей для части или всех корреляционных моментов второго порядка вместо дифференциальных уравнений (0.4), (0.8), (0.9) привлекаются алгебраические представления, являющиеся результатом усечения этих уравнений (например, в модельном приближении локального равновесия — малости производных искомой величины по времени и пространственным переменным [25, 35]). Достаточно широко известны алгебраические локально-равновесные [35] аппроксимации компонент тензора рей-нольдсовых напряжений
«Ц) = 2(1 - с2 - с1) + (1 - с2) Р^ + (1 - сз) С11 (011)
о ЬJ
е 3 с1 с1 е с1 е
а также упрощенные неравновесные представления [26] для этих величин «Ц)_ 2. 1 - с2 (Ргз 2 Р ч 1 - сз (Сг] 2, С
3 ¿у + — ^ - 3¿у - + — ^ - 3¿у - . (0.12)
е 3 с1 \ е 3 е ) с1 \ е 3 е)
Важным следствием (0.12) является изотропное соотношение
(иЩ) = 2/3^- е, (0.13)
справедливое для бессдвиговых течений в отсутствие силы тяжести. В случае использования алгебраических представлений для нормальных напряжений Рейнольдса модель турбулентности дополняется уравнением переноса энергии турбулентности, являющимся прямым следствием уравнений (0.4) (согласно определению величины е):
и* + VIе + = Бе + Р + С - е, Бе = Яй/2. (0.14)
дх ду дг
Для компонент вектора турбулентных потоков вместо (0.8) могут быть привлечены алгебраические неравновесные [36]
-<и£р') = Фте (и'А) д(р) - ФТ-Р»Т, (0.15)
Фт = [сЛт + 2 ( Р + С - 1] ] , ФТ = (1 - с2Т)Фт
или локально-равновесные [35] усечения этих уравнений
д(Р) , /п ч Л , А ди 9г
/ I е
(«Р ) = --
С1Т е
«¿ик + (1 - в2Т М (икР Ь---(Р )
дхк V дХк Ро у
(0.16)
Наконец, локально-равновесное усечение уравнения (0.9) переноса величины дисперсии турбулентных флуктуаций поля плотности приводит к выражению
(р12)=- - е (ик^) ^. (0.17)
вте дхк
Наиболее простые модели турбулентности второго порядка, включающие одно (е-модель) или два ((е — е) или (е — ¿)-модели) дифференциальных уравнения для характеристик турбулентности, получаются, в частности, в случае одновременного использования упрощенных алгебраических аппроксимаций (0.12), (0.16) при пренебрежении ролью средней скорости и архимедовых сил.
1. Схематизированная плоская модель безымпульсных турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде
В литературных источниках имеются ссылки на сравнительно небольшое число работ, посвященных численному моделированию безымпульсных турбулентных следов в стра-тифицированой среде. Согласно публикациям как за рубежом, так и в нашей стране исследования в этом направлении ведутся с начала 70-х годов. В целом ряде работ [1, 2, 37-44] безымпульсные турбулентные следы изучались с применением схематизированной плоской модели (по аналогии с экспериментальными работами [3, 15-18]). В них рассматривалась плоская нестационарная задача об эволюции локальной области турбулентных возмущений в линейно стратифицированной жидкости. Исходная постановка задачи в данном модельном приближении может быть представлена в следующем общем виде. В области конечных размеров, расположенной в безграничной несжимаемой устойчиво стратифицированной жидкости, задаются турбулентные возмущения. Для описания возникающего турбулентного течения привлекается система осредненных уравнений, полученная из (0.1 )-(0.3) в предположении малости членов с молекулярной вязкостью и диффузией, а также производных по х в правых частях (0.1), (0.2) и левой части (0.3). Дополнительно полагается: и = £ = х/ите.
1.1. Линейная стратификация
В первых работах по численному моделированию эволюции плоской зоны турбулентного смешения в устойчиво стратифицированной среде [1, 2], выполненных Васильевым, Кузнецовым, Лыткиным, Черных, исходные уравнения движения записывались в пренебрежении конвективными слагаемыми. Для расчетов привлекалась простейшая е-модель, в которой полагалось справедливым соотношение (0.13), и в уравнении переноса энергии турбулентности (0.14) не учитывалось порождение энергии турбулентности за счет осред-ненного движения и архимедовых сил (Р = О = 0). В качестве масштабов турбулентности
использовались линейные размеры Ly и Lz турбулизованной области (в данном разделе обозначения соответствуют избранной в настоящей работе системе координат, в которой ось z направлена вверх, против силы тяжести). Компоненты вектора турбулентных потоков аппроксимировались простейшими градиентными гипотезами, причем коэффициенты турбулентной диффузии и вязкости в этой модели полагались идентичными и равными:
Ky = œ\feLy, Kz = œ\feLz, œ = const.
Были получены данные, иллюстрирующие развитие области турбулентных возмущений и генерируемых внутренних волн, продемонстрирован коллапс зоны смешения; впервые численно продемонстрировано возникновение и распространение конвективных вихрей, соответствующих внутренним волнам.
Эти результаты подтверждены расчетами тех же авторов [37] на основе модели, в которой использовался значительно более совершенный способ определения нормальных напряжений Рейнольдса: вместо простейшего изотропного соотношения (0.13) привлекались дифференциальные уравнения переноса этих величин, аналогичные (0.4), с аппроксимацией Пij простейшей гипотезой Ротта (первого слагаемого в правой части (0.6)). При этом была сделана попытка уточнить также коэффициенты турбулентной вязкости и диффузии:
Ky = œi Kz = œi <W!> (1.1)
£ £
В [37] £ = ae 3/2/VS, a = const, а характерный пространственный масштаб S вычислялся с привлечением интеграла от распределения энергии турбулентности. Остальные аппроксимации аналогичны тем, что использовались в [2].
Лыткиным и Черных [38] с использованием модифицированной модели работы [37] (привлекалась полная аппроксимация (0.6) "обменных" слагаемых в уравнениях переноса нормальных напряжений) был проведен численный анализ течения, на основе которого сделан вывод о существовании в линейно стратифицированной среде подобия характеристик турбулентности и внутренних волн по плотностному числу Фруда при больших значениях этого параметра. Помимо этого, в [38] представлены некоторые данные, свидетельствующие о слабом влиянии используемой модели турбулентности на характеристики внутренних волн; получено качественное, а по фазовой картине внутренних волн и количественное согласие результатов расчетов с лабораторными измерениями Трохана, Чашечкина [16].
По результатам анализа поведения суммарных энергий турбулентности и внутренних волн, генерируемых при эволюции зоны турбулентного смешения, в работах Лыткина, Черных [38] и Черных, Лыткина, Стуровой [39] сделан вывод о независимом развитии при больших значениях времени в линейно стратифицированной среде внутренних волн и турбулентности (т.е. о расщеплении течения на волновой и диффузионный процессы). При этом расчет параметров внутренних волн при t/T > 1 может быть выполнен с применением уравнений Эйлера в приближении Обербека — Буссинеска (при соответствующем задании перемешивания и размера области возмущений). С использованием результатов расчетов задачи в полной постановке в [39] И.В. Стуровой построена простая линейная аналитическая модель волновой картины для больших значений времени вырождения. Результаты расчетов по полной и аналитической моделям оказались весьма близкими. Позже аналогичная модель была получена Voisin [11].
