О напряжениях в полосе, загруженной на продольных кромках сосредоточенными усилиями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 2

MSC 74B05

О напряжениях в полосе, загруженной на продольных кромках сосредоточенными усилиями

Ю.М.Даль

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Даль Ю. М. О напряжениях в полосе, загруженной на продольных кромках сосредоточенными усилиями // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6 (64). Вып. 2. С. 318-328. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.214

Исследована задача плоской теории упругости о напряженном состоянии полосы S постоянной ширины 2c, загруженной на противоположных кромках сосредоточенными усилиями. Аналитическое решение этой задачи найдено методами теории функций комплексного переменного. Компоненты напряжения в произвольной точке полосы определены через две регулярные функции Ф(^) и Ф1 (z). Для нахождения этих функций использовано конформное отображение области S на нижнюю полуплоскость Z. Задача о полуплоскости решена классическим способом, основанным на аппарате интегралов типа Коши. Установлены точные аналитические выражения для функций Ф(С) и Ф1(С), которые трансформированы обратным конформным преобразованием в искомые формулы для Ф(г) и ^1(z). Поскольку функции ^1(z) и Ф'(г) оказались связанными между собой, напряжения в полосе S определялись функцией Ф(г) и производной Ф' (z). Приведены графики нормальных и касательных напряжений на линиях, параллельных кромкам полосы. Выполнено сравнение величин напряжений на оси полосы с данными Файлона. Полученное решение удовлетворяет дифференциальным уравнениям равновесия, краевым условиям и уравнению неразрывности. Ключевые слова: плоская задача теории упругости, бесконечная полоса, комплексная переменная, конформное отображение, формулы Колосова.

1. Введение. Аналитическое определение напряжений в бесконечной полосе, загруженной на продольных кромках, доныне остается камнем преткновения теории упругости. Как правило, публикации по этому вопросу (см. [1-3] и др.) содержат вывод теоретических зависимостей, на основе которых «фактическое нахождение величин напряжений требует выполнения численных квадратур» [4, с. 358]. Подобные решения, приемлемые при достаточно гладких непрерывно распределенных усилиях, оказываются сомнительными, когда на границах полосы действуют сосредоточенные силы, моменты или локально распределенные нагрузки большого градиента. Точное решение проблемы, вынесенной в заголовок предлагаемой работы, излагается ниже.

2. Постановка задачи. Рассмотрим в плоскости xy бесконечную полосу S шириной 2c = const. Совместим ось x декартовой системы координат с верхней кромкой полосы L1, нижней кромке припишем индекс L2. Внутренние точки области S будем обозначать переменной z = x + iy, граничные (принадлежащие Li и L2) —переменен Санкт-Петербургский государственный университет, 2019

Рис. 1. Бесконечная полоса Я, загруженная силами Р.

ной Пусть в точках £ = (0,0) и £ = (0, —¿2с) действуют силы Р, направленные по внешним нормалям к линиям Ь\ и ¿2 (рис. 1). Требуется определить компоненты напряжений стхх, стуу, стху в произвольной точке г € Согласно [5, с. 69] имеем

охх + ayy =2 [Ф(г) + Ф(г)] = 4КеФ(г), Vyy - ffxx + 2iaXy = 2 [2хФ'(г) + ^i(z)],

где Ф(з) и ^i(z) —регулярные в S функции. Отсюда получаем

(2.1)

ахх = 2ИеФ(г) - [2жКеФ'(г) + Re^(z)],

ayy = 2ReФ(z) + [2xReФ'(z) + Re^i(z)j, (2.2)

axy = 2х1шФ'(г) + Imti(z);

^уу + ¿^ху = Ф(г) + Ф(г) + 2жФ'(г) + Ф^г). (2.3)

Полагая в предыдущем уравнении г ^ выводим граничные условия для функций Ф(г) и

Ф(£) + Ф(£) + 2жФ'(г) + ^i(t) = P [¿(t) + ¿(t + ¿2c)], (2.4)

здесь ¿(t) и ¿(t + ¿2c) — дельта-функции Дирака.

