Некоторые основные задачи теории упругости о плоскости с прямолинейными разрезами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 1

НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

О ПЛОСКОСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ

Ю. М. Даль

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

Найдены новые решения краевых задач теории упругости для плоскости с произвольным числом разрезов на вещественной оси. Исследованы два основных случая: 1) кромки разрезов нагружены сосредоточенными силами, напряжения на бесконечности отсутствуют; 2) берега разрезов свободны, на бесконечности плоскость растянута постоянными внешними усилиями. Библиогр. 6 назв. Ил. 9.

Ключевые слова: плоская задача теории упругости, комплексная переменная, формулы Колосова, прямолинейные разрезы.

1. Введение. Теоретический анализ напряженного состояния упругой плоскости с разрезами до сих пор является предметом многочисленных исследований. В различных публикациях рассматриваются как одиночные разрезы, так и два-три одинаковых коллинеарных разреза или же периодические разрезы одной и той же длины [1]. При этом, как правило, кромки разрезов считаются свободными либо загруженными равномерно распределенной нормальной нагрузкой. Задачи о произвольном числе разрезов различной длины при иных внешних усилиях остаются практически не изученными.

В настоящей работе приведены точные аналитические решения краевых задач для плоскости с произвольной конечной или периодической системой разрезов на вещественной оси. В основу анализа положены соотношения плоской задачи теории упругости в терминах функций комплексного переменного г = х+гу. Математические модели всех задач сведены к проблемам Гильберта—Привалова для двух функций Г. В. Колосова.

2. Общие формулы плоской задачи теории упругости для напряжений.

Рассмотрим сечение Б упругого тела, находящегося в условиях обобщенного плоского напряженного состояния или плоской деформации. Согласно [2], компоненты напряжения охх,ауу,аху в области Б определяются формулами

®хх + °уу 2

I ^ (2.1)

Оуу - Охх + 21аху = 2 [-21уФ'(г) + ^2(2)],

где первое равенство — интеграл уравнения неразрывности деформаций, а второе — интеграл комплексного уравнения равновесия [3]; ^2(2) —регулярная функция, связанная со своим классическим аналогом ) соотношением

^2(2 ) = ад + 2Ф'(г). (2.2)

Если область Б представляет собой п-связную плоскость, то, в общем случае, при

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016

\z\ » 1 имеем [4, с. 124]

-г, V ,, , X + iY 1 ^ ж . . т. . . k(X — iY)1 . т . .

(2.3)

Здесь Ф0^) = O (1/z2) , ^o(z) = O (1/z2) —регулярные на бесконечности функции; X и Y — компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных ко всей совокупности контуров Yi (i = 1, 2,..., n), составляющих границу плоскости; параметр k = (3 — ()/(1 + () при обобщенном плоском напряженном состоянии и k = 3 — 4( в случае плоской деформации; ( — коэффициент Пуассона;

aX + aX aX - aX Г = уу = const, А = -^ + iaZ = const. (2.4)

4 2

Пусть в равенствах (2.3) величины X = Y = 0. Тогда Ф^) = Г + Ф0^), ^(z) = A + ^0(z), откуда следует

lim уФ'^) = 0. (2.5)

y ^ X

На основании (2.5) из второго уравнения (2.1) получаем

lim ^2(z) = A.

y ^ x

Отсюда при aX-x = ayy, axy =0 в соответствии с (2.4) имеем ^2(z) = ReA + ilmA, где ImA = aX, ReA = (aX — a%%.)/2, и формулы (2.1) преобразуются в соотношения Вестергарда [4, 5]:

axx = 2ReФ(z) — 2у^Ф'^) — ReA,

ayy = 2ReФ(z) + 2у^Ф'^) + ReA, (2.6)

axy = —2yReФ'(z) + ImA .

3. Влияние симметрии (асимметрии) внешних нагрузок на вид функций ф^), ад, ^2(z)

Симметрия. Пусть многосвязная область S представляет собой конечную или бесконечную часть плоскости. Предположим, что вещественная ось x является осью симметрии как самой области S, так и поля внешних усилий.

