CC BY
31
Наука и Образование
МГТУ им. Н.Э. Баумана
Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 06. С. 72-85.
Б01: 10.7463/0617.0001161
Представлена в редакцию: Исправлена:
© МГТУ им. Н.Э. Баумана
05.05.2017 19.05.2017
УДК 621.396.96
Вероятностное моделирование цифровых обнаружителей при коррелированных входных воздействиях
Жураковский В.Н. , Иванникова Л.О.
1,*
¿уашБкоуаЖуа;Йуапс1ег:1и 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Данная статья посвящена вопросам вероятностного моделирования цифровых обнаружителей при коррелированных входных воздействиях. В статье проведено сравнение моделирования обнаружителей при коррелированном входном воздействии имитационным методом моделирования и вероятностным методом моделирования. В статье описан процесс моделирования цифровых трактов обработки сигналов имитационным и вероятностным методом, с учетом коррелированности входных воздействий.
Ключевые слова: корреляция; обнаружитель; имитационное и вероятностное моделирование; переходные процессы; ложное срабатывание; фильтр
Введение
Одной из сфер интенсивного внедрения средств и методов цифровой обработки информации является радиолокация. Для отработки алгоритмов работы цифровых устройств и выбора их параметров необходимо применять математическое моделирование цифровых устройств.
Для отработки алгоритмов цифровой обработки сигнала чаще всего используется имитационное моделирование [1], основанное на генерации случайных сигналов и пропускании их через имитационную модель цифрового тракта. Для получения корректных результатов необходимо повторять этот процесс, который называется статистическим экспериментом, многократно. Но в некоторых современных радиотехнических задачах должны быть очень маленькие вероятности отдельных состояний цифровых устройств [2]. Имитационный метод моделирования имеет ряд существенных недостатков, так как для измерений с точностью порядка 10" необходимо провести 10 вычислений. Большинство современных программ, генерирующих случайные последовательности чисел, начинают повторять ранее полученные комбинации значений при большом количестве измерений, что приводит к появлению ошибки, следовательно, проблема математического моделиро-
вания цифровых устройств остается актуальной. В связи с этим возникает необходимость получить более точный метод моделирования цифровой обработки сигнала.
Для решения этих проблем можно использовать вероятностный метод моделирования, рассмотренный Кузьминым [3], и который имеет ряд преимуществ по сравнению с имитационным методом. При таком методе моделирования вероятность пребывания сигнала в некотором текущем состоянии счетчика анализируется с помощью цифрового автомата и цепи Маркова на основе рекуррентной процедуры. Однако Кузьмин в своей книге не рассматривает отработку работы цифрового обнаружителя на фоне помех с известными параметрами при коррелированных входных воздействиях. Эта проблема, представляющая особую сложность, была рассмотрена в работе [4]. На основе этого можно разработать модель поиска вероятности ложного срабатывания при отработке работы цифрового обнаружителя. В таком случае использовать простые цепи Маркова оказывается не возможно. Поэтому в данной статье разработан анализ работы цифрового обнаружителя с использованием многомерных цепей Маркова.
1. Работа цифрового автомата при коррелированных входных
воздействиях
Любую сложную цифровую систему можно представить в виде композиции простых цифровых автоматов (ЦА). При этом задача анализа работы всей системы распадается на более простые задачи исследования работы простых ЦА. Как будет показано ниже, такой подход позволяет существенно сократить объем вычислений, доведя его до приемлемого уровня без существенной потери точности анализа. Но при этом необходимо решать задачу анализа ЦА при зависимых отсчетах входного воздействия и задачу получения статистических характеристик входных последовательностей ЦА.
Для решения этих задач рассмотрим стохастическую систему: "случайное входное воздействие - цифровой автомат" (СВВ-ЦА). Работа такой системы характеризуется последовательностью отсчетов входного воздействия и,и2,...ик и последовательностью внутренних состояний ЦА ^, ^, , . .. 2к принимающих значения а, а2,...ам, где N - число внутренних состояний ЦА. Полное вероятностное описание системы СВВ-ЦА на интервале наблюдения К ■ Тд задается вероятностями вида р(г0, щ, 21 ,..Щ, 2к), которые можно
представить следующим образом:
р{г0,щ,2Х,...,щ гк) = р(2к /г0,щ,...,гк_1) х
ХРК /¿о,Щ1, -ик-1, 2к-1 )Р(го,Щ,...,ик-1, 2к-1)' где р(гк /г0,щ,...гк_г) и р(ик /,щ,..., ик1,- условные вероятности перехода ЦА в состояние и появления сигнала ик на входе.
