CC BY
28
А. Н. Глушков, М. Ю. Калинин,
кандидат технических наук, доцент ООО «Голдекс»
ЦИФРОВАЯ ИМИТАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ С ЗАДАННЫМИ СТАТИСТИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
DIGITAL IMITATION OF RANDOM SIGNALS WITH GIVEN STATISTICAL PROPERTIES
В статье рассматриваются вопросы разработки алгоритмов цифровой имитации случайных сигналов на основе простой цепи Маркова и их аппаратная реализация.
The article deals with the development of algorithms for digital simulation of random signals based on a simple Markov circuit and their hardware implementation.
Введение. Задача цифровой имитации случайных сигналов с заданными двумерными статистическими, корреляционными, спектральными и структурными свойствами актуальна в различных технических приложениях. Известны [1] алгоритмы формирования случайных чисел с заданными распределениями вероятностей, но они не позволяют отображать сложные двумерные статистические свойства имитируемых процессов.
Целесообразно рассмотреть алгоритмы имитации случайных процессов с заданными свойствами, определяемыми теоретическими моделями с неограниченной продолжительностью реализаций. В качестве универсальной математической модели имитируемого случайного процесса выбрана простая цепь Маркова [2, 3], которая характеризуется большим числом параметров и позволяет отображать разнообразные статистические свойства сигналов, квантованных по уровню и времени. Параметры марковской модели вычисляются по выбранной двумерной плотности вероятностей. Предложенный алгоритм может быть реализован в виде программного датчика случайных процессов или аппаратно на основе микропроцессорных устройств [4] или программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) [5].
Простая цепь Маркова. Имитируемый случайный процесс представляет собой последовательность дискретных отсчетов с М = 2т возможными целочисленными
значениями, т — разрядность АЦП, гп = 1, М, п = 1, N — номер отсчета (момента квантования ^ ), N — объем выборки. Для его описания можно использовать дискретный марковский случайный процесс (простую цепь Маркова) [2, 3], для которого вероятности значений ги+1 = ] зависят только от предшествующего значения гп = г и не зависят от
более ранних значений. Марковская цепь описывается матрицей переходных вероятностей вида
"" Р Р 1 11Р 12"
Р Р 1 211 22-
Р - 1 1М
-Р
• ОД//"
Р Р Р
/ М11 М 2-- ММ
(1)
где — вероятность перехода процесса от значения гп = г к гп+1 = ] . Вероятности q
начальных значений ^ = г задаются матрицей
к ]=
ql
к2
Ям^
(2)
Для переходных вероятностей имеет место равенство
М
Ъ
]=1
Р]=1-
(3)
Как видно, марковская модель (1)—(3) имеет М(М — 1) независимых (в рамках условия (3)) параметров, что позволяет с ее помощью отображать разнообразные статистические и корреляционные свойства случайных процессов.
Определение параметров марковской модели. Для заданного двумерного распределения вероятностей w( \х2) значений х и х со средним и уровнями кванто-
вания
§ т
— да
М*
при
т = 0,
т — ^ + хСР при т = 1, (М — 1),
(4)
да при т = М,
где d — шаг квантования по уровню, совместное распределение вероятностей значений дискретного случайного процесса = г, г2 = ] имеет вид
§1 §]
Р(^ = г, ¿2 = ]) = Р(г, ]) = | | w(%х2 )dx2dx1.
(5)
§1—1 ё]—1
Так как Р(гу = 1, ^ = )) = Р(гу = 1) ■ Ру, то для переходных вероятностей Рц можно записать расчетное соотношение
<
^
| | , Х2 >1Х2^1
Р =
Р(21 = 1 >22 =)) _ §1-1
Р( 21 =1)
з
I Iw( Х1, Х2 ,МХ2^1 §1-1
(6)
а для вероятностей начальных значении соответственно
gi <»
P(= г) = | | w(хх )dx2dx1
(7)
gi-1 -
Выражения (6) и (7) позволяют построить марковскую модель случайного процесса с произвольной известной двумерной плотностью вероятностей w(Хl, Х2) . Примером может служить гауссовский случайный процесс [2], для которого
Ч *2> =
1
2паг41-г2
еХр
(Х1 ХСР ) + 2г (Х1 ХСР )(Х2 ХСР ) + (Х2 ХСР )
2(1- г V2
(8)
где хср — его среднее значение, а2 — дисперсия, г — коэффициент корреляции.