3. Метод решения. Воспользуемся конформным отображением полосы на нижнюю полуплоскость:

; = ^(С) = -1пС (3.1)

п

Представив левую часть этой формулы в декартовых координатах (z = x + ¿y), правую — в полярных (Z = peî0 ), находим

2c 2d9 , , , s

x = — In p , y =-, где - 7Г < в < 0 , р = ICI > о. (3.2)

п п

Из выражений (3.2) следуют высказывания (рис.2).

1. Линии y = const ( — 2c ^ y ^ 0) полосы S отображаются в лучи в = ny/2c = const полуплоскости.

2. Отрезки x = const с концами на прямых y = 0 и y = -2c преобразуются в нижние полуокружности радиусов р = exn/2c = const.

3. Верхняя половина полосы (—то ^ x ^ +то, —c ^ y ^ 0) отображается на правый квадрант Di полуплоскости, нижняя половина (—то ^ x ^ +то, —2c ^ y ^ —с) —на левый квадрант D2.

4. Обратив формулу (3.1), будем иметь Z = ezn/2c = e(xn+iyn)/2c. Считая в показателе функции y = 0 и y = —2c, приходим к выводу, что кромки полосы Li (—то < x < +то, y = 0) и ¿2(—то < x < +то, y = —2с) переходят соответственно в положительную п > 0 и отрицательную п < 0 части границы п полуплоскости. Точки приложения сосредоточенных сил определяются координатами ni = +1,

n-i = —1.

Трансформация двух параллельных краев полосы S в прямолинейную границу полуплоскости Z связана, во-первых, с уменьшением их длин и, во-вторых, с поворотом кромки L2 на угол в = —п. При этом, заметим, направление силы P в точке n-i оказывается противоположным тому, которое было на L2 в точке t = (0, —¿2с).

Введем обозначения Ф(С) = Ф(^(С)), ^i(C) = ^i(w(0). Учитывая формулы (3.2) и содержимое пп. 1-4, запишем уравнение (2.3) в терминах комплексной переменной Z:

Г4с, Ф'(С)

(Уве + '¿(Урв = Ф(С) + Ф(С) +

п w'(0

+ *i(C)

„2 ie

Устремив в этом равенстве в ^ 0 и в ^ —п, зададим условия на границе нижней полуплоскости: — для п > 0

4с Ф'(?7)

Ф(??) + Ф(??) + — In77—j^r- + Ф^??) = Р [-¿(w(??)) + 5{uj{I7) + ¿2с)]; п W(n)

при п < 0

4с

ф'(п)

Ф(??) + Ф(»у) + — [In |??|] —ггт + ф1(»у) = Р ММ??)) + ¿М??) + «2с)] .

п w'(n)

Отсюда, используя свойство дельта-функции [6, с. 186]

¿(/(п)) = ^(п — По)/ |/'(по)1, где по — корень /(п),

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2019. Т. 6(64)- Вып. 2

окончательно устанавливаем: — в случае п > 0

- 4 с Ф'(г)4) 7г

Ф(7?) + Ф(г?) + - In »7-^ + Ф1(т7) = Р— [- 5(г] - 1) + S(V + 1)]; п W(nJ 2c

— в случае п < 0

4с Ф'(п)

Ф{г}) + Ф{г}) + — [1п?7 + гтг] + Ф^гу) = Р— [- S(r] - 1) + S(r] + 1)] . п w'(n) 2с

Оба соотношения будут удовлетворены, если

Ф(»7) + Ф(»7) = PYc [~s(v ~ !) + s(v + 1)] • (3-3)

Ф1(г?) = - -InryÄ (Г7>0); Ф1(77) = - - рп т? + гтг] Ä (i? < 0). (3.4) п W(n) п ^'(п)

Поскольку главный вектор сил на границе полуплоскости конечен, то lim Ф(С) = 0, что в свою очередь предопределяет условие регулярности Ф(£) в

виде [7, с. 272]

+ ОО _

2тгi J г] - С dV

Внеся под интеграл значение Ф(п) из равенства (3.3), получим

— ^ — то

2пг У п — С 4сг У п — С

+ то +то

Отсюда

Р

ф(0 = --

г2с(1 — С2)'

но, согласно (3.1), переменная С равна е2п/2с, стало быть

Р 1

Фв(,) = -Фя(,)=*-1Тз^? (3.5)

где Фв (г) и Фн(¿) —значения функции Ф(г) в верхней (—с < у < 0) и нижней (—2с < у < —с) половинах полосы.

