CC BY
40
УДК А. В. МАЙСТРЕНКО
А. А. СВЕТЛАКОВ
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
СИНТЕЗ МНОГОТОЧЕЧНОГО МЕТОДА ЦИФРОВОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СИГНАЛОВ ________
Синтезирован оригинальный метод цифрового дифференцирования сигналов, предназначенный для использования в реальном масштабе времени. Метод основан на применении многоточечного оценивания неизвестных величин по их экспериментальным измерениям и псевдообратных матриц. Приведены некоторые результаты аналитических исследований, иллюстрирующие его работоспособность и пригодность для использования в системах управления различного назначения, работающих в режиме реального времени. Ключевые слова: система линейных алгебраических уравнений, цифровое дифференцирование.
1. Введение
И работе синтезируется новый метод цифрового дифференцирования сигналов, основанный на использовании многоточечного оценивания неизвестных величин по их экспериментальным измерениям и псевдообратных матриц. Приводятся некоторые результаты аналитических исследований, вычисляемых с его применением, иллюстрирующие его пригодность для применения в автоматизированных сис темах управления различного назначения.
2. Постановка задачи синтеза методов цифрового дифферснциронания сигналов
11усть в каждый дискретный момент времени ( производится измерение некоторого сигнала 6’ и в каждый из них имеется т +1 измеренных значений
^/-г|-иг ‘Ь+2~т’—1 ■*/-!• (1)
данного сигнала. Всюду далее будем предполагать, что сп и значении удовлетворяют следующим шести условиям:
1) т — некоторое ограниченное натуральное число, значение которого мы можем выбира ть с учетом наших потребностей и возможностей;
2) расстояние между соседними моментами времени равно д/ и, как и число т, при необходимости мы можем ей) изменять:
3) каждое измеренное значение является аддитивной смесью не известных нам истинного значения .у, сигнала .V и значения ошибки его измерения удовлетворяет равенству
*,=х,+с,, (2)
4| где л, и с,—неизвестные нам значения сигнала .9 и ошибки его измерения, значение является одним из возможных значений непрерывной случайной величины £,, математическое ожидание М{<?,} и дисперсия 1)\£(} ко торой удовлетворяют условиям
а) Д/{£,} = О и б) /;{£,} = сг,2 <*>, (3)
где оу —некоторое ограниченное неотрицательное число;
5) мялюбых различных моментов времени I и г случайные величины е, и ег являю тся некоррелированными случайными величинами и, соответственно, удовлетворяют условию
к{8( €Т) = м{8/ £т} = 0. 14)
где к{€! Е — ковариация величин г.( и сг\
6) ис тинные значения сигнала 5 удовлетворяют равенствам
з, = л(/) , / - от. / +1 - от, (+2- от,..., / -1, / . (5)
где х, — непрерывная и хотя бы один раз дифференцируемая функция.
Для упрощения записей обозначим производную <?.у/<Л сигнала 5 в момент времени / символом « р,» и. соответственно, будем считать, что имеют место равенства
р,=Ж/Ж. / + 1-от,/ + 2-от,...,/-1,/. (6)
С этой же целью будем использовать символ « р,», обозначая им оценку неизвестной производной р,, вычисленную в соответствии с равенством
р,=(5,+1_,-*,_/)/Д/. / = Пот (7)
Равенство (7) является нростейвшм алгоритмом вычисления данной оценки, основанным на использовании конечных приращений сигнала и времени 11 ], Результа том его применения в нашем случае являются от оценок р, производной рг При наличии ошибок с, в измеренных значениях 5, и малых значениях Л/ погрешность оценки может принимать недопустимо большие значения. Данное обстоятельство и актуальность задачи цифрового дифференцирования сигналов стимулируют поиск новых методов её решения, обладающих более высокой помехоустойчивостью и доступных для реализации в реальном времени. Наличие совокупности (7) оценок р, открывает широкие возможности для постановок и решения задачи синтеза подобных методов. Для иллюстрации данных возможностей и реализации одной из них всюду далее будем считать, что: 1) в каждый момент времени I > т у нас имеется совокупность оценок
Р/+\-пг Р/+2-/М»—> Р( • 18)
201
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ КОМИК № 5 <81> 30С9 ПРИ60Р0С>Р0£НИЕ. МПР0Л0019 И ИНФОРМАЦИОННО-ЮМП>ИТ{ЛМ)Ы1 ПРИБОРЫ и системы
ПГИЬОРОСІРОГМКІ. МИРОЛОГИв И ИН«ОРМАЦИОШЮ-И1М[»ИЦЛМШ1 ПРКБОГЫ и системы
вычисленных в соогаетствии салгоритмом (7), 2) истинные значения производной р, вэти моменты времени (оставались равными одному и тому же значению р
и, соответственно, удовлетворяли соотношению вида
1п,р * Apt = р,.
