Цифровое дифференцирование измеряемых сигналов с применением интегральных уравнений В. Вольтерра и его регуляризация Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

Библиографический список

1. Зааль, Р. Справочник по расчету фильтров / Рудольф Зааль ; пер. с нем. Ю. В. Камкина. — М. : Радио и связь, 1983. —

752 с.

2. Маттей, Д. Л. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи

связи. В 2 т. Т. 1 / Д. Л. Матей, Л. Янг, Е. М. Т. Джонс. — М. :

Связь, 1971. - 439 с.

3. Романова, М. П. Проектирование полосковых устройств СВЧ : учеб. пособие / М. П. Романова. — Ульяновск : УлГТУ,

2001. — 123 с.

4. Вольман, В. И. Справочник по расчету и конструированию СВЧ полосковых устройств / С. И. Бахарев, В. И. Вольман, Ю. Н. Либ. — М. : Радио и связь, 1982. — 382 с.

5. Романова, М. П. Проектирование гибридно-пленочных интегральных микросхем : учеб. пособие / М. П. Романова. — Ульяновск : УлГТУ, 2006. — 73 с.

6. Inder Bahl. Lumped Elements for RF and Microwave Circuits. Artech House, 2003. — 488 p.

БОРЕЙКО Денис Александрович, аспирант кафедры «Средства связи и информационная безопасность» Омского государственного технического университета, инженер-конструктор 1-й категории ОАО «Омский научно-исследовательский институт приборостроения».

Адрес для перписки: denbor1@mail.ru

Статья поступила в редакцию 30.01.2013 г.

© Д. А. Борейко

УДК 519653 А. В. МАЙСТРЕНКО

А. А. СВЕТЛАКОВ Н. В. СТАРОВОЙТОВ

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

ЦИФРОВОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИЗМЕРЯЕМЫХ СИГНАЛОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В. ВОЛЬТЕРРА И ЕГО РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ______________________________

В статье предложен и исследован новый оригинальный способ цифрового дифференцирования сигналов, предназначенный для использования в реальном масштабе времени. Способ основан на применении интегральных уравнений Вольтерра I рода. Приведены некоторые результаты экспериментальных исследований, иллюстрирующие его работоспособность и пригодность для использования в системах автоматического управления реального времени.

Ключевые слова: дифференцирование, интегральное уравнение, регуляризация, матрица.

1. Введение. Бурные темпы развития современной микропроцессорной техники открывают широкие возможности для разработки новых и совершенствования существующих алгоритмов решения прикладных задач в реальном времени. Наглядным примером подобных задач может служить задача цифрового дифференцирования сигналов (ЦДС), измеряемых в реальном времени. С данной задачей приходится сталкиваться в отраслях науки и техники, связанных с математическим моделированием динамических процессов и объектов, описываемых дифференциальными уравнениями, с автоматизацией управления и регулирования данными процессами и др.

Особенность обсуждаемой задачи ЦДС состоит в том, что она относится к классу некорректных задач [1]. Данная особенность и актуальность задачи ЦДС стимулируют проведение дальнейших исследо-

ваний с целью создания таких методов и алгоритмов её решения, которые позволяли бы получать достаточно точные и робастные оценки их производных и были бы доступными для реализации современными средствами микропроцессорной техники.

В данной работе рассматривается один из методов ЦДС в реальном масштабе времени, основанный на использовании интегральных уравнений В. Вольтерра I рода [2], и оригинальный способ его регуляризации, позволяющий существенно повысить устойчивость вычисляемой производной сигнала к ошибкам его задания. Робастность и эффективность предлагаемого способа ЦДС и его регуляризации иллюстрируются результатами численного моделирования.

2. Постановка задачи ЦДС в реальном масштабе времени и укрупненная классификация методов её решения. Математическую постановку задачи ЦДС составляют следующие пять положений.

1. Интересующий нас по каким-либо причинам сигнал 5 является некоторой функцией в времени t, удовлетворяющей равенству

(2.1)

и эта функция является непрерывной и хотя бы один раз дифференцируемой.

2. Измерения сигнала 5 осуществляются в дискретные и равноотстоящие моменты времени tk, связанные рекуррентным соотношением вида

tk =^ к = 1, 2, 3, ..., (2.2)

в моменты времени т, а т — переменная интегрирования.

