Цифровое дифференцирование сигналов в реальном масштабе времени с применением скользящей квадратичной аппроксимации Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

*

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА И СВЯЗЬ

удк 519.653 д.В. МАИСТРЕНКО,

А.А. СВЕТЛАКОВ, Н.В. СТАРОВОЙТОВ

Томский университет систем управления и радиоэлектроники

ЦИФРОВОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ В РЕАЛЬНОМ МАСШТАБЕ ВРЕМЕНИ С ПРИМЕНЕНИЕМ СКОЛЬЗЯЩЕЙ КВАДРАТИЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

В статье предложен и исследован новый оригинальный способ цифрового дифференцирования сигналов, предназначенный для использования в реальном масштабе времени. Способ основан на применении скользящей квадратичной аппроксимации и псевдообратных матриц. Приведены некоторые результаты экспериментальных исследований, иллюстрирующие его работоспособность и пригодность для использования в системах автоматического и автоматизированного управления, работающих в режиме реального времени

1. Введение В данной работе предлагается один из методов циф-Задача дифференцирования сигналов в реальном рового дифференцирования сигналов, основанный на масштабе времени является той задачей, с которой использовании скользящей аппроксимации диффе-в настоящее время приходится сталкиваться в са- ренцируемого сигнала алгебраическими полиномами мых разнообразных отраслях науки и техники, свя- второго порядка и сведении задачи его дифференци-занных с математическим моделированием различ- рования к аналитическому дифференцированию апп-ных динамических процессов и объектов, роксимирующих полиномов, Приводятся некоторые < описываемых дифференциальными уравнениями, и результаты цифрового дифференцирования двух тес автоматизацией управления и регулирования дан- стовых сигналов предлагаемым методом, иллюстриру-ными процессами. ющие его пригодность для применения при создании Задача цифрового дифференцирования наблюда- автоматических регуляторов и автоматизированных емого сигнала, значения которого заданы с ошибка- систем управления различного назначения, ми, и получения достаточно точных оценок его производных крайне сложна и трудно реализуема из-за 2. Задача дифференцирования сигналов и крат-того, что она является некорректной. кий анализ существующих методов ее решения

Пусть / и у — непрерывные действительные переменные, значения которых принадлежат интервалам /, и 1у соответственно, и при этом / является временем, а у — сигналом некоторой функцией, зависящей от I. Как это и принято в математическом анализе и теории функций, для описания функциональной зависимости сигнала у от времени г будем использовать равенство вида

)• = /(» (2.1) и считать его справедливым для всех без исключения значений переменных г и у , отмеченных выше.

Далее всюду будем считать, что все операции, которые над у (г) необходимо выполнить, являются допустимыми. В частности, будем считать, что у (г) является ограниченной, непрерывной, сколь угодно много раз дифференцируемой и т.п. при любом значении аргумента I из интервала I,.

Задача дифференцирования сигнала у = /(0 при фиксированном значении е = из интервала 1, заключается в том, чтобы вычислить значение производной <1у1с11 данного сигнала, в соответствии с равенством

(¡у1Л= (2.2)

При этом предполагается, что производная удовлетворяет соотношению

(2.3)

где Д/ и Ду — переменные величины, называемые соответственно приращениями аргумента / и сигнала у.

Соотношение (2.3) дает возможность вычислить точное значение производной в тех случаях, когда дифференцируемый сигнал у = /(/) задан аналитически и возможно выполнение всех необходимых математических операций, для вычисления его производной ¿/у/А в соответствии с соотношением (2.3).

В реальных условиях, когда дифференцируемый сигнал у = /(0 задан не аналитически, а в виде некоторой кривой или некоторой таблицы, содержащей дискретные значения I, и соответствующие им значения У1 = /(/,) сигнала у, вычислить аналитически значение производной 4у/Л с использованием соотношения (2.3) оказывается невозможно. Данное обстоятельство вынуждает разрабатывать и использовать так называемые численные или цифровые методы дифференцирования сигнала у = /(0, которые изначально ориентированы на использование в условиях, когда приращения Д/ и Ду имеют конечные значения.

