Цифровая модель системы технической диагностики с аддитивным гауссовским шумом Текст научной статьи по специальности «Математика»

2,0дБ, для второго образца [9] при ст2«0,4Д, Тф/Тт«5

и ha=1,0 дБ, D20 «3,0 дБ. Ошибки, полученные в процессе эксперимента для указанных образцов составили значения 2,5 дБ и 4,0 дБ соответственно.

6. Заключение

В работе предложены математические модели, которые являются первой попыткой связать параметрические свойства математических моделей управляемых ослабителей с известными свойствами и особенностями функционирования цифровых регуляторов широкого применения в радиоэлектронике и автоматике. Практически все варианты рассмотренных регуляторов были исследованы экспериментально на рабочих образцах. Полученные опытные результаты показали достаточное для практики совпадение расчетных и опытных параметров в быстродействии и точности.

Литература: 1. Царенко В.Т., Имшенецкий В.В., Борисов М.М. Автоматические устройства СВЧ. К.: Техника, 1983. 151 с. 2.ДогановскийС.А. Параметрические системы автоматического регулирования. М.: Энергия, 1973.

УДК 621.317

ЦИФРОВАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ ДИАГНОСТИКИ С АДДИТИВНЫМ ГАУССОВСКИМ ШУМОМ

БУРДАКОВ С.Н., ВЕРЕЩАКА.П., ГУРЬЕВ В.Е, КРИВЕНКО С.А.

Доказывается, что для систем технической диагностики с аддитивным “белым” гауссовским шумом использование общих и подробных схем аналогового имитатора и преобразователя позволяет свести сложную модель к простой, в которой диагностируемая радиоэлектронная система представляет собой случайное отображение, заданное условной плотностью вероятностей

Рассмотрим систему технической диагностики (СТД), представимую в самом общем виде диаграммой на рис.1. Входные цифровые данные, характеризующие техническое состояние диагностируемого устройства, задаются, как правило, в двоичной форме, однако могут быть представлены и в другом алфавите из qi2 символов. Информация, поступающая со скоростью один символ каждые Ts секунд, содержит К диагностических признаков. Этот вектор затем подается в цифровой имитатор в качестве одного из M возможных диагнозов, обозначаемых через Hi, H2,..., HM. Здесь M=qK, а q — объем алфавита диагностических сообщений. Цифровой и аналоговый имитаторы вместе осуществляют отображение множества из M диагностических состояний {Hm} на множество из M сигналов {xm(t)} конечной энергии и конечной длительности T=KTs.

198 с. 3. Созонник Г.Д., Стеклов В.К. Цифровые системы управления. К.: Техника, 1991. 191 с. 4. Дзэхцер Г.Б. P-I-N-диоды в широкополосных устройствах СВЧ. М.: Сов. радио, 1970. 199 с. 5.ЦаренкоВ. Т. Синтез и применение модели p-i-n-диодного СВЧ аттенюатора: Радиотехника. Респ. межвед. науч.-техн. сборник. Харьков: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1980. Вып. 53. С. 107-112. 6. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов.радио, 1969. 740 с. 7. Гаткин Н.Г., Геранин В.А., Карновский М.И. Интеграторы в системах измерения. К.: Гостехиздат УССР, 1963. 138 с. 8. Царенко В.Т., Корсунов А.Р., Бадалишев Ш.Х. Цифровой регулятор для автоматизированных радиотехнических устройств//Приборы и техника эксперимента. М., 1984. №5. С. 123-126. 9. Царенко В. Т.По-вышение быстродействия и точности цифровых АРУ на СВЧ p-i-n-диодах//Радиотехника. 2000. Вып.113. С.

Поступила в редколлегию 07.04.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Лагутин М.Ф.

Царенко Владимир Тимофеевич, канд.техн. наук, доцент кафедры АРЭ УИПА. Научные интересы: автоматика радиосистем, СВЧ-техника, теоретические основы передачи информации. Адрес: Украина, 61176, Харьков, ул.Велозаводская, 30, кв.108, тел. 11-56-35.

