Расширенная граница вероятности ошибки диагностирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

(3)

УДК 621.317

РАСШИРЕННАЯ ГРАНИЦА ВЕРОЯТНОСТИ ОШИБКИ ДИАГНОСТИРОВАНИЯ

БУРДАКОВ С.Н, ВЕРЕЩАК А.П., ГУРЬЕВ В.Е., КРИВЕНКО С.А.

Рассматривается актуальная ситуация, когда аддитивная граница вероятности ошибки диагностирования становится слишком грубой. Применение более тонкого метода приводит к улучшенной границе, которая точна в значительно более широкой области.

Чтобы выяснить степень точности аддитивной границы [1], рассмотрим систему технической диагностики с аддитивным белым гауссовским шумом (СТДАБ), которая моделируется схемой, содержащей сумматор, как это показано на рисунке.

і

2

n

Преобразователь для СТДАБ

Для входного сигнала xm(t) выходным сигналом будет

y(t)=Xm (t)+n(t), 0<t<T, (1)

где n(t) — стационарный случайный процесс с мощностью, распределенной равномерно в полосе частот, значительно превышающий ширину полосы сигнала. Следовательно, он моделируется как процесс со спектральной плотностью, равномерной в сколь угодно широкой полосе частот, или, что эквивалентно, процессом с функцией ковариации

R(t)=(No/2)S(t), (2)

т

Уп =J y(t)9n(t)dt, n = 1,2,...,N.

0

Они вычисляются с помощью системы, представленной на рисунке. Введем также коэффициенты

т

Пп =J n(t)9n(t)dt, п = 1,2,...,N, (4)

0

следовательно, из (1) имеем

Уп = xmn + пп> п = 1,2,...,N . (5)

Рассмотрим теперь процесс

N

~(t) = y(t) -Z Уп Фп№. (6)

п=1

Пусть имитируется сигнал xm (t). Из соотношений (1) и (6) следует, что указанный процесс можно записать в виде

N

~(t) = xm (t) - п(Ч - Z (хтп + пп)Фп (t) = п=1

N ~ (7)

= n(t) -2 пп фп(0 = ~(t) п=1

и что он зависит только от процесса шума. Следовательно, первоначальный процесс можно представить так:

N N

y(t) = Z Уп Фп (t) + ~(t) = Z Уп Фп (t) + n(t). (8)

п=1 п=1

Результаты измерений процесса y(t) назовем наблюдениями.

Допустим, что в качестве наблюдений мы взяли лишь N проекций {yn}, заданных соотношением (3). Определенный выражением (1) сигнал y(t) представляет собой гауссовский процесс, поэтому и наблюдения — гауссовские случайные величины со средними, зависящими только от соответствующих компонент сигнала:

т

Е(У п Iхm ) = J хт №фп (t)dt = хтп ,

0 (9)

п = 1,2,..., N,

и дисперсиями, равными N0/2, поскольку для любого n

здесь 5(-) — дельта-функция Дирака; N0—односторонняя спектральная плотность шума.

Можно считать, что пара преобразователь — тестер в общем случае осуществляет отображение принятого процесса в решение Hm относительно имитируемого диагноза. Для данной модели операции, производимые парой преобразователь — тестер, также можно разложить на две отдельные операции, по существу двойственные операциям, выполняемым имитатором. Рассмотрим сначала проекции случайного процесса y(t) на каждую базисную функцию аналогового имитатора, задающие N интегралов — скалярных произведений:

уаг[Уп Iхm ] = Е[(Уп - хтп )2Iхт ] = ] =

= Е

тт

J J n(t)n(u)ф п (t)9 п (u)dtdu

00

тт

(10)

= (No /2)J J8n(t-и)фп(t)9п(u)dtdu =

00 T

= (No/2)|ф2п (t)dt = No/2.

0

Аналогично доказывается, что наблюдения взаимно некоррелированы, и для любых пМ имеем

РИ, 2001, № 2

13

cov[yn,yi Xm] = E[nnnj] = E[nn]

= E

TT

J J n(t)n(u)9 n (t)91 (u)dtdu

0 0

= (N о / П) |фn(t)9i(t)dt = 0.

