CC BY
39
РАДИОТЕХНИКА.^^.,
УДК 621.317
ПРОСТАЯ ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ
БУРДАКОВ С.Н., ВЕРЕЩАКА.П., ГУРЬЕВ В.Е., КРИВЕНКО С.А.________________________
Описывается определение верхних границ вероятности ошибки диагностирования. Полная вероятность определяется как средняя по диагнозам. Получены простые верхние границы.
Рассмотрим систему технической диагностики, представимую в самом общем виде диаграммой на рисунке. Входные цифровые данные, характеризующие техническое состояние диагностируемого устройства, задаются, как правило, в двоичной форме, однако могут быть представлены и в другом алфавите из q>2 символов. Информация, поступающая со скоростью один символ каждые Ts секунд, содержит К диагностических признаков. Этот блок затем подается в цифровой имитатор в качестве одного из M возможных диагнозов, обозначаемых через H1, H2, ..., HM. Здесь M=qK, а q — объем алфавита диагностических сообщений. Цифровой и аналоговый имитаторы вместе осуществляют отображение множества из M диагностических состояний {Hm} на множество из M сигналов {xm(t)} конечной энергии и конечной длительности T= KTs.
Диагностируемую радиоэлектронную систему (см. рисунок) можно рассматривать как одно случайное отображение конечного множества имитируемых сигналов {xm(t)} в принимаемый случайный процесс y(t). Прежде чем сигнал появится на выходе системы, на него накладывается целый ряд искажений.
Можно считать, что пара преобразователь — тестер в общем случае осуществляет отображение принятого процесса в решение Hm относительно имитируемого диагноза. Для данной модели операции, производимые парой преобразователь — тестер, также можно разложить на две отдельные, по существу двойственные операциям, выполняемым имитатором.
Оптимальный тестер минимизирует вероятность ошибки при любом фиксированном наборе наблюдений. Необходимо исследовать, как зависят его характеристики от набора векторов диагностичес -ких признаков. Допустим, что установлен диагноз Hm (сигнальный вектор xm) и что принят вектор у наблюдений; тогда ошибка произойдет, если у не принадлежит Lm (это событие мы обозначаем через
ygLmили ує Лm ). Поскольку у представляет собой случайный вектор, то вероятность ошибки при условии, что передан xm, задается равенством
PEm = Pr{y є Лm|х= 1 -Pr{y є Лm|хm} =
= PN(y|xm)- (1)
yeAm
Мы пользуемся символом S для обозначения суммирования или интегрирования по пространству наблюдений. Поэтому в непрерывных системах (таких, как система технической диагностики с аддитивным белым гауссовским шумом (СТДАБ)) с N—мерными векторами наблюдений символ S означает N-мерное интегрирование, а pN(0 - плотность вероятностей. В дискретных системах, где как xm, так и у представляют собой векторы с компонентами из конечного алфавита, символом S обозначается N—кратное суммирование, а pN(0 -дискретное распределение.
Полная вероятность ошибки определяется как сред -няя по диагнозам:
M M
Pe =Z*mPEm = (1/M) Z PEm. (2)
m=1 m=1
Несмотря на то, что подсчет PE в соотношении (2) в принципе прост, численными методами он почти всегда неосуществим, если не считать ряда специальных случаев. С другой стороны, для PE имеются простые верхние границы, которые в отдельных случаях дают весьма точное приближение.
Простая верхняя оценка для PE получается, если исследовать дополнения Лm к решающим областям . При pm=1/M для всех m можно записать Л m следующим образом [1]:
4
РИ, 2001, № 1
лm = {y :lnpN(y|xm) > lnpN(y|xm) для некоторого mm} =
(3)
= U {y :lnPN(y|xm') ^ lnPN(y|xm)} = U Л mm',
mVm mVm
где Лmm' = {y :lnPN(y|xm' )/lnPN(ym |xm) •
Подставляя (3) в (1) и используя аксиомы вероятности, находим
PEm = Рг{У єЛm |xm } =
= рГ{у Є U Лmm' |xm ^Z Рг{У єЛmm' |xm)} = m'^m mVm
= X Pr{ln[PN (y|xm' )/PN (y|xm)] ^ 0xm} = (4)
mVm ' '
= ZPE(m^ m'),.
mVm
Здесь через Ре(ш ^ m') обозначена попарная вероятность ошибки, соответствующая случаю, когда
передан x m и единственной альтернативой служит
x m-. Неравенство (4) превращается в равенство всякий раз, когда области не пересекаются; это справедливо только в тривиальном случае M=2. По очевидным соображениям границу, заданную правой частью неравенства (4), можно назвать аддитивной.
