CC BY
42
Ю. Г. Пронина
ЦЕНТРЫ РАСШИРЕНИЯ-СЖАТИЯ В УПРУГОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ*
1. Введение. В классической теории упругости существует понятие трехмерного центра расширения, или центра сжатия. Пространственный центр расширения или сжатия представляет собой совокупность трех двойных сил без моментов (диполей) одинаковой величины по трем взаимно перпендикулярным направлениям ([1], стр. 197). Потенциалы Буссинеска [2] для центров сжатия применяются при решении различных задач теории упругости [3]. Например, сингулярное решение, соответствующее центру расширения в неограниченном теле, можно использовать при отыскании напряжений в полой сфере под действием внутреннего и внешнего давления [4].
Согласно [5], эти особенности являются моделью жестких сферических включений, объем которых меняется под воздействием каких-либо причин. В частности, центрами растяжения можно моделировать выделения мелкодисперсных частиц новой фазы при фазовых превращениях в металлических сплавах.
В настоящей работе введено понятие плоского (двумерного) центра расширения или сжатия, построены решения задач об одиночных и периодических центрах расширения в полуплоскости со свободной и жестко закрепленной границей.
2. Центр расширения-сжатия в упругой плоскости. Двумерный аналог центра расширения-сжатия в плоской задаче теории упругости определим как совокупность двух диполей одинаковой интенсивности по взаимно перпендикулярным направлениям (рис. 1, а). В соответствие с [1] данную особенность при положительных (направленных от центра диполя) силах Р назовем центром расширения, а при отрицательных (направленных к центру диполя) —центром сжатия.
Как известно [6], в плоской задаче теории упругости с помощью двух аналитических функций Ф(г) и Ф(г) вычисляются компоненты тензора напряжений
Здесь г = х + гу; г = х — гу, к = 3 — 4v — в случае плоской деформации и к = (3 — ^)/(1 + V) —при обобщенном плоском напряженном состоянии; ц — модуль сдвига; V — коэффициент Пуассона. Черта сверху означает комплексное сопряжение.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №05-01-00274, №06-01-00171).
© Ю. Г. Пронина, 2007
+ ауу (г) = 4КеФ(г),
(1)
(2)
а через их первообразные
(3)
определяются составляющие вектора перемещения
(4)
Компоненты напряжения в полярной системе координат г и в определяются зависимостями вида
а гг + &оо = 4ИеФ(г), (5)
авв (г) — огг (г) + 2гоуе (г) = 2 [гФ' (г) + Ф(г)] в2гв. (6)
Решение задачи о сосредоточенной силе Р = X + гУ, приложенной в точке г0 бес-
конечной плоскости в терминах этих функций имеет вид ([7], стр. 198)
Ф(г) = —
1
X + гУ
2п (1 + к) г — г0 ’
Ф(г ) =
X — гУ
X + гУ
го
2п(1 + к) г — г0 2п(1 + к) (г — г0)2
Сложим функции Ф и Ф для двух взаимно перпендикулярных пар взаимно противоположных сил одинаковой величины Р, действующих на одной прямой, согласно рис. 1, а. Далее, переходя в полученных выражениях к пределу при стремлении точек приложения всех сил к точке 0, так чтобы 2PH = Q* оставалось постоянным, получаем
Ф(г) =0, Щг) = К 11
2п к + 1 г2
Здесь Р — модуль силы Р, Q* — интенсивность плоского центра расширения-сжатия
(7)
Рис. 1. Определение центра расширения.
Соответствующие компоненты напряжений в полярных координатах г, в, как следует из (5), (6), определяются выражениями
_ _ я* к-1 1
(У гг — ~СУвв — ~— -----— & г в — и.
2п к + 1 г2
(8)
В случае плоской деформации (к = 3 — 4v) данное решение совпадает с решением Лява (см. [1], стр. 225), записанным с использованием постоянных Ламе. При обобщенном плоском напряженном состоянии (к = (3 — V)/(1 + V)) полученное выше распределение напряжений совпадает с распределением напряжений, приведенным в [4] (стр. 144) без осуществления перехода к пределу.
