Научная статья на тему 'Некоторые основные задачи теории упругости о плоскости с прямолинейными разрезами'

Некоторые основные задачи теории упругости о плоскости с прямолинейными разрезами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
150
49
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ / КОМПЛЕКСНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ / ФОРМУЛЫ КОЛОСОВА / ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ РАЗРЕЗЫ / THEORY OF ELASTICITY / COMPLEX VARIABLE / KOLOSOV'S FORMULAS / THE STRAIGHT CUTS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Даль Юрий Михайлович

Найдены новые решения краевых задач теории упругости для плоскости с произвольным числом разрезов на вещественной оси. Исследованы два основных случая: 1) кромки разрезов нагружены сосредоточенными силами, напряжения на бесконечности отсутствуют; 2) берега разрезов свободны, на бесконечности плоскость растянута постоянными внешними усилиями. Библиогр. 6 назв. Ил. 9.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

SOME BASIC PROBLEMS OF THE THEORY OF ELASTICITY FOR PLANE WITH THE CUTS

It was found the new solutions for the elastic plane with arbitrary quantity of cuts on real axis. Two basic cases were investigated. The first is: the both borders of cuts are load with concentrated forces, but on the infinity there are no stresses. The second is: the both borders of cuts are free, however in the infinity the plane has stretched out for external stresses. Refs 6. Figs 9.

Текст научной работы на тему «Некоторые основные задачи теории упругости о плоскости с прямолинейными разрезами»

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 1

НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

О ПЛОСКОСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ

Ю. М. Даль

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

Найдены новые решения краевых задач теории упругости для плоскости с произвольным числом разрезов на вещественной оси. Исследованы два основных случая: 1) кромки разрезов нагружены сосредоточенными силами, напряжения на бесконечности отсутствуют; 2) берега разрезов свободны, на бесконечности плоскость растянута постоянными внешними усилиями. Библиогр. 6 назв. Ил. 9.

Ключевые слова: плоская задача теории упругости, комплексная переменная, формулы Колосова, прямолинейные разрезы.

1. Введение. Теоретический анализ напряженного состояния упругой плоскости с разрезами до сих пор является предметом многочисленных исследований. В различных публикациях рассматриваются как одиночные разрезы, так и два-три одинаковых коллинеарных разреза или же периодические разрезы одной и той же длины [1]. При этом, как правило, кромки разрезов считаются свободными либо загруженными равномерно распределенной нормальной нагрузкой. Задачи о произвольном числе разрезов различной длины при иных внешних усилиях остаются практически не изученными.

В настоящей работе приведены точные аналитические решения краевых задач для плоскости с произвольной конечной или периодической системой разрезов на вещественной оси. В основу анализа положены соотношения плоской задачи теории упругости в терминах функций комплексного переменного г = х+гу. Математические модели всех задач сведены к проблемам Гильберта—Привалова для двух функций Г. В. Колосова.

2. Общие формулы плоской задачи теории упругости для напряжений.

Рассмотрим сечение Б упругого тела, находящегося в условиях обобщенного плоского напряженного состояния или плоской деформации. Согласно [2], компоненты напряжения охх,ауу,аху в области Б определяются формулами

®хх + °уу 2

I ^ (2.1)

Оуу - Охх + 21аху = 2 [-21уФ'(г) + ^2(2)],

где первое равенство — интеграл уравнения неразрывности деформаций, а второе — интеграл комплексного уравнения равновесия [3]; ^2(2) —регулярная функция, связанная со своим классическим аналогом ) соотношением

^2(2 ) = ад + 2Ф'(г). (2.2)

Если область Б представляет собой п-связную плоскость, то, в общем случае, при

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

\z\ » 1 имеем [4, с. 124]

-г, V ,, , X + iY 1 ^ ж . . т. . . k(X — iY)1 . т . .