Для детерминированного ЦА состояние однозначно определяется предшествующим состоянием 2к_х и входным воздействием ик :
p(zk / z0 , U1, uk, zk-1) = P(zk / -1, uk) = [1 , e^Zk-1 = a; zk = aj; uk = * G Xj , (2)
i o , если z¿_j * a; zk * a; u =x & xtj
где Xtj - множество всех значений входного воздействия, вызывающих переход ЦА из состояния a в состояние a,,i, j = 1,...N.
г j 7 D j D
Так как входное воздействие описано v - связной цепью Маркова и не зависит от состояния ЦА, то
p(u
k ' z0, U1,..., uk-1, zk-1 ) = p(u k / Uk-v1Uk-\) 5 (3)
где p(uk /uk_v,...uk_^) - переходная вероятность входной Марковской последовательности.
Систему СВВ-ЦА можно описать векторной последовательностью Vk = (Uk_v+1,...Uk, Z¿), принимающей значения 01 ,в2,...0т , где N = N ■ rv, один компонент которой соответствует последовательности внутренних состояний ЦА, а остальные - значениям входного воздействия в v последовательные предшествующие моменты времени. Каждому состоянию ЦА соответствует rv возможных значений последовательности V0,V\,...Щ . Для такой векторной последовательности можно получить условие факторизации многомерного распределения вероятностей
k
Р(^01 Vl,..., Vk) = p(V0)ПP(Vi/Vi-1) . (4)
l=1
Переходные вероятности равны:
p(zk/zk-11 uk)p(uk/uk-v1.- uk-1); v-1 =or =(xXl,...,xx 1 aX
Vi =0s= (xXl,..., aj) , (5)
0; Vi-1 =0r= ^x^ aX Vi =0S * ^x^ x^ aj)
где X»-, xv+, = 1Г; К j = 1N; i = 1k.
Последовательность Vo 1V v-V , описывающая работу системы СВВ-ЦА, образует простую векторную цепь Маркова. Матрица переходных вероятностей Ы этой цепи име-
Р ( V i / V i-1 ) =
ет размерность NхN . Одномерное распределение состояний д1 ,...0т системы СВВ-ЦА можно представить в виде вектора вероятностей состояний р (0) с помощью рекуррентной процедуры [5]:
Рк (в) = Рк_1(^)-\\ж\\. (6)
Одномерное распределение состояний а исходного ЦА вычисляют по вектору вероятностей Р (в) взвешенным суммированием его компонентов р (0 ), у = N ,
N1
Рк (а) = 2>г-Р ■ N1 ■ Рк (вг), (7)
у=1
11, если a равно соответствующему компоненту вектора в,
w = 1
7 10, если a не равно соответствующему компоненту вектора ву.
Выражение можно записать в матричной форме Pk(a) = Pk(в)-1| L ||, где ||L|| прямоугольная матрица размерности N х N.
2. Цифровые обнаружители сигналов на фоне помех с известными
параметрами
Рассмотрим типовой обнаружитель сигналов на основе разработанной модели СВВ-ЦА, в котором используется бинарное квантование входного воздействия. В системах цифровой обработки информации накопление и обнаружение сигналов реализуется обычно на видеочастоте после объединения квадратурных каналов. В дальнейшем задачи обнаружения решаются с учетом следующих исходных предпосылок:
1) Входной одиночный сигнал представлен в виде
U = X (t) + s(t) (8)
где X(t) - полезный сигнал - функция времени и параметров; s(t) - помеха -
гауссовский случайный процесс (шум) с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2.
2) Помеха, присутствующая в сигнале, может быть коррелированной во времени или нет. При отсутствии коррелированных во времени помех выборки этого процесса не имеют межпериодной корреляции. При наличии помех последовательность выборок помех представляется приближенной цепью Маркова. Для ее статистического описания кроме дисперсии необходимо знать коэффициент межпериодной корреляции r.
Цифровая реализация алгоритмов обнаружения сигналов рассматривается в двух вариантах.
1) Сигнал квантуется по амплитуде так, что цена младшего разряда не превышает среднеквадратического значения внутренних шумов приемной аппаратуры. В этом случае учет влияния квантования сводится к добавлению к помехе на входе независимых шумов квантования, а синтез алгоритмов цифровой обработки — к цифровой реализации алгоритмов оптимальной аналоговой обработки.