Чтобы отыскать функцию Ф1(С), умножим равенства (3.4) на дробь

1 ¿п

2ni (п - Z)

и затем проинтегрируем по п от до —то:

— то — то

1 [*Mdrl 1 Г fWW (36)

+ oo + oo

— ОО

а б

Рис.3. Контур Г (а); контуры Гх и Г2 (б).

понимая несобственные интегралы в смысле главного значения по Коши [8, с. 111]. Получим

—= { lim

n — Z R—то I r—^ 0

1 + r

L+ R

Ф1(п)^п П — С

+

1-r

Ф1(п)^п

n — С

-1+r

+

ф1(п)^п

n — С

+

-1-r

ф1(п)^п

n — С

(3.7)

R

r

r

'fWM* = lim < lim w'(n)(n — С) r—TO I r—0

1+r

+R

U'(n)(n — Z)

+

1- r

(n)(n — С)

+

-1+r

+

U' (n)(n — С)

-R

+

-1-r

U ' (n)(n — Z)

, (3.8)

где, в соответствии с (3.4), введено обозначение

f (n)

(4с/п) ln n, n > 0 (4с/п)(1пn + ¿п), n< 0

Для вычисления интегралов (3.7) и (3.8) рассмотрим вспомогательный контур Г, образованный из следующих элементов (рис. 3, а):

— нижней полуокружности Сд радиуса Д ^ 1 с центром в точке по =0;

— трех нижних полуокружностей С1, со, с_1 одинакового радиуса г << 1 с центрами в точках п1 = +1, по = 0, п_1 = —1;

— четырех отрезков вещественной оси [1+г, Д], [г, 1—г], [—1+г, —г], [—Д, —1 — г].

Проведем внутри Г прямолинейный разрез Л, соединяющий нижние точки полуокружностей Сд и со. В результате получим две смежные области и ^2, границы которых Г1 и Г2 включают в себя линию Л (рис. 3, б).

Видоизменим теперь уравнение (3.6) следующим образом:

lim < lim

R^oo I r—0

1

Ъп

Г1+Г2

£i(f) s-C

ds

— lim

R

lim

1

Ъп

Г1+Г2

f(sW(s) oj'(S)(S- 0

ds

(3.9)

здесь и ниже в — аффикс линий Г1 и Г2.

r

r

0

По интегральной формуле Коши имеем

1

Г1

Ф1(а) 8-С

¿в =

*1(С), С е П о, С е П

Отсюда

1

Г1+Г2

Аналогично можем записать

Ф1ОО 8-С

¿в

1

Г2

Ф1ОО 8-С

¿в =

*1(С), Ф1(С),

С е П С е П

1

Г1

"'(*)(*-С)

¿в =

/(С)Ф'(С) _ 4с1пС Ф'(0 "'(С) * "'(С)'

о, с е п 2

о, с е п *1(С), С е п

С е п:

(3.10)

_1_ [ /№(3)

Г2

¿в =

о, с е п 1

/(С)Ф'(С) _ 4с(1пС+»тг) Ф'(С) "'(С) * "'(С)'

С е п:

1

Г2+Г2

"'(*)(*-С)

¿в =

4с1пС Ф'(С) 7Г Ш'(С) 4е(1пС+»я-) Ф'(С) "'(С)

С е п 1

(3.11)

Интегрирование по сумме контуров Г1 + Г2 эквивалентно интегрированию по контуру Г (рис. 3, а) и дважды по разрезу Л, причем в противоположных направлениях (рис. 3, б). Так как подынтегральные функции в последних интегралах одинаковы, интегралы по Л взаимно сокращаются. Поэтому выражения (3.10) и (3.11) могут быть представлены в таком окончательном виде:

1

Ф1ОО

¿в =

ад, С е П1

ад, С е П2

1

/(«М«) "'ООО»-С)

С е п

( 4с1пС Ф'(С) ¿я-! * ш'(с)\

I С е

Сказанное выше относится к контуру Г, в котором радиусы полуокружностей Сд, с1, со, с_1 конечны, однако только в том случае, когда Д ^ то интеграл по полуокружности Сд стремится к нулю. Интегралы по полуокружностям с1, со, с_1 радиусов г также стремятся к нулю при г ^ 0. Наконец, Иш (ИшП1) ^ ^1,