Учитывая (2.2), представим уравнения (2.1) в таком обобщенном виде [6]:

axx + ayy + iE*ш = 4Ф^), ayy — axx + 2iaxy = 2[z^(z) + ^(z)j, (3.1)

где E* = E/(1 —(2) для плоской деформации и E* = E в случае обобщенного плоского напряженного состояния; ш — угол поворота; E — модуль Юнга. Исходя из условий симметрии, находим

axx(z) = axx(z), ayy(z) = ayy(z), axy(z) = —axy(z), w(z) = —w(z). (3.2)

Принимая во внимание соотношения (3.2), на основании (3.1) устанавливаем

Re Ф^) = Re Ф(г), Im Ф^) = —Im Ф(г), Re^'(z) + ^(z)] = Re[z Ф'(г) + ад)], (3.3)

Im^'(z) + ад)] = — Im^'(z) + Ф(г)].

В результате умножения на г второго и четвертого равенств (3.3) и последующего их сложения соответственно с первым и третьим, получим

ф(г) = ф(5) = ф(г),

¿ф'(>) + ф(» = гф'(^) + = ¿ф'(» + ф(». Отсюда, имея в виду (2.2), заключаем

Ф(2) = Ф(г), Ф(2) = Ф(*), ^2(2) = Ф2ф. (3.4)

Если область Б и внешние нагрузки симметричны относительно осей х и у, то, кроме равенств (3.3), функции Ф(г) и Ф(2) должны удовлетворять зависимостям

Ие Ф(2) = Ев Ф(-г), 1т Ф(г) = -1т Ф(-г), Ке[2Ф'(2) + Ф(г)] = Ие[-2Ф'(-г) + Ф(-г)], 1т[гФ'(2) + Ф(г)] = -1т[-2Ф'(-г) + Ф(-г)],

которые вкупе с (3.4) сводятся к соотношениям

Ф(г) = Ф(г) = Ф(-г), Ф(г) = Ф(г) = Ф(-г), Ф2(г) = Ф2(г) = Ф2(-г).

Асимметрия. Пусть многосвязная область Б симметрична относительно вещественной оси, тогда как внешние усилия, наоборот, антисимметричны. В этом случае

& хх(2) = -аХх(2), &уу(2) = -Стуу(г), аХу(2) = оХу(г), ш(2) = ш(г),

и после выкладок, аналогичных вышеприведенным, будем иметь

Ф(2) = -Ф(г), ад = -Ф(г), ад) = -ад). (3.5)

4. Плоскость с конечным числом нагруженных разрезов. Рассмотрим сначала плоскость, содержащую один разрез на вещественной оси и свободную от нагрузки на бесконечности. Пусть в некоторой точке верхнего берега разреза приложена сосредоточенная сила 2Е = 2Р + г2Т, направленная под углом к оси х. Представив вектор 2Е как сумму четырех пар векторов Р и Т, видим, что решение задачи об упругой плоскости с произвольно нагруженным разрезом является суммой решений четырех задач, схемы к которым изображены на рис. 1.

2р : к

2К 1) 2) 3) 4)

2Г _Р]

1,

Рис. 1. Исходная задача и четыре частные задачи о нагруженном разрезе

Если плоскость содержит N разрезов, на кромках которых действуют внешние сосредоточенные силы (а^х = ауу = а^у = 0), то решение подобной задачи сводится к отысканию решений 4N частных задач, представленных на рис. 1. Заметим, что в задачах типов 1 и 3 функции Ф(2) и ^2(2) подчиняются соотношениям (3.4), в задачах типов 2 и 4 — зависимостям (3.5).

Задача 1. Согласно формулам (2.1) и (3.4)

ауу + ¡аХу = Ф(г) + Ф(г) - 2гуФ'(г) + Ф2(г). (4.1)

Краевые условия на разрезах акЪк (к = 1, 2,..., Ж) оси х будут

N

ау±у(х) + гаХ±у (х) = (-Ри )6(Х - Хк ) . к=1

Здесь и ниже индексами + и - обозначены соответственно верхние и нижние берега разрезов; Рк —величина силы, приложенной в точке Хк на разрезе акЪк; 5(х — Хк) — дельта-функция Дирака. Отсюда на основании (4.1) получаем

N N

Ф+(х)+Ф-(х)+Ф+ (х) = — ^ Рк5(х—Хк), Ф+ (х)+ф-(х)+ф+ (х) = —^ Ркд(х—Хк).

к=1 к=1

Вычитая и складывая эти равенства, приходим к задачам Гильберта—Привалова для функций и Ф(г):

1 14 Ф+(х) -Щ(х) =0, Ф+(х) + Ф-(х) + -[Ф+(х)+Ф2-(х)] = -^Рк5(х-Хк).