Продолжением численных экспериментов [38, 39], демонстрирующих расщепление течения на волновой и диффузионный процессы, явилась работа Черных [40], в которой
показана применимость диффузионной модели к расчету характеристик турбулентности при описании динамики турбулизованной области в линейно стратифицированной среде для больших значений времени. В расчетах [40] использовалась модель работы [38] с дифференциальными уравнениями для нормальных напряжений. Исследовался также вопрос о постановке граничных условий для волновых характеристик течения на внешних границах расчетной области: привлекались "открытые" краевые условия и условия невозмущенного потока. Было продемонстрировано, что влияние типа граничных условий оказывается несущественным для расчетов характеристик турбулентности.
Численный анализ применимости ряда моделей, представляющих собой модификацию модели работы [38], к описанию эволюции зоны турбулентного смешения в линейно стратифицированной среде выполнен Черных [41]: продемонстрированы разумность подхода, предполагающего бессдвиговость течения (при введении в модель дополнительного дифференциального уравнения вида (0.4) трансформации касательного напряжения (v'w')), а также несостоятельность простейшей е-модели [1, 2] при больших значениях времени. Слабая зависимость картины внутренних волн от рассмотренных в данной работе моделей турбулентности обусловлена тем фактом, что формирование внутренних волн в линейно стратифицированной среде происходит при небольших значениях времени (t/T < 1), где работают даже простейшие модели.
Анализируя используемые в работах [1, 2, 37-41] модели турбулентности, можно отметить, что в них реализуются как простейшие (изотропные), так и достаточно полные аппроксимации нормальных рейнольдсовых напряжений. Привлечение дифференциальных уравнений переноса этих величин (в комплексе с более совершенным способом определения масштаба) делает возможным проведение расчетов для достаточно больших значений времени. Вместе с тем, как видно из расчетов [38, 40], слабым местом разработанного в [38] варианта модели с уравнениями для нормальных напряжений остается неудовлетворительное описание анизотропного вырождения нормальных напряжений — при t/T > 2 величина интенсивности турбулентных флуктуаций вертикальной компоненты скорости вырождается чрезмерно быстро в сравнении с интенсивностью турбулентных флуктуа-ций горизонтальных компонент скорости. Это противоречит экспериментальным данным [8] и указывает на необходимость модификации модели. В этой связи остается открытым ряд вопросов, в частности — о роли более детальных аппроксимаций компонент вектора турбулентных потоков. Рассмотрению этого и других аспектов в численных моделях динамики плоской турбулизованной области в стратифицированной жидкости посвящены работы [42-44].
Систематическое исследование применимости различных моделей турбулентности к расчетам турбулентных следов в устойчиво стратифицированных жидкостях (в схематизированной плоской постановке) проведено в работах [42, 43]. Для замыкания исходной осредненной системы уравнений привлекается иерархия полуэмпирических моделей турбулентности, аналогичная описанной во введении: наиболее сложная из них составляется из дифференциальных уравнений переноса моментов второго порядка вида (0.4), (0.8), (0.9) (с учетом принятых в данной постановке упрощений); в простейшей полагается (uf) = 2/3е (i = 1, 2, 3). Общим местом рассмотренной в [42, 43] иерархии моделей является определение скорости диссипации е из уравнения вида (0.10), а также привлечение (из соображений, связанных с упрощением численного алгоритма) дифференциального уравнения переноса касательного напряжения (v'w'). Основное внимание в этих работах уделялось исследованию применимости алгебраических аппроксимаций моментов второго порядка вида (0.11), (0.12), (0.15)-(0.17). Из анализа результатов расчетов следует: во-первых, ал-
гебраические представления моментов второго порядка дают результаты, весьма близкие к полученным с применением дифференциальных уравнений переноса этих величин; во-вторых, простейшей из пригодных для расчетов рассматриваемого течения аппроксимаций компонент вектора турбулентных потоков можно считать локально-равновесное представление вида (0.16). Полученная волновая картина течения слабо зависит от применяемой модели турбулентности, что подтверждает данные ранних исследований [38, 41].
Несколько слов о методах решения в работах [1, 2, 37-44]. Они основываются на использовании переменных функция тока — завихренность и методов расщепления по пространственным переменным [45]. В [1,2, 37-41] используются равномерные конечно-разностные сетки, в [42-44] — неравномерные ортогональные сетки, сгущающиеся в окрестности особенностей течения. При решении модельных задач в [44] применялись адаптивные подвижные сетки.
Простая аналитическая квазиодномерная модель эволюции области турбулентных возмущений в следе за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде построена Скуриным [46]. Получено удовлетворительное согласие с измерениями [8] в части описания размеров следа.
1.2. Нелинейная стратификация
Математическая модель динамики плоской области турбулентного смешения в пикно-клине представлена в [44]. Данная модель базируется на модифицированной (е - е)-модели турбулентности, включающей алгебраические аппроксимации для моментов второго порядка вида (0.12), (0.16), (0.17). Для введения коэффициентов турбулентной вязкости в уравнениях переноса касательного напряжения (г'эд') (0.4), энергии турбулентности (0.14) и скорости диссипации (0.10) используются соотношения (1.1). В [44] впервые дано основанное на численных расчетах описание особенностей развития течения в пикноклине — интенсивного горизонтального растекания области смешения вдоль высокоградиентной прослойки и формирования уединенных внутренних волн. Результаты расчетов качественно согласуются с экспериментальными данными [17, 18] (согласование качественное, а не количественное, поскольку в [17, 18] отсутствуют необходимые данные об условиях проведения экспериментов и не измерялись характеристики турбулентности). В [44] идея о расщеплении течения при больших значениях времени на волновой и диффузионный процессы была перенесена на случай нелинейного распределения плотности.
Анализ применимости иерархии моделей турбулентности к расчетам эволюции зоны турбулентного смешения в пикноклине выполнен в [42, 44]. Представленные данные свидетельствуют о слабой зависимости характеристик турбулентности и волновой картины течения от применяемой модели турбулентности не только в случае линейной стратификации, но и в пикноклине, когда формируются внутренние волны значительной амплитуды.
1.3. Диффузия пассивной примеси от мгновенного
локализованного источника в зоне турбулентного смешения
Численному моделированию процесса турбулентной диффузии пассивной примеси от произвольно расположенного мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения в однородной и устойчиво стратифицированной средах посвящена серия работ
[47-49]. Расчеты проводились с использованием модифицированных (e — е)-моделей, основанных на алгебраических представлениях моментов второго порядка (0.12), (0.16), (0.17). Дополнительно привлекалось уравнение переноса осредненной концентрации C:
Ж + Vf + = — |('/C'> — I<WC>- -<'/C'> = f ■ = Kz(1.2)
где Kcy, Kcz задавались в виде соотношений, подобных применяемым для определения коэффициентов турбулентной диффузии Kpy, Kpz (последние получены в результате приведения соотношений (0.16) к градиентному виду). Исследованы особенности распространения пассивной примеси в случаях, когда положение источника примеси не совпадает с центром турбулизованной области. Показано, что в однородной и линейно стратифицированной средах [47, 48] процесс распространения примеси характеризуется смещением положения максимума осредненной концентрации к центру турбулизованной области, однако это смещение происходит чрезвычайно медленно в сравнении с вырождением турбулентности. Наблюдаемая тенденция устремления положения максимума концентрации к началу координат в однородной жидкости может быть объяснена свойствами замкнутого дифференциального уравнения переноса осредненной концентрации пассивной примеси (1.2). При больших значениях времени распределения концентрации для различных вариантов начальных данных становятся автомодельными и идентичными, если только в начальный момент времени суммарный запас примеси был одинаков. В [49] рассмотрены варианты расположения зоны турбулентного смешения в окрестности высокоградиентной прослойки пикноклина. Показано, что существенную роль в этом случае играет не только начальное расположение источника примеси, но и конвективное течение, индуцируемое коллапсом зоны турбулентного смешения.
