УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 1
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
О ПЛОСКОСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ
Ю. М. Даль
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
Найдены новые решения краевых задач теории упругости для плоскости с произвольным числом разрезов на вещественной оси. Исследованы два основных случая: 1) кромки разрезов нагружены сосредоточенными силами, напряжения на бесконечности отсутствуют; 2) берега разрезов свободны, на бесконечности плоскость растянута постоянными внешними усилиями. Библиогр. 6 назв. Ил. 9.
Ключевые слова: плоская задача теории упругости, комплексная переменная, формулы Колосова, прямолинейные разрезы.
1. Введение. Теоретический анализ напряженного состояния упругой плоскости с разрезами до сих пор является предметом многочисленных исследований. В различных публикациях рассматриваются как одиночные разрезы, так и два-три одинаковых коллинеарных разреза или же периодические разрезы одной и той же длины [1]. При этом, как правило, кромки разрезов считаются свободными либо загруженными равномерно распределенной нормальной нагрузкой. Задачи о произвольном числе разрезов различной длины при иных внешних усилиях остаются практически не изученными.
В настоящей работе приведены точные аналитические решения краевых задач для плоскости с произвольной конечной или периодической системой разрезов на вещественной оси. В основу анализа положены соотношения плоской задачи теории упругости в терминах функций комплексного переменного г = х+гу. Математические модели всех задач сведены к проблемам Гильберта—Привалова для двух функций Г. В. Колосова.
2. Общие формулы плоской задачи теории упругости для напряжений.
Рассмотрим сечение Б упругого тела, находящегося в условиях обобщенного плоского напряженного состояния или плоской деформации. Согласно [2], компоненты напряжения охх,ауу,аху в области Б определяются формулами
®хх + °уу 2
I ^ (2.1)
Оуу - Охх + 21аху = 2 [-21уФ'(г) + ^2(2)],
где первое равенство — интеграл уравнения неразрывности деформаций, а второе — интеграл комплексного уравнения равновесия [3]; ^2(2) —регулярная функция, связанная со своим классическим аналогом ) соотношением
^2(2 ) = ад + 2Ф'(г). (2.2)
Если область Б представляет собой п-связную плоскость, то, в общем случае, при
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016
\z\ » 1 имеем [4, с. 124]
-г, V ,, , X + iY 1 ^ ж . . т. . . k(X — iY)1 . т . .
(2.3)
Здесь Ф0^) = O (1/z2) , ^o(z) = O (1/z2) —регулярные на бесконечности функции; X и Y — компоненты главного вектора внешних усилий, приложенных ко всей совокупности контуров Yi (i = 1, 2,..., n), составляющих границу плоскости; параметр k = (3 — ()/(1 + () при обобщенном плоском напряженном состоянии и k = 3 — 4( в случае плоской деформации; ( — коэффициент Пуассона;
aX + aX aX - aX Г = уу = const, А = -^ + iaZ = const. (2.4)
4 2
Пусть в равенствах (2.3) величины X = Y = 0. Тогда Ф^) = Г + Ф0^), ^(z) = A + ^0(z), откуда следует
lim уФ'^) = 0. (2.5)
y ^ X
На основании (2.5) из второго уравнения (2.1) получаем
lim ^2(z) = A.
y ^ x
Отсюда при aX-x = ayy, axy =0 в соответствии с (2.4) имеем ^2(z) = ReA + ilmA, где ImA = aX, ReA = (aX — a%%.)/2, и формулы (2.1) преобразуются в соотношения Вестергарда [4, 5]:
axx = 2ReФ(z) — 2у^Ф'^) — ReA,
ayy = 2ReФ(z) + 2у^Ф'^) + ReA, (2.6)
axy = —2yReФ'(z) + ImA .
3. Влияние симметрии (асимметрии) внешних нагрузок на вид функций ф^), ад, ^2(z)
Симметрия. Пусть многосвязная область S представляет собой конечную или бесконечную часть плоскости. Предположим, что вещественная ось x является осью симметрии как самой области S, так и поля внешних усилий.