(2.3)

Здесь Ф0^) = O (1/z2) , ^o(z) = O (1/z2) —регулярные на бесконечности функции; X и Y — компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных ко всей совокупности контуров Yi (i = 1, 2,..., n), составляющих границу плоскости; параметр k = (3 — ()/(1 + () при обобщенном плоском напряженном состоянии и k = 3 — 4( в случае плоской деформации; ( — коэффициент Пуассона;

aX + aX aX - aX Г = уу = const, А = -^ + iaZ = const. (2.4)

4 2

Пусть в равенствах (2.3) величины X = Y = 0. Тогда Ф^) = Г + Ф0^), ^(z) = A + ^0(z), откуда следует

lim уФ'^) = 0. (2.5)

y ^ X

На основании (2.5) из второго уравнения (2.1) получаем

lim ^2(z) = A.

y ^ x

Отсюда при aX-x = ayy, axy =0 в соответствии с (2.4) имеем ^2(z) = ReA + ilmA, где ImA = aX, ReA = (aX — a%%.)/2, и формулы (2.1) преобразуются в соотношения Вестергарда [4, 5]:

axx = 2ReФ(z) — 2у^Ф'^) — ReA,

ayy = 2ReФ(z) + 2у^Ф'^) + ReA, (2.6)

axy = —2yReФ'(z) + ImA .

3. Влияние симметрии (асимметрии) внешних нагрузок на вид функций ф^), ад, ^2(z)

Симметрия. Пусть многосвязная область S представляет собой конечную или бесконечную часть плоскости. Предположим, что вещественная ось x является осью симметрии как самой области S, так и поля внешних усилий.

Учитывая (2.2), представим уравнения (2.1) в таком обобщенном виде [6]:

axx + ayy + iE*ш = 4Ф^), ayy — axx + 2iaxy = 2[z^(z) + ^(z)j, (3.1)

где E* = E/(1 —(2) для плоской деформации и E* = E в случае обобщенного плоского напряженного состояния; ш — угол поворота; E — модуль Юнга. Исходя из условий симметрии, находим

axx(z) = axx(z), ayy(z) = ayy(z), axy(z) = —axy(z), w(z) = —w(z). (3.2)

Принимая во внимание соотношения (3.2), на основании (3.1) устанавливаем

Re Ф^) = Re Ф(г), Im Ф^) = —Im Ф(г), Re^'(z) + ^(z)] = Re[z Ф'(г) + ад)], (3.3)

Im^'(z) + ад)] = — Im^'(z) + Ф(г)].

В результате умножения на г второго и четвертого равенств (3.3) и последующего их сложения соответственно с первым и третьим, получим

ф(г) = ф(5) = ф(г),

¿ф'(>) + ф(» = гф'(^) + = ¿ф'(» + ф(». Отсюда, имея в виду (2.2), заключаем

Ф(2) = Ф(г), Ф(2) = Ф(*), ^2(2) = Ф2ф. (3.4)

Если область Б и внешние нагрузки симметричны относительно осей х и у, то, кроме равенств (3.3), функции Ф(г) и Ф(2) должны удовлетворять зависимостям

Ие Ф(2) = Ев Ф(-г), 1т Ф(г) = -1т Ф(-г), Ке[2Ф'(2) + Ф(г)] = Ие[-2Ф'(-г) + Ф(-г)], 1т[гФ'(2) + Ф(г)] = -1т[-2Ф'(-г) + Ф(-г)],

которые вкупе с (3.4) сводятся к соотношениям

Ф(г) = Ф(г) = Ф(-г), Ф(г) = Ф(г) = Ф(-г), Ф2(г) = Ф2(г) = Ф2(-г).

Асимметрия. Пусть многосвязная область Б симметрична относительно вещественной оси, тогда как внешние усилия, наоборот, антисимметричны. В этом случае

& хх(2) = -аХх(2), &уу(2) = -Стуу(г), аХу(2) = оХу(г), ш(2) = ш(г),

и после выкладок, аналогичных вышеприведенным, будем иметь

Ф(2) = -Ф(г), ад = -Ф(г), ад) = -ад). (3.5)

4. Плоскость с конечным числом нагруженных разрезов. Рассмотрим сначала плоскость, содержащую один разрез на вещественной оси и свободную от нагрузки на бесконечности. Пусть в некоторой точке верхнего берега разреза приложена сосредоточенная сила 2Е = 2Р + г2Т, направленная под углом к оси х. Представив вектор 2Е как сумму четырех пар векторов Р и Т, видим, что решение задачи об упругой плоскости с произвольно нагруженным разрезом является суммой решений четырех задач, схемы к которым изображены на рис. 1.