Естественно, что в случае плоской деформации несжимаемого материла (V = 1/2) сам факт существования центра расширения-сжатия, определенного как совокупность двух диполей, оказывается невозможным, так как при этом к — 1 = 0 и Ф(г) = 0, Ф(г) = 0.
Напряженное состояние, определяемое функциями (7), реализуется в бесконечной упругой плоскости с круговым отверстием радиуса ^, по контуру которого распреде-
Я* к — 1
---=-7Г --- (рис. 1,6).
2тгЕ2 к + 1 ^ У
лено нормальное давление р =
к
тогда Ф(-г) = 0, Ф(-г) = — Данные функции отличаются от полученных выше
О— у £
С практической точки зрения интересна интерпретация центра расширения как особой точки, лежащей в центре достаточно малого кругового отверстия радиуса R, по краю которого приложено нормальное давление p. Если в известном решении ([7], стр. 195) этой задачи перейти к пределу при R ^ 0, так чтобы 2npR2 = Q = const,
Q_ _1_
2п z1
отсутствием множителя (к — 1)/(к + 1). Ими и будем пользоваться в дальнейшем для сокращения записей. При этом следует помнить, что центр расширения Q*, определенный как совокупность двух перпендикулярных диполей, связан с центром расширения Q, соответствующим отверстию под давлением, соотношением
Q*^ = Q-
к +1
Этому факту можно дать следующее очевидное объяснение. Нетрудно показать, что действие двух перпендикулярных двойных сил с нулевыми моментами при h ^ 0 (т. е. центра расширения Q*) равносильно действию равномерной нормальной нагрузки q, приложенной вдоль окружности Г радиуса R при R ^ 0, проведенной в сплошной
плоскости (т. е. плоскости без отверстия), причем q = ---—Г = ^ . Это соответ-
2nR2 2nR2
ствует распределению напряжений (8). Несложно вычислить, что при этом на дефор-
р ~ 2</
мацию «внутренности» окружности I расходуется часть усилии, равная д = --------, и
1 + к
лишь оставшаяся часть р = q — д = q -------- идет на деформацию плоскости с вы-
к +1
резанным кругом. Таким образом, напряженно-деформированное состояние сплошной
Q*
плоскости с центром расширения Q , или распределенной нагрузкой q = -——у, равно-
2nR2
сильно напряженно-деформированному состоянию плоскости с круговым отверстием к — 1 Q
под давлением р = q
Если центр расширения-сжатия Q расположен не в начале координат, а в точке zo бесконечной плоскости, тогда, согласно [7],
Ф(*-)=0, = (9)
3. Центр расширения-сжатия в упругой полуплоскости со свободной границей. Пусть в произвольной точке го упругой полуплоскости (у < 0) расположен центр расширения-сжатия Q(zо) = Q. Кромка у = 0 предполагается свободной от внешних усилий (рис. 2, а). Требуется определить напряжения и перемещения в 5-.
Рассмотрим сначала вспомогательную задачу плоской теории упругости для неограниченного тела 5, в точках го и го которого расположены центры расширения-сжатия Q (рис. 2, б). Согласно (9), функции Колосова для этого случая имеют вид
1
+
1
(z — zo)2 (z — zo)2
(10)
Внося (10) в (1) и (2), устанавливаем, что в теле S на оси у = 0 касательное напря-
жение 7* (x) = 0, а нормальное напряжение 7*(x) определяется выражением
о_
2тг
+
(x — zo)2 (x — zo)2
(11)
1
1
Рис. 2. Схема решения задачи о центре расширения-сжатия в полуплоскости.
Два слагаемых в последнем выражении являются комплексно-сопряженными величинами, поэтому их сумма представляет собой вещественную функцию.