Матрицу совместных вероятностей [Р(г,/)] (рис. 1, а) и переходных вероятностей
[р, ] можно отображать графически в виде трехмерных диаграмм, как показано на рис. 1
для гауссовского случайного процесса (8) при М = 32 с различными коэффициентами корреляции.
Рис. 1. Трехмерные диаграммы матриц вероятностей
Как видно, при г = 0 (рис. 1, б) строки матрицы [^ ] одинаковы, а при наличии
корреляционных связей между соседними отсчетами структура матрицы изменяется в зависимости от величины и знака г .
Матрицы совместных и переходных вероятностей [^ ] простой цепи Маркова отражают статистические свойства квантованного случайного процесса и взаимосвязь соседних отсчетов.
зо
Алгоритм цифровой имитации случайного процесса. На основе матрицы [р ] формируется матрица распределений вероятностей
Рг] =£рш . (9)
т=1
Для начальных значений случайного процесса функция распределения вероятностей равна
а = £ Р( ъ = т).
(10)
т=1
Алгоритм цифровой имитации отсчетов случайного процесса по его марковской модели заключается в следующем. Датчик псевдослучайных чисел уп с равномерным распределением вероятностей на интервале от 0 до 1 формирует очередное значение, соответствующее п -му отсчету . Если предыдущее значение 2п-1=г, то величина гп = ] выбирается как минимальное значениеу, при котором выполняется неравенство
К < . (11)
Для первого отсчета 21 его величина 21=1 выбирается как наименьшее значение г, при котором выполняется неравенство
^ < а. (12)
Структурная схема алгоритма показана на рис. 2.
Рис. 2. Структурная схема алгоритма имитации случайного процесса
по его марковской модели
Имитация гауссовского случайного процесса. На рис. 3 представлены результаты работы алгоритма имитации нормального случайного процесса (8) при М = 32 с уровнями квантования (4) при шаге квантования
46
d =
10-а
М
(13)
коэффициенте корреляции г = 0,4 и матрице переходных вероятностей, представленной на рис. 1, б.
На рис. 3, а показана диаграмма распределения вероятностей (9), на рис. 3, б — полученного в результате статистического имитационного моделирования предложенного алгоритма (рис. 2) совместного распределения вероятностей [Р(г,7)] по выборке из 106 отсчетов, а на рис. 3, в — его отклонения от теоретического значения (5).
Рис. 3. Трехмерные диаграммы результатов работы алгоритма имитации
На рис. 4 показаны статистические характеристики полученной в результате имитации реализации отсчетов сигнала (рис. 4, а), его спектра (рис. 4, б), где d = / / /кв — нормированная частота ( /кв — частота квантования) и нормированной корреляционной функции Як (к — величина смещения), пунктиром на рис. 4, в показана теоретическая корреляционная функция Як = гк.
Рис. 4. Результаты работы алгоритма имитации
Как видно, предложенный алгоритм обеспечивает достаточно точную имитацию двумерного гауссовского случайного процесса с заданными статистическими и корреля-
ционными свойствами. На его основе можно реализовать высокоскоростной программный или аппаратный датчик нормальных псевдослучайных чисел, превосходящий по вычислительной эффективности известные алгоритмы [1].
Имитация негауссовского случайного процесса. Используя другие марковские модели, полученные в результате теоретических расчетов, можно имитировать разнообразные случайные процессы.
В качестве примера рассмотрим имитацию случайного процесса с двумерной плотностью вероятностей вида
w(x, у) = ^^(х + у) при 0 < х, у <ж/2, (14)
ее график показан на рис. 5, а. На рис. 5, б представлена трехмерная диаграмма матрицы совместного распределения вероятностей Р(г, у) (5), на рис. 5, в — матрицы переходных
вероятностей (6), а на рис. 5, г — функции распределения вероятностей (9). Как
видно, вероятностные свойства случайного процесса значительно отличаются от нормального.
Рис. 5. Характеристики марковской модели
Результаты моделирования алгоритма имитации показаны на рис. 6: на рис. 6, а — реализация случайного процесса 2п ( п — номер отсчета), на рис. 6, б — гистограмма одномерного распределения вероятностей р значений отсчетов гп = г (пунктиром показана теоретическая зависимость), а на рис. 6, в — нормированная корреляционная функция Як .
Рис. 6. Результаты имитации
На рис. 7 показаны вероятностные характеристики результатов имитации: на рис. 7, а — статистической оценки совместного распределения вероятностей Р(г, у), на
рис. 7, б — переходных вероятностей р, а на рис. 7, в — оценка функции распределения вероятностей ^ .