Учитывая (2.2), представим уравнения (2.1) в таком обобщенном виде [6]:
axx + ayy + iE*ш = 4Ф^), ayy — axx + 2iaxy = 2[z^(z) + ^(z)j, (3.1)
где E* = E/(1 —(2) для плоской деформации и E* = E в случае обобщенного плоского напряженного состояния; ш — угол поворота; E — модуль Юнга. Исходя из условий симметрии, находим
axx(z) = axx(z), ayy(z) = ayy(z), axy(z) = —axy(z), w(z) = —w(z). (3.2)
Принимая во внимание соотношения (3.2), на основании (3.1) устанавливаем
Re Ф^) = Re Ф(г), Im Ф^) = —Im Ф(г), Re^'(z) + ^(z)] = Re[z Ф'(г) + ад)], (3.3)
Im^'(z) + ад)] = — Im^'(z) + Ф(г)].
В результате умножения на г второго и четвертого равенств (3.3) и последующего их сложения соответственно с первым и третьим, получим
ф(г) = ф(5) = ф(г),
¿ф'(>) + ф(» = гф'(^) + = ¿ф'(» + ф(». Отсюда, имея в виду (2.2), заключаем
Ф(2) = Ф(г), Ф(2) = Ф(*), ^2(2) = Ф2ф. (3.4)
Если область Б и внешние нагрузки симметричны относительно осей х и у, то, кроме равенств (3.3), функции Ф(г) и Ф(2) должны удовлетворять зависимостям
Ие Ф(2) = Ев Ф(-г), 1т Ф(г) = -1т Ф(-г), Ке[2Ф'(2) + Ф(г)] = Ие[-2Ф'(-г) + Ф(-г)], 1т[гФ'(2) + Ф(г)] = -1т[-2Ф'(-г) + Ф(-г)],
которые вкупе с (3.4) сводятся к соотношениям
Ф(г) = Ф(г) = Ф(-г), Ф(г) = Ф(г) = Ф(-г), Ф2(г) = Ф2(г) = Ф2(-г).
Асимметрия. Пусть многосвязная область Б симметрична относительно вещественной оси, тогда как внешние усилия, наоборот, антисимметричны. В этом случае
& хх(2) = -аХх(2), &уу(2) = -Стуу(г), аХу(2) = оХу(г), ш(2) = ш(г),
и после выкладок, аналогичных вышеприведенным, будем иметь
Ф(2) = -Ф(г), ад = -Ф(г), ад) = -ад). (3.5)
4. Плоскость с конечным числом нагруженных разрезов. Рассмотрим сначала плоскость, содержащую один разрез на вещественной оси и свободную от нагрузки на бесконечности. Пусть в некоторой точке верхнего берега разреза приложена сосредоточенная сила 2Е = 2Р + г2Т, направленная под углом к оси х. Представив вектор 2Е как сумму четырех пар векторов Р и Т, видим, что решение задачи об упругой плоскости с произвольно нагруженным разрезом является суммой решений четырех задач, схемы к которым изображены на рис. 1.
2р : к
2К 1) 2) 3) 4)
2Г _Р]
1,
Рис. 1. Исходная задача и четыре частные задачи о нагруженном разрезе
Если плоскость содержит N разрезов, на кромках которых действуют внешние сосредоточенные силы (а^х = ауу = а^у = 0), то решение подобной задачи сводится к отысканию решений 4N частных задач, представленных на рис. 1. Заметим, что в задачах типов 1 и 3 функции Ф(2) и ^2(2) подчиняются соотношениям (3.4), в задачах типов 2 и 4 — зависимостям (3.5).
Задача 1. Согласно формулам (2.1) и (3.4)
ауу + ¡аХу = Ф(г) + Ф(г) - 2гуФ'(г) + Ф2(г). (4.1)
Краевые условия на разрезах акЪк (к = 1, 2,..., Ж) оси х будут
N
ау±у(х) + гаХ±у (х) = (-Ри )6(Х - Хк ) . к=1
Здесь и ниже индексами + и - обозначены соответственно верхние и нижние берега разрезов; Рк —величина силы, приложенной в точке Хк на разрезе акЪк; 5(х — Хк) — дельта-функция Дирака. Отсюда на основании (4.1) получаем
N N
Ф+(х)+Ф-(х)+Ф+ (х) = — ^ Рк5(х—Хк), Ф+ (х)+ф-(х)+ф+ (х) = —^ Ркд(х—Хк).
к=1 к=1
Вычитая и складывая эти равенства, приходим к задачам Гильберта—Привалова для функций и Ф(г):
1 14 Ф+(х) -Щ(х) =0, Ф+(х) + Ф-(х) + -[Ф+(х)+Ф2-(х)] = -^Рк5(х-Хк).