2) Сигнал квантуется на два уровня (двоичное квантование). В этом случае необходимо проводить непосредственный синтез алгоритмов и решающих устройств для обработки цифровых двоично-квантованных сигналов. Необходимые для этого статистические характеристики выборок при наличии и отсутствии сигнала имеют следующий вид:
р = 1м>(и)йи,
С (9)
q = | м>(и)йи,
—ад
где р - вероятность ложной тревоги; q - вероятность пропуска сигнала.
Используя второй вариант цифровой реализации алгоритма обнаружителя можно проанализировать его структурную схему (Рис.1). Сигнал с источника подается на пороговое устройство, в результате чего на выходе образуется последовательность бинарных сигналов, поступающих на счетчик.
Рис.1. Структурная схема обнаружителя
3. Имитационное моделирование при коррелированных входных
сигналах
При реализации имитационной модели обнаружения сигналов необходимо учитывать корреляцию отсчетов входных сигналов. Иначе может появиться ошибка, приводящая к отказу или преждевременному срабатыванию обнаружителя. Для исследования работы цифрового обнаружителя используются коррелированные входные сигналы. Представим модель источника в виде генератора белого шума (ГБШ) и фильтрующего устройства. Фильтр будет создавать коррелированный сигнал, поступающий на обнаружитель (Рис. 2). Блок обнаружения будет выполнять бинарное квантование сигналов, и обеспечивать срабатывание при соблюдении необходимых условий работы счетчика.
Г
ГБШ Фильтр 1 1 1 1 • Порог Счетчик
1 * 1
Источник Обнаружигель
Рис. 2. Структурная схема коррелированного обнаружителя
В данной работе в качестве примера рассмотрена экспоненциальная корреляционная функция, где коэффициент корреляции зависит от скорости затухания экспоненциальной функции [6].
Форма экспоненты, на которой располагаются необходимые коэффициенты корреляции, задается функцией:
/ (г) = ехр(—к • г), (10)
где /(г) - коэффициент корреляции в заданный момент; к - коэффициент затухания.
При к ^ да коэффициент корреляции равен нулю, а при к ^ 0, единице. При других значениях к функция коэффициентов корреляции будет затухать с разной скоростью. Зададимся некоторым произвольным значением к, равным 1.
Шаг
Рис.3. Экспоненциальная функция коэффициентов корреляции
Для уменьшения корреляционной зависимости входного сигнала можно брать не каждый отсчет, а через один или несколько.
Используя функцию коэффициента корреляции (11) можно получить, сигнал, коррелированный на выходе:
у(0 = /(0• у{г -1) + (1 -/(О2 • х(г), (11)
где у(1) - коррелированный сигнал; х(() - белый шум.
В рассмотренном примере коррелированные сигналы берутся через один, для уменьшения корреляции между ними.
Рассмотрим работу обнаружителя при имитационном методе моделирования, который будет срабатывать при накоплении на счетчике N единиц и после этого оставаться в поглощающем состоянии. Такой пример удобен при поставленной задачи, так как можно оценить зависимость коэффициента корреляции на срабатывание заданной модели.
4. Вероятностное моделирование при коррелированных входных
сигналах
Рассмотрим обнаружитель, работающий аналогично тому, который использовался в имитационном методе, и сравним корректность его работы при использовании вероятностного метода моделирования.
Любую сложную цифровую систему можно представить в виде композиции простых ЦА. Анализ цифровых устройств удобно проводить с помощью аппарата конечных цепей Маркова [7].
В соответствии с (2) можно составить граф переходов цифрового обнаружителя с некоррелированным входным сигналом. Исходя из полученного на Рис.4 графа, можно однозначно определить состояние ЦА по предшествующему состоянию и входному сигналу.
N-1 ' ■ N
■ 1
Рис.4. Граф переходов обнаружителя с некоррелированным входным сигналом
Особую сложность представляет вычисление условных вероятностей цифрового измерителя. Эти вероятности находят через (п+1) - мерные интегральные функции распределения входного сигнала. Будем рассматривать стационарную систему, для которой в каждый момент времени интегральные функции распределения остаются постоянными, и определяются из нормального закона:
•ч
Е (•) = Ш *(•.