2р : к

2К 1) 2) 3) 4)

2Г _Р]

1,

Рис. 1. Исходная задача и четыре частные задачи о нагруженном разрезе

Если плоскость содержит N разрезов, на кромках которых действуют внешние сосредоточенные силы (а^х = ауу = а^у = 0), то решение подобной задачи сводится к отысканию решений 4N частных задач, представленных на рис. 1. Заметим, что в задачах типов 1 и 3 функции Ф(2) и ^2(2) подчиняются соотношениям (3.4), в задачах типов 2 и 4 — зависимостям (3.5).

Задача 1. Согласно формулам (2.1) и (3.4)

ауу + ¡аХу = Ф(г) + Ф(г) - 2гуФ'(г) + Ф2(г). (4.1)

Краевые условия на разрезах акЪк (к = 1, 2,..., Ж) оси х будут

N

ау±у(х) + гаХ±у (х) = (-Ри )6(Х - Хк ) . к=1

Здесь и ниже индексами + и - обозначены соответственно верхние и нижние берега разрезов; Рк —величина силы, приложенной в точке Хк на разрезе акЪк; 5(х — Хк) — дельта-функция Дирака. Отсюда на основании (4.1) получаем

N N

Ф+(х)+Ф-(х)+Ф+ (х) = — ^ Рк5(х—Хк), Ф+ (х)+ф-(х)+ф+ (х) = —^ Ркд(х—Хк).

к=1 к=1

Вычитая и складывая эти равенства, приходим к задачам Гильберта—Привалова для функций и Ф(г):

1 14 Ф+(х) -Щ(х) =0, Ф+(х) + Ф-(х) + -[Ф+(х)+Ф2-(х)] = -^Рк5(х-Хк).

2 к=1 Следуя [3, с. 385-401], запишем их решение в виде

1 /А -Рк

Ф2(,г)=0, 1 ^ к

N \к1 ~ г\

2пг\1 П (г — ак)(г — Ък) =

V к=1

1 \

П (Хк — ак)(Хк — Ък) \ .

к=1

В частности, если N = 1, то

где 2а — длина разреза а1Ъ1, причем а1 = —а, Ъ1 = а. Задача 2. Из соотношений (2.1) и (3.5) находим

ауу + ¡аху = Ф(г) — Ф(г) — 2гуФ'(г) + Ф2(г). (4.3)

Внося правую часть этого равенства в краевые условия на разрезах ак Ък (к = 1, 2,...,Ж)

N

а±у(х) + гаХ±у = Тк3(х — Хк) , к=1

устанавливаем

N N

Ф+(х) — Ф-(х) + Ф+(х) = г^Тк 6(х — Хк), Ф-(х) — Ф+(х) + Ф-(х) = г^Тк 6(х — Хк),

х) = 1

к=1 к=1 Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3(61). 2016. Вып. 1 123

откуда

N

Ф+(х) + Ф2-(х) = 2г^Тк6(х - Хк), Ф+(х) - ф-(х) = -

к=1

Данным граничным условиям удовлетворяют функции

1 ( N Т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

*»<" = -2Ф(г) = /, £Л^У

П (2 - ак )(2 - Ьк) ^

к=1

В случае одного разреза

N \

П (Ак - ак)(Лк - Ьк) \ .

к=1

'1Т\ \/а2 - А?

г(Лх — г)\/г2 — а2

Здесь, как и выше, 2а — длина разреза а^1, где а1 = -а, Ь1 = а.