0

(11)

Отсюда, в силу того, что наблюдения — гауссовские случайные величины, вытекает, что они, кроме того, независимы. Введем вектор из N наблюдений

каждый из которых имеет единственную ненулевую компоненту:

І 0, если n Ф m,

xmn = т/є<5 mn = 1 I m

[у є, если n = m.

Тогда (14) переходит в неравенство

Pe < (m ^ m') < e_Е/(nN0) для всех m' Ф m,

и, следовательно, из соотношения (13) получаем оценку аддитивной границы:

У=(У1, У2, ••• , Yn),

компоненты которого суть независимые гауссовские случайные величины со средними, заданными в (9), и дисперсиями No/2. Тогда условная плотность вероятностей у при заданном векторе сигнала xm (или, что то же, при условии, что имитируется диагноз Hm) равна

N

PN(y|Xm ) = П Р(Уn |xmn ) =

n=1

П ^xP [- (Уп

n=1

- (Уп - xmn ) /Ni

і ^N0 }

Подставим функцию правдоподобия

PN (y|xm ) = П ^P[- (Уп

'NO^iJ = П |exP[~ (Уп - xmn )П / N0

n=1

в соотношение

(12)

PE (m ^ m,) = ZyjPN(y|xm')/PN(y|Xm). y

(13)

PEm < (M-1)e_E/(nN0) m = 1,n,...,M, . (16)

Поэтому приведенная граница бесполезна, когда M>exp(e/2N0).

В тех случаях, когда аддитивная граница становится слишком грубой, применение более тонкого метода всегда приводит к улучшенной границе, которая точна в значительно более широкой области по сравнению с аддитивной границей. Введем подмножество пространства наблюдений вида

Am = |у ■ Z [PN (у|х m' )/PN(y|X m)]^ 1[> 0 (17)

[ mVm J

содержащее область Л m . Последнее вытекает из того, что при pm =1/M для всех m для любого

y ^ ^ m ■

[PN (у|хm" ) / PN (у|хm)]X ^ 1 для некоторого m" Ф m.

Ввиду того, что Yn представляет собой пространство действительных векторов, получим

Pe (m ^ m')

1

х J... J exP

1

2N^

||y -xm'lln +||y - X “n

] fdy =

= exP{-||xm -xm'||n/4N0} • (14)

Сравнив правую часть соотношения (14) с точным выражением, видим, что Q(b) заменена на exp(-b2/2). Но, справедливо

(1 -1 / Р n )(e_pn12 л/ПЙР) < Q(P) < (e_pn12 л/ПЙР). (15)

Следовательно, при больших значениях аргумента выражение границы (14) довольно точно. Заметим также, что логарифм правой части в соотношении (14), взятый со знаком минус, пропорционален квадрату расстояния между сигналами. Чтобы продвинуться еще на один шаг и оценить точность аддитивной границы, рассмотрим специальный случай M M-мерных сигналов равной энергии,

Более того, возведение в l-ю степень обеих частей неравенства (18) оставляет его справедливым при

l>0, а сумма по всем m' ф m, кроме других неотрицательных слагаемых, включает слагаемое с индексом m", для которого справедливо неравенство (18). Поэтому из (18) вытекает неравенство

Е [PN (у|х m' )/PN(y|X m)]^ 1 mVm _____________ (19)

для всех у є Л m.

Из выражений (17) и (19) следует тогда, что каждое у є Л m входит и в Л m , поэтому

К ЕЛm . (20)

Получим границу

PEm ^ Z PN (у|х m ) = Z f(y)PN(y|Xm). yeAm У

где

f(y) J1 если У e~~m

[0, если у г Лm

(21)

14

РИ, 2001, № 2

Далее имеем

f(y) Е [PN(y|xm' )/PN(y|xm)]X!

ImVm J (22)

для всех y є Yn , p> 0, X> 0,

поскольку из определения (17) следует, что для

у є Лm правая часть неравенства (22) больше 1, а

при у £ Л m она по крайней мере больше 0.

Подставляя выражение (22) для f(y) в (21), получаем

PEm ^Е [Pn (У xm)]1_XP { Е [Pn (y|xm' W .