(12)
Pi 11 т~ Pi+2-iit ~ — Pi-1 ~ Pi ~ Р •
(9)
В реальных условиях данное предположение, очевидно, иыполиястся далеко не всегда. Однаково многих случаях, когда скорость изменения сигнала 5 не является чрезмерно высокой, оно оказывается достаточно обоснованным, так как, выбирая должным образом величину ичисло ш, можно добиться его выполнения с приемлемой ДЛЯ наших целей точностью.
Воспользуемся теперь равенствами (8) и (9) и составим сис тему линейных алюбраических уравнений (СЛАУ) пида
р h i\pi = р,, / = /,/ +1 - ш,
(10)
где р и Ар( —не известные нам исгиннос значение производной сипіала 5 и ошибки его оценивания при использовании оценки />,.
Анализируя данную СЛАУ, можно видеть, что при любом ограниченном т в нее входит т +1 неизвестных и она является иедоонределённой.
Как вытекает из изложенною выше, задача синтеза любою метода цифрового дифференцирования с'иі нала ,9 в рассматриваемых нами условиях сводится к синтезу какого-либо метода решения СЛАУ (10). Учитывая отмоченные особенности данной системы, нетрудно видеть, что подобных методов и алгоритмов можно предложить сколь угодно много. В частности, если положить в ней АРі =0. і = I,т, как это традиционно делается при решении подобных СААУ, то она, очевидно, окаж<*тся переопределенной и несовместной и, соответственно, для со решении можно воспользоваться, например, методом наименьших квадратов (МИК) или каким-либо другим из известных или вновь синтезированных методов подобного назначения. Полее детально на данном подходе (назовем его традиционным) к синтезу методов цифрового лис}н|)оренцировапия сигналов, основанном на сведении его к решению переопределенных и несовместных СЛАУ, мы останавливаться не будем, заметим только, что его использование позволяет получить сколь уюдно много интересующих нас методов. Еще больше подобных методов, п том числе и все отмеченные выше, можно получить с помощью подробно рассматриваемого ниже альтернативною подхода к синтезу методов цифрового дифференцирования сигналов. Всюду далее будем называть ею нетрадиционным подходом к синтезу данных методов.
3. Нетрадиционный подход к математической постановке и решению задачи синтеза методов цифрового дифференцирования сигналов
Д\я удобства и сокращения последующих выкладок введем в рассмотрение т -мерные векторы-столбцы Іт, Лр, и р/, определив их равенствами
а> /«“(М.....0Г;0) Ар, = {Лр\. Лр2.Ар„/
и ь)Р, =(/>|, р2.рт)Т, (II)
где Т — транспонирование векторов и матриц. Вос-пользовавшись данными векторами, представим
I СЛАУ (10) в следующем векторно-матричном виде:
Как уже отмечено выше, синтез любого метода цифровою дифференцирования сигналов своди тся к синтезутого или иного метода решения СЛАУ (10) или эквивалентной ей системы (12). Поэтому всюду далее будем рассматривать прежде всею именно данную СЛАУ и вес ти речь о методах се решения.