Задача 3. В результате подстановки выражения (4.1) в граничные условия на верхних и нижних берегах разрезов ак Ьк (к = 1, 2,..., N)

N N

а+у(х) + га+у(х) = г^Тк5(х - Лк), а-у(х) + га-у(х) = Тк5(х - Лк),

к=1 к=1

приходим к равенствам Гильберта—Привалова:

N

Ф+(х) - Ф-(х) = 2^Тк5(х - Лк) , Ф+(х) + Ф-(х) + [Ф+(х)+Ф-(х)] /2 = 0, к=1

которым удовлетворяют функции

1 N Т 1 N Т

п z—' Лк — 2 2п ^—' Лк — 2

к=1 к=1

Для одиночного разреза

Т1 Т1

п(Л1 - 2) ' 2п(Л1 - 2)

Задача 4. Краевые условия на совокупности N разрезов

N N

а+у(х)+ га+у (х) = рк 5(х - Лк ) , а-у(х)+ га-у (х) = Ркд(х - Лк )

к=1 к=1

с учетом зависимости (3.5) принимают вид

1 N

Ф+(х) + Щ(х) = 0, Ф+(х) - Ф-(х) + -[Щ(х] - Ф2-(х)] = -^Ркб{х-Хк).

2 к=1

124 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 1

Отсюда следует, что

N

^(г) = 0 , Ф(г)

9тг,: ^ \к - ,

к=1

Если на вещественной оси находится единственный разрез, то

^(г)=0 , Ф(г) = -

Р1

2п%(\\ — г)

5. Периодические задачи

Задача 1. Рассмотрим плоскость с бесконечным числом равноудаленных друг от друга разрезов акЬк на оси абсцисс. Обозначим через 2а длину этих разрезов и через I расстояние между их центрами. Пусть на противоположных берегах разрезов в точках Хк = Х±к1 (к = 0,1, 2,...) приложены сосредоточенные силы Р, коллинеарные оси у (рис. 2). Напряжения на бесконечности считаем отсутствующими (аС = аСс

0).

уу

КР I

+а а.

А

а

Рис. 2. Плоскость с разрезами (симметричная нагрузка)

На основании (4.1) получаем

аху = -у[Ф'(г) + Ф'ф] - -[Ф2(.) - Ф2(*)] , (5.1)

*уу = Ф(г) + Ф(5) - гу[Ф'(^) - Ф'(Е)] + + *2(*)]. (5.2)

В силу очевидной периодичности задачи, функции Ф(г) и ^2(г) можно установить из краевых условий на разрезе аоЬо (у = 0, —а < х < +а):

а±у(х) = 0 , а±у(х) = —Р5с(х), (5.3)

где 6с(х) — множество функций Дирака, определяемое рядом

Мх) = 6(Х + к1 — х). (5.4)

к= — <уо

Внеся в (5.3) выражения (5.1), (5.2) и (5.4), находим

*+(х) - *—(х)=0, (5.5)

1 +Т

Ф+(ж)+Ф"(х) + -[Ф^(х)-|-Ф^(х)] = -Р Е 6{\ + Ы-х). (5.6)

к= — т

Сообразуясь с оговоренными ранее условиями на бесконечности, из равенства (5.5) заключаем, что

^2(2) = 0 . (5.7)

Учитывая (5.7), перепишем (5.6) в виде граничного условия периодической задачи Гильберта—Привалова для функции Ф(2):

+^

Ф+(х) + Ф—(х) = -Р ^ 5(Л + к1 - х). (5.8)

к= — т

Ее решение имеет вид

х+ (х) £ 6(Л + к1 - х) Ф(*)=9 -у ^ / -—-(5-9)

2пгЛж(2) У х - 2

ь~

где

Х00(г) = у/(г — а)(г + а)(г — а,1)(г — Ь1_)(г — а-1)(г — Ь-1_) . .. = = \

(2 + аЩ [(2 + а)2 - к2/2] (2 - а) П [(2 - а)2 - к212]. (5.10)

к=1 к=1

Символ ЬТ обозначает интегрирование по всей совокупности прямолинейных разрезов.