2 к=1 Следуя [3, с. 385-401], запишем их решение в виде

1 /А -Рк

Ф2(,г)=0, 1 ^ к

N \к1 ~ г\

2пг\1 П (г — ак)(г — Ък) =

V к=1

1 \

П (Хк — ак)(Хк — Ък) \ .

к=1

В частности, если N = 1, то

где 2а — длина разреза а1Ъ1, причем а1 = —а, Ъ1 = а. Задача 2. Из соотношений (2.1) и (3.5) находим

ауу + ¡аху = Ф(г) — Ф(г) — 2гуФ'(г) + Ф2(г). (4.3)

Внося правую часть этого равенства в краевые условия на разрезах ак Ък (к = 1, 2,...,Ж)

N

а±у(х) + гаХ±у = Тк3(х — Хк) , к=1

устанавливаем

N N

Ф+(х) — Ф-(х) + Ф+(х) = г^Тк 6(х — Хк), Ф-(х) — Ф+(х) + Ф-(х) = г^Тк 6(х — Хк),

х) = 1

к=1 к=1 Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3(61). 2016. Вып. 1 123

откуда

N

Ф+(х) + Ф2-(х) = 2г^Тк6(х - Хк), Ф+(х) - ф-(х) = -

к=1

Данным граничным условиям удовлетворяют функции

1 ( N Т

*»<" = -2Ф(г) = /, £Л^У

П (2 - ак )(2 - Ьк) ^

к=1

В случае одного разреза

N \

П (Ак - ак)(Лк - Ьк) \ .

к=1

'1Т\ \/а2 - А?

г(Лх — г)\/г2 — а2

Здесь, как и выше, 2а — длина разреза а^1, где а1 = -а, Ь1 = а.

Задача 3. В результате подстановки выражения (4.1) в граничные условия на верхних и нижних берегах разрезов ак Ьк (к = 1, 2,..., N)

N N

а+у(х) + га+у(х) = г^Тк5(х - Лк), а-у(х) + га-у(х) = Тк5(х - Лк),

к=1 к=1

приходим к равенствам Гильберта—Привалова:

N

Ф+(х) - Ф-(х) = 2^Тк5(х - Лк) , Ф+(х) + Ф-(х) + [Ф+(х)+Ф-(х)] /2 = 0, к=1

которым удовлетворяют функции

1 N Т 1 N Т

п z—' Лк — 2 2п ^—' Лк — 2

к=1 к=1

Для одиночного разреза

Т1 Т1

п(Л1 - 2) ' 2п(Л1 - 2)

Задача 4. Краевые условия на совокупности N разрезов

N N

а+у(х)+ га+у (х) = рк 5(х - Лк ) , а-у(х)+ га-у (х) = Ркд(х - Лк )

к=1 к=1

с учетом зависимости (3.5) принимают вид

1 N

Ф+(х) + Щ(х) = 0, Ф+(х) - Ф-(х) + -[Щ(х] - Ф2-(х)] = -^Ркб{х-Хк).

2 к=1

124 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 1

Отсюда следует, что

N

^(г) = 0 , Ф(г)

9тг,: ^ \к - ,

к=1

Если на вещественной оси находится единственный разрез, то

^(г)=0 , Ф(г) = -

Р1

2п%(\\ — г)

5. Периодические задачи

Задача 1. Рассмотрим плоскость с бесконечным числом равноудаленных друг от друга разрезов акЬк на оси абсцисс. Обозначим через 2а длину этих разрезов и через I расстояние между их центрами. Пусть на противоположных берегах разрезов в точках Хк = Х±к1 (к = 0,1, 2,...) приложены сосредоточенные силы Р, коллинеарные оси у (рис. 2). Напряжения на бесконечности считаем отсутствующими (аС = аСс

0).

уу

КР I

+а а.