У ImVm J (23)

p > 0, X> 0.

Поскольку X и p представляют собой произвольные положительные числа, можно выбрать Х=1/(1+р), что дает неравенство

PEm ^Е [PN(yXm)]1/(1+P) { Е [PN (y|x m' )]1/(1+Р)} ,

у [mVm J

р > 0.

(24)

Ясно, однако, что аддитивная граница представляет собой ее частный случай, соответствующий значению r=1 в неравенстве (24).

Литература: 1. Бурдаков С.Н., Верещак А.П., Гурьев В.Е., Кривенко С.А. Простая верхняя граница вероятности ошибки диагностирования/ / Радиоэлектроника и информатика. 2001. № 1. С. 4-6.

Поступила в редколлегию 27.04.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Пресняков И.Н.

Бурдаков Сергей Николаевич, начальник отдела АО НИИРИ. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-52-60.

Верещак Александр Петрович, канд. техн. наук, директор АО НИИРИ. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-52-00.

Гурьев Владимир Ефимович, начальник отдела АО НИИРИ. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-13-10.

Кривенко Станислав Анатольевич, канд. техн. наук, доцент, начальник сектора АО НИИРИ. Научные интересы: радиотехнические системы технической диагностики. Адрес: Украина, 61054, Харьков, ул. Академика Павлова, 271, тел. 26-95-36.

УДК 621.396.96’06

МОДЕЛЬ РАССЕЯНИЯ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОСТЯХ АТМОСФЕРЫ

КАРТАШОВ В.М., САКАЛО С.Н.

Разрабатывается модель рассеивающих объектов систем акустического и радиоакустического зондирования атмосферы в области пространственных спектров. Модель адекватно описывает особенности рассеяния волн на решетках и может использоваться для анализа свойств зондирующих сигналов.

Определение вида и характеристик рассеянного сигнала в задачах зондирования атмосферы акустическими и электромагнитными волнами сопряжено с решением достаточно сложных волновых задач [1,2], что требует специальной подготовки, значительных усилий и не всегда приводит к физически прозрачным результатам. Именно этими обстоятельствами объясняются ошибки и заблуждения, нередко встречающиеся в известной литературе, о которых говорится также в [2].

Для разработчиков систем зондирования атмосфе -ры при решении задач анализа и синтеза зондирующих сигналов, синтеза оптимальных алгоритмов приема, оценки точностных характеристик системы целесообразно иметь более простой и физически наглядный модельный подход, основанный на понятиях и процедурах, используемых в теории систем, который воспроизводит характерные особенности процесса рассеяния и принимаемого сигнала. В данной статье разрабатывается структурнофизическая модель, отвечающая этим условиям и позволяющая с помощью достаточно простых и привычных для инженера преобразований, осно-

ванных на аппарате теории линейной фильтрации, определять вид сигнала, рассеянного различными объектами, и его основные характеристики. Возможность рассмотреть рассеяние волн с позиций линейной фильтрации обусловлена линейностью уравнений Максвелла в среде без потерь, а также линейностью волновых уравнений, описывающих распространение и рассеяние звука в диапазоне небольших значений амплитуды.

С целью выяснить характерные для задач зондирования атмосферы особенности процесса рассеяния, учитываемые далее при создании соответствующих моделей, запишем и проанализируем основные соотношения, которые определяют рассеяние электромагнитной волны на звуке. Выражение [3] для

рассеянного поля е1 (?ь t), полученное в борновс-ком приближении при достаточно общих предположениях, исходя из нестационарного волнового уравнения, имеет вид

?1Д)

1 д 2l(r,.t)

4ле2 а2 ,

ї( ?1.0=Шs

(

r,t -

|?1

V

(

r,t -

|Ї1

V

d3r

?1 - ?

(1)

c

c

где ? — радиус-вектор точки пространства; t —

время; е — вектор напряженности электрического поля; s — изменения диэлектрической проницаемости среды, вызванные звуковой волной; c — скорость распространения света. Формула (1) определяет поле в некоторой точке ?1. Интегрирование здесь производится в пределах области рассеяния,

РИ, 2001, № 2

15