Hm

V

Рис.1. Система технической диагностики

Функция пары цифровой — аналоговый имитатор представляется неразделимой, однако фактически она может быть разбита на отдельные операции в дискретном и непрерывном времени. Возможность такого разделения основана на процедуре ортогона-лизации Грама-Шмидта, позволяющей представить любые M функций времени с конечной энергией в виде линейных комбинаций N<M ортонормированных базисных функций. Это означает, что на конечном интервале 0<t<T M сигналов

12

РИ, 2000, № 3

конечной энергии xi(t),X2(t),...,XM(t), представляющих соответствующие M возможных диагнозов Hi, H2, ..., HM, можно задать в виде

N

xm(t) =Еxmn9n(t). m = 1,2,...,М , (1)

n=1

причем для всех m и n

T

xmn _ 1 xm №Фп (t)dt,

0

а базисные функции ортонормальны

T

/фДОф j(t)dt = 8kj

0

1, если k = j 0, если k ф j

(2)

и N<M. В действительности N=M тогда и только тогда, когда сигналы линейно независимы. Как следствие такого представления, энергию сигналов можно выразить квадратами норм векторов

xm (xmb xm2; , XmN)> m 1,2,...,M,

поскольку из соотношения (2) вытекает, что для любого m

є

m

T 2 T Г N

J [xm(t)]2dt = J £ xmn Фп (t) о о Ln=i

2

dt =

NN

_ 2 2 xmnxmj

n=1j=1

T N 2

Jфn(t)Ф j(t)dt = E[xmn]2

0 n=1

(3)

Общий вид схемной реализации имитатора, приведенный на рис. 2, основан на представлении (1).

Цифровой имитатор, таким образом, производит отображение множества M диагностических состояний в векторы из N<M действительных чисел. В самом общем случае аналоговый имитатор состоит из сумматора и N амплитудных модуляторов (сигналы cpn(t) модулируются по амплитуде диагностическими признаками xmn при n=1,2,...,N).

Схему имитатора можно существенно упростить. Если амплитуды {xmn} принадлежат конечному алфавиту, а базисные функции {jn(t)} выбраны непересекающимися и ортогональными во времени (т.е. функциями, которые отличны от нуля на непересекающихся интервалах времени), то стано -вится возможным использовать цифровой имитатор. В этом случае можно обойтись единственным каналом, используемым в режиме с разделением времени.

Диагностируемую радиоэлектронную систему (см. рис.1) можно рассматривать как одно случайное отображение конечного множества имитируемых сигналов {xm(t)} в принимаемый случайный процесс y(t). Прежде чем сигнал появится на выходе системы, на него накладывается целый ряд искажений. Пока будем считать, что единственным источником искажений служит аддитивный “белый” гауссовский шум. Эта наиболее простая модель тем не менее в ряде случаев весьма точно отражает реальную ситуацию в радиоэлектронных системах.

СТД с аддитивным “белым” гауссовским шумом (СТДАБ) моделируется схемой, содержащей сумматор, как это показано на рис.3.

Рис.3. Преобразователь для СТДАБ

2

n

Для входного сигнала xm(t) выходным сигналом будет

y(t)=xm (t)+n(t), 0<t<T, (4)

где n(t) — стационарный случайный процесс с мощностью, распределенной равномерно в полосе частот, значительно превышающий ширину полосы сигнала; следовательно, он моделируется как процесс со спектральной плотностью, равномерной в сколь угодно широкой полосе частот, или, что эквивалентно, как процесс с функцией ковариации

R(t)=(No/2)S(t), (5)

здесь 5(-) — дельта-функция Дирака; N0 — односторонняя спектральная плотность шума.

Можно считать, что пара преобразователь — тестер в общем случае осуществляет отображение принятого процесса в решение Hm относительно имитируемого диагноза. Для данной модели операции, производимые парой преобразователь — тестер, также можно разложить на две отдельные операции, по существу двойственные операциям, выполняемым имитатором. Рассмотрим сначала проекции случайного процесса y(t) на каждую базисную функцию аналогового имитатора, задающие N интегралов — скалярных произведений:

T

Уп = | уСОФпДЖ n = 1,2,-,N- (6)

0

РИ, 2000, № 3

13

Они вычисляются с помощью системы, представленной на рис.3. Введем также коэффициенты

T

Пп =Jn(t)9n(t)dt, n = 1,2,...,N,. (7)

0

Следовательно, из (1) и (4) имеем

Уп = xmn + nn. n = 1,2,-,N • (8)

Рассмотрим теперь процесс

N

~(t) = y(t) -£ Уп9n(t)- (9)

n=1

Пусть передан сигнал xm (t). Из соотношений (9) и (1) следует, что указанный процесс можно записать в виде

N

У (t) = xm (t) - n(t) - E (xmn + Пп)Фn (t) = n=1

N ~ (10)

= n(t) - ^ Пп Фn (t) = n(t)

n=1

и что он зависит только от шума. Следовательно, первоначальный процесс можно представить так:

N N

y(t) = Е Уп Фn(t) + ~(t) = Е Уп Фn(t) + y(t). (її)

п=1 п=1

Результаты измерений процесса y(t) назовем наблюдениями.