Для СТДАБ [1] можно точно вычислить слагаемые аддитивной границы при п m = пm-. Получаем
Ре(ш ^ m') =
_(sm'_Em)/N0 2 о ________
= J exp[-(Zmm'-P z) /(2oz)]^2lczdZmm' =
f -x2/2 dx
I e FT ’
где
"[s m' m 2(xn
і)] /V2 ! N0 ||xm xm'||_
(9)
P {[(e m' em)/N0] + H- z}/z _ _1_
" N
= I|xm _ xm' || ^2N0 ■
Получаем, наконец, простое выражение
PE(m ^ m') = Q(|xm - xm^l /V2n0), (10)
здесь через Q() обозначена гауссовская функция распределения:
Q(Q) t e-x2/2 dx 7e_x2/2 dx
Q(p) = Je —= = je -=. (11)
-а, л/2л p л/2л v >
Возвращаясь к границе для вероятности ошибки (4), построим простую, но общую границу для
Pe (m ^ m'). Из (3) и (4) непосредственно следует, что
PE (m ^ m,) = Pr{y Є Лmm' Ixm } = Z PN (y|xmX
УєЛ mm'
где
PE (m ^ m) _ Pr{Zmm' — (e m є m' )/N0 |x m}, (5)
2 Z 2
где Zmm' = T: Z (xmn _ xm'n )yn _ T7 (xm _ xm', y), N0 n=1 N
Если передан x m, то имеем n гауссовских случайных величин
Уп = Xmn + Пп (6)
со средними xmn и дисперсиями No /2. Кроме того, yn и уі независимы при пМ [1]. Поскольку Zmm' представляют собой линейные комбинации независимых гауссовских случайных величин, то, следовательно, они сами — гауссовские величины. Воспользовавшись (6), найдем их средние [1]:
N
E(Zmm' |x m) = (2/N0) Z (xmn _ xm'n )E(y n |xmn ) =
n=1 (7)
— (2 / N0 )[Sm _ (xm', xm )] = H-z
идисперсии
N
n=1
= (2/N0)|xm - xm'
Таким образом,
II2, 2 _ ^ z .
(8)
Лmm' = {У : [PN(y|xm')/PN(y|xm)] ^ 1} C (12)
а через Yn обозначено все пространство наблюдений. Можно записать выражение (10) по-другому:
PE(m ^ m,) = Zf(y)PN(y|xm X (13)
здесь f(y) =
1 для всех y eAj
[0 для всех y г Л mm-. Функцию f (y) легко оценить:
f(y) =
1 ^ PN(y|x m' )/PN(y|x m) ДЛЯ всех y єЛ г 0 <д/PN(y|xm')/PN(y|xm) ДЛЯ всех y g Л
22
var(Zmm' x m ) _ (4/N0) Z [xmn _ xm'n ] var(y n xmn ) _
(14)
Верхняя граница — следствие (12), а нижняя — тривиальна. Поскольку сомножители слагаемых в
(13) всегда неотрицательны, можно заменить f (y) ее оценкой (14), что приведет к неравенству
PE
(m ^ m ) = Ту1 PN(y|xm')/PN(y|xm).
(15)
Соотношение (15) соответствует границе Бхаттача-рия, а логарифм правой части (15), взятый со знаком минус, — расстоянию Бхаттачария.
y
РИ, 2001, № 1
5
Комбинируя аддитивную границу (4) с общей границей Бхаттачария (15), получаем, наконец, границу для вероятности ошибки m-го диагноза
PEm ^ Е PE (m ^ m) =
= Z Z VPN(y|x m' )/PN(y|x m)- (16)
y mVm
Изменение порядка суммирования всегда законно, поскольку сумма по m' берется по конечному множеству.