Подставив выражения (5.10) в формулу (5.9), после соответствующих выкладок и преобразований устанавливаем

р ./вШ2^ - вШ2^

Ф(г) = -.-¥-. =. (5.11)

Задача 2. Пусть на противоположных берегах разрезов акЬк в точках хк = П ± к1 (к = 0,1, 2,...) приложены сосредоточенные касательные нагрузки Т (рис. 3). Напряжения на бесконечности по-прежнему считаем отсутствующими (аТх = аТ =

аТу = 0).

Из уравнений (2.1) и (3.5) получаем

ауу + гаху = Ф(2) - Ф(г) - 2гуФ'(2) + ^2(2) . (5.12)

Отсюда заключаем, что краевые условия данной задачи

а^у(х) + га±у (х) = гТ Е + к1 - х)

к= — т

Рис. 3. Плоскость с разрезами (асимметричная нагрузка)

представимы в такой эквивалентной форме:

Ф+(х) — Ф"(х) + Ф+(х) = гТ ^ 5(ц + к1 — х),

к=

Ф-(х) — Ф+(х) + Ф2(х) = гТ ^ 5(п + к1 — х).

к=-с

(5.13)

Складывая равенства (5.13), имеем

Ф+(х) + Ф- (х) = 2гТ 6(п + к1 — х) .

к=

(5.14)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Как видим, с математической точки зрения задачи (5.8) и (5.14) идентичны. Поэтому, заменив в формуле (5.11) параметры Р и Л соответственно на — 2гТ и п, находим

Ф2(г) = —

гТ

/ _81П2™

(5.15)

Вычитая второе уравнение (5.13) из первого, приходим к соотношению

Ф+(ж) - ф-(ж) = -" Щ(х)].

Отсюда, с учетом предыдущей зависимости, можем написать

Ф(г ) =

гТ

2/

вПГ^ — ЙНГ

или

Ф(-) =

(5.16)

Положив в (5.15) параметры п = 0 и I ^ (а,п), получим решение задачи о плоскости с одним центральным разрезом аоЬо (у = 0, —а < х < +а) в виде

Ф2(г) = —2Ф(г)

гТа

ттг^г2 — а2

Если в этой формуле а то с точностью до малых первого порядка

= -2Ф(г) = —.

пг

Выражения (5.17) являются решением первой основной краевой задачи для нижней полуплоскости у < 0, загруженной в начале координат сосредоточенной касательной нагрузкой. Отметим, что в терминах функций Ф(г) и Ф(г) решение данной задачи выглядит следующим образом:

Ф(г) = -

Т

2я\г'

ад

T

- zФ/(z)

Т

2~z

Замечание. Периодические задачи 3 и 4 (рис. 1) не имеют решений, ибо в них главный вектор внешних нагрузок, приложенных к бесконечной совокупности разрезов, не является ограниченным.

6. Растяжение упругой плоскости с конечным числом разрезов. Рассмотрим плоскость с конечным числом разрезов akbk (к = 1, 2,..., N) на оси x. Предположим, что кромки всех разрезов свободны от внешних усилий, а сама плоскость растянута на бесконечности напряжениями = p = const, aXXX = axy = 0 (рис. 4).

1—I I I *

Рис. 4. Плоскость с разрезами, растянутая на бесконечности

Согласно формулам (2.1) и (3.4), представим граничные условия на разрезах

a±y(x) + га±ч (x) =0, x e ak bk,

1, 2,

,N

в таком эквивалентном виде:

Ф+(х) + Ф-(х) + Ф+(х) = 0,

Ф-(х) + Ф+(х) + Ф-(х) = 0. Вычитая и складывая эти равенства, получим

Ф+(х) - *-(х)=0,

1

Ф+(ж) + Ф (ж) + - + Ф2 (ж)] = 0.