Результаты численного анализа эволюции локальных областей турбулизованной жидкости, выполненного в упомянутых в данном разделе работах, имеют важное методологическое значение для численного моделирования спутных турбулентных течений в стратифицированной среде. Кроме того, исследование динамики турбулизованных областей представляет интерес в связи с весьма важной ролью подобных объектов в формировании тонкой микроструктуры гидрофизических полей океана [31, 50]. Ниже будут представлены численные модели и результаты исследований турбулентных следов и генерируемых ими внутренних волн, в которых след рассматривается как пространственное турбулентное течение (без применения схематизированной плоской постановки).
2. Безымпульсный турбулентный след в устойчиво стратифицированной среде
2.1. Линейная стратификация
Начальная диффузионная (до коллапса) стадия развития турбулентного следа за самодвижущимся телом в линейно стратифицированной среде изучена теоретически Онуфриевым [51] с использованием разработанной алгебраической модели рейнольдсовых напряжений и потоков. Проведены оценки формы турбулентного следа, согласующиеся с результатами ранних экспериментальных работ [7].
Численное моделирование турбулентного следа за самодвижущимся телом и генерируемых при коллапсе следа внутренних волн в линейно стратифицированной среде проведено
Levellen, Teske, Donaldson [52]. Была разработана численная модель с дифференциальными уравнениями для моментов второго порядка, дополненная рядом масштабов пульса-ционного движения. Эта модель послужила основой для модели, включающей локально-равновесные усечения дифференциальных уравнений переноса всех моментов второго порядка. Согласно [35], последняя применялась для численного моделирования в случае линейной стратификации. Масштаб турбулентности определялся с использованием характерных линейных размеров области турбулентного течения. В [35, 52] представлены данные, иллюстрирующие собственно турбулентный след и генерируемые внутренние волны. Сопоставление расчетных данных с экспериментальными данными Lin & Pao [8] показало удовлетворительное согласие в поведении размеров следа для значений времени t < T.
Работа Hassid [9] содержит достаточно подробное численное исследование следов за самодвижущимся и буксируемым телами в линейно стратифицированной среде, проведенное на основе модифицированной модели локально-равновесного приближения с привлечением уравнений переноса энергии турбулентности и скорости диссипации. В [9] алгебраические соотношения вида (0.11) использовались для получения анизотропных выражений для коэффициентов турбулентной вязкости, при этом вопрос о применимости (0.11) для анализа поведения нормальных напряжений остался открытым. Было выполнено сопоставление с экспериментальными данными Lin & Pao по изменению характерных размеров следа и значений дефекта продольной компоненты осредненной скорости и энергии турбулентности на оси следа. Согласие с данными для буксируемого тела весьма хорошее. В случае самодвижущегося тела выявились трудности с описанием дефекта скорости — влияние стратификации оказалось более выраженным, чем в эксперименте (см. также критический обзор [53]); можно отметить и более медленное, чем в эксперименте, вырождение энергии турбулентности. Имеющиеся погрешности, возможно, связаны с неудачным выбором метода расчета. Это в определенной мере подтверждают численные эксперименты, выполненные позже Мошкиным и др. [54]. В расчетах [54] использовались локально-равновесная модель, аналогичная разработанной в [9], и метод расщепления по физическим процессам. Полученные данные в случае безымпульсного следа оказались достаточно близкими к экспериментальным данным по всем характеристикам, анализировавшимся в [9].
В ряде работ задача об эволюции безымпульсного турбулентного следа в однородной и линейно стратифицированной среде рассматривалась как пример для демонстрации разработанных авторами методов и подходов. Так, в монографии О.М. Белоцерковского [55] описаны результаты решения задачи статистическим методом частиц в ячейках, выполненного Белоцерковским, Ерофеевым, Яницким, Славяновым. В модели применяется релаксационное кинетическое уравнение для одноточечной функции распределения, аналогичное уравнению Больцмана. Метод решения основывается на использовании "жидких" частиц в ячейках и расщеплении эволюции модели на следующие физические процессы: конвективный перенос, диссипацию турбулентной энергии и перераспределение энергии по степеням свободы. Модель демонстрирует достаточно хорошее согласие с экспериментальными данными Naudascher [4] (однородная жидкость) — по изменению характерного размера, распределению энергии турбулентности на оси следа и в его поперечном сечении, а также с лабораторными измерениями Lin & Pao [8] (линейная стратификация) — в осевых значениях интенсивности турбулентных пульсаций продольной составляющей скорости.
Как пример применения неявного варианта метода расщепления по физическим процессам к расчету стратифицированных течений турбулентный след в однородной и линей-
но стратифицированной средах рассмотрен Даниленко, Костиным, Толстых [56]. Замыкание трехмерной параболизованной системы осредненных уравнений Рейнольдса проводилось с использованием полной дифференциальной модели второго порядка, аналогичной [52]. Получено удовлетворительное согласие рассчитанных значений энергии турбулентности на оси следа с экспериментальными данными Naudascher [4], а также осевых значений дефекта продольной компоненты осредненной скорости и энергии турбулентности — с данными Lin & Pao для следа за буксируемым телом в линейно стратифицированной среде [9].
В работе Даниленко [57] разработана модифицированная (e—£)-модель турбулентности с поправкой на анизотропию течения в стратифицированной среде. В эту модель включены, кроме дифференциальных уравнений для энергии турбулентности e и скорости диссипации £, уравнения переноса вертикальной компоненты вектора турбулентных потоков (w'p'} и дисперсии флуктуаций плотности (р/2 ), уточняющие вертикальную турбулентную диффузию. Проведена серия численных экспериментов, в которых варьировались параметр, регулирующий степень анизотропии нормальных напряжений Рейнольдса, и начальная степень перемешивания жидкости в следе в линейно стратифицированной среде. Получено удовлетворительное согласие с экспериментальными и расчетными данными из работы [9] по поведению размеров следа.
Численному моделированию безымпульсных турбулентных следов за шарообразными телами в стратифицированной среде посвящена также работа Глушко, Гумилевского, Полежаева [58]. Предлагаемая модель турбулентного следа основывается на уравнениях Рейнольдса в приближении пограничного слоя, замкнутых с помощью (e — £)-модели турбулентности с привлечением для коэффициентов турбулентной вязкости и диффузии формул, аналогичных предложенным в [9]. Авторы [58] провели оценку роли начальной закрутки при эволюции безымпульсного турбулентного следа в линейно стратифицированной среде.