Полагая в данном уравнении л=1 и учитывая при этом равенства, 0! = 1 и (—т)0= 1, можно видеть, что для производной первого порядка p(t) сигнала s(t) уравнение (3.1) имеет следующий вид:

Юр(т)Л = в^). (3-2)

Дифференцируя обе части данного уравнения по t, получим равенство:

р(^=йв/М, (3.3)

где Дt — некоторый постоянный интервал времени ^ а t0=0.

3. Измеренные значения ~к = ~^к) сигнала 5 удовлетворяют следующим равенствам:

~к = вк +ек, к = 0, 1, 2, 3, ... (2.3)

4. Ошибки измерения ек являются значениями случайных величин ек, к = 0, 1, 2, 3, ..., удовлетворяющих условиям вида

а) М{ек}=0; б) ;

и в) М{ек Ек_1} =0,

(2.4)

где М{ек} и Б{е2к} — математическое ожидание и дисперсия случайной величины ек, соответственно а М{ек ек-1} — ковариация случайных величин ек и ек-1; — некоторое ограниченное число.

5. В каждый момент времени гк у нас имеются т измеренных значений

к-т+1' к -т+2'

-і ^к'

(2.5)

(2.6)

которое является определением производной p(t) сигнала и доказывает адекватность описания свя-

зи между ними с помощью уравнения (3.1).

Очевидно, что в поставленных выше условиях можно вести речь о решении интегрального уравнения (3.2) только численными методами, заменяя при этом уравнение (3.2) некоторой системой линейных алгебраических уравнений, решение которой в каком либо смысле близко к его решению. Учитывая данное обстоятельство, заменим уравнение (3.2) системой линейных алгебраических уравнений, аппроксимируя интеграл суммой по методу прямоугольников. В результате получим следующую систему уравнений:

£ Р(*0 + к )Л* = ^0 + ); к = 1, п,

(3.4)

где ї0 = 0.

Для удобства и упрощения дальнейших исследований приведем получившуюся систему к более компактному векторно-матричному виду:

і

Кр

(3.5)

і

сигнала 5, полученных в моменты времени tk +1, ..., tk-1, tt. Здесь т — некоторое ограниченное натуральное число.

Сущность задачи цифрового дифференцирования сигнала 5 в реальном времени заключается в том, чтобы, используя значения (2.5), вычислить оценку рк его производной pk=ds(tk)/dt, и делать это так, чтобы имело место приближенное равенство

где р — л-мерный вектор-столбец оценок производной p(t) в моменты времени tk; к = 1, л , л — натуральное число удовлетворяющее равенству л=/Д^

К и в — матрица порядка л и л-мерный вектор-столбец измеренных значений сигнала в эти же самые моменты времени tk, определяемые следующими равенствами:

к

и это равенство выполнялось как можно точнее.

Анализ литературных источников, посвящённых различным проблемам и методам ЦДС [3], позволяет видеть, что в настоящее время имеется значительное число подобных методов, базирующихся на различных идеях и подходах к их разработке. Одним из таких методов является метод, основанный на использовании интегральных уравнений, впервые полученных и исследованных итальянским математиком Вито Вольтерра.

3. Метод решения задачи ЦДС с использованием уравнения Вольтерра. Данный метод основан на использовании связи между сигналом s(t) и его производной л-го порядка, которая адекватно описывается интегральным уравнением Вольтерра следующего вида:

10 (л 11)! V - т)л = т, (3.1)

где p(n) (т) — производная л-го порядка от сигнала 5

м м

0

0

0

м

(3.6а)

в =

(3.6б)

Как непосредственно видно из (3.6), матрица К является нижней треугольной матрицей и все её не равные нулю элементы, расположенные на главной диагонали и ниже, равны Д^ Данные особенности матрицы К предельно упрощают операцию её обращения. Воспользовавшись определением матрицы К-1, обратной к матрице К, и составив матричное уравнение КХ=Еп, где Ел — единичная порядка л матрица, а X — искомая нами обратная матрица К-1, непосредственными вычислениями нетрудно убедиться, что

(3.7)

л 1 0 .. 0 і 0

- лг-1 лг-1 .. 0 0

К-1 = 0 7 < - .. 0 0

0 . : О .. -лг-1 лг-1

і=0

и

309

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

Остановимся теперь на вычислении оценок производной сигнала 5 в соответствии с рассматриваемым нами методом и, прежде всего, заметим, что

решением уравнения (3.5) является вектор p , вычисляемый в соответствии со следующим равенством:

і і Р = К-1 ~,

(3.8)

из которого видно что, процедура дифференцирования сигнала 5 сводится к умножению матрицы -1 ~

К 1 на вектор в . Представим данное векторное равенство в покомпонентном виде, учитывая при этом равенства (3.6б) и (3.8). В результате получим следующие равенства:

Рк = (~

р1 = в1лг1, ~к-і)лг"

к = 2, п.