Заметим, что под табличным заданием сигнала у = /(0 мы будем понимать задание его совокупностью или, что-то же самое, таблицей вида

(/,,>,), / = й>, (2.4)

где т — некоторое ограниченное натуральное число, а у, = /(/,) и при этом все заданные нам значения !, аргумента / являются различными вещественными числами. Данное определение табличного способа задания сигнала охватывает, очевидно, как задание его с помощью вертикальной или горизонтальной таблицы, так и с помощью последовательности поступающих в устройство значений (2.4).

Анализ литературных источников [1,2], посвященных различным проблемам и методам численного дифференцирования сигнала у = /(0, позволяет классифицировать данные методы и при этом выделить следующие три группы или класса методов численного дифференцирования сигнала у = /(о:

1) методы, основанные на использовании отношения Лу/л/ при конечных значениях приращений М и Ду;

2) методы, основанные на использовании интерполяционных полиномов различных порядков;

3) методы, основанные на использовании различных аппроксимирующих функций.

Для наших целей наибольший интерес представляют методы численного дифференцирования функций, входящие в третью из перечисленных выше групп, так как именно эти методы позволяют наиболее эффективно решать обсуждаемую задачу, Поэтому в следующем разделе мы предложим и рассмотрим более подробно один из таких методов, а по поводу методов, объединяемых первой и второй группами, заметим только, что исчерпывающую информацию о них можно найти в работах [1,2].

3. Метод цифрового дифференцирования сигналов, основанный на скользящей аппроксимации дифференцируемого сигнала квадратичными полиномами и псевдообратных матрицах

Сущность предлагаемого нами метода цифрового дифференцирования сигналов составляют следующие семь положений:

1. В качестве аппроксимирующей сигнал у = f(t) функции y = y(i) используется алгебраический полином 2 — го порядка, определяемый равенством

y(l) = CQ+c]l + c2l2 • (3.1)

где сд1 с, и с2 - коэффициенты, значения которых подбираются таким образом, чтобы погрешность аппроксимации имела минимальное значение.

2. В качестве количественной меры погрешности аппроксимации сигнала >■ = /(/) полиномом (3.1) используется, евклидова метрика р(у,у), определяемая равенством ^

Р(У,У) =d>,-i,)2 )1/2, (3.2)

где у-, - измеренные значения дифференцируемого сигнала у = f(t) в моменты времени t,, / = ],/; у,-значения аппроксимирующего полинома (3.1) соответствующие этим же самым моментам времени //; / - некоторое ограниченное натуральное число, меньшее т. Здесь т - верхняя граница допустимых значений / - некоторое конечное натуральное число, выбираемое с учётом технических возможностей аппаратного устройства, с помощью которого реализуется дифференцирование сигнала, желаемого быстродействия данного устройства, уровня ошибок в значениях сигнала и т.п.

3. Задач& аппроксимации сигнала у = f(i) полиномом (3.1) решается в режиме так называемого «скользящего окна». Это означает, что выбирается некоторое натуральное число /, которое, как это и принято в подобных случаях, будем называть шириной «скользящего окна» или, что то же самое, глубиной памяти метода или алгоритма и делается это так, чтобы имели место следующие неравенства:

а) / > 3 и б) I < т. (3.3)

4. Используя первые / пар значений О^у,) из (2.4), и вектор заданных начальных оценок ^ коэффици-

с и

1

ентов ^ полинома (3.1), формируется и решается система условных линейных алгебраических уравнений вида

.4|Дс] = Д 1| 1 '3-4'

где « « » - символ отношения приближённого равенства, а матрица коэффициентов А,, неизвестный 4.

вектор поправок д , уточнющих имеющиеся оценки £ коэффициентов аппроксимирующего полино-

ма (3.1) и правая часть определяются следующими равенствами:

А, =

а)

1 '/-1 '/-1

;б)

Дс1

I 4 = ci-co

с0! "с00 сп -сю кс21 ~с20 )

,14 4 ив) АП =yj-At со-

(3.5)

мое в соответствии с равенством

I = + 4 Aq+ А\ '

(3.6)

Здесь +А] - (Зх /) — матрица, псевдообратная к матрице Л,.

6. Используя найденный вектор поправок , вы-

4-

числяется вектор в соответствии со следующим равенством:

с] = СО +ДсГ

7. Полученный в результате выполнения преды-

4-

дутцих этапов вектор подсгавляется в полином (3.1),

и вычисляются первая dyldt и вторая d2yldt2 производные полученного при этом полинома в соответствии со следующими формулами:

а) dyldt = С| | + 2с2]// и б) d~y/dr = 2с2| , (3.8) которые и принимаются в качестве оценок значений производных сигнала у = /(/) в момент времени //.