Допустим, что в качестве наблюдений мы взяли лишь N проекций {yn}, заданных соотношением (6). Определенный соотношением (4) сигнал y(t) представляет собой гауссовский процесс, поэтому и наблюдения — гауссовские случайные величины со средними, зависящими только от соответствующих компонент сигнала

Е(У n |xm ) = ] xm ООфn(t)dt = xmn , П = 1,2,-,N (12) 0

и дисперсиями, равными N0/2, поскольку для любого n

^аг[Уn|xm] = Е[(Уn - xmn)2|xm] = E[n2 ] =

"tt "

= E J J n(t)n(u)9n (t)9n (u)dtdu

0 0

TT

= (No / 2) J J Sn(t - и)фn (t)9n (u)dtdu =

00 T

2

(13)

= (N0 /2)|ф2n(t)dt = N0/2.

0

Аналогично доказывается, что наблюдения взаимно некоррелированы, и для любых n^l имеем cov[y п , У l |xm ] = E[nnn!] = E[n2 ] =

= E

TT

J J n(t)n(u^n (t)фl (u)dtdu

00

(14)

= (N0/2) |ф n(t)9 l(t)dt = 0.

0

Отсюда, в силу того, что наблюдения — гауссовские случайные величины, вытекает, что они, кроме того, независимы. Введем вектор из N наблюдений

У=(У1, У2,..., yN),

компоненты которого суть независимые гауссовские случайные величины со средними, заданными в (12), и дисперсиями N0/2. Тогда условная плотность вероятностей y при заданном векторе сигнала xm (или, что то же, при условии, что передано сообщение Hm) равна N

pn (y|xm ) = П p(y n |xmn ) = п=1

п=1

(Уп - xmn)2/N0

(15)

Вернемся к представлению (11) для y(t). Ясно, что вектор наблюдений y=(y1, y2,..., yN) полностью задает слагаемые, входящие в сумму; однако член n(t), определенный в соотношении (10), зависит только от шума и не связан с сигналом. Далее, поскольку среднее шумового сигнала равно нулю, то n(t) представляет собой гауссовский процесс с нулевым средним. Наконец, n(t) и вычисленные по нему любым способом наблюдения не зависят от наблюдений {yn}, так как

E[n(t)yj ] = E

n(t) J У(а)ф j (u)du

= E

V N

n(t) - E ПпФn

V n=1

(t) j(x

mj

+ П

)-

= E

T

n(t) J п(u)ф j (u)du

0

N

E (ППУі)Фn (t) =

n=1

= (N0 / 2)фj (t) - (N0 / 2)фj (t) = 0, j = 1,2,..., N.

Поскольку наблюдения, вычисленные по n(t), не зависят ни от наблюдений {yn}, ни от переданного сигнала xm, то они не существенны при принятии решения о том, какое из сообщений было передано. Более точное утверждение формулируется следующим образом: если п представляет собой любой вектор из N' наблюдений, построенных только по n(t), то, как вытекает из предыдущего, совместная условная плотность вероятностей имеет вид

PN+N (y,n|xm) = PN(y|xm)PN'(n) .

Сомножитель Pn' (n) бесполезен при решении, поскольку входит во все условные плотности (при m=1,2,...,M) одинаковым образом.

Отсюда заключаем, что для принятия решения полезен только первоначальный вектор наблюдений y, построенный по y(t). Поэтому указанные наблюдения образуют достаточные статистики. Следовательно, преобразователь можно реализовать по схеме, приведенной на рис.3. Таким образом, преобразователь отображает процесс с непрерывным временем в N—мерный случайный вектор y, поступающий на вход тестера.