(3.9)

(3.10)

= р, + леглг1,

(3.12)

где Де,=е,-е—1. Во-вторых, при достаточно малых значениях Дt и конечном значении Дet второе слагаемое ДеД,-1 может оказаться чрезмерно большим, а оценка pt — не иметь ничего общего со значением pt. В-третьих, оценка pt производной pt, вычисляемая в соответствии с равенством (3.12), оказывается чрезмерно чувствительной к ошибкам задания значения сигнала 5, а задача её вычисления — некорректной задачей.

4. Регуляризация. Для устранения чрезмерной чувствительности алгоритма к ошибкам измерения et и е—1 сигнала 5, данный алгоритм необходимо ре-гуляризировать. Но осуществить данную регуляризацию нужно так, чтобы полученный в результате алгоритм не оказался значительно более сложным и труднореализуемым в реальном времени, чем регуля-ризируемый алгоритм.

Для решения рассматриваемой задачи регуляризации алгоритма можно воспользоваться многими известными в настоящее время методами, предложенными как отечественными [1], так и зарубежными математиками [4]. Рассмотрим один из методов регуляризации, впервые предложенный нами в ра-

боте [5], сущность которого составляют следующие рассуждения и действия.

Представим оценку р,, вычисленную в соответствии с рассмотренным выше алгоритмом, в следующем виде:

р, + л, = pt,

(4.1)

Анализируя данные равенства, можно заметить два факта, представляющие значительный интерес. Во-первых, компонента p1 оказывается явно неверной оценкой производной p1 сигнала 5 и не будет чрезмерно грубой оценкой в единственном случае, когда значение сигнала 5, предшествующее его значению в1, будет равно нулю. Во-вторых, равенства (3.10) являются простейшим методом ЦДС.

Рассмотрим более детально какую-либо одну из оценок pk, вычисляемых в соответствии с равенством (3.10) и заменим у них индекс к на ,, а саму оценку pk обозначим символом pt. Воспользовавшись нашим предположением (2.3), запишем равенство

pt = (5, - ^АГ1 = (-^АГ1 + (е, - вм)АГ\ (3.11)

Из данного равенства можно видеть, что во-первых, при достаточно малых значениях Д, первое слагаемое (в, - в^АГ1 оказывается достаточно точной оценкой производной pt и поэтому можно считать, что имеет место равенство:

где pt — неизвестное, истинное значение производной в момент времени t и Д, неизвестное значение ошибки оценивания значения pt с помощью оценки ^.

Подобное представление вполне адекватно отражает отмеченные в разделе 2 реальные условия, а также то, что данное равенство является уравнением относительно неизвестных нам значений pt и Д (, которое является совместным при любом значении оценки pt и при любом из них имеет множество решений. Одним из этих решений, являются неизвестные истинные значения pt и Д(.

Для удобства и сокращения последующего изложения введём в рассмотрение вектор-строку а, и 4

вектор-столбец X(, определив их следующими равенствами:

а,г = (1 г,),

і

х, = (р, л,)

(4.2)

(4.3)

где г( — некоторое, отличное от нуля число, которое далее будем называть параметром регуляризации рассматриваемого алгоритма; Т — символ операции транспонирования. Используя введённые векторы

. 4

а,г и XI, представим уравнение (4.1) в следующем более компактном виде:

• і ~ а,х, =р,.

(4.4)

Данное уравнение имеет континуум решений, одним из которых является его истинное решение, определяемое из всего этого множества решений равенством (4.4). Всюду далее будем использовать псевдорешение данного уравнения, которое обозначим

4 4

символом х,+. Для вычисления вектора X,+, наиболее целесообразно воспользоваться алгоритмом Гревил-ля [6], так как он является предельно экономичным с точки зрения вычислительных ресурсов.