Идейные основы рассматриваемою ниже нетрадиционного подхода к решению СЛАУ (12) впервые были изложены в работах (2,3]. В этих же работах рассмотрены причины, побуждающие искать альгер-пативы традиционному подходу к решению СЛАУ. Рассмотрим более подробно идейные основы и сущность данного подхода и сделаем это применительно к решению СЛАУ (12).
Первая из идей, лежащих в основе нетрадицион пого подхода к решению СЛЛУ (12), заключается в том, что она изначально формируется как СЛЛУ, не только относительно неизвестного значения р, но и вектора ошибок Лр, оценивания р с использованием вектора р1.
Вторая идея реализуемого подхода к решению СЛАУ (12), состоит в том, ч то ее решение сводится к решению СЛАУ, имеющей следующий Традиционный в линейной алгебре вид;
Вх = рг (13)
где матрица В и вектор л* определяются равенствами
(14)
Здесь ри Ар, / = |./и, — оценки производной р и ошибок ее оценивания соответственно.
Если воспользоваться вектором !т и единичной порядка /» матрицей Еп}, то В можно представить следующим равенством:
г\ \ \ 0...0 0' •• Р
1 1 0 1...0 0 Ар\
о) В- • 1 И б) Л* = Ар2
/■ о • о • Ь •
(15)
которое является не чем иным, как представлением матрицы В в виде горизонтальной двухблочной матрицы. Поскольку в качестве правого блока в равенствах (14а) и (15) фигурирует Еп,, то В является строч-но невырожденной матрицей, а ее ранг гн равен т. Поэтому при любой правой части рх СЛАУ (13) оказывается совместной и, так как она является недоопреде-лешюй, при любой из этих частей имеет бесконечное множество решений.
Третья идея, составляющая основу излагаемого подхода к решению СЛЛУ (13), заключается в том, что в качестве решения данной системы используется ее псевдорешение, которое всюду далее будем обозначать символом хи. Выбор и использование именно псевдорешения Л‘(+, а не какого-либо другою решения СЛАУ (13) обусловливается прежде всею тем, что оно обладает следующими двумя замечательными свойствами |4):
I. Евклидова норма || xt+ || решения ,v{+ удовлетворяет соотношению
II 11= argmin{||Xf ]|: Bxt = pt). (16)
в котором символ argmin{||A-f ||: Вхf - р,} (аргумент минимума) означает, что II -vf+ II меньше евклидовой
нормы || лг, || любого другого решения Л'£ СЛАУ |13). Отсюда следует, что из всех решений х^ системы уравнений (13) ее псеидорешеиие дг(+ является наиболее устойчивым к ошибкам задания вектора р( и ошибкам его вычислений.
2. При любой правой части р{ и любой матрице Ч псевдорешение А‘,+ является единственным, и, таким образом, ето использование устраняет недоопредело I 11юс гь данной системы.
Как известно |8|, псевдорешение лгг+ СЛАУ (13) определяется равенством
х„ = Вр,. ИЯ
где В — прямоушльная ((ш +1) х т) —матрица, псе в-дообратная к В. Так как В, является строчно невырожденной. то имеет мес то равенство
(18)
однозначно определяющее В и позволяющее вычислить данную матрицу. О тсюда и из (17) вытекает, что псевдорешение ЛГГ+ Х(+ в данном случае может бы ть вычислено в соответствии с равенством
Так как р постоянно и не является случайной величиной, а , согласно иашим предположениям относительно ошибок являются центрированными случайными величинами, то
лф„) - рт/т і 1.
(22)
О тсюда видно, что оценка р„ является асимптотически несмещенной оценкой значения р, а при любом ограниченном да она оказывается смещённой оценкой дапиото значения. Однако ее смещение с увеличением т быстро уменьшается и при да £ 20 она оказывается практически несмещенной.