Мысленно представим тело 5 в виде суммы двух полуплоскостей: нижней 5- и верхней 5 +. Очевидно, что граница у = 0 полуплоскости 5- при этом загружена нормальными напряжениями вида (11). Если, однако, приложить на ней дополнительную
систему напряжении
(12)
то указанная граница окажется свободной от внешней нагрузки. Следовательно, решение задачи, схематически изображенной на рис. 2, а, имеет вид [8]
Ф(г) = Ф1 (г) + Ф2 (г), Ф(г) = Ф1 (г) + Ф2 (г),
(13)
где Ф2(г) и Ф2(г) —функции Г. В. Колосова для полуплоскости Б-, нагруженной на кромке у = 0 напряжениями а‘2У(х), определяемыми формулами (12) и (11)—рис. 2, в. Следуя [7], можно записать
Ф2 (г) =
2пі
її
а1у(х)
(х — г)
іх, Ф2 (г) = —г
бІФ2(г) (іг
(14)
В результате подстановки (11) в первую формулу (14) получаем
Ф2(г) = О-
27г 2т
+
(х — го )2 (х — г0 )2
ІХ
х — г
1
есть граничное значение функции
1
голоморфной в
ГДе Выражение ------_ чо ^^ 1 , — \о
(х - го)2 (г - го)2
Б- и обращающейся в нуль на бесконечности; разумеется здесь речь идет о граничном
значении при г ^ х из Б-. Другое подынтегральное слагаемое является предельным
1
— оо
1
1
значением функции, голоморфной в Б + и исчезающей на бесконечности; для нее, конечно, предельное значение находится, когда г ^ х из Б +. Учитывая эти обстоятельства, находим
Я
1
Я
2п (г - го)2 :
п (г - го)3'
(15)
Подставляя выражения (10), (15) в соотношения (13), получаем окончательные формулы:
1
, _ ,,, Ф(г) = 0-
2и (г — го) 2п
1
+
1
2г
_(г - го)2 (г - го)2 (г - го)3_
Отсюда в соответствие с (3) имеем
(Р(г) = 7Г--------Пг) = -7Г:
2п г — го 2п
го
_г - го г - го (г - го)2_
(16)
(17)
Полезно также записать формулы (16)—(17) в системе координат с центром в точке
го = -ш [7]:
*(*) = -£
1
Ф(г) = — 2тг (г — 2ш)2 ’ 27Г
г2 (г - 2ш)2
(18)
1
2п г — 2*а
1
1
г г — 2*а
Подставив функции Ф(г) и Ф(г) в соотношения (1), (2), а у>(г) и ^(г) —в (4), после соответствующих преобразований устанавливаем, что на границе полуплоскости у = +ш
2Я(х2 - а2) Я(1 + ^)(1 + к)х Я(1 + ^)(1 + к)а
& у у — — и, — 7 о ' очо 1 ^ “ 7Т7 о ' ~ 1 ^ —
'ху
п(х2 + а2)2’ 2пЕ(х2 + а2) ’ 2пЕ(х2 + а2)
Компоненты напряжения в полярной системе координат г и 0, имеющей начало в точке го, определяются с помощью зависимостей (5), (6), (18).
На рис. 3 представлен график функции а = 7ее/Я в окрестности центра расширения. Прямая у/а =1 на рисунке соответствует границе полуплоскости. В точке х = 0, у = 0 находится центр расширения. Окружные линии соответствуют значениям г/а равным 0.3, 0.4, 0.5,... ,1.0. При малых г/а напряжения достигают максимального значения при в = 0 и в = п (т. е. на оси 0х). При увеличении отношения г/а максимум по в постепенно смещается к значению в = п/2.
Расчеты показали, что свободная граница оказывает существенное влияние на распределение напряжений при г/а > 0.3. Уже при г/а = 0.4 максимальное отклонение окружного напряжения от аналогичной величины в бесконечной плоскости составляет почти 13 %. В таблице 1 приведены значения отношений К = 7ее/а^ при в = п/2 и
К = тах аее/а^е для различных г/а. Здесь 7^ —окружное нормальное напряжение в
е
окрестности центра расширения в бесконечной плоскости.
Таблица 1
г
1
1
1
1
г/а 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
К! 1.003 1.015 1.042 1.094 1.185 1.341 1.602 2.037 2.765 4.000
к2 1.008 1.030 1.069 1.126 1.206 1.341 1.602 2.037 2.765 4.000
Рис. 3. Распределение окружных напряжений в окрестности центра расширения у границы полуплоскости.