А

а

Рис. 2. Плоскость с разрезами (симметричная нагрузка)

На основании (4.1) получаем

аху = -у[Ф'(г) + Ф'ф] - -[Ф2(.) - Ф2(*)] , (5.1)

*уу = Ф(г) + Ф(5) - гу[Ф'(^) - Ф'(Е)] + + *2(*)]. (5.2)

В силу очевидной периодичности задачи, функции Ф(г) и ^2(г) можно установить из краевых условий на разрезе аоЬо (у = 0, —а < х < +а):

а±у(х) = 0 , а±у(х) = —Р5с(х), (5.3)

где 6с(х) — множество функций Дирака, определяемое рядом

Мх) = 6(Х + к1 — х). (5.4)

к= — <уо

Внеся в (5.3) выражения (5.1), (5.2) и (5.4), находим

*+(х) - *—(х)=0, (5.5)

1 +Т

Ф+(ж)+Ф"(х) + -[Ф^(х)-|-Ф^(х)] = -Р Е 6{\ + Ы-х). (5.6)

к= — т

Сообразуясь с оговоренными ранее условиями на бесконечности, из равенства (5.5) заключаем, что

^2(2) = 0 . (5.7)

Учитывая (5.7), перепишем (5.6) в виде граничного условия периодической задачи Гильберта—Привалова для функции Ф(2):

+^

Ф+(х) + Ф—(х) = -Р ^ 5(Л + к1 - х). (5.8)

к= — т

Ее решение имеет вид

х+ (х) £ 6(Л + к1 - х) Ф(*)=9 -у ^ / -—-(5-9)

2пгЛж(2) У х - 2

ь~

где

Х00(г) = у/(г — а)(г + а)(г — а,1)(г — Ь1_)(г — а-1)(г — Ь-1_) . .. = = \

(2 + аЩ [(2 + а)2 - к2/2] (2 - а) П [(2 - а)2 - к212]. (5.10)

к=1 к=1

Символ ЬТ обозначает интегрирование по всей совокупности прямолинейных разрезов.

Подставив выражения (5.10) в формулу (5.9), после соответствующих выкладок и преобразований устанавливаем

р ./вШ2^ - вШ2^

Ф(г) = -.-¥-. =. (5.11)

Задача 2. Пусть на противоположных берегах разрезов акЬк в точках хк = П ± к1 (к = 0,1, 2,...) приложены сосредоточенные касательные нагрузки Т (рис. 3). Напряжения на бесконечности по-прежнему считаем отсутствующими (аТх = аТ =

аТу = 0).

Из уравнений (2.1) и (3.5) получаем

ауу + гаху = Ф(2) - Ф(г) - 2гуФ'(2) + ^2(2) . (5.12)

Отсюда заключаем, что краевые условия данной задачи

а^у(х) + га±у (х) = гТ Е + к1 - х)

к= — т

Рис. 3. Плоскость с разрезами (асимметричная нагрузка)

представимы в такой эквивалентной форме:

Ф+(х) — Ф"(х) + Ф+(х) = гТ ^ 5(ц + к1 — х),

к=

Ф-(х) — Ф+(х) + Ф2(х) = гТ ^ 5(п + к1 — х).

к=-с

(5.13)

Складывая равенства (5.13), имеем

Ф+(х) + Ф- (х) = 2гТ 6(п + к1 — х) .

к=

(5.14)

Как видим, с математической точки зрения задачи (5.8) и (5.14) идентичны. Поэтому, заменив в формуле (5.11) параметры Р и Л соответственно на — 2гТ и п, находим

Ф2(г) = —

гТ

/ _81П2™

(5.15)

Вычитая второе уравнение (5.13) из первого, приходим к соотношению

Ф+(ж) - ф-(ж) = -" Щ(х)].

Отсюда, с учетом предыдущей зависимости, можем написать

Ф(г ) =

гТ

2/

вПГ^ — ЙНГ

или

Ф(-) =

(5.16)

Положив в (5.15) параметры п = 0 и I ^ (а,п), получим решение задачи о плоскости с одним центральным разрезом аоЬо (у = 0, —а < х < +а) в виде

Ф2(г) = —2Ф(г)

гТа

ттг^г2 — а2

Если в этой формуле а то с точностью до малых первого порядка

= -2Ф(г) = —.

пг

Выражения (5.17) являются решением первой основной краевой задачи для нижней полуплоскости у < 0, загруженной в начале координат сосредоточенной касательной нагрузкой. Отметим, что в терминах функций Ф(г) и Ф(г) решение данной задачи выглядит следующим образом:

Ф(г) = -

Т

2я\г'

ад

T

- zФ/(z)

Т

2~z

Замечание. Периодические задачи 3 и 4 (рис. 1) не имеют решений, ибо в них главный вектор внешних нагрузок, приложенных к бесконечной совокупности разрезов, не является ограниченным.

