CC BY
31
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 2
РАСТЯЖЕНИЕ УПРУГОЙ ПЛОСКОСТИ С РЕШЕТКОЙ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ РАЗРЕЗОВ
Ю. М. Даль
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9
Найдены точные аналитические решения задач теории упругости для плоскости с вертикальной решеткой прямолинейных разрезов. Исследованы две основные задачи: в первой задаче берега разрезов свободны от внешних усилий, на бесконечности плоскость растянута постоянными внешними напряжениями; во второй задаче кромки разрезов нагружены сосредоточенными нормальными силами, напряжения на бесконечности отсутствуют. Библиогр. 9 назв. Ил. 8.
Ключевые слова: плоская задача теории упругости, решетка прямолинейных разрезов, комплексная переменная, формулы Колосова.
1. Введение. Аналитическое исследование напряженного состояния плоскости с решеткой прямолинейных разрезов остается до сих пор сложной задачей теории упругости. Зарубежные публикации по этой проблеме посвящены, как правило, вычислению коэффициентов интенсивности напряжений у вершин двух, трех или четырех коллинеарных разрезов, расположенных друг над другом [1, 2]. Такой утилитарный подход представляется вполне естественным, когда речь идет о прочности массивных тел, находящихся в условиях плоской деформации. В случае же обобщенного плоского напряженного состояния, характерного для растянутых тонких пластин, дело обстоит совершенно иначе. Здесь разрушению плоских листов обычно предшествует образование выпуклых зон в окрестности центров разрезов [3]. Возникновение последних обусловливается полем сжимающих напряжений, локализованных около кромок разрезов. При определенной величине растягивающих усилий данные напряжения вызывают местную потерю устойчивости пластин, что существенно понижает их несущую способность. В этой связи заслуживает быть особо отмеченной публикация [4], где на основе гидродинамической аналогии предложен общий подход к анализу упругих напряжений в плоскости с решеткой прямолинейных разрезов. К сожалению, авторы цитируемой статьи ограничились изучением напряжений во внешней области решетки, тогда как для приложений наибольший интерес представляет анализ поля напряжений в ее внутренней области.
Данная работа является своеобразным продолжением упомянутого исследования. Построенная ниже математическая модель решетки базируется на соотношениях плоских задач теории упругости в терминах двух функций комплексного переменного z = x + iy.
2. Общие соотношения. Рассмотрим плоскость S, содержащую вертикальную решетку из (2m + 1) прямолинейных разрезов ak bk (к = 0, ±1, ±2,...,±m). Пусть все разрезы имеют длину 2a, параллельны оси x и равноудалены друг от друга на расстояние l. Разрез a0b0 расположен на оси x, начало координат —в его середине. Предположим далее, что на бесконечности плоскость S растянута нормальными усилиями a^y = p = const, аХХх = Я = const (аХ = 0), а берега разрезов свободны от внешней нагрузки (рис. 1).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016
Рис. 1. Плоскость с решеткой (2т + 1) разрезов.
Согласно Г. В. Колосову [5, с. 69], имеем
Охх + Оуу 2
Ф(г) + Ф(г)
Оуу - Охх + 2шХу = 2 [2хФ'(г) + ^1(2)] , где функция ^1(2) и ее аналог Ф(-г), фигурирующий в классических формулах
(2.1)
Охх + Оуу =2 Ф(г) +Ф(г) ,