2 к=1 Следуя [3, с. 385-401], запишем их решение в виде
1 /А -Рк
Ф2(,г)=0, 1 ^ к
N \к1 ~ г\
2пг\1 П (г — ак)(г — Ък) =
V к=1
1 \
П (Хк — ак)(Хк — Ък) \ .
к=1
В частности, если N = 1, то
где 2а — длина разреза а1Ъ1, причем а1 = —а, Ъ1 = а. Задача 2. Из соотношений (2.1) и (3.5) находим
ауу + ¡аху = Ф(г) — Ф(г) — 2гуФ'(г) + Ф2(г). (4.3)
Внося правую часть этого равенства в краевые условия на разрезах ак Ък (к = 1, 2,...,Ж)
N
а±у(х) + гаХ±у = Тк3(х — Хк) , к=1
устанавливаем
N N
Ф+(х) — Ф-(х) + Ф+(х) = г^Тк 6(х — Хк), Ф-(х) — Ф+(х) + Ф-(х) = г^Тк 6(х — Хк),
х) = 1
к=1 к=1 Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3(61). 2016. Вып. 1 123
откуда
N
Ф+(х) + Ф2-(х) = 2г^Тк6(х - Хк), Ф+(х) - ф-(х) = -
к=1
Данным граничным условиям удовлетворяют функции
1 ( N Т
*»<" = -2Ф(г) = /, £Л^У
П (2 - ак )(2 - Ьк) ^
к=1
В случае одного разреза
N \
П (Ак - ак)(Лк - Ьк) \ .
к=1
'1Т\ \/а2 - А?
г(Лх — г)\/г2 — а2
Здесь, как и выше, 2а — длина разреза а^1, где а1 = -а, Ь1 = а.
Задача 3. В результате подстановки выражения (4.1) в граничные условия на верхних и нижних берегах разрезов ак Ьк (к = 1, 2,..., N)
N N
а+у(х) + га+у(х) = г^Тк5(х - Лк), а-у(х) + га-у(х) = Тк5(х - Лк),
к=1 к=1
приходим к равенствам Гильберта—Привалова:
N
Ф+(х) - Ф-(х) = 2^Тк5(х - Лк) , Ф+(х) + Ф-(х) + [Ф+(х)+Ф-(х)] /2 = 0, к=1
которым удовлетворяют функции
1 N Т 1 N Т
п z—' Лк — 2 2п ^—' Лк — 2
к=1 к=1
Для одиночного разреза
Т1 Т1
п(Л1 - 2) ' 2п(Л1 - 2)
Задача 4. Краевые условия на совокупности N разрезов
N N
а+у(х)+ га+у (х) = рк 5(х - Лк ) , а-у(х)+ га-у (х) = Ркд(х - Лк )
к=1 к=1
с учетом зависимости (3.5) принимают вид
1 N
Ф+(х) + Щ(х) = 0, Ф+(х) - Ф-(х) + -[Щ(х] - Ф2-(х)] = -^Ркб{х-Хк).
2 к=1
124 Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 1
Отсюда следует, что
N
^(г) = 0 , Ф(г)
9тг,: ^ \к - ,
к=1
Если на вещественной оси находится единственный разрез, то
^(г)=0 , Ф(г) = -
Р1
2п%(\\ — г)
5. Периодические задачи
Задача 1. Рассмотрим плоскость с бесконечным числом равноудаленных друг от друга разрезов акЬк на оси абсцисс. Обозначим через 2а длину этих разрезов и через I расстояние между их центрами. Пусть на противоположных берегах разрезов в точках Хк = Х±к1 (к = 0,1, 2,...) приложены сосредоточенные силы Р, коллинеарные оси у (рис. 2). Напряжения на бесконечности считаем отсутствующими (аС = аСс
0).
уу
КР I
+а а.