Рассмотрим теперь вторую важнейшую вероятностно-статистическую характеристику оценки р„, оценивающую ее-точность. Так как р(< является смещённой, то ее дисперсию 0{рп}. традиционно используемую для этих целей, нельзя использовать в качестве меры точности оценки . Поэтому, как это и делается в подобных случаях, в качестве такой характеристики будем использовать так называемую вариацию У{р,,), определяемую равенством
ж± I
'тРі
Рі т + \т'™Рі
ИлЛ = ЩГр,.-р)\
(23)
1
1 01
(19)
Для вычислении У {/>,.} воспользуемся равенством (20а) и отмеченными выше предположениями относительно значения р и ошибок Ар, его оценивания. Выполнив необходимые вычисления, получаем равенство:
<'{*.}=—Ц-Гр2 + /£*/„]=
(/» + !)
Отсюда, учитывая (1 -16), можно видеть, что оценка р, производной р и вектор ошибок Ар, её оценивания на основе испольновация вектора р( определяются равенствами вида
1ГтК1т
].
(24)
(да +1)
Здесь К — ковариационная матрица ошибок Ар1 / = 1,да. _____
<•) Р,.
і 01 —І А т+|,,|
В нашем случае ошибки Ар,, / - 1,да являются некоррелированными и имеют одинаковые дисперсии, и б) Ар(+ = р, -1шр.,. (20) равные сг^,. Поэтому К =<Гд/,ЕП1, т.е. оказывается
скалярной матрицей, а произведение 1'тК1п удовлетворяет равенству
Данные равенства в сноей совокупности и составляют синтезированный нами многоточечный алгоритм цифрового дифференцирования сигнала 5. Его существенной особенностью является то, что при вычислении оценки р„ здесь используются не два, а/м + 1 значений (точек) сигнала .9, что и является поводом и основанием назвать его многоточечным.
4. Вероятностно-статистические характеристики оценки р1г
Рассмотрим вероятностно-статистические характеристики полученных нами оценок р„ и Ар(+. При этом, учитывая равенство (206), однозначно связы-вающее оценки ри и Арн, мы ограничимся рассмотрением данных характеристик только оценки р„.
Как это и принято в математической статистике (5| и теории оценивания [6], вычислим прежде всего ее математическое ожидание М{р„}. В соответствии с (20а) и определением Л/{ Д.} и его свойствами имеет место равенство
. і •» і т
(2і)
'їм*,
і/ -2 і 1 т0 А/)'пі
да •
(25)
Подставив данное значение 1,пК1т в (24), получаем, что вариация в этом случае определяется
равенством
У{р„ 1 = т<*1?/(т +1)2(1 + р2/тлгДр) . (26)
Анализируя данное равенство, не трудно обнаружить, во-первых, что имеет место соотношение
\\тУ{р„} =0,
(27)
которое означает, что рп является состоятельной и асимптотически несмещеннойошмжой производной р. Во-вторых, отношение р / (г\р является широко используемым в различных отраслях науки и'техники отношением сигнал/шум, а величина 6^}, определя-
емая равенством
(28)
есть, очевидно, не что иное, как квадрат средней относительной ошибки оценивания значения р. В-третьих,
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ИСТНИК М> і <83) 2009 ПРИІОГОСІРОГНИЕ, МЕТРОЛОГШ И ИНФОРМА1ШОННО-ЮМ£РИТ(АкКЫС ПРИБОРЫ И СИС1ЕМЫ
Зависимость вариации Г {/>,.) чтш
Г/1 1 2 3 4 5 10 too
0.2525 0.1133 0.0625 0.0400 0.0245 0.009 0.0002
если для простоты пычислеиий положить р — 1.0, а сроднее квадратическое отклонение а^} ошибок Ар,, ранным 0.1 и соответствующим 10-процентной средней ошибке задания, то из (27) получим, что
Ий.) =тх0.0|/(ш + 1)2(1 + 100/т). (29)
11 иже прицелена таблица 1, составленная на основе, данного равенства. Представленные п ней данные пределы ю и а I лид1 го иллюстри ру ют хара ктер уб ы па! I ия значений V{/>,,} с увеличением т. В частности, они позволяют видеть, что: 1) с увеличением т ог 1 до 5 значении уменьшаются практически в 2 раза мри
каждом увеличении на 1; 2) скорость уменьшения данных значений с увеличением также монотонно уменьшается и стремится к пулю. Изложенные результаты исследований характеристик оценок позволяют заключить, ч то: I) как и при традиционном подходе к постановкам и решению задачи цифрового дифференцирования увеличение числа исходных данных позволяет увеличить точность получаемых оценок ; 2) скорость уменьшения данных значений с увеличением т также монотонно уменьшается и стреми тся к нулю. Изложенные результаты исследований характеристик оценок р„ позволяют заключить, что: 1) как и при традиционном подходе к постановкам и решению задачи цифрового дифференцирования увеличение числа исходных данных позволяет увеличить точность получаемых оценок Д.;
2) особенно заме тным данное увеличение оказывается при изменении т в пределах от 1 до 20, а при дальнейшем увеличении /п оно оказывается всё менее ощутимым; 3) синтезированный многоточечный метод цифровогодифференцирования сигналов вполне пригоден для использования в системах автоматизированного управления.