(12)
Для V - связной (например: v= 2) цепи Маркова матрица (13) переходных вероятностей имеет размерность 2х4 и имеет вид:
ж =
ж100 ж101
ж010 ж011
ж110 ж111
(13)
В нашем случае переходные вероятности, исходя из формулы (5), равны:
ж000
К
к
ж100
(К -Кз)
(К -К2)
к
ж = 1 -
ж001 1
к
ж101 =1 -
(К - К) (К - К)
ж000 ж001
Л110
,10 = ( 31 - 32)
(31 - 32 + 3з - 34)
(1 - 2 • £ + £2)
Л = 1 -
Л010 1
(£4 -3з) (£1 - £2)
Л =1 - (£ -¥г + £з -£4)
110 (1 - 2 • £ + £2)
(14)
где £7 , £2, , £4 - соответственно одно- , дву- и трехмерные интегральные функции распределения входного сигнала, которые можно получить из (12) формулы.
Так как при расчете трехмерных интегральных функций распределения, полученных из закона (12) значений оказывается недостаточно, можно воспользоваться формулой (15), которая позволяет определить недостающие параметры для решения поставленной задачи [8].
х^ да хI
£( х)= Щ/ (х ^х.
(15)
—сих- —(Л
Цифровой обнаружитель, срабатывающий на ^ом шаге, необходимо расширить и в соответствии с (6) граф переходов, рассмотренный ранее примет вид, представленный на Рис.5.
Рис.5. Граф переходов обнаружителя с поглощающим состоянием
С помощью графа переходов обнаружителя можно составить уравнения вероятностей (16), которые будут описывать работу счетчика [9]. В соответствии с формулой (7) можно рассчитать вероятность ложного срабатывания обнаружителя на N - ом шаге.
Р = Р(1) • ж000 + Р(3) • жШ0 + Р2(2) • ж010 + 2Р(4) • ж,
к=3
''110
Р2 = Р(1) •ж001 + Р(3) •жШ1 Рз = Р,(2) •ж001
Р4 = Рз(4) ж
(16)
Ры = Ры-1(4) • жш + Ры (4) • жш + Ры (3) • ж100 + Ры (3) • жш + Ры (2) • ж010 +
+ Ры (2) • ж011 + Ры (1) • ж000 + Ры (1) • ж001 •
5. Сравнение имитационного и вероятностного моделирования
Сравним принцип работы имитационного и вероятностного моделирования при накоплении 5 единиц при различных коэффициентах корреляции для данного обнаружителя. Из Рис.6 видно, что вероятность срабатывания счетчика при г = 0.9 (а) и г = 0.05(б) будет существенно отличаться, но при этом результаты, полученные двумя типами моделирования, будут иметь приближенные значения вероятностей.
Рис.6. (а) Вероятность срабатывания обнаружителя при г = 0.9; (б) Вероятность срабатывания
обнаружителя при г = 0.05
Данную модель полезно рассмотреть для того, чтобы увидеть зависимость ложного срабатывания обнаружителя от коэффициента корреляции, задаваемого на входе фильтра.
Построим зависимость вероятности срабатывания обнаружителя на произвольно заданных шагах N = 5, N = 7, N = 9 от коэффициента корреляции - г, находящегося в пределах 0 < г < 1. На Рис.6 обозначены все выходные характеристики.
Рис.7. Вероятность срабатывания обнаружителя на разном шаге срабатывания
Как видно из Рис.7, зависимость срабатывания обнаружителя зависит от коррелиро-ванности входного сигнала. При большой зависимости входных отчетов вероятность ложного срабатывания увеличивается [10].
Теперь рассмотрим простейший случай обнаружителя в виде реверсивного счетчика, который срабатывает при накоплении пяти единиц. На вход подается белый шум с заданным среднеквадратичным отклонением (СКО) и нулевым математическим ожиданием, который подвергается пороговой обработке: при превышении порога на вход ЦА подается единица, иначе - ноль. Граф переходов такого обнаружителя представлен на Рис. 8.
Рис. 8. Граф переходов обнаружителя с реверсивным счетчиком
Переходные вероятности и матрица переходных вероятностей были получены ранее и подходят для реализации данного автомата, процесс является стационарным [11].
С помощью графа переходов обнаружителя с реверсивным счетчиком можно составить уравнения вероятностей, которые будут описывать работу счетчика, выполняя все по аналогии с (16).