Приведённое выше описание операций, которое необходимо выполнить при вычислении оценок dyldt и d2y/di2 первой и второй производных сигнала у = /(0 в моменты времени //, позволяет непосредственно видеть, что заменив у векторов и матриц, фигурирующих в равенствах (3.4)-(3.8), индексы «О» и «1» соответственно на индексы «к-1» и «А» где к — некоторое натуральное число, большее 2, мы очевидно получим полное описание к- го этапа реализации рассматриваемого метода. Выполнив данную замену индексов, получим следующий рекуррентный алгоритм вычисления коэффициентов £ полинома (3.1): 4- ^ + ^ ^

Ск = ск-\ + Ак(ук-Акск-\). * =3,4,5,... (3.9)

Оценки dyldt и d~y/dr первой и второй производных сигнала >• = /(/) при этом должны вычисляться в соответствии с равенствами

а) ф/dt = cn+2c2ktk и б) d2yldi2 = 2с2к ■ (3.10)

4. Решение условных систем линейных алгебраических уравнений с применением псевдообратных матриц

Как видно из изложенного выше, практическая реализация предлагаемого нами метода цифрового дифференцирования сигнала y = /(t) сводится к решению условных систем линейных алгебраических уравнений и использованию при этом в качестве решений данных систем их псевдорешений. Учитывая сущность задачи аппроксимации сигнала у = f(t), за-

данного значениями (2.4) с использованием алгебраических полиномов 2-го порядка, нетрудно видеть, что при любом заданном значении числа — определение коэффициентов с0, с, и с2 данного полинома может быть сведено к решению системы условных линейных алгебраических уравнений вида

С0 + /;С'1 + !2С2 ~ У, , / = I, ■ (4.1)

Для удобства последующего изложения введем в

рассмотрение матрицу А и векторы-столбцы £ и у ,

определив их равенствами 1 ц-

4,

5. В качестве решения Дс] переопределённой и, вообще говоря, несовместной системы уравнений (3.4), используется её псевдорешение вычисляе-

а )А =

1 h

1 '„

h

4

, б) с--

У,

(4.2)

и представим систему (5.1) в традиционной в линейной алгебре векторно-матричной форме вида

Ас* у- (4"3>

В качестве решения системы уравнений (4.3) в данном случае наиболее целесообразно использовать ее псевдорешение, определяемое равенством вида

4,

с = Ау <4'4>

где \ — матрица, псевдообратная к матрице А. Для вычисления матрицы +А в наших условиях наиболее целесообразно воспользоваться так называемым алгоритмом Гревилля [3], так как данный метод является предельно экономичным с точки зрения вычислительных ресурсов.. ,

5. Некоторые результаты исследований предлагаемого метода цифрового дифференцирования сигналов

Ниже приводятся и обсуждаются некоторые результаты численных экспериментов, цель проведение которых заключалась в том, чтобы проверить работоспособность предлагаемого нами метода цифрового дифференцирования сигналов, основанного на формулах (3.1)-(3.7). Все эксперименты были проведены с помощью пакета прикладных программ МаНаЬ. При этом в качестве дифференцируемых сигналов использовались сигналы, задаваемые равенствами вида

а) у = у(!) = 1.0 и б) у = у(/) = 5т/ . (5.1)

Выбор в качестве тестовых именно этих сигналов, оправдывается следующими соображениями.

Во-первых, с сигналами приведённого вида достаточно часто приходится иметь дело во многих реальных ситуациях и, в частности, при решении задач автоматизации различных технологических процессов и объектов.

Во-вторых, изучив характеристики исследуемых методов с использованием данных сигналов, мы получаем возможность прогнозирования поведения данных методов в других более сложных ситуациях, когда дифференцируемые сигналы являются более сложными функциями времени. Действительно, используя данные сигналы и их линейные комбинации, можно достаточно точно аппроксимировать практически любой, более сложно устроенный реальный сигнал.