Из анализа перечисленных работ следует, что значительная часть используемых в них моделей турбулентных следов основывается на дифференциальных уравнениях переноса моментов второго порядка вида (0.4), (0.8), (0.9) или идее их локально-равновесного усечения. В то же время в этих работах экспериментальные данные Lin & Pao [8, 9] воспроизводятся лишь в части описания линейных размеров, осевых значений энергии турбулентности (или одного из нормальных напряжений Рейнольдса [55]) и дефекта продольной составляющей осредненной скорости. При этом за рамками исследований остается проблема анизотропного вырождения турбулентности в дальнем следе, представляющая интерес в связи с изучением турбулентной диффузии в устойчиво стратифицированной среде. Не проводилось численное моделирование турбулентных следов в случае нелинейной стратификации. Рассмотрению этих и других вопросов посвящены работы [59-64], являющиеся логическим продолжением исследований [42-44], выполненных с применением схематизированной плоской модели.
Для описания течения в дальнем безымпульсном турбулентном следе за телом вращения в стратифицированной среде в [59-64] привлекается параболизованная система осред-ненных уравнений движения, неразрывности и несжимаемости в приближении дальнего следа, полученная из (0.1)-(0.3):
(2.1)
тт dV flV 3V
U+ V— + W— dx dy dz
rr dW T,dW T dW U^ — + V—- + W-
1
Po dy
| <«'2>- I^
dx
дУ
dz
1 d(pi) д , , d (pi)
--Ъ--7T(vw) - 7T(w > - g-:
Po dz dy dz po
TT d Ы , T ^ Ы , wd(Pi^ WdPs d/ / /\ d/ / /\
U^^--+ V—--+ W—--+ W— = — ^-(v P ) - T-(w p );
dx dy dz dz dy dz
dv + dW
dy dz
0.
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Здесь Ud = U^ — U — дефект продольной компоненты скорости, U^ = const — скорость набегающего потока. Уравнения (2.1)-(2.5) записаны с учетом следующих упрощающих гипотез: в правых частях (2.1)-(2.4) опущены в силу малости слагаемые, содержащие производную по переменной x, а также сомножители в виде коэффициента ламинарной вязкости или диффузии. Так же, как ив [9], в (2.5) в предположении малости отброшено слагаемое dU/dx. Правомерность использования "двумерного" уравнения несжимаемости (3.5) обоснована результатами детальных численных экспериментов [65, 66] и физическими соображениями [4, 5].
Система уравнений (2.1)-(2.5) незамкнута. Четыре модели турбулентности, каждая из которых вместе с уравнениями (2.1 )-(2.5) образует замкнутую модель безымпульсного турбулентного следа (для наглядности одна из них приводится ниже полностью), рассмотрены в [61]. В модели 1 интересующие нас компоненты тензора рейнольдсовых напряжений аппроксимировались соотношениями (0.12), компоненты вектора турбулентных потоков и дисперсия турбулентных флуктуаций поля плотности — локально-равновесными соотношениями (0.16), (0.17). Эти выражения упрощаются (по аналогии с [9]) с учетом физических особенностей рассматриваемого течения — спутного струйного турбулентного течения в поле силы тяжести на больших расстояниях от тела — и представляются в следующем виде:
,/Л 1 — -2 e(v/2) dUd 3Ud (u v ) =---— = Ky
Ci
dy
dy
(u/w/)
/-, ч , /2\ (1 — c3)(1 — C2T) g e2 / /
(1 — C2)e(w )----— — (w p )
CiT
Po e2
dUd
-ie ( 1 _ (1 — c3) ^ d_W\ i CiCiT Po e2 dz J
2 e,./ л d(P)
dz
K
dUd
dz
(P/2) =---(w/P/)
cT e
dz
1 e
—(u/P/)=— e
CiT e
(u/w/) + (1 — -2T )(w/P/) __Z
— (w/P/)
— (VP/) = - e (v/2)
CiT e dy e(w/2)
K
d(P) РУ dy
d (P)
-ite( 1 21 — C2t^e^djpa dz it -it-t Po e2 dz у
K
djP) dz
(2.6)
(2.7)
(2.8) (2.9)
(2.10) (2.11)
Для определения значений энергии турбулентности е, скорости диссипации е и касательного напряжения (м^и'з) = привлекаются дифференциальные уравнения переноса
вида (0.14), (0.10) и (0.4), в которых коэффициенты турбулентной вязкости определялись в согласии с (2.6), (2.7). Использование представлений (2.6), (2.7), (2.10), (2.11) в градиентной форме записи позволяет привести уравнения переноса (2.1) и (2.4) к диффузионному виду. В уравнениях и соотношениях (2.1)—(2.11) эмпирические постоянные с1, с2, сз, с1т, с2т, ст, се1, се2, с8, а равны соответственно 2.2, 0.55, 0.55, 3.2, 0.5, 1.25, 1.45, 1.90, 0.25, 1.3 [25].
Иерархия моделей работы [61] включает также следующие модели турбулентности. Модель 2 аналогична используемой в [9] (разница в отсутствии в уравнении движения (2.1) величины д (р1)/дх). Ее основное отличие от модели 1 заключается в использовании для определения компонент тензора рейнольдсовых напряжений вместо "изотропных" соотношений (0.12) локально-равновесного приближения (0.11). Следует заметить, что соотношения (0.12) представляются более предпочтительными в связи с тем, что в безымпульсных следах в однородной жидкости на расстояниях порядка 100 и более достаточно точно выполняется соотношение (иг2) = 2/3е (см., например, [5]). В модель 3 включены дифференциальные уравнения переноса величин (иг2) (г = 1, 2, 3), (■и'эд'), аналогичные (0.4), с аппроксимацией основных слагаемых в правых частях в виде (0.5)-(0.7), причем для диффузионных слагаемых используются упрощенные представления:
Величины (uV), (uW), (uip'), (р/2) вычисляются из соотношений (2.6)-(2.11). Наконец, отличие модели 4 от модели 3 состоит в отказе от локально-равновесного приближения для определения турбулентных потоков (0.16) и привлечении вместо них неравновесных алгебраических аппроксимаций вида (0.15).
При численном решении задачи переменная x в дифференциальных уравнениях моделей играет роль времени: t = x/Uœ. В качестве начальных данных на расстоянии x = Хо от тела задается автомодельное решение задачи, соответствующее однородной жидкости и согласующееся с экспериментальными данными Lin & Pao [8, 9]. При r ^ то ставятся условия невозмущенного потока. В основе алгоритма расчета лежит использование переменных функция тока — завихренность, неравномерных ортогональных конечно-разностных сеток и методов расщепления по пространственным переменным. Его подробное изложение и результаты тестирования можно найти в [59-61]. Отметим лишь, что поскольку рассматривается безымпульсное спутное турбулентное течение, одним из важных пунктов алгоритма является строгое выполнение закона сохранения суммарного избыточного импульса
Из анализа результатов расчетов следует, что построенные в [61] математические модели турбулентных следов удовлетворительно описывают экспериментальные данные Lin & Pao [8] по всем измеренным в опытах характеристикам (некоторые результаты показаны на рис. 1-4). Привлечение неравновесных аппроксимаций (0.15) для величин (uip') не приводит к существенным изменениям в результатах расчетов, это относится и к варьированию (в соответствии с рекомендациями [34]) значения эмпирической постоянной с3, регулирующей вклад слагаемых с порождением за счет силы тяжести.
Расчеты [61] продемонстрировали (вслед за [38, 41, 43], где продольная компонента скорости не учитывалась) слабую зависимость характеристик внутренних волн в линейно
д е. , д )
(2.12)
Рис. 1. Изменение интенсивности турбулентных флуктуаций горизонтальной компоненты
скорости на оси турбулентного следа; и'0 = Ег3/2(и'2(Ь, 0, 0))*, (Ьо = 2/Ег).