Я^то т^ 0

Иш (ИшП2) ^ (рис.3, б). Как видим, равенство (3.9) в пределе обращается

Я^то т^ 0

в уравнение (3.6), что позволяет записать решение последнего так:

ад =

Отсюда, следуя (3.1), получаем

4с1пС Ф'(С)

7Г Ш'(П> 4е(1пС+»тг) Ф'(С)

"'(С)'

п

С е

С е ^2

Ф1(*) =

—2гФВ(г), — с < 1шг < 0 —2(г + 2сг)ФН(г), —2с < 1шг < —с

(3.12)

Подставив выражения (3.12) в равенства (2.2), устанавливаем следующее:

(—с < < 0) (-2с < < -с)

= 2КеФв (г) — 2у1шФВ (г), = 2КеФя (г) — 2(у+2с)1шФН (г),

= 2ИеФв (г) + 2у1шФВ (г), (3.13) ауу = 2КеФя(г) + 2(у + 2с)1шФН (г), (3.14)

= —2уИеФВ (г); = — 2(у + 2с)ИеФН (г).

Зарубежные авторы обычно называют зависимости (3.13) «формулами Вестер-гарда» (см. [9, 10] и др.). На самом деле, равенства (3.13) и, кстати сказать, (3.14) являются всего лишь частным случаем соотношений (2.2), упрощенных с учетом взаимосвязи функций Г. В. Колосова (3.12).

Внеся в уравнения (3.13) и (3.14) функцию (3.5), после соответствующих выкладок и преобразований имеем

(—то < X < +то, —1 < у < 0)

псахх

2 Р 2

ПССГуу _

2 Р 2

7Г саху

2 Р

(е57Г + е357Г) сов(у7г) - 2е2 7г(1-2е^со8(утг)+е2^) * (1 _ 2е™ со8(утг) + е2™)

ехп вт(Уп)

— У

' 8ш(уп)

2Хп

+ У

(е^ +е3^)сов(утг) - 2е тг(1 - сов(уп) + е2^) ' У (1 - сов(утг) + е2^)2

псаху уп2 (еХп — е3Хп) вт^ _ у _ х

——- = —--тт, здесь и ниже у = -, х = -,

2 Р 2 (1-2е5-со8^ + е25-)2 с

(—то < X < +то, —2 < у < —1)

(3.15)

2

2Р

п

т

ехп 8т(уп)

п (1 — 2ехп сов(Уп) + е2хп)

+ (У + 2)

(ехп + езхп) сов(уп) — 2е

2хп

2Р

п

У

ехп 8т(уп)

п (1 — 2ехп сов(уп) + е2хп)

— (У+ 2)

(1 — 2ехп сов(уп) + е2хп)2 (ехп + е3хп) сов(уп) — 2е2хп

(1 — 2ехп сов(уп) + е2хп)2

'ху

2Р

(у + 2)тг2 (еХ7Г - е3х7Г) вт утг 2 (1 - 2еХ7Г соэутг + е2х7Г)

(3.16)

Как и следовало ожидать, найденные по формулам (3.15) и (3.16) нормальные напряжения оказываются симметричными функциями относительно срединной линии полосы, тогда как касательные, наоборот, антисимметричными. Графики этих функций приведены на рис. 4-6.

Полагая в зависимостях (3.15) параметр с ^ то, разложим тригонометрические и показательные функции в степенные ряды (с точностью до малых второго порядка). В результате получим формулы для напряжений в упругой полуплоскости, загруженной на границе сосредоточенной силой (задача Фламана):

2Р

2

х2у

2Р

У3

2Р

ху2

2

п (X2 + У2) п (х2 + У2) " п (х2 + У2)2

1

1

а

а

а

Рис. 4■ Распределение функции ncayy/2P на линиях y = y/c = const. Кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют значениям y = —1, -0.75, -0.50, -0.25.

Рис. 5. Графики функций псажж/2Р на линиях y = y/c = const. Кривые 1, 2, 3, 4, 5 отвечают значениям y = —1, —0.75, —0.50, —0.25, —0.10.