Литература: 1. С.Н. Бурдаков, А.П. Верещак, В.Е. Гурьев, С.А.Кривенко. Цифровая модель системы технической диагностики с аддитивным гауссовским шумом // Радиоэлектроника и информатика. 2000. № 3. С. 12-15.
Поступила в редколлегию 27.04.2000
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Пресняков И.Н.
Бурдаков Сергей Николаевич, начальник отдела АО НИИРИ. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-52-60.
Верещак Александр Петрович, канд. техн. наук, директор АО НИИРИ. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-52-00.
Гурьев Владимир Ефимович, начальник отдела АО НИИРИ. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-13-10.
Кривенко Станислав Анатольевич, канд. техн. наук, доцент, начальник сектора АО НИИРИ. Научные интересы: радиотехнические системы технической диагностики. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-95-36.
УДК 621.396.96’06
ДВУМЕРНАЯ
ВЗАИМОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ АКУСТИЧЕСКОГО И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО СИГНАЛОВ РАДИОАКУСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
КАРТАШОВ В.М.
Вводится двумерная пространственно-частотная корреляционная функция, позволяющая сравнительно легко определять основные информационные характеристики систем зондирования атмосферы. Указываются различные формы представления функции.
Теория анализа и синтеза радиолокационных сигналов строится в предположении точечного характера цели. Всякие отличия формы и характеристик рассеивающего объекта от принятых предположений приводят к изменениям структуры и параметров рассеянного сигнала.
В акустических и радиоакустических системах (РАС) зондирования атмосферы рассеяние излученных волн происходит на распределенных в пространстве объектах [1,2]. В РАС используются зондирующие колебания различной физической природы - акустические и электромагнитные. При этом рассеивающий объект, создаваемый акустическим сигналом, не является точечным частотнонезависимым отражателем и, следовательно, изменяет при рассеянии форму излучаемых электромагнитных колебаний. В соответствии с этим задача анализа (синтеза) зондирующих сигналов для радиоакустических систем зондирования атмосферы должна состоять в совместном анализе (оптимизации) характеристик двух взаимосвязанных видов сигналов — электромагнитного и акустического.
ется их близостью как в пространстве, так и в области волновых чисел (здесь E и S — комплексные огибающие сигналов; r' — пространственная координата; t — время). Первое условие очевидно и всегда выполняется в некотором диапазоне дальностей, если радиосигнал излучается с некоторой задержкой во времени после излучения акустического сигнала, а направления излучения обеих волн совпадают. Второе условие известно как условие Брэгга и характеризуется параметром расстройки двух сигналов в области волновых частот
q = 2ke - ks, где ke и ks — волновые числа, соответствующие несущим частотам излучаемых электромагнитной и акустической волн. В соответствии с этим введем меру отличия двух сигналов как
квадрат отклонения E(2r') и S(r' - r)ejqr':
+^Г
Д2 (r, q) = J |E(2r') - S(r'- r)ejqr
2
dr'
(1)
Раскрывая подынтегральное выражение, получаем Д2 (r, q) = J |E(2r')|2dr' +
+ J S(rr)ejqr'
2 +“
dr2 J E(2r')S* (rr)ejqr dr'. (2)
—да
Полагая, что
~ 2
ЛE(2r')| dr' = 1, J S(r’-r)ejqr dr' = J |S(r'- r|2dr' = 1,
и учитывая, что третий член в (2) — взаимокорреляционная функция сигналов
J E(2r')S* (rr)ejqrdr' = Z(r, q),
запишем
Совместная способность излученных акустическо- д* 2 (r, q) = 2[1 - Z(r,q)]2 . (3)
го S(r',t) и электромагнитного E(rt) сигналов к формированию рассеянной радиоволны определя-
6
РИ, 2001, № 1