Рис. 7. Вероятностные характеристики результатов имитации
Заключение. Результаты статистического имитационного моделирования свидетельствуют о высокой точности воспроизведения заданных двумерных статистических характеристик разнообразных случайных процессов в генерируемой выборке отсчетов. Рассматриваемый алгоритм формирования последовательностей отсчетов случайных процессов обладает высоким быстродействием и может использоваться для аппаратной или программной реализации.
ЛИТЕРАТУРА
1. Литвиненко В. П., Чернояров О. В. Моделирование случайных процессов : учебное пособие. — Воронеж : ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2017. — 175 с.
2. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. — М. : Высшая школа, 2000. — 483 с.
3. Казаков В. А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические задачи. — М. : Советское радио, 1973. — 232 с.
4. Круг П. Г. Процессоры цифровой обработки сигналов : учебное пособие. — М. : Издательство МЭИ, 2001. — 128 с.
5. Кнышев Д. А., Зотов В. Ю., Кузелин М. О. Современные семейства ПЛИС фирмы Xilinx : справочное пособие. — М. : Горячая Линия — Телеком, 2004. — 440 с.
6. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. — М. : Советское радио, 1970. — 728 с.
7. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов. — М. : Бином-Пресс, 2006. — 656 с.
8. Basic Algorithm for the Coherent Digital Processing of the Radio Signals / A. N. Glushkov [et al.]. // Proceeding of the 2015 International Conference on Space Science & Communication. — Malaysia, Langkawi, 2015. — 5 p.
9. Basic Algorithm for the Noncoherent Digital Processing of the Narrowband Radio Signals / A. N. Glushkov [et al.] // Applied Mathematical Sciences. — 2015. — Vol. 9. — No. 95. — P. 4727—4735.
REFERENCES
1. Litvinenko V. P., Chernoyarov O. V. Modelirovanie sluchaynyih protsessov : uchebnoe posobie. — Voronezh : FGBOU VO «Voronezhskiy gosudarstvennyiy tehnicheskiy universitet», 2017. — 175 s.
2. Venttsel E. S., Ovcharov L. A. Teoriya veroyatnostey i ee inzhenernyie prilozheniya. — M. : Vyisshaya shkola, 2000. — 483 s.
3. Kazakov V. A. Vvedenie v teoriyu markovskih protsessov i nekotoryie radiotehnich-eskie zadachi. — M. : Sovetskoe radio, 1973. — 232 s.
4. Krug P. G. Protsessoryi tsifrovoy obrabotki signalov : uchebnoe posobie. — M. : Izdatelstvo MEI, 2001. — 128 s.
5. Knyishev D. A., Zotov V. Yu., Kuzelin M. O. Sovremennyie semeystva PLIS firmyi Xilinx : spravochnoe posobie. — M. : Goryachaya Liniya — Telekom, 2004. — 440 s.
6. Fink L. M. Teoriya peredachi diskretnyih soobscheniy. — M. : Sovetskoe radio, 1970. — 728 s.
7. Layons R. Tsifrovaya obrabotka signalov. — M. : Binom-Press, 2006. — 656 s.
8. Basic Algorithm for the Coherent Digital Processing of the Radio Signals / A. N. Glushkov [et al.]. // Proceeding of the 2015 International Conference on Space Science & Communication. — Malaysia, Langkawi, 2015. — 5 p.
9. Basic Algorithm for the Noncoherent Digital Processing of the Narrowband Radio Signals / A. N. Glushkov [et al.] // Applied Mathematical Sciences. — 2015. — Vol. 9. — No. 95. — P. 4727—4735.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Глушков Алексей Николаевич. Доцент кафедры инфокоммуникационных систем и технологий. Кандидат технических наук.
Воронежский институт МВД России.
E-mail: a.glushkov75@yandex.ru
Россия, 394065, Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-52-23.
Калинин Максим Юрьевич. Генеральный директор.
ООО «ГОЛДЕКС».
E-mail: maks@oxrana.org
Россия, 109147, Москва, ул. Воронцовская, 35б.
Glushkov Alexej Nikolaevich. Assistant Professor of the chair of Communication Systems and Technologies. Candidate of Sciences (Technical).
Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.
E-mail: a.glushkov75@yandex.ru
Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-52-23.
Kalinin Maxim Yurievich. General Director.
«GOLDEKS».
E-mail: maks@oxrana.org
Work address: Russia, 109147, Moscow, Vorontsovskaya Str., 35b.
Ключевые слова: случайный сигнал; марковские процессы; гауссовский случайный процесс; имитация.
Key words: random signal; markov processes; gaussian random process; imitation.
УДК 519.217