Рис. 2. Изменение интенсивности турбулентных флуктуаций вертикальной компоненты
скорости на оси турбулентного следа, -—'0 = Ег3/2 (-'2(Ь, 0, 0))*.
Рис. 3. Изменение в зависимости от расстояния от тела вертикального размера следа; #2 = 2И2/В(свЕг)1/4, Н2 : е(Ь, 0, Н2) = 0.01е(Ь, 0, 0), Ь = х/иж.
Рис. 4. Изменение интенсивности турбулентных флуктуаций плотности на оси следа; ^с = лДр'2^ 0, 0))/а£роЕг1/4.
стратифицированной среде от модели турбулентности. Как и в случае использования схематизированной плоской модели [38, 39], получено расщепление течения в дальнем следе в линейно стратифицированной среде на волновой и диффузионный процессы.
Достаточно хорошо известным [4, 5] свойством безымпульсных турбулентных следов в однородной жидкости является существенно более быстрое вырождение дефекта продольной компоненты скорости и^ в сравнении с интенсивностью турбулентных флуктуаций л/ё. В связи с этим представляет интерес математическая модель безымпульсного
турбулентного следа, в которой Ud = 0. Приемлемость данного упрощения показана в [61], и, таким образом, численно обоснована применимость схематизированной плоской модели безымпульсных турбулентных следов в линейно стратифицированной среде.
Модели с усовершенствованными аппроксимациями тройных корреляций поля скорости. Детальный анализ полученных в [61] данных показывает, что изменение линейных размеров следа точнее описывают модели 1, 2 с алгебраическими аппроксимациями напряжений Рейнольдса; лучшие результаты в описании вырождения интенсивностей турбулентных флуктуаций компонент скорости дает модель 3 с дифференциальными уравнениями переноса нормальных рейнольдсовых напряжений и упрощенными неравновесными представлениями касательных напряжений (u'v'), (u'w'). Разработке моделей турбулентных следов в устойчиво стратифицированной среде, соединяющих в себе положительные свойства моделей 1-4, посвящены работы [62-64]. В них для более детального описания анизотропного вырождения турбулентности в дальнем следе используются подходы, предложенные в [30, 67, 68] для задач атмосферного пограничного слоя. В основе подходов лежит привлечение усовершенствованных представлений тройных корреляций поля скорости, аппроксимирующих диффузионные слагаемые в уравнениях переноса напряжений Рейнольдса (0.4). В качестве исходной модели в [62-64] привлекалась содержащая эти уравнения модель 3 работы [61] (ее краткое описание приведено выше).
В работе [62] вместо аппроксимации Daly, Harlow (0.5) используется выражение
. . . , (UiUiUj)
(UUiuj) =-У i 3/2Я. . , Л = 8l3 + Sis + j (2.13)
j 1 _ dip) cscse Po £2 dz
В этой модели (модель 5 на рис. 5, 6) применялись также усовершенствованные с учетом (2.13) представления коэффициентов турбулентной вязкости в уравнении переноса скорости диссипации (0.10) (по аналогии с [68, 69], в которых рассматривались задачи с одним — вертикальным — диффузионным направлением):
K = с^_e(v'2)_ K = Cs_e(w'2)_
= a! i 2 ge2 d(p) \ ' ^ = a! i 4 g e2 3{p) \ '
£ 1 СзОзв Ро в2 дг ) V1 сзОзв ро в2 дг )
В [63] использовались следующие аппроксимации (модель 6 на рис. 5, 6):
«и'ги))0 - (и'ги'3р') (и[ иг и)) =-Л С3дР°е2д{Р)-' Л = ^ + ^з + ^-3, (2.14)
СзОзв Ро в2 дг
где тройные корреляции (и'ги)р') вычислялись стандартным образом [70]:
е Л. .'..м д(иг Р') , .. Щ Р')
-(uiujр') = cs<p^ (^Щ+ (u'kui)- дхк
e Л 'м d(u'tp') ,'Л d(uj р') \
В [63, 64] разработана модель (модель 7 на рис. 5, 6), в которой для более детального описания вертикальной турбулентной диффузии в уравнении переноса (^,2) привлекается дифференциальное уравнение переноса величины (^,3) [30, 67, 68]:
тт д(w'3> Я(w'3> 8(w'3>
\ + V \ + W-
дх
дУ
dz
д п д
C3332 — TTC3333 —
dy dz
J, , Л d К)
—3 < (v w )-
дУ
+<w>
dz
/2>
о 9 / '2 '\
— 3—(w 2p ) Po
031
(w'3 >£
(2.15)
e
Рис. 5. Изменение горизонтального Hi и вертикального H2 размеров следа в плоскости, ортогональной направлению движения тела (Hi и H2 определялись из соотношений e(t,Hi, 0) = 0.01e(t, 0, 0), e(t, 0, H2) = 0.01e(t, 0,0); Hi = 2Hi/D(cdFr)i/4, H2 = 2H2/D(cdFr)i/4, cd = 0.22).
Рис. 6. Изменение во времени осевых значений интенсивности турбулентных флуктуаций
1 /2
продольной и и вертикальной го компонент скорости: и = ^Ег3/2(и,2(£, 0,0))/Ц^ , го = (Рг3/2(г,2(£, 0, 0))/Цо)1/2, ¿о = 2/Ет.
где С3332, С3333 — кумулянты четвертого порядка [30]:
С3332 = (и'3^'> - 3(и'2>(иУ> « -
е(у >
д (и)'3}
С4
1__^дЩ ду
0404в Ро е2 дг )
С
3333
и'4) - 33(и ) = -
4
е(и'2>
д (и'3>
С4
е 1-
4
д е
2 д(р>\ дг
С4С40 Ро е2
дг )
Остальные тройные корреляции определяются алгебраическими соотношениями (2.14).
Использованные в моделях 5-7 усовершенствованные представления тройных корреляций поля скорости приводят к существенным улучшениям в описании размеров турбулентного следа в сравнении с исходной моделью 3 (линия 1 на рис. 5,6). Лучшее согласие с экспериментальными данными [8] по анизотропному вырождению нормальных напряжений Рейнольдса получено на основе модели 7 с дифференциальным уравнением (2.15) переноса величины (и'3>.