Подводя итоги сказанному, отметим, что для СТД АБ использование общих и подробных схем аналогового имитатора и преобразователя, представленных на рис .2 и 3, позволяет свести сложную модель (см. рис. 1) к простой (рис.4), в которой диагностируемая радиоэлектронная система представляет собой случайное отображение, заданное условной плотностью вероятностей

N

PN (y|xm ) =П Р(У n |xmn )- (16)

П=1

РИ, 2000, № 3

14

И хотя мы рассмотрели только случай с СТДАБ, результат остается справедливым для многих других СТД. Любую систему, условные (или переходные) плотности вероятностей (или вероятности) которой удовлетворяют соотношению (16), целесообразно называть системой без памяти.

Поступила в редколлегию 27.04.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Пресняков И.Н.

Бурдаков Сергей Николаевич, начальник отделения АО НИИРИ. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-52-60.

Верещак Александр Петрович, канд. техн. наук, директор АО НИИРИ. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-52-00.

Гурьев Владимир Ефимович, начальник отдела АО НИИРИ. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-13-10

Кривенко Станислав Анатольевич, канд. техн. наук, доцент, начальник сектора АО НИИРИ. Научные интересы: радиотехнические системы технической диагностики. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова , 271, тел. 26-95-36.

Н„.

Рис. 4. Структурная схема СТД

УДК 621.396.62

ВЗАИМНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЯ И ФАЗЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО СИГНАЛА ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ТРОПОСФЕРЕ

ПЕЧЕНИН В.В, ДЕЙКАЛО С.А.____________

Приводится аналитическое выражение, описывающее корреляционную связь между флуктуациями уровня и фазы гармонического сигнала на выходе приемного канала связи. Приводятся также графические зависимости, построенные по аналитической формуле взаимной корреляции флуктуаций уровня и фазы с использованием экспериментальных данных.

Большинство радиотехнических систем различного назначения, функционирующих в сантиметровом диапазоне волн, так или иначе испытывают влияние приземной тропосферы. Особенно заметно влияние приземной тропосферы на информационные характеристики электромагнитной волны, если трассы распространения проходят в самой тропосфере. При этом происходит частичное, а иногда и полное разрушение полезной информации, заложенной в параметрах электромагнитной волны.

Наряду с эффектами разрушения, т.е. увеличением флуктуаций уровня и фазы, замираниями сигнала возникает корреляционная связь между самими флуктуациями. Наличие такой корреляции в ряде случаев может стать важным фактором улучшения характеристик радиотехнической системы. Здесь имеется в виду то обстоятельство, что знание степени корреляционной связи между информационными и неинформационными параметрами сигнала, которые порождены радиофизическими эффектами, позволяет улучшить информационное содержание полезного сообщения.

РИ, 2000, № 3

В связи с изложенным выше становится ясной цель получения некоторого модельного описания степени взаимной корреляции флуктуаций уровня и фазы, обусловленной радиофизическими эффектами распространения электромагнитной волны в приземной тропосфере. Следует отметить, что в области прикладных задач, конкретизирующих условия распространения электромагнитных волн, затронутая проблема изучена недостаточно.

Задача исследования формулируется следующим образом. Имеется радиоканал связи между источником гармонической электромагнитной волны и приемником. Трасса радиоканала проходит в случайно-неоднородной тропосфере. При этом флуктуации уровня и фазы на выходе канала распределены соответственно по релеевскому и нормально -му законам, справедливость выбора такого распределения подтверждена экспериментальными данными. Аналитическое описание флуктуаций уровня и фазы задано стохастическими дифференциальными уравнениями первого порядка. Необходимо отыскать взаимно-корреляционную связь между флуктуациями уровня и фазы.

Система дифференциальных стохастических уравнений, описывающих флуктуации амплитуды A и фазы ф , имеет вид:

dA N01

---— -aiA л------\- noi (t),

dt 1 4A 01

d9

— = -а,2ф + no2(t). dt

(1)

Здесь ai и a 2 — величины, обратные интервалу корреляции амплитудных ta и фазовых тф флюктуаций; noi(t) и no2(t) — нормальные, белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и дельта-функцией корреляции; N01 — спектральная плотность мощности шума no1(t).

Величина взаимной корреляции между no1(t) и no2(t) определяется соотношением:

B

no1no2

(т) = k

л/Nq! • N

01 'iN02 2

S(t),

0 < k < 1,

15