(6.1)

(6.2)

2 L~2

nz

Принимая во внимание соотношения (2.4), (2.6) и оговоренные выше условия на бесконечности, приходим к выводу, что решение уравнения (6.1) будет

Ф2(г) = | = сопгй. (6.3)

Учитывая полученный результат, перепишем (6.2) в форме граничного условия задачи Гильберта—Привалова для функции Ф(г), т.е.

Ф+(ж) + ф-(х) =

Решение, удовлетворяющее данному условию на совокупности всех разрезов, таково:

N

( п (х — ак)(х — Ьк)

Ф(.) = ■ 1 (-|) / -

N \ 2^ г —х

2пг* П (г — ак)(г — Ьк) ь*

У к=1

где символ LN обозначает интегрирование по всей совокупности N разрезов. Вычислив интеграл в правой части этого равенства, устанавливаем

N

Ф(г) = -^ + — Рг (6.4)

4 / N

2\ П (г — ак)(г — Ьк)

У к=1

Если, например, в формуле (6.4) параметр N = 3 , то

3

т = ~2+ , рг (6.5)

43

2\ П (г — ак)(г — Ьк)

У к=1

Обозначив длину разреза а2Ь2 через 2а, поместим начало координат в его середине. Пусть краевые разрезы аф1 и азЬз имеют одинаковую длину 2па (п — некоторое целое или рациональное положительное число) и равноудалены от центрального разреза. Параметры I и Д — соответственно расстояния между центрами и ближайшими вершинами смежных разрезов (рис.5).

В принятых обозначениях выражение (6.5) запишется следующим образом:

3

Ф(*) = ~|+ , . ^ (6-6)

2

2^(г2 — а2) |г2 — (I — па)2] [г2 — (I + па)

Полагая г = х, внесем соотношения (2.4), (6.3) и (6.6) в формулы (2.6), где А = р/2. В результате находим

о ауу

(х) 1

СГ уу(х)

[1 — а2/х2] 1 — (I — па)2/х2 1 — (I + па)2/х

аХх(х)

(х)

[1 — а2/х2] 1 — (I — па) /х2 1 — (I + па)2/

= 1, аху(х)

Рассмотрим три системы разрезов:

1) I = 2.5а, п = 0.5 , Д = а; 2) I = 3а,п =1, Д = а; 3) I = 4а,п = 2 , Д = а.

(6.7)

Распределение напряжений а°0у(х) и а°х(х) на отрезке Д = а между разрезами а2Ь2 и азЬз проиллюстрировано графиками на рис. 6 и 7. Кривые 1 соответствуют |а1 Ь11 = |азЬз| = 0.5|а2Ь21; кривые 2— |а1Ь1| = |азЬз| = |а2^|; кривые 3— |а1Ь1| = |азЬз| = 2|а2Ь2|.

УУ

Рис. 6. Распределение напряжений между разрезами

Аналогичным образом на оси у будем иметь

Рис. 7. Распределение напряжений между разрезами

аХх(У)

а°у(у) =

_ (Гхх{у) Р

уу

(у)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

р

[1 + а2/у2] 1 + (1 — па)2/у2 1 + (1 + па)2/у2

[1 + а2/у2] 1 + (1 — па,)2/у2 1 + (1 + па)2/у2

— 1, аху (у) =

1

р

2

1

1

На рис.8 и 9 приведены графики напряжений &уу(у) и &Хх(у)- Кривые 1 соответствуют |а1&1| = |аз&з| = 0.5|а2&21; кривые 2— |а1&1| = |аз6з| = |а2б2|; кривые 3 — \aibil = |аз6з| = 2|«2&21; кривые 4— |а1&1| = |азЬз| = 0, |а2&2| = 2а.