Рис. 6. Функции ncaxy/2P на линиях y = y/c = const. Кривые 1, 2, 3, 4 соответствуют значениям y = —0.90, —0.75, —0.50, —0.10.

Приняв в (3.15) или (3.16) переменную у = —1, находим напряжения Оуу на оси рассматриваемой полосы:

пса,,,

yy

(3.17)

2Р 2 (1 + еХп)2'

Уместно отметить, что в работе [11] эти напряжения вычисляются посредством интеграла

псау

Jyy I shu + u chu _ — ' - cos uxau.

2Р } вЬ2и+2и

о

В приведенной ниже таблице представлены величины функций (3.18) и (3.17).

Значения функции тгсауу/2Р

(3.18)

X псауу/2Р 0 7г/6 7Г/3 тг/2 2тг/3 7Г

(3.18) Данные статьи [11] 1.4444 0.7412 0.1125 -0.0300 -0.0252 —0.0036

(3.17) 1.2337 0.6692 0.1709 0.0349 0.0068 0.0002

Функция Ф(г), определяемая формулой (3.5), является периодической с мнимым основным периодом 2сг. Учитывая данное обстоятельство, покажем, что компоненты напряжений, заданные выражениями (3.13), (3.14), удовлетворяют дифференциальным уравнениям равновесия внутри полосы

да.

+

да»

xy

= 0,

да

ху

дх ду ' дх и граничным условиям (2.4) на ее кромках.

+

да

yy

ду

= 0

п2 exn

Действительно, переходя к переменным г = х + ¿у, г = х — ¿у, запишем предыдущие уравнения в виде равенства [12]:

) д{ах

УУ

® xx + 2i^xy )

0.

dz

dz

Подстановка в него вместо компонент напряжений ахх, ауу, аху соответствующих выражений из формул (3.13) и (3.14) приводит к тождеству 0 = 0.

Граничные условия (2.4) на верхней (у = 0) и нижней (у = —2с) кромках полосы также выполняются, это легко усматривается из (3.15) и (3.16). Что касается уравнения неразрывности

то оно заведомо выполняется, поскольку согласно (2.1) имеем Д(ахх + стуу) = 4ДИ.еФ^) = 0, ибо И.еФ^) = u(x,у) — гармоническая функция.

В заключение отметим, что статьи автора [13, 14] являются, образно говоря, промежуточными ступенями данной работы.

Приношу глубокую благодарность моим ученицам Д. А. Морщининой и А. А. Морщининой за помощь в работе.

Литература

1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 672 с.

2. Попкович П. Ф. Теория упругости. Л.; М.: Оборонгиз, 1939. 639 с.

3. Белоносов С. М. Плоская задача теории упругости для бесконечной полосы при заданных на границе напряжениях или смещениях // ДАН СССР. 1960. Т. 131, №6. С. 1291—1293.

4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988. 711 с.

5. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Л.; М., 1935. 215 с.

6. Зельдович Я. Б., Мышкис Ф.Д. Элементы прикладной математики. 1972. М.: Наука, 592 с.

7. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

8. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. III, часть вторая. М.: Наука, 1969. 672 с.

9. Westergaard Y. M. Bearing pressures and cracks // Journal Applied Mechanics. 1939. Vol. 6, N 2. P. 49-53.

10. Eftis J., Liebowitz H. On the Modified Westergaard Equations for Certain Plane Problems // International Journal of Fracture Mechanics. 1972. Vol.8, N4. P. 383-392.

11. Filon L.N. G. On approximate solution for the bending of beam of rectangular gross-section under any system of load, with special reference to points of concentrated or discontinuous loading // Philosophical Transaction of the Royal Society of London Series A. 1903. Vol. 201, N334. P. 65-154.

12. Даль Ю. М. О формулах Г. В. Колосова в плоской задаче теории упругости при наличии периодических разрезов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Т. 1 (59). Вып. 2. С. 228-236.

13. Даль Ю. М. Плоская задача теории упругости для полосы, сжатой на границе взаимно противоположными силами // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 1, №1. С. 73-78.