4-

Легко убедиться в том, что псевдорешение Хь+ может быть вычислено в соответствии с равенством

і і і і ——

х,г + = (1 + г,2)-1 аг,рі, а, = (аг, )т

і

(4.5)

Запишем найденное решение х&- + в развёрнутом виде:

а) р = р,(1 + г,2) и б) л, = р,/(1 + гД

(4.6)

где p и Д, — оценки производной pt сигнала 5 и ошибки Д, её оценивания в момент времени ,. Обе полученные оценки являются явно заданными функциями параметра регуляризации г{ и их точность и устойчивость определяются выбором его значений. Возникает вопрос: каким образом выбирать значение г, и какими критериями при этом необходимо пользоваться?

Как известно, максимальная погрешность измерительного устройства всегда указывается в сопровождающей его документации и при этом для каждого из интервалов значений измеряемой величины, она оценивается в процентах от наибольшего по модулю значения. В нашей ситуации это означает, что нам известны максимальные значения e и s ,

tmax tmax'

удовлетворяющие соотношениям:

а) |St| < Stmax ' б) |St| < St max

и в) Stmax < 0,01g< stmax , (47)

где g — число процентов, указываемое в упомянутой выше документации. Используя приведённые выше характеристики ошибок измерения et и значения st сигнала S, можно вычислить величину

SSL = sLax / Strnax = р"10_4. (4-8)

Очевидно, что значения S;^ и 82, не равны. Однако если речь идёт об измерениях сигнала S с помощью более или менее точного измерительного, устройства, то можно считать, что имеет место приближённое равенство

S2 »smax. (4.9)

Именно это приближённое равенство и является одним из аргументов, оправдывающих замену 82 на

величину Smax .

5. Некоторые результаты экспериментальных исследований. Чтобы избавиться от необходимости учитывать составляющую погрешности оценивания производной, обусловливаемую конечностью приращений Ds и Dt дифференцируемого сигнала и времени, используемых при вычислении оценок производной, во всех проведённых экспериментах предполагалось, что сигнал S являлся линейной функцией времени и его производная p была равной 10.0. Выбор именно этого численного значения производной p дифференцируемого сигнала обусловлен желанием предельно упростить все вычисления, выполняемые в процессе проведения экспериментов и обработки их результатов. Исследование помехоустойчивости алгоритма проводилось в условиях, когда с ошибками задавались только значения сигнала S. При этом в

качестве измеренных значений данного сигнала использовались значения ~ определяемые в соответствии с соотношением

~ = в, +е, , , = 1, 2, 3, ..., (5.1)

где в, — истинное значение сигнала, а е, — некоторое значение ошибки его измерения в момент времени ,. Случайные числа е, получались с помощью стандартной компьютерной программы, генерирующей равномерно распределенные случайные числа Р, из интервала [0,1], и их преобразования в е, в соответствии с формулой:

е, = 2аР, - а. (5.2)

Полученные таким способом случайные числа е, принадлежат интервалу [ — а,а], симметричному относительно нуля, и являются равномерно распределенными на данном интервале. Заметим, что плотность данного закона распределения p(et)=1/2a. Значение а, определяющее границы интервала [ — а,а], задавалось согласно формуле

а = 0,0173 рв, (5.3)

где р — величина среднеквадратической относительной ошибки задания значений в=в(,) сигнала 5, удовлетворяющая равенству

р=стЕ / в, (5.4)

и выраженная в процентах, а в — среднеквадратическое значение сигнала 5.

Как вытекает из соотношений (5.3) — (5.4), для получения случайных ошибок е,, равномерно распределенных в интервале [-а,а], необходимо выполнить следующие действия: 1) вычислить величину в ; 2) задать в процентах необходимое значение отношения р, т.е. положить р = 0,01к, где к — целое число, принимаемое, как правило, равным 1, 3, 5 и 10, что соответствует 1-, 3-, 5- и 10- процентным относительным ошибкам; 3) вычислить значение границы а в соответствии с равенством (5.3) и подставить его в равенство (5.2).