Заключение
Изложенный нетрадиционный подход к постановке и решению задачи синтеза методов цифрового дифференцирования сигналов, основанный на ее сведении к решению недоопределенной СЛАУ, является
принципиально новым и позволяет получить не только псе известные методы оценивания неизвест ных величин по их непосредственным и косвенным экспериментальным измерениям, но и синтезировать сколь угодно много методов подобного назначения. Он может быть использован во всех вузах, НИИ и KR, занимающихся проблемами обработки экспериментальных измерений различных величин, а также при обучении студеїгтов всех технических специальностей.
Библиографический список
1. Тихоном Л.Н. Методы решения некорректных задач/ А.! I. Тмховои. Н.Я. Арсенин. — Им. 2-і*. — М.: Наука, І0У9. — 286 с.
2. Светляков Л.Л. Обобщенные обратные матрицы: некоторые вопросы теории и применения в задачах автоматизации управления процессами. Томск : Изд-во ІІТЛ. 2003. — 388 с.
3. Светланов А.А. I (^традиционный подход к регуляризации плохо обусловленных линейных алгебраических уравнений // СИБКОНВЕРС'95. Между нар, конф. по использованию результатов конверсии пауки в вузах Сибиридля международного со трудничествд. Томск, 2—4 октября 1.01)5 : Тр. конф. — Томск : ТАСУР, 1996. - Т. I. - С. 132-133.
4. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967. - 575с.
5. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей (Текст|: учобникдли гтуд вузов / 10-е изд., crop. - М.: Издательский центр «Академия и. 2005. — 576 с.
0. Феллер. В. Введение «теориювероятностей и ее приложения!'. 2 |Текст] / - М.: Мир, 1007. - 752 с.
МАЙСТРЕНКО Андрей Васильевич, канди^\агтехнических наук, доцент кафедры электронных систем автоматизации и управления.
СВЕТЛАНОВ Анатолий Антонович, доктор технических наук, профессор кафедры электронных сис тем ав томатизации и управления.
Адрес для переписки: e-mail: maestro67@mail.ru
Статья поступила н редакцию 24.06.2009 г.
€> Л. В. Майстрснко, А. Л. Светликов
Книжная полка
Муханин, Л. Г. Схемотехника измерительных устройств (Текст]: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлению подгот. 200100 «Приборостроение» и специальности 200101 «Приборостроение» / Л. Г. Муханин. — СПб.: Лань, 2009. — 281 с.: ил., табл. — (Учебники для вузов. Специальная литература). - Библиогр.: с. 275. — Предм. указ.: с. 276-278. — 1$1^ 978-5-8114-0843-6.
15 учебном пособии изложены основы алгебры логики, электронно-компонентная база систем обработки информации, специальные вопросы схемотехники измерительных приборов на примере фотоэлектрических отсчетно-измерительных устройств. Рассмотрены вопросы коррекции сист емы измерительных сигналов и их аппаратурной реализации, проведен анализ методов и средств структурной компенсации погрешностей измерения, представлена теории электронных фазовых интерполяторов. Показана взаимосвязь механических, оптических и электрических параметров при обработке измерительной информации.