В ходе работы над настоящим обзором автором была рассмотрена алгебраическая модель тройных корреляций, полученная из модели 7 в результате локально-равновесного усечения уравнения переноса (2.15) с учетом особенностей спутного течения (по аналогии с [68], где обоснованность подобной процедуры была проверена детальным анализом статей баланса исходного дифференциального уравнения при моделировании эволюции планетарного пограничного слоя). В результате в модели 8 используется следующее представление тройной корреляции (и'3>:
-(и'3> = — е
С3гш е
и'2>д(и'2> д /и.'2 Р
дг
'2 '
--(и Р>
Ро
где
-(и/у > = 2с е (и'2>д (иир >
дг
Остальные тройные корреляции поля скорости, как и в моделях 6, 7, аппроксимируются соотношениями (2.14). Расчеты показали, что модель 8 дает лучшее согласование с экспериментальными данными [8] в описании поведения вертикального размера следа, при этом остальные характеристики близки к рассчитанным по модели 7. Таким образом, численные расчеты продемонстрировали хорошие свойства моделей турбулентных следов, основанных на идее выделения вертикального направления при полуэмпирическом моделировании моментов третьего порядка
1
е
2.2. Нелинейная стратификация
Численная модель динамики дальнего безымпульсного турбулентного следа в пикноклине представлена в [59]. Для описания течения привлекается система осредненных уравнений движения, неразрывности и несжимаемости в приближении Обербека — Буссинеска (2.1)-(2.5), в которой одноточечные корреляционные моменты второго порядка аппроксимируются алгебраическими соотношениями, аналогичными описанным в модели 1. Отличие состоит в использовании для коэффициентов турбулентной вязкости вместо (2.6), (3.7) представлений, следующих из (2.12). Выполнен анализ волновой картины течения, в частности, показано формирование в пикноклине близких к стационарным уединенных
внутренних волн. Получено более интенсивное, чем в случае линейного распределения плотности по глубине, горизонтальное растекание турбулентного следа в пикноклине (иллюстрирующие турбулентный след изолинии энергии турбулентности, нормированные на свои максимальные значения, приведены на рис. 7; поведение размеров следа показано на рис. 8). Эти данные согласуются с вытекающими, в частности, из экспериментов [18] представлениями о распространении следов в виде языков вдоль горизонтальных прослоек с большими градиентами плотности.
В [59] проведен численный анализ и показана применимость схематизированной плоской модели безымпульсного турбулентного следа в пикноклине (когда в исходной модели полагается Ц = 0). В ходе численных экспериментов установлено расщепление течения на волновой и диффузионный процессы (по аналогии с линейной стратификацией). Момент расщепления в случае пикноклина наступает существенно позже, чем в линейно стратифицированной среде, что объясняется наличием весьма продолжительного слабого взаимодействия турбулентности и генерируемых следом внутренних волн. Это позволяет делать расчеты более экономичными, привлекая на больших расстояниях от тела для численного моделирования характеристик внутренних волн уравнения Эйлера в приближении Обербека — Буссинеска, а для описания характеристик собственно турбулентного следа — диффузионную модель (в качестве начальных данных используются результаты расчетов задачи в полной постановке).
0 1 2 3 4 5 6 у* 0 123 45 6 у*
Рис. 7. Изолинии энергии турбулентности e/em(t) = const, иллюстрирующие турбулентный след
в случае пикноклина (слева) и линейной стратификации (справа) при t/T = 5. Изолинии 1-10
представлены уровнями 0,01; 0.1 и далее до 0.9 с шагом 0.1; значком о помечен узел сетки, в
котором достигается максимум em(t) = maxe(t,yi,Zj).
Vi Zj
Рис. 8. Изменение характерных горизонтального L*y = H\/D и вертикального L* : меров турбулентного следа: сплошные кривые отвечают пикноклину, штриховые стратификации; t* = t/T.
= H2/D раз; — линейной
3. Численные модели внутренних волн, генерируемых турбулентным следом
Анализ волновой картины течения, генерируемого при эволюции турбулентного следа в устойчиво стратифицированной среде, осуществлен в работах [6, 59, 60, 66, 71]. Для описания течения привлекается математическая модель, основанная на алгебраических аппроксимациях моментов второго порядка (аналогичная описанной выше модели 1). В [60] рассмотрен случай линейной стратификации. Показано, в частности, что рассчитанная фазовая картина внутренних волн достаточно хорошо согласуется с полученной в лабораторном эксперименте [12], а также с решением [72] линеаризованной задачи о динамике внутренних волн, индуцируемых мгновенным точечным источником возмущений поля плотности, помещенным в начало координат.
Анализ волновой картины течения в случае нелинейной стратификации среды [59] указывает на существенное различие в динамике конвективных вихрей в пикноклине и линейной стратификации: линейной стратификации присущ процесс дробления вихрей и образования вихрей противоположной направленности [1, 2, 38]; в рассмотренном "узком" (в сравнении с начальным размером следа) пикноклине в каждом квадранте плоскости (у, х) формируется единственный вихрь, который на больших расстояниях от тела становится практически стационарным. При этом образуются близкие к стационарным уединенные внутренние волны, скорость и амплитуда которых удовлетворяют известному соотношению Бенжамина [73].
Сопоставление параметров внутренних волн, индуцируемых турбулентными следами за буксируемым и самодвижущимся телами в устойчиво стратифицированных средах, осуществлено в [6, 66, 71]. Рассмотрены варианты линейного [6, 66] и нелинейного [6, 71] распределений плотности невозмущенной жидкости по глубине. Показана генерация турбулентным следом за буксируемым телом внутренних волн существенно большей амплитуды, чем в случае самодвижущегося тела (полученная в расчетах картина внутренних волн иллюстрируется на рис. 9 динамикой во времени линий равной плотности).
Рис. 9. Динамика линий р0 — (р) = р0 — ps(0.1D): а — ps = р0(1 — az); б — ps = р0(1 — aß tanh(z/ß)), ß = 0.15D. Кривые 1 — 8 соответствуют моментам времени t/T = 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8; сплошные линии — самодвижущееся тело, штриховые — буксируемое тело; y* = y/D, z* = z/D.
Объяснение этого факта связано с существенными различиями в эволюции осесиммет-ричных турбулентных следов за буксируемыми и самодвижущимися телами, наблюдаемыми в однородной жидкости. Так, автомодельный след за буксируемым телом характеризуется законами вырождения е(ж, 0, 0) ~ ж-4/3, 0,0) ~ ж-2/3, /(ж) ~ ж1/3 (/(ж) — характерный размер следа). Для автомодельного следа за самодвижущимся телом имеем е(ж, 0, 0) ~ ж-1'5, Ud(x, 0,0) ~ ж-1'5, /(ж) ~ ж1/4. Такое различие в поведении характеристик следов обусловлено их существенно разной структурой. В следе за буксируемым телом порождение энергии турбулентности за счет градиентов осредненного течения играет важную роль; в безымпульсном следе уже на расстояниях около 10D реализуется практически бессдвиговый режим течения [4, 5]. Поскольку на начальном этапе турбулентный след в стратифицированной среде развивается как в однородной жидкости, то в этом случае турбулентность в следе за буксируемым телом приводит к перемешиванию большей массы жидкости. Воздействие силы тяжести вызывает при этом генерацию внутренних волн большей амплитуды, чем в следе за самодвижущимся телом. Расчеты проводились с использованием двух существенно различающихся численных алгоритмов, основанных на методах расщепления по пространственным переменным, с одной стороны, и методе расщепления по физическим процессам с привлечением "трехмерного" уравнения несжимаемости — с другой, что подтверждает достоверность полученных результатов.
Заключение
Анализ цитированной литературы показывает, что к настоящему времени разработаны численные модели динамики безымпульсных турбулентных следов и генерируемых ими внутренних волн в устойчиво стратифицированной среде, позволяющие дать удовлетворительное описание анизотропного вырождения турбулентности в дальнем следе. Дальнейшее совершенствование численных моделей, по-видимому, потребует привлечения более детальной экспериментальной информации.
Автор выражает признательность д.ф.-м.н., профессору Г.Г. Черных за полезные обсуждения и предоставленные материалы.