Как видим, максимальное значение параметра К достигается на границе полуплоскости при г/а = 1.
4. Периодические центры расширения-сжатия у границы полуплоскости.
Рассмотрим упругую полуплоскость S-, в приграничной области которой на расстоянии а = const от ее свободной кромки у = 0 расположена система центров расширения-сжатия Q(zk) = Q(z0) с периодом l, где zk = z0 + kl, zk = z0 + kl, k = ±1, ±2, ±3,... Согласно (16), функции Ф^) и ^(z) в этом случае определяются соотношениями
*« = -£ £
1
2п (z — zk)2
k— — оо
Е
1
Q 7Г
212 к^оо (+ кж
2п
k—
+
2z
(z — zk )2 (z — zk )2 (z — zk )3
Qtt
2Р
Е
k— — то
+ '
2nz
if^ol+fcTr)
I
Принимая во внимание разложения [9]
ctg x
1 1 J_= у" ________L
2 (x + к
sin2 ^ (x + кп )2 ’ sin2 x “ (x + кп )3 ’
k— — оо k— — оо
=
окончательно находим
*<«>-£
$(z) = —
1
2 tt(z—zq)
+ '
С?7Г 1
2^2 sin2 ’
1
sin
sin
1 _2-zct£^^
2 *-(z-Zo) ^ 1 z l zct8 t
2
1
1
1
1
3
2
1
Отсюда после интегрирования определяем
/ \ Я , п(^ - ^о) Ф) = ^ С18—------,
и і ^
ФЫ = -Ш
тг(г - г0) I
2 ъ(г — хо)
БІП
I
Рисунок 4 иллюстрирует влияние безразмерного периода 1/а на напряженное состояние полуплоскости в окрестности центра расширения и на ее границе. Кривые 1,
2, 3 и 4 изображают значения напряжений при 1/а = 0.5,1, 5 и 10 соответственно. На рисунке слева показана величина напряжения аее/Я (при г/а = 0.1) в зависимости от угла 0. На рисунке справа представлены кривые распределения напряжений ахх/Я на свободной границе полуплоскости.
Рис. 4- Влияние периода 1/а на распределение напряжений.
Расчеты показали, что при 1/а > 10 распределение напряжений в окрестности центра расширения практически совпадает с аналогичным распределением для одиночного центра расширения. При уменьшении периода картина меняется. Напряжения на границе сглаживаются, приближаясь к нулю, а окружные напряжения, напротив, претерпевают значительные перепады.
5. Центры расширения-сжатия в полуплоскости с закрепленной кромкой.
Искомое решение представим в виде суммы решений двух задач [8]: первой — для полуплоскости с центром расширения-сжатия Я, кромка у = 0 которой свободна от внешней нагрузки, и второй — для полуплоскости без нагрузки, граница которой испытывает перемещение
Р2 (х) + *52(х) = -[М1(х) + *«х(х)], (19)
где М1(х) + *«1(х) — смещение кромки у = 0 в первой задаче.
В дальнейшем условимся все функции, относящиеся к первой или второй задаче, снабжать соответственно нижними индексами 1 или 2.
Согласно общим зависимостям (1), (2), (4), имеем
ауу(х) - ^ху{х) = Ф(ж) + Ф(ж) + X ф'(х) + Ф(ж),
—2 ц[и'(х) + гг/(ж)] = —(1 + к)Ф(ж) + Ф(ж) + Ф(ж) + жФ'(ж) + Ф(ж). (20)
Равенство (20) получается из формулы (4) после ее дифференцирования по х; здесь и'(х) = ди/дх, у'(х) = ду/дх.
Сопоставляя правые части выписанных соотношений, получаем -2^[и'(х) + гу'(х)] = 7уу(х) - %аХу(х) - (1 + к)Ф(х). Отсюда с учетом (19) находим
2мЬ2(х) + *^2(х)] = -(1 + к)ф1(х).
В свою очередь, из (20) следует
-2^[р2(ж) + *#2 (х)] = -кФ2(х) + Ф2 (х) + хФ2(х) + Ф 2 (х).