Р = Р (!) • ж000 + Р (3) • ж 100 + Р2 (1) • ж000 + р (3) • жШ0 + Р (2) • ж010
Р2 = Р(1) • ж000 + Р(3) • жШ0 + Р(4) • жП0 + Р,(2) • ж010 + Р(3) • жШ1 (17)
Ры = Ры-1(4) • жш + Ры (4) • жш + Ры (2) • ж011 + Ры-1(2) • ж011 • Используя полученные соотношения, можно получить вероятность ложного срабатывания обнаружителя с реверсивным счетчиком и сравнить имитационный и вероятностный метод моделирования при различных коэффициентах корреляции.
Рис.9. (а) Вероятность срабатывания обнаружителя при г = 0.05; (б) Вероятность срабатывания
обнаружителя при г = 0.9
Как видно на Рис.9, при работе обнаружителя с реверсивным счетчиком вероятность ложного срабатывания при имитационном моделировании становится более зашумленной и требует проведения большого количества измерений для получения незашумленного результата.
Заключение
В данной статье был предложен новый метод вероятностного моделирования цифровых обнаружителей при коррелированных входных воздействиях, основанный на расширении числа состояний обнаружителя. Этот метод позволяет оценивать очень малые вероятности состояний обнаружителя, включая вероятность ложного срабатывания, что невозможно традиционными методами, например, имитационным моделированием. Для
исследования работы цифрового обнаружителя в статье используются сигналы на фоне помех с известными параметрами при коррелированных входных воздействиях. Проведено сравнение с традиционными имитационными методами моделирования, показана адекватность предлагаемого метода. Для аппроксимации входных воздействий использовались простые и многосвязные цепи Маркова. Введены расширенные состояния цифрового автомата, учитывающие предысторию входных сигналов, что позволяет учесть корреляцию входных сигналов. Так как имитационная модель при большом количестве экспериментов вносит ошибку в итоговые результаты, что недопустимо в некоторых условиях работы обнаружителей, вероятностное моделирование является перспективным методом моделирования цифровых систем в некоторых современных приложениях.
Список литературы
1. Строгалев В.П., Толкачева И.О. Имитационное моделирование: учебное пособие. 2-е изд. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. 295 с.
2. Сюзев В.В. Основы теории цифровой обработки сигналов: учеб. пособие. М.: РТСофт, 2014. 749 с.
3. Кузьмин С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радиолокационной информации. М.: Радио и связь, 1986. 352 с.
4. Жураковский В.Н. Вероятностное моделирование цифровых автоматов: учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. 41 с.
5. Ningyuan Chen, Olvera-Cravioto M. Efficient simulation for branching linear recursions // Winter simulation conf.: WSC'15 (Huntington Beach, California, December 6-9, 2015): Proc. Piscataway: IEEE, 2015. Pp. 2716-2727. DOI: 10.1109/WSC.2015.7408378
6. Методы статистического моделирования в радиотехнике: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Балтийского гос. техн. ун-та, 2003. 36 с.
7. Айфичер Э., Джервис Б. Цифровая обработка сигналов: практический подход: пер. с англ. 2-е изд. М.: Вильямс, 2004. 989 с. [Ifeachor E.C., Jervis B.W. Digital signal processing: a practical approach. 2nd ed. Harlow; N.Y.: Prentice-Hall, 2002. 933 p.].
8. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Советское радио, 1966. 677 с.
9. Жураковский В.Н., Иванникова Л.О. Сравнительный анализ имитационного и вероятностного моделирования цифровых автоматов при случайных входных воздействиях // Символ науки. 2016. № 7-2(19). С. 53-58.
10. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2006. 856 с. [Oppenheim A.V., Schafer R.W. Digital signal processing. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1975. 585 p.].
11. Блейхут Р.Э. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: пер. с англ. М.: Мир, 1989. 447 с. [Blahut R.E. Fast algorithms for digital signal processing. Reading: Addison-Wesley Publ. Co., 1985. 444 p.].
Science ¿Education
of the Baumail MSTU
Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 06, pp. 72-85.