6. Растяжение упругой плоскости с конечным числом разрезов. Рассмотрим плоскость с конечным числом разрезов akbk (к = 1, 2,..., N) на оси x. Предположим, что кромки всех разрезов свободны от внешних усилий, а сама плоскость растянута на бесконечности напряжениями = p = const, aXXX = axy = 0 (рис. 4).

1—I I I *

Рис. 4. Плоскость с разрезами, растянутая на бесконечности

Согласно формулам (2.1) и (3.4), представим граничные условия на разрезах

a±y(x) + га±ч (x) =0, x e ak bk,

1, 2,

,N

в таком эквивалентном виде:

Ф+(х) + Ф-(х) + Ф+(х) = 0,

Ф-(х) + Ф+(х) + Ф-(х) = 0. Вычитая и складывая эти равенства, получим

Ф+(х) - *-(х)=0,

1

Ф+(ж) + Ф (ж) + - + Ф2 (ж)] = 0.

(6.1)

(6.2)

2 L~2

nz

Принимая во внимание соотношения (2.4), (2.6) и оговоренные выше условия на бесконечности, приходим к выводу, что решение уравнения (6.1) будет

Ф2(г) = | = сопгй. (6.3)

Учитывая полученный результат, перепишем (6.2) в форме граничного условия задачи Гильберта—Привалова для функции Ф(г), т.е.

Ф+(ж) + ф-(х) =

Решение, удовлетворяющее данному условию на совокупности всех разрезов, таково:

N

( п (х — ак)(х — Ьк)

Ф(.) = ■ 1 (-|) / -

N \ 2^ г —х

2пг* П (г — ак)(г — Ьк) ь*

У к=1

где символ LN обозначает интегрирование по всей совокупности N разрезов. Вычислив интеграл в правой части этого равенства, устанавливаем

N

Ф(г) = -^ + — Рг (6.4)

4 / N

2\ П (г — ак)(г — Ьк)

У к=1

Если, например, в формуле (6.4) параметр N = 3 , то

3

т = ~2+ , рг (6.5)

43

2\ П (г — ак)(г — Ьк)

У к=1

Обозначив длину разреза а2Ь2 через 2а, поместим начало координат в его середине. Пусть краевые разрезы аф1 и азЬз имеют одинаковую длину 2па (п — некоторое целое или рациональное положительное число) и равноудалены от центрального разреза. Параметры I и Д — соответственно расстояния между центрами и ближайшими вершинами смежных разрезов (рис.5).

В принятых обозначениях выражение (6.5) запишется следующим образом:

3

Ф(*) = ~|+ , . ^ (6-6)

2

2^(г2 — а2) |г2 — (I — па)2] [г2 — (I + па)

Полагая г = х, внесем соотношения (2.4), (6.3) и (6.6) в формулы (2.6), где А = р/2. В результате находим

о ауу

(х) 1

СГ уу(х)

[1 — а2/х2] 1 — (I — па)2/х2 1 — (I + па)2/х

аХх(х)

(х)

[1 — а2/х2] 1 — (I — па) /х2 1 — (I + па)2/

= 1, аху(х)

Рассмотрим три системы разрезов:

1) I = 2.5а, п = 0.5 , Д = а; 2) I = 3а,п =1, Д = а; 3) I = 4а,п = 2 , Д = а.

(6.7)

Распределение напряжений а°0у(х) и а°х(х) на отрезке Д = а между разрезами а2Ь2 и азЬз проиллюстрировано графиками на рис. 6 и 7. Кривые 1 соответствуют |а1 Ь11 = |азЬз| = 0.5|а2Ь21; кривые 2— |а1Ь1| = |азЬз| = |а2^|; кривые 3— |а1Ь1| = |азЬз| = 2|а2Ь2|.

УУ

Рис. 6. Распределение напряжений между разрезами

Аналогичным образом на оси у будем иметь

Рис. 7. Распределение напряжений между разрезами

аХх(У)

а°у(у) =

_ (Гхх{у) Р

уу

(у)

р

[1 + а2/у2] 1 + (1 — па)2/у2 1 + (1 + па)2/у2

[1 + а2/у2] 1 + (1 — па,)2/у2 1 + (1 + па)2/у2

— 1, аху (у) =

1

р

2

1

1

На рис.8 и 9 приведены графики напряжений &уу(у) и &Хх(у)- Кривые 1 соответствуют |а1&1| = |аз&з| = 0.5|а2&21; кривые 2— |а1&1| = |аз6з| = |а2б2|; кривые 3 — \aibil = |аз6з| = 2|«2&21; кривые 4— |а1&1| = |азЬз| = 0, |а2&2| = 2а.