А
а
Рис. 2. Плоскость с разрезами (симметричная нагрузка)
На основании (4.1) получаем
аху = -у[Ф'(г) + Ф'ф] - -[Ф2(.) - Ф2(*)] , (5.1)
*уу = Ф(г) + Ф(5) - гу[Ф'(^) - Ф'(Е)] + + *2(*)]. (5.2)
В силу очевидной периодичности задачи, функции Ф(г) и ^2(г) можно установить из краевых условий на разрезе аоЬо (у = 0, —а < х < +а):
а±у(х) = 0 , а±у(х) = —Р5с(х), (5.3)
где 6с(х) — множество функций Дирака, определяемое рядом
Мх) = 6(Х + к1 — х). (5.4)
к= — <уо
Внеся в (5.3) выражения (5.1), (5.2) и (5.4), находим
*+(х) - *—(х)=0, (5.5)
1 +Т
Ф+(ж)+Ф"(х) + -[Ф^(х)-|-Ф^(х)] = -Р Е 6{\ + Ы-х). (5.6)
к= — т
Сообразуясь с оговоренными ранее условиями на бесконечности, из равенства (5.5) заключаем, что
^2(2) = 0 . (5.7)
Учитывая (5.7), перепишем (5.6) в виде граничного условия периодической задачи Гильберта—Привалова для функции Ф(2):
+^
Ф+(х) + Ф—(х) = -Р ^ 5(Л + к1 - х). (5.8)
к= — т
Ее решение имеет вид
х+ (х) £ 6(Л + к1 - х) Ф(*)=9 -у ^ / -—-(5-9)
2пгЛж(2) У х - 2
ь~
где
Х00(г) = у/(г — а)(г + а)(г — а,1)(г — Ь1_)(г — а-1)(г — Ь-1_) . .. = = \
(2 + аЩ [(2 + а)2 - к2/2] (2 - а) П [(2 - а)2 - к212]. (5.10)
к=1 к=1
Символ ЬТ обозначает интегрирование по всей совокупности прямолинейных разрезов.
Подставив выражения (5.10) в формулу (5.9), после соответствующих выкладок и преобразований устанавливаем
р ./вШ2^ - вШ2^
Ф(г) = -.-¥-. =. (5.11)
Задача 2. Пусть на противоположных берегах разрезов акЬк в точках хк = П ± к1 (к = 0,1, 2,...) приложены сосредоточенные касательные нагрузки Т (рис. 3). Напряжения на бесконечности по-прежнему считаем отсутствующими (аТх = аТ =
аТу = 0).
Из уравнений (2.1) и (3.5) получаем
ауу + гаху = Ф(2) - Ф(г) - 2гуФ'(2) + ^2(2) . (5.12)
Отсюда заключаем, что краевые условия данной задачи
а^у(х) + га±у (х) = гТ Е + к1 - х)
к= — т
Рис. 3. Плоскость с разрезами (асимметричная нагрузка)
представимы в такой эквивалентной форме:
Ф+(х) — Ф"(х) + Ф+(х) = гТ ^ 5(ц + к1 — х),
к=
Ф-(х) — Ф+(х) + Ф2(х) = гТ ^ 5(п + к1 — х).
к=-с
(5.13)
Складывая равенства (5.13), имеем
Ф+(х) + Ф- (х) = 2гТ 6(п + к1 — х) .
к=
(5.14)
Как видим, с математической точки зрения задачи (5.8) и (5.14) идентичны. Поэтому, заменив в формуле (5.11) параметры Р и Л соответственно на — 2гТ и п, находим
Ф2(г) = —
гТ
/ _81П2™
(5.15)
Вычитая второе уравнение (5.13) из первого, приходим к соотношению
Ф+(ж) - ф-(ж) = -" Щ(х)].
Отсюда, с учетом предыдущей зависимости, можем написать
Ф(г ) =
гТ
2/
вПГ^ — ЙНГ
или
Ф(-) =
(5.16)
Положив в (5.15) параметры п = 0 и I ^ (а,п), получим решение задачи о плоскости с одним центральным разрезом аоЬо (у = 0, —а < х < +а) в виде
Ф2(г) = —2Ф(г)
гТа
ттг^г2 — а2
Если в этой формуле а то с точностью до малых первого порядка
= -2Ф(г) = —.
пг
Выражения (5.17) являются решением первой основной краевой задачи для нижней полуплоскости у < 0, загруженной в начале координат сосредоточенной касательной нагрузкой. Отметим, что в терминах функций Ф(г) и Ф(г) решение данной задачи выглядит следующим образом:
Ф(г) = -
Т
2я\г'
ад
T
- zФ/(z)
Т
2~z
Замечание. Периодические задачи 3 и 4 (рис. 1) не имеют решений, ибо в них главный вектор внешних нагрузок, приложенных к бесконечной совокупности разрезов, не является ограниченным.
6. Растяжение упругой плоскости с конечным числом разрезов. Рассмотрим плоскость с конечным числом разрезов akbk (к = 1, 2,..., N) на оси x. Предположим, что кромки всех разрезов свободны от внешних усилий, а сама плоскость растянута на бесконечности напряжениями = p = const, aXXX = axy = 0 (рис. 4).