14. Даль Ю. М. Упругая полоса, нагруженная на границе двумя сосредоточенными силами // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сб. статей к 75-летию Е. И. Шемякина / под ред. Д. Д. Ивлева и Н. Ф. Морозова. М.: Физматлит, 2006. С. 243-248.

Д(^хх + ^yy) = 0, где Д()

д2() , д2()

дх2 ду2 '

Статья поступила в редакцию 12 апреля 2018 г.;

после доработки 3 сентября 2018 г.; рекомендована в печать 27 сентября 2018 г.

Контактная информация:

Даль Юрий Михайлович — д-р физ.-мат. наук, проф.; [email protected]

About stresses in elastic stripe under normal forces on longitudinal borders

Yu. M. Dahl

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Dahl Yu. M. About stresses in elastic stripe under normal forces on longitudinal borders. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2019, vol. 6(64), issue 2, pp. 318-328. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2019.214 (In Russian)

The problem of stresses in the flat stripe S with constant wide 2c which borders loaded concentrated forces was analyzed. The analytical solution of this problem was founded in the terms of the function of complex variable. The stresses in arbitrary point of the strip determined by means of two regular functions $(z) and ^i(z). These functions are founded by the use of conform reflection of the region S on the lower half plane Z. The problem of this half plane solved analytical (method Cauchy's integrals). The exact mathematical expressions of the functions $(z) and ^1(z) are obtained. The inversely conform reflection reduce to known quantity $(z) and ^1(z). The function ^1(z) is coupled with $'(z), and so stresses are defined by means of $(z) and its derivative $'(z). The graphics of the normal and tangent stresses on the lines parallel strip's borders are produced. The comparison of stresses on the axis of strip and Filon's data were investigated. The solutions satisfy differential equations of equilibrium, border's conditions and the equation of continuous. Keywords: plane problem of the theory of elasticity, infinite stripe, complex variable, Kolosov's formulas.

References

1. Timoshenko S. P., Goodier J.N., Theory of elasticity (Nauka, Moscow, 1979). (In Russian)

2. Papkovich P. F., Theory of elasticity (Oborongiz, Leningrad, Moscow, 1939). (In Russian)

3. Belonosov S. M., "The plane problem theory of elasticity for infinity band under any stresses or displacements on their borders", DAN SSSR, 131(6), 1291-1293 (1960). (In Russian)

4. Rabotnov Yu.N., Mechanics of deformed solids (Nauka, Moscow, 1988). (In Russian)

5. Kolosov G. V., Application of complex variable to theory of elasticity (Leningrad, Moscow, 1935). (In Russian)

6. Zeldovich Ya. B., Mishkis F. D., The elements of applied mathematics (Nauka, Moscow, 1979). (In Russian)

7. Muschelishwili N. I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity (Nauka, Moscow, 1979). (In Russian)

8. Smirnov V. V., Course of higher mathematics. III, part two (Nauka, Moscow, 1969). (In Russian)

9. Westergaard Y. M., "Bearing pressures and cracks", J. Appl. Mech. 6(2), 49-53 (1939).

10. Eftis J., Liebowitz H., "On the Modified Westergaard Equations for Certain Plane Problems" Intern. J. Fract. Mech. 8(4), 383-392 (1972).

11. Filon L. N.G., "On approximate solution for the bending of beam of rectangular gross-section under any system of load, with special reference to points of concentrated or discontinuous loading" Philos. Trans. Roy. Soc. Ser. A 201(334), 65-154 (1903).

12. Dahl Yu. M., "About Kolosov's formulas in plane problem of the theory of elasticity in the presence of periodical cuts", Vestnik St. Petersburg Univ. Ser.1 1(59), issue 2, 228-236 (2014). (In Russian)

13. Dahl Yu. M., "Plane problem the theory of elasticity for band under two forces on their borders", Vestnik St. Petersburg Univ. Ser. 1, issue 1, 73-78 (2001). (In Russian)

14. Dahl Yu. M., "The elastic plane under two forces on their borders", The problems of the mechanics of solids and mining rocks (eds. D. D. Ivlev, N. F. Morosov, Fizmatlit, Moscow, 2006, 243-248). (In Russian)

Received: April 12, 2018 Revised: September 3, 2018 Accepted: September 27, 2018

A u t h o r's i n f o r m a t i o n: Yuriy M. Dahl — [email protected]