Исследование помехоустойчивости рассматриваемых алгоритмов проводилось в условиях, когда с ошибками задавались только значения сигнала. Ошибки получали с помощью стандартной компьютерной программы, генерирующей равномерно распределенные случайные числа.

Проведенные эксперименты показали, что предлагаемый нами метод вычисления производных оказывается более устойчивым к наличию шумов в диф-

ферендируемом сигнале, чем метод, реализованный в пакете прикладных программ МаИаЬ. Причём чем больше значение глубины памяти алгоритма, тем точность вычисления производной выше. Однако необходимо отметить, во-первых, что с увеличением глубины памяти алгоритма, одновременно увеличивается и его вычислительная сложность[4]. И во-вторых, при фиксированных значениях приращений времени возможности увеличения глубины памяти ограничены, поскольку ее увеличение неизбежно приведет к уменьшению точности аппроксимации сигнала. При уровне шумов 5% предложенный алгоритм вполне работоспособен и имеет высокие точностные характеристики. Точностные характеристики предлагаемого алгоритма вычисления производных в большинстве случаев удовлетворяют требованиям разработчиков различных устройств, использующих производные сигналов, и в частности автоматических регуляторов. Следует отметить, что предложенный алгоритм одинаково хорошо аппроксимирует и вычисляет первые и вторые производные для обоих типов сигналов.

Заключение

Опираясь на результаты, представленные в предыдущих разделах, сформулируем следующие выводы.

, 1. Предложенный нами метод дифференцирования сигналов с использованием аппроксимирующих полиномов 2-го порядка позволяет с достаточно высокой точностью вычислять как значение самого сигнала, так и значения его первой и второй производных.

2. Данный метод имеет значительно более высокую помехоустойчивость, чем методы, основанные на использовании конечных приращений и различных интерполяционных полиномов.

3. Одновременно с перечисленными выше достоинствами следует отметить простоту предлагаемого метода и его доступность для аппаратной и программной реализаций.

Библиографический список

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1963. -660 с.

2. Хрминг Р.В. Численные методы. -М.: «Наука», 1972. — 400 с.

3.ГантмахерФ.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. -575 с.

4. Светлаков A.A. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами. - Томск: Иэд-во HTA, 2003. - 388 с.

МАИСТРЕНКС Андрей Васильевич, ведущий инженер кафедры информационно-измерительной техники

СВЕТЛАКОВ Анатолий Антонович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информационно-измерительной техники. СТАРОВОЙТОВ Николай Владимирович, студент 5-го курса факультета вычислительных систем.

Дата поступления статьи в редакцию: 30.06.2006 г. © Майстренко A.B., Светлаков A.A., Старовойтов Н.В.

УДК 621.396:621.3.029.55 С Д КОРОВИН

Омский танковый инженерный институт

ДЕМАСКИРУЮЩИЕ ПРИЗНАКИ УПРАВЛЕНИЯ ЧАСТОТНЫМ РЕСУРСОМ РАДИОЛИНИЙ ДЕКАМЕТРОВОЙ СВЯЗИ

Проанализированы элементы стратегии частотного обеспечения декаметровой радиосвязи. Приводятся демаскирующие признаки частотного обеспечения современных и перспективных радиолиний. Основным понятием здесь является так называемая матрица связного ресурса (MCP). Это понятие шире, чем понятие частотного ресурса. В MCP можно заметить некую традиционную аналогию с понятием базы сигнала, которая образуется как частотно-временное пространство, по осям которого отложены полоса пропускания и время существования сигнала. Рассматриваемая MCP также имеет частотные строки и соответствующую ось времени, в которой содержится информация о длительности сеанса радиосвязи в целом.

Значительные преимущества коротковолновых налов. И если пропускная способность других кана-

радиолиний, позволяющих доставлять информацию лов все время увеличивается, то в радиоканалах дека-

удаленным корреспондентам с малыми энергетичес- метровой связи остается такой же, что и четверть

кими и временными затратами обусловили широкое века назад. Аналогичное положение и с некоторыми

применение радиостанций в этом диапазоне. Однако другими показателями качества работы каналов

пропускная способность каналов декаметровой ДКМ связи. Упомянутые факторы способствовали

(ДКМ) радиосвязи на несколько порядков ниже про- снижению удельного веса декаметровой связи по

пускной способности спутниковых и проводных ка- сравнению с другими родами связи. Однако вопрос