10 15 20

5 10 15 20 у/а

Рис. 8. Величины напряжений

Jyy(

rfy(y) на оси y

Рис. 9. Величины напряжений JXx(y) на оси У

Обратимся теперь к случаю, когда плоскость с единственным разрезом на оси абсцисс (-a < x < a,y = 0), растянута на бесконечности напряжениями ayy = p = const. Согласно (6.4), при N = 1 имеем

ФИ = -7 +

pz

Р

4 ' 2Vz2 - а2

Внося это выражение в формулы (2.6), получим

px

@xx (x)

\/ х2 — а2

1

ayy(x)

px

\/х2 — а2

Если приближаться к вершине разреза по оси х, считая х = а + £, то при 0 < £ ^ а предыдущие формулы преобразуются к виду

« VyyiO ■

(6.8)

Переходим к оценке напряжений (на оси х) около вершин 62, аз, 63 трех разрезов (см. рис.5), определяемых равенствами (6.7). Выполнив аналогичные подстановки и выкладки, находим

1) ИМ = |«зЬз| = 0.5 \а2Ъ2\ = а, « а^Ц) « 0.20рЩ,

а

а

а 21'

<#x(0 *

(0

<Х(0 *

2) \aibi \ = \азЬз\ = \а2^\ = 2а,

3) \a1b11 = \a3b3\ = 2 \a2b2\ = 4a, abx%(0

¿Ж)

Сопоставляя приведенные графики, а также соотношения (6.8) и (6.9), видим, что количество разрезов и различия в их длинах существенно влияют на особенности напряженного состояния как около концов внутреннего разреза a2b2, так и на оси у, проходящей через его центр.

Результаты, полученные в данной работе, позволяют сделать следующие выводы.

1. Краевая задача теории упругости о плоскости с конечным и бесконечным числом разрезов на вещественной оси может быть сведена к решению математических задач Гильберта—Привалова для двух регулярных функций Г. В. Колосова.

2. Достаточное условие существования такого решения заключается в том, что внешние усилия на контуре каждого из разрезов должны быть самоуравновешены.

3. Аналитическое решение задач 3, 4 (см. рис. 1) существует для конечного числа разрезов N и отсутствует, когда N

Литература

1. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / ред. Ю.Мураками. Т. 1. M.: Мир, 1990. 448 с.

2. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Л.; М., 1935. 215 с.

3. Даль Ю. М. О формулах Г. В. Колосова в плоской задаче теории упругости при наличии периодических разрезов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Вып. 2. С. 228—236.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

5. Westergaard Y.M. Bearing pressures and cracks //J. Appl. Mech. 1939. Vol.6, N2. P. 49—53.

6. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

Статья поступила в редакцию 22 октября 2015 г. Сведения об авторе

Даль Юрий Михайлович —доктор физико-математических наук, профессор; ymdahl@yandex.ru

SOME BASIC PROBLEMS OF THE THEORY OF ELASTICITY FOR PLANE WITH THE CUTS

Yuriy M. Dahl

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; ymdahl@yandex.ru

It was found the new solutions for the elastic plane with arbitrary quantity of cuts on real axis. Two basic cases were investigated. The first is: the both borders of cuts are load with concentrated forces, but on the infinity there are no stresses. The second is: the both borders of cuts are free, however in the infinity the plane has stretched out for external stresses.

Keywords: theory of elasticity, complex variable, Kolosov's formulas, the straight cuts.

<C(O«0.94pj-,

<7* (О «2.63^/-. (6.9)

References

1. Reference book of stress intensity coefficients 1 (ed. by Yu. Murakami, Mir, Moscow, 1990, 448 p.) [in Russian].

2. Kolosov G. V., Application of complex variable to theory of elasticity (Leningrad, Moscow, 1935, 215 p.) [in Russian].

3. Dahl Yu. M., "About Kolosov's formulas in a plane problem of the theory of elasticity in the presence of periodical cuts", Vestn. St. Petersburg Univ. Ser. 1. 1(59), Issue2, 226—236 (2014) [in Russian].

4. Muschelishwili N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity (Nauka, Moscow, 1966, 707 p.) [in Russian].

5. Westergaard Y. M., "Bearing pressures and cracks", J. Appl. Mech. 6(2), 49—53 (1939).

6. Novojilov V. V., Theory of elasticity (Sudpromgiz, Leningrad, 1958. 370 p.) [in Russian].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.