(22)
(23)
Для того чтобы функция Ф2(х), определяемая этим равенством, была граничным значением функции Ф2(г), голоморфной в нижней полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (см. [7])
1
27Г*
Ф 2 (х)
йх = 0.
Подставляя сюда вместо Ф2(х) выражение, вытекающее из (23), приходим к уравнению
— / ЙМ+МЫ,Ь__!Ц г + [ їїаМ
пі / х — 2 2пі / х — 2 2пі / х — 2 2пі / х — 2
йх = 0,
откуда, принимая во внимание (22), выводим
т / \ 1 + к С Ф1(х)
кФ2(-г) = , ------- (іх.
2п* / х — 2
(24)
Что касается самой функции Ф2(.г), то она вычисляется из граничного условия (23), которое с учетом равенства, сопряженного с (22), дает
т / і 1 + К !' Фі(х) -г / \ ,/ , .
ф2(» =—------------------------<1х- Ф2(г) - г Ф2(г).
2п* / х — 2
(25)
Внеся в правую часть (24) вместо функции Ф^х) первое выражение (16), после соответствующих вычислений находим
Ф2(*) = х-
д 1 + к 1
2п к (2 — 2о)2
Аналогичным образом из (25) получаем
д 1 + к
(2 — ^о)3 2п
+
2^о
_(г — ^о)2 (2 — 2о)3_
Суммируя функции Ф2(<г) и Ф2(<г) соответственно с функциями Фі(^) и Фі(^), определяемыми формулами (16), приходим к окончательным результатам:
$(*) = — 7-------------^7. ВД = —
2ттк (г — гд) 27т
1
+
(2 — 2о)2 к(г — 2о)
г + г0
(26)
— сх>
— СХ)
— СХ)
— СХ)
— СХ)
1
к
к
Интегрируя выписанные соотношения, получаем
1
2пк z — zo
*iz) = ~2i
+
_ z — zo к(z — zo)2_
(27)
Нетрудно убедиться, что зависимости (27), будучи подставленными в формулу (4), дают на оси абсцисс и(х) = «(х) = 0.
Компоненты напряжения на закрепленной кромке у = 0 вычисляются по формуле
ауу (х) — іаХу (х) = (1 + к)Ф(х),
следующей из (21) в предположении и(х) = «(х) = 0. Внося сюда вместо Ф(х) выражение (26) и разделяя вещественную и мнимую части, находим
yy
(x) =
Q(1 + к) (x — xo)2 — y°
2пк ((x — xo)2 + y^2'
xy
(x) =
Q(1 + к) 2(x — xo) yo
2пк ((x — xo)2 + y°)°'
Для периодических центров расширения-сжатия в полуплоскости с закрепленной кромкой функции Колосова—Мусхелишвили имеют вид
1
(28)
= %
1 Л оП f n(z — z0)
----7---1 — 2— z ctg-------------------------
2 it(z-zo) I I I
(29)
--жctg
Q , n(z — zo)
Q
n(z — zo) п g і +1г
1
к sin
2 7r(z — zo) I
Если, наконец, граница полуплоскости испытывает перемещения р*(х) + гд*(х), то к выражениям (26) или (28), (29) нужно добавить слагаемые, соответственно
1
z
1
Автор искренне признателен Сергею Андреевичу Зегжде за внимательное изучение данной работы и ряд ценных замечаний.
Summary
Yu. G. Pronina. Centres of compression and dilatation in an elastic half-plane.
The plane centre of compression and dilatation is defined as two-dimensional analogue of the three-dimensional one. Formulas for single and periodic centres of compression in an elastic halfplane with a free and clamped boundary are derived.
1. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 674 с.
2. Boussinesq J. Application des potentiels a l’etude l’equilibre et du mouvement des solides Elastiques. Paris: Gauthier-Villars, 1SS5.
3. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
4. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 576 с.
5. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.
6. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.; Л.: ОНТИ, 1935. 224 с.
7. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
S. Даль Ю. М., Пронина Ю. Г. Сосредоточенные силы и моменты у границы упругой полуплоскости || Изв. РАН, Механика твердого тела. 199S. №5. С. 78-87.
9. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970. 800 с.
Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.