Список литературы
[1] Vasiliev O.F., KuzNETsov B.G., Lytkin Y.M., Chernykh G.G. Development of the turbulized fluid region in stratified medium // Intern. Symp. on Stratified Flows. Paper 4. Novosibirsk. 1972. 14 p.
[2] Васильев О.Ф., Кузнецов Б.Г., Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Развитие области турбулизованной жидкости в стратифицированной среде // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 3. C. 45-52.
[3] Merrit C.E. Wake growth in stratified flow // AIAA J. 1974. Vol. 12, N 7. P. 940-949.
[4] Naudascher E. Flow in the wake of self-propelled bodies and related sources of turbulence //J. Fluid Mech. 1965. Vol. 22, N 4. P. 625-656.
[5] Алексенко Н.В., КостомАхА В.А. Экспериментальное исследование осесиммет-ричного безымпульсного турбулентного струйного течения // ПМТФ. 1987. № 1. С. 65-69.
[6] Воропаева О.Ф., Мошкин Н.П., ЧЕРНЫХ Г.Г. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами в устойчиво стратифицированной среде // Докл. РАН. 2003. Т. 12. № 10. С. 190-194.
[7] SCHOOLEY A.H., STEWART R.W. Experiments with a self-propelled body submerged in a fluid with vertical density gradient // J. Fluid Mech. 1963. Vol. 15, Pt 1. P. 83-96.
[8] LIN J.T., PAO Y.H. Wakes in stratified fluids // Annu. Rev. Fluid Mech. 1979. Vol. 11. P. 317-336.
[9] HASSID S. Collapse of turbulent wakes in stable stratified media //J. Hydronautics. 1980. Vol. 14, N 1. P. 25-32.
[10] BROWAND F.K., GuYOMAR D., YOON S.-C. The behavior of a turbulent front in a stratified fluid: experiments with an oscillating grid //J. Geoph. Res. 1987. Vol. 92, N C5. P. 5329-5341.
[11] VOISIN B. Rayonnement des ondes internes de gravite. Application aux corps en mouvement. Ph. D. Thesis, Univ. Pierre et Marie Curie, 1991.
[12] CHASHECHKIN Yu.D. Internal waves, vortices and turbulence in a wake past a bluff body in a continuously stratified liquid // Preprints of the Fourth Intern. Symp. on Stratified Flows, Grenoble Inst. of Mech., June 29-July 2, 1994 / Ed. by E. Hopfinger, B. Voisin and G. Chavand. Grenoble: Grenoble Inst. of Mech. 1994. Vol. 2, sess. B4. N 29. 8 p.
[13] GILREATH H.E., BRANDT A. Experiments on the generation of internal waves in a stratified fluid // AIAA P. 1983. Vol. 1704. 12 p.
[14] VOROPAEV S.I., McEachern G.B., FERNANDO H.J.S., BOYER D.L. Large vortex structures behind a maneuvering body in stratified fluids // Phys. Fluids. 1999. Vol. 11, N 6. P. 1682-1684.
[15] SCHOOLEY A.H. Wake collapse in a stratified fluid // Science. 1967. Vol. 157. P. 421.
[16] ТРОХАН А.М., ЧАШЕЧКИН Ю.Д. Генерация внутренних волн в стратифицированной жидкости гидродинамически линейным источником (двумерная задача) // Теория дифракции и распространения волн: Краткие тексты докл. VII Всесоюз. симп. по дифракции и распространению волн. Ростов н/Д., 1977. Т. 3. С. 186-189.
[17] KAO T.W., PAO H.P. Wake collapse in the thermocline and internal solitary waves // J. Fluid. Mech. 1980. Vol. 97, N 1. P. 115-127.
[18] Попов В.А. Развитие области частично перемешанной жидкости в тонкослоистой среде // Изв. АН СССР. ФАО. 1986. Т. 22, № 4. С. 389-394.
[19] СтЕПАНЯНЦ Ю.А., СтуровА И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. Механика жидкости и газа. 1987. Т. 21. С. 93-179.
[20] Зудин А.Н. Численное моделирование динамики локального возмущения поля плотности в стратифицированной среде: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2001. 115 с.
[21] Wu J. Mixed region collapse with internal waves generation in a density stratified medium // J. Fluid Mech. 1969. Vol. 35, N 3. P. 531-544.
[22] MAXWORTHY T. On the formation of nonlinear internal waves from the gravitational collapse of mixed region in two and three dimensions //J. Fluid Mech. 1980. Vol. 96, N 1. P. 47-64.
[23] МАДЕРИЧ В.С., Кулик А.И. Лабораторный эксперимент по растеканию интрузий в слоистой среде // Изв. АН СССР. ФАО. 1992. Т. 28. С. 1197-1203.
[24] Зудин А.Н., ЧЕРНЫХ Г.Г. Примеры расчета нестационарных стратифицированных течений с применением эйлерово-лагранжевой системы координат. Новосибирск, 1985. (Препр. ИТПМ СО АН СССР). 50 с.
[25] МЕТОДЫ расчета турбулентных течений. М.: Мир, 1984. 463 с.
[26] RODI W. Examples of calculation methods for flow and mixing in stratified fluids //J. Geophys. Res. 1987. Vol. 92, N C5. P. 5305-5328.
[27] КУРБАЦКИЙ А.Ф. Моделирование нелокального переноса турбулентного импульса и тепла. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 240 с.
[28] LAUNDER B.E. Second-moment closure: present and future? Review // Intern. J. Heat and Fluid Flow. 1989. Vol. 10, N 4. P. 282-300.
[29] ОНУФРИЕВ А.Т. Описание турбулентного переноса. Неравновесные модели: Учеб. пособие. М.: МФТИ, 1995. 172 с.
[30] ILYUSHIN B.B. Higher-moment diffusion in stable stratification. Closure strategies for turbulent and transition flows / Eds B.E. Launder, N.D. Sandham. Cambridge. Univ. Press, 2002. P. 424-448.
[31] МОНИН А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. СПб.: Гидрометеоиздат, 1992. Ч. 1.
[32] LAuNDER B.E. On the effect of a gravitational field on the turbulent transport of heat and momentum //J. Fluid Mech. 1975. Vol. 67. P. 569-581.
[33] Daly B.J., HARLOW F.H. Transport equations of turbulence // J. Phys. Fluids. 1970. Vol. 13. P. 2634-2649.
[34] GIBSON M.M., LAUNDER B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer //J. Fluid Mech. 1978. Vol. 86. P. 491-511.
[35] ЛЕВЕЛЛЕН В. Метод инвариантного моделирования // Турбулентность: принципы и применения. М.: Мир, 1980. С. 262-310.
[36] GIBSON M.M., Launder B.E. On the calculation of the horizontal, turbulent, free shear flows under gravitational influence //J. Heat Transfer. Trans. ASME. 1976. N 98C. P. 81-87.
[37] Vasiliev O.F., KuzNETsov B.G., Lytkin Y.M., Chernykh G.G. Development of the turbulent mixed region in a stratified medium // Intern. Seminar Turbulent Buoyant Convection. Yugoslavia, Dubrovnic, 1976. P. 123-136.
[38] Лыткин Ю.М., Черных Г.Г. Подобие течения по плотностному числу Фруда и баланс энергии при эволюции зоны турбулентного смешения в стратифицированной среде // Мат. проблемы механики сплошных сред: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики, 1980. Вып. 47. С. 70-89.