1—I I I *
Рис. 4. Плоскость с разрезами, растянутая на бесконечности
Согласно формулам (2.1) и (3.4), представим граничные условия на разрезах
a±y(x) + га±ч (x) =0, x e ak bk,
1, 2,
,N
в таком эквивалентном виде:
Ф+(х) + Ф-(х) + Ф+(х) = 0,
Ф-(х) + Ф+(х) + Ф-(х) = 0. Вычитая и складывая эти равенства, получим
Ф+(х) - *-(х)=0,
1
Ф+(ж) + Ф (ж) + - + Ф2 (ж)] = 0.
(6.1)
(6.2)
2 L~2
nz
Принимая во внимание соотношения (2.4), (2.6) и оговоренные выше условия на бесконечности, приходим к выводу, что решение уравнения (6.1) будет
Ф2(г) = | = сопгй. (6.3)
Учитывая полученный результат, перепишем (6.2) в форме граничного условия задачи Гильберта—Привалова для функции Ф(г), т.е.
Ф+(ж) + ф-(х) =
Решение, удовлетворяющее данному условию на совокупности всех разрезов, таково:
N
( п (х — ак)(х — Ьк)
Ф(.) = ■ 1 (-|) / -
N \ 2^ г —х
2пг* П (г — ак)(г — Ьк) ь*
У к=1
где символ LN обозначает интегрирование по всей совокупности N разрезов. Вычислив интеграл в правой части этого равенства, устанавливаем
N
Ф(г) = -^ + — Рг (6.4)
4 / N
2\ П (г — ак)(г — Ьк)
У к=1
Если, например, в формуле (6.4) параметр N = 3 , то
3
т = ~2+ , рг (6.5)
43
2\ П (г — ак)(г — Ьк)
У к=1
Обозначив длину разреза а2Ь2 через 2а, поместим начало координат в его середине. Пусть краевые разрезы аф1 и азЬз имеют одинаковую длину 2па (п — некоторое целое или рациональное положительное число) и равноудалены от центрального разреза. Параметры I и Д — соответственно расстояния между центрами и ближайшими вершинами смежных разрезов (рис.5).
В принятых обозначениях выражение (6.5) запишется следующим образом:
3
Ф(*) = ~|+ , . ^ (6-6)
2
2^(г2 — а2) |г2 — (I — па)2] [г2 — (I + па)
Полагая г = х, внесем соотношения (2.4), (6.3) и (6.6) в формулы (2.6), где А = р/2. В результате находим
о ауу
(х) 1
СГ уу(х)
[1 — а2/х2] 1 — (I — па)2/х2 1 — (I + па)2/х
аХх(х)
(х)
[1 — а2/х2] 1 — (I — па) /х2 1 — (I + па)2/
= 1, аху(х)
Рассмотрим три системы разрезов:
1) I = 2.5а, п = 0.5 , Д = а; 2) I = 3а,п =1, Д = а; 3) I = 4а,п = 2 , Д = а.
(6.7)
Распределение напряжений а°0у(х) и а°х(х) на отрезке Д = а между разрезами а2Ь2 и азЬз проиллюстрировано графиками на рис. 6 и 7. Кривые 1 соответствуют |а1 Ь11 = |азЬз| = 0.5|а2Ь21; кривые 2— |а1Ь1| = |азЬз| = |а2^|; кривые 3— |а1Ь1| = |азЬз| = 2|а2Ь2|.
УУ
Рис. 6. Распределение напряжений между разрезами
Аналогичным образом на оси у будем иметь
Рис. 7. Распределение напряжений между разрезами
аХх(У)
а°у(у) =
_ (Гхх{у) Р
уу
(у)
р
[1 + а2/у2] 1 + (1 — па)2/у2 1 + (1 + па)2/у2
[1 + а2/у2] 1 + (1 — па,)2/у2 1 + (1 + па)2/у2
— 1, аху (у) =
1
р
2
1
1
На рис.8 и 9 приведены графики напряжений &уу(у) и &Хх(у)- Кривые 1 соответствуют |а1&1| = |аз&з| = 0.5|а2&21; кривые 2— |а1&1| = |аз6з| = |а2б2|; кривые 3 — \aibil = |аз6з| = 2|«2&21; кривые 4— |а1&1| = |азЬз| = 0, |а2&2| = 2а.