10 15 20

5 10 15 20 у/а

Рис. 8. Величины напряжений

Jyy(

rfy(y) на оси y

Рис. 9. Величины напряжений JXx(y) на оси У

Обратимся теперь к случаю, когда плоскость с единственным разрезом на оси абсцисс (-a < x < a,y = 0), растянута на бесконечности напряжениями ayy = p = const. Согласно (6.4), при N = 1 имеем

ФИ = -7 +

pz

Р

4 ' 2Vz2 - а2

Внося это выражение в формулы (2.6), получим

px

@xx (x)

\/ х2 — а2

1

ayy(x)

px

\/х2 — а2

Если приближаться к вершине разреза по оси х, считая х = а + £, то при 0 < £ ^ а предыдущие формулы преобразуются к виду

« VyyiO ■

(6.8)

Переходим к оценке напряжений (на оси х) около вершин 62, аз, 63 трех разрезов (см. рис.5), определяемых равенствами (6.7). Выполнив аналогичные подстановки и выкладки, находим

1) ИМ = |«зЬз| = 0.5 \а2Ъ2\ = а, « а^Ц) « 0.20рЩ,

а

а

а 21'

<#x(0 *

(0

<Х(0 *

2) \aibi \ = \азЬз\ = \а2^\ = 2а,

<т

3) \a1b11 = \a3b3\ = 2 \a2b2\ = 4a, abx%(0

¿Ж)

Сопоставляя приведенные графики, а также соотношения (6.8) и (6.9), видим, что количество разрезов и различия в их длинах существенно влияют на особенности напряженного состояния как около концов внутреннего разреза a2b2, так и на оси у, проходящей через его центр.

Результаты, полученные в данной работе, позволяют сделать следующие выводы.

1. Краевая задача теории упругости о плоскости с конечным и бесконечным числом разрезов на вещественной оси может быть сведена к решению математических задач Гильберта—Привалова для двух регулярных функций Г. В. Колосова.

2. Достаточное условие существования такого решения заключается в том, что внешние усилия на контуре каждого из разрезов должны быть самоуравновешены.

3. Аналитическое решение задач 3, 4 (см. рис. 1) существует для конечного числа разрезов N и отсутствует, когда N

Литература

1. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / ред. Ю.Мураками. Т. 1. M.: Мир, 1990. 448 с.

2. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Л.; М., 1935. 215 с.

3. Даль Ю. М. О формулах Г. В. Колосова в плоской задаче теории упругости при наличии периодических разрезов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Вып. 2. С. 228—236.

4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

5. Westergaard Y.M. Bearing pressures and cracks //J. Appl. Mech. 1939. Vol.6, N2. P. 49—53.

6. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

Статья поступила в редакцию 22 октября 2015 г. Сведения об авторе

Даль Юрий Михайлович —доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]

SOME BASIC PROBLEMS OF THE THEORY OF ELASTICITY FOR PLANE WITH THE CUTS

Yuriy M. Dahl

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]

It was found the new solutions for the elastic plane with arbitrary quantity of cuts on real axis. Two basic cases were investigated. The first is: the both borders of cuts are load with concentrated forces, but on the infinity there are no stresses. The second is: the both borders of cuts are free, however in the infinity the plane has stretched out for external stresses.

Keywords: theory of elasticity, complex variable, Kolosov's formulas, the straight cuts.

<C(O«0.94pj-,

<7* (О «2.63^/-. (6.9)

References

1. Reference book of stress intensity coefficients 1 (ed. by Yu. Murakami, Mir, Moscow, 1990, 448 p.) [in Russian].

2. Kolosov G. V., Application of complex variable to theory of elasticity (Leningrad, Moscow, 1935, 215 p.) [in Russian].

3. Dahl Yu. M., "About Kolosov's formulas in a plane problem of the theory of elasticity in the presence of periodical cuts", Vestn. St. Petersburg Univ. Ser. 1. 1(59), Issue2, 226—236 (2014) [in Russian].

4. Muschelishwili N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity (Nauka, Moscow, 1966, 707 p.) [in Russian].

5. Westergaard Y. M., "Bearing pressures and cracks", J. Appl. Mech. 6(2), 49—53 (1939).

6. Novojilov V. V., Theory of elasticity (Sudpromgiz, Leningrad, 1958. 370 p.) [in Russian].