[39] Lytkin Y.M., Chernykh G.G., Sturova I.V. Numerical simulation of internal waves induced by the collapse of turbulent mixed region in stratified medium // Proc. of Intern. Symp. on Refined Modelling of Flows, 7-10 Sept. 1982. Paris, 1982. P. 671-679.
[40] Черных Г.Г. О применении диффузионной модели к расчету характеристик турбулентности для больших значений времени в задаче об эволюции зоны турбулентного смешения в линейно стратифицированной среде // Числ. методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ, ИТПМ. 1986. Т. 17, № 1. С. 130-143.
[41] Черных Г.Г. Численный анализ применимости некоторых математических моделей к описанию эволюции турбулентных образований в линейно-стратифицированной среде // Числ. методы механики сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ, ИТПМ. 1987. Т. 18, № 1. С. 134-145.
[42] Chernykh G.G., Vilippova O.F., Zudin A.N. Evolution of local density perturburation in stratified medium: results of numerical experiments // Proc. I Soviet Union-Japan Symp. on Computational Fluid Dynamics, Khabarovsk, Sept. 1988. M.: Computer Center of USSR Acad. of Sci., 1989. Vol. 1. P. 128-133.
[43] Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. О численном моделировании динамики областей турбулизованной жидкости в стратифицированной среде // Вычисл. технологии: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т вычисл. технологий. 1992. Т. 1, вып. 1. С. 93-104.
[44] Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Эволюция зоны турбулентного смешения в жидкости с нелинейной стратификацией // Моделирование в механике: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ, ИТПМ. 1989. Т. 3(20), № 5. С. 3-29.
[45] ЯнЕнко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. 195 с.
[46] Скурин Л.И. Квазиодномерная модель эволюции в стратифицированной среде турбулентной области следа за телом // Изв. АН СССР. ФАО. 1986. Т. 22, № 4. C. 373-379.
[47] Воропаева О.Ф., Чашечкин Ю.Д., Черных Г.Г. Диффузия пассивной примеси от локализованного источника в зоне турбулентного смешения // Вычисл. технологии. 1996. Т. 1, № 1. С. 38-47.
[48] Воропаева О.Ф., Чашечкин Ю.Д., Черных Г.Г. Диффузия пассивной примеси от мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения // Докл. РАН. 1997. Т. 356, № 6. С. 759-762.
[49] Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Распространение пассивной примеси от мгновенного локализованного источника в зоне турбулентного смешения в пикноклине / / ПМТФ. 1998. Т. 39, № 4. С. 76-83.
[50] Зацепин А.Г., Федоров К.Н. Об условиях формирования тонкой структуры в океане путем коллапса перемешанных пятен // Докл. АН CCCP. 1980. Т. 252, № 4. С. 989-992.
[51] Онуфриев А.Т. Турбулентный след в стратифицированной среде // ПМТФ. 1970. № 5. С. 68-72.
[52] Levellen W.S., Teske M.E., Donaldson C.D. Examples of variable density flows computed by second-order closure description of turbulence // AIAA J. 1976. Vol. 14. P. 382-387.
[53] Шец Дж. Турбулентное течение. Процессы вдува и перемешивания. М.: Мир, 1984. 247 с.
[54] Мошкин Н.П., Федорова Н.Н., Черных Г.Г. О численном моделировании турбулентных следов // Вычисл. технологии: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т вычисл. технологий. 1992. Т. 1, № 1. С. 70-92.
[55] Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. 520 с.
[56] Даниленко А.Ю., Костин В.И., Толстых А.И. О неявном алгоритме расчета течений однородной и неоднородной жидкости. М., 1985 (Препр. ВЦ АН СССР) 40 с.
[57] Даниленко А.Ю. Численное моделирование некоторых океанологических задач. М., 1988. (Препр. ВЦ АН СССР). 40 с.
[58] Глушко Г.С., ГумилЕвский А.Г., Полежаев В.И. Эволюция турбулентных следов за шарообразными телами в устойчиво стратифицированных средах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1994. № 1. C. 13-22.
[59] Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Численная модель динамики безымпульсного турбулентного следа в пикноклине // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 3. С. 69-86.
[60] Воропаева О.Ф., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые безымпульсным турбулентным следом в линейно стратифицированной среде // Мат. моделирование. 1998. Т. 10, № 6. С. 75-89.
[61] Chernykh G.G., Voropayeva O.F. Numerical modeling of momentumless turbulent wake dynamics in a linearly stratified medium // Computers and Fluids. 1999. Vol. 28, N 3. P. 281-306.
[62] Воропаева О.Ф., Илюшин Б.Б., Черных Г.Г. Численное моделирование дальнего безымпульсного турбулентного следа в линейно стратифицированной среде с применением модифицированного уравнения переноса скорости диссипации // Теплофизика и аэромеханика. 2003. Т. 10, № 3. С. 389-400.
[63] Воропаева О.Ф., Илюшин Б.Б., Черных Г.Г. Анизотропное вырождение турбулентности в дальнем безымпульсном следе в линейно стратифицированной среде // Мат. моделирование. 2003. Т. 15, № 1. С. 101-110.
[64] Воропаева О.Ф., Илюшин Б.Б., Черных Г.Г. Численное моделирование дальнего безымпульсного турбулентного следа в линейно стратифицированной среде // Докл. РАН. 2002. Т. 386, № 6. С. 756-760.
[65] Воропаева О.Ф., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Численные модели безымпульсных турбулентных следов в стратифицированной среде // Вычисл. технологии: Сб. науч. тр. / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т вычисл. технологий. 1994. Т. 1, вып. 9. С. 18-30.
[66] Воропаева О.Ф., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами за буксируемым и самодвижущимся телами в линейно стратифицированной среде // Мат. моделирование. 2000. Т. 12, № 10. С. 77-94.
[67] ILYUSHIN B.B., KURBATSKII A.F. Modeling of turbulent transport in PBL with third-order moments // Proc. Intern. Symp. Turbulent Shear Flows, 11. France. Grenoble Inst. of Mech., 1997. P. 20-19; 20-24.
[68] Илюшин Б.Б., КурбацкиЙ А.Ф. Новые модели для вычисления моментов третьего порядка в пограничном планетарном слое // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1998. Т. 34, № 6. С. 772-781.
[69] CANUTO V.M., Minotti F., Ronchi C., Ypma R.M., Zeman O. Second-order closure PBL model with new third-order moments: comparison with LES data //J. Atmos. Sci. 1994. Vol. 51, N 12. P. 1605-1618.
[70] LAUNDER B.E. Heat and mass transport. Turbulence. Chapter 6. Topics in Applied Physics / Ed. by P. Bradshow. Vol. 12. B.: Springer Verlag, 1976.
[71] Воропаева О.Ф., Зудин А.Н., Мошкин Н.П., Черных Г.Г. Внутренние волны, генерируемые турбулентными следами в устойчиво стратифицированной среде // Вы-числ. технологии. 2003. Т. 8, спецвыпуск. С. 36-48.
[72] KOH R.C.A. Transient motion induced by local disturbances in a linearly density-stratified fluid //J. Hydraulic Res. 1971. Vol. 9, N 3. P. 159-175.
[73] BENJAMIN T.B. Internal waves of permanent form in fluids of great depth //J. Fluid Mech. 1967. Vol. 29, N 3. P. 559-592.
Поступила в редакцию 24 марта 2004 г.