DOI: 10.7463/0617.0001161
Received: 05.05.2017
Revised: 19.05.2017
© Bauman Moscow State Technical Unversity
Probabilistic Modeling of Digital Detectors with Correlated Input Effects
V.N. Zhurakovskiy1, L.O. Ivannikova1*
bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia
Keywords: correlation; detector; simulation and probabilistic modeling; transients; false operation;
filter
Most modern radio systems use digital signal processing. To debug algorithms of digital signal processing, most often is used simulation modelling, which has a number of significant drawbacks, since most modern programmes that generate random sequences of numbers begin to repeat previously obtained combinations of values with a large number of measurements. In addition, simulation modelling does not allow us to obtain very small probabilities of detector states. Consequently, the problem of mathematical modelling of digital devices remains relevant. Therefore, to study the operation of digital detectors when there are correlated input effects there is an article's proposal to apply a probabilistic simulation method, using the Markov chain apparatus, based on a recurrent procedure and a concept of the extended digital automaton.
The simulation modelling to debug digital detector operation is as follows: a generated correlated signal comes to the threshold device to give at the output a sequence of binary signals arriving at the counter. Since in real conditions a digital detector has to have high accuracy, an error emerges when debugging based on simulation modelling. The article shows that with a probabilistic modelling method it is necessary to use the multidimensional Markov chains and the extended digital automaton to reach the higher accuracy. The article also compares the results obtained by various types of mathematical modelling to analyse the effect of the input signal correlation on the probability of detector false response.
The analysis has shown that probabilistic modelling in debugging the digital detector operation with a correlated input signal of high accuracy corresponds to the simulation model with the same specified parameters. With increasing input signal correlation there is a significantly raising probability of false response. Thus, it is fair to say that Markov chains-based probabilistic simulation can be used to study operation of radar signal processors.
References
1. Strogalev V.P., Tolkacheva I.O. Imitatsionnoe modelirovanie [Simulation]: a textbook. 2nd ed. Moscow : Bauman MSTU Publ., 2015. 295 p. (in Russian).
2. Syuzev V.V. Osnovy teorii tsifrovoj obrabotki signalov [ Basic theory of digital processing]. Moscow: RT SOFT Publ., 2014. 749 p. (in Russian).
3. Kuz'min S.Z. Osnovy proektirovaniia sistem tsifrovoj obrabotki radiolokatsionnoj informatsii [ Principles of design of systems digital processing of radar data]. Moscow: Radio i Sviaz' Publ., 1986. 352 p. (in Russian).
4. Zhurakovskij V.N. Veroiatnostnoe modelirovanie tsifrovykh avtomatov [Probabilistic modeling of digital automata]: a textbook. Moscow: Bauman MSTU Publ., 2015. 41 p. (in Russian).
5. Ningyuan Chen, Olvera-Cravioto M. Efficient simulation for branching linear recursions. Winter simulation conf.: WSC'15 (Huntington Beach, California, December 6-9, 2015): Proc. Piscataway: IEEE, 2015. Pp. 2716-2727. DOI: 10.1109/WSC.2015.7408378
6. Metody statisticheskogo modelirovaniia v radiotekhnike [Methods of statistical simulation in radio engineering]: a textbook. S.-Petersburg: Baltic State Technical Univ. Publ., 2003. 36 p. (in Russian).
7. Ifeachor E.C., Jervis B.W. Digital signal processing: a practical approach. 2nd ed. Harlow; N.Y.: Prentice-Hall, 2002. 933 p. (Russ. ed.: Ifeachor E.C., Jervis B.W. Tsifrovaia obrabotka signalov:prakticheskijpodkhod. 2nd ed. Moscow: Vil'iams Publ., 2004. 989 p.).
8. Tikhonov V.I. Statisticheskaia radiotekhnika [Statistical radio engineering]. Moscow: Sovetskoe Radio Publ., 1966. 677 p. (in Russian).
9. Zhurakovskij V.N., Ivannikova L.O. Comparative analysis of simulation and probabilistic modeling digital machines with random inputs. Simvol nauki [Symbol of Science], 2016, no. 7, pt. 2, pp. 53-58 (in Russian).
10. Oppenheim A.V., Schafer R.W. Digital signal processing. Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1975. (Russ. ed.: Oppenheim A.V., Schafer R.W. Tsifrovaia obrabotka signalov. Moscow: Tekhnosfera Publ., 2006. 856 p.).
11. Blahut R.E. Fast algorithms for digital signal processing. Reading: Addison-Wesley Publ. Co., 1985. 444 p. (Russ. ed.: Blahut R.E. Bystrye algoritmy tsifrovoj obrabotki signalov. Moscow: Mir Publ., 1989. 448 p.).