Ниже приведен график, характеризующий поведение исследуемого алгоритма. Все результаты исследований, для большей наглядности, приведены с

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

РАДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

уровнем ошибок дифференцируемого сигнала, равного 5 %. На рис. 1 изображена зависимость погрешности оценивания производной дифференцируемого сигнала от значений параметра регуляризации, где в качестве меры погрешности использованы значения среднеквадратических отклонений вычисленных значений производной от их истинных значений. При этом параметр регуляризации г{ изменялся следующим образом:

а) г(=голт(1+0,01л) и б) г,=голт(1—0,01л), (5.5)

где гопт — оптимальное значение параметра регуляризации г,, вычисленное в соответствии с равенством г,=у/10, при котором ошибка вычисления производной является минимальной, а л= 1, 2, ..., 50.

Как видно из рисунка, любое отклонение параметра регуляризации г, от его оптимального значения приводит к увеличению погрешности вычисления производной. Очевидно, что изменяя параметр регуляризации, можно весьма существенно увеличить помехоустойчивость алгоритма. В рассматриваемом случае погрешность вычисления производной уменьшилась приблизительно на 20 %.

Библиографический список

1. Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач /

А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин. — 2-е изд. — М. : Наука,

1979. — 286 с.

2. Васильева, А. Б. Интегральные уравнения / А. Б. Васильева, Н. А. Тихонов. — 2-е изд. стереотип. — М. : Физматлит,

2002. - 160 с.

3. Васин, В. В. Об устойчивом вычислении производной /

В. В. Васин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1973. — № 6 Т. 13. — С. 1383-1389.

4. Cruceanu S. Regularisation pour les problemes a operateurs monotones et la methode de Galerkine. — Comment Math. Univ. Carol., 1971, 12, № 1.

5. Светлаков, А. А. Нетрадиционный подход к регуляризации плохо обусловленных линейных алгебраических уравнений / А. А. Светлаков // СИБКОНВЕРС'95 : Междунар. конф. по использованию результатов конверсии науки в вузах Сибири для международного сотрудничества. — Томск, 2 — 4 октября 1995 : тр. конф. — Томск : ТАСУР, 1996. — Т. 1. — С. 132 — 133.

6. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М. : Наука, 1967. — 575 с.

МАИСТРЕНКО Андрей Васильевич, кандидат технических наук, доцент кафедры электронных средств автоматизации и управления.

СВЕТЛАКОВ Анатолий Антонович, доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры электронных средств автоматизации и управления. СТАРОВОЙТОВ Николай Владимирович, аспирант кафедры электронных средств автоматизации и управления.

Адрес для переписки: maestro67@mail.ru

Статья поступила в редакцию 24.12.2012 г.

© А. В. Майстренко, А. А. Светлаков, Н. В. Старовойтов

УДК 621.391.832.4 а. с. МОЛОДЦОВ

А. В. КОСЫХ

Омский государственный технический университет

АНАЛИЗ РАБОТЫ

ДЕКАРТОВОЙ (CARTEZIAN) СИСТЕМЫ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В РАДИОЧАСТОТНЫХ УСИЛИТЕЛЯХ МОЩНОСТИ_______________________________________

В статье обсуждаются базовые принципы работы декартовой (картезианской) петли обратной связи. Рассмотрены основные проблемы, которые возникают при создании радиочастотных усилителей с декартовыми обратными связями. Осуществляется детальный анализ декартовой системы обратной связи и показаны условия ее стабильной работы.

Ключевые слова: линеаризация, предыскажения, обратная связь, фазовое смещение.

Разработчики радиочастотных (РЧ) усилителей мощности (УМ) для современных беспроводных систем передачи данных сталкиваются с противоречивыми компромиссами. С одной стороны, УМ потребляет львиную долю мощности в большинстве передатчиков. Например, в сотовом телефоне срок жизни батареи питания во многом определяется энергетической эффективностью УМ. С другой стороны, желательно иметь высокую спектральную эффективность, т.е. способность передавать данные с максимально возможной скоростью и пропускной спо-

собностью для данного канала. Проблемой при разработке УМ является и то обстоятельство, что спектральная эффективность зависит от высокой линейности УМ. Современное состояние дел заключается в разработке УМ с невысокой линейностью и использовании некоторых подходов линеаризации. Усилитель может работать в режиме, близком к насыщению, насколько это возможно и максимально энергетически эффективно, а линеаризация системы максимально использует спектральную эффективность в этом почти насыщенном режиме.