10 15 20
5 10 15 20 у/а
Рис. 8. Величины напряжений
Jyy(
rfy(y) на оси y
Рис. 9. Величины напряжений JXx(y) на оси У
Обратимся теперь к случаю, когда плоскость с единственным разрезом на оси абсцисс (-a < x < a,y = 0), растянута на бесконечности напряжениями ayy = p = const. Согласно (6.4), при N = 1 имеем
ФИ = -7 +
pz
Р
4 ' 2Vz2 - а2
Внося это выражение в формулы (2.6), получим
px
@xx (x)
\/ х2 — а2
1
ayy(x)
px
\/х2 — а2
Если приближаться к вершине разреза по оси х, считая х = а + £, то при 0 < £ ^ а предыдущие формулы преобразуются к виду
« VyyiO ■
(6.8)
Переходим к оценке напряжений (на оси х) около вершин 62, аз, 63 трех разрезов (см. рис.5), определяемых равенствами (6.7). Выполнив аналогичные подстановки и выкладки, находим
1) ИМ = |«зЬз| = 0.5 \а2Ъ2\ = а, « а^Ц) « 0.20рЩ,
а
а
а 21'
<#x(0 *
(0
<Х(0 *
2) \aibi \ = \азЬз\ = \а2^\ = 2а,
<т
3) \a1b11 = \a3b3\ = 2 \a2b2\ = 4a, abx%(0
¿Ж)
Сопоставляя приведенные графики, а также соотношения (6.8) и (6.9), видим, что количество разрезов и различия в их длинах существенно влияют на особенности напряженного состояния как около концов внутреннего разреза a2b2, так и на оси у, проходящей через его центр.
Результаты, полученные в данной работе, позволяют сделать следующие выводы.
1. Краевая задача теории упругости о плоскости с конечным и бесконечным числом разрезов на вещественной оси может быть сведена к решению математических задач Гильберта—Привалова для двух регулярных функций Г. В. Колосова.
2. Достаточное условие существования такого решения заключается в том, что внешние усилия на контуре каждого из разрезов должны быть самоуравновешены.
3. Аналитическое решение задач 3, 4 (см. рис. 1) существует для конечного числа разрезов N и отсутствует, когда N
Литература
1. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / ред. Ю.Мураками. Т. 1. M.: Мир, 1990. 448 с.
2. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Л.; М., 1935. 215 с.
3. Даль Ю. М. О формулах Г. В. Колосова в плоской задаче теории упругости при наличии периодических разрезов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Вып. 2. С. 228—236.
4. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
5. Westergaard Y.M. Bearing pressures and cracks //J. Appl. Mech. 1939. Vol.6, N2. P. 49—53.
6. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
Статья поступила в редакцию 22 октября 2015 г. Сведения об авторе
Даль Юрий Михайлович —доктор физико-математических наук, профессор; ymdahl@yandex.ru
SOME BASIC PROBLEMS OF THE THEORY OF ELASTICITY FOR PLANE WITH THE CUTS
Yuriy M. Dahl
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; ymdahl@yandex.ru
It was found the new solutions for the elastic plane with arbitrary quantity of cuts on real axis. Two basic cases were investigated. The first is: the both borders of cuts are load with concentrated forces, but on the infinity there are no stresses. The second is: the both borders of cuts are free, however in the infinity the plane has stretched out for external stresses.
Keywords: theory of elasticity, complex variable, Kolosov's formulas, the straight cuts.
<C(O«0.94pj-,
<7* (О «2.63^/-. (6.9)
References
1. Reference book of stress intensity coefficients 1 (ed. by Yu. Murakami, Mir, Moscow, 1990, 448 p.) [in Russian].
2. Kolosov G. V., Application of complex variable to theory of elasticity (Leningrad, Moscow, 1935, 215 p.) [in Russian].
3. Dahl Yu. M., "About Kolosov's formulas in a plane problem of the theory of elasticity in the presence of periodical cuts", Vestn. St. Petersburg Univ. Ser. 1. 1(59), Issue2, 226—236 (2014) [in Russian].
4. Muschelishwili N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity (Nauka, Moscow, 1966, 707 p.) [in Russian].
5. Westergaard Y. M., "Bearing pressures and cracks", J. Appl. Mech. 6(2), 49—53 (1939).
6. Novojilov V. V., Theory of elasticity (Sudpromgiz, Leningrad, 1958. 370 p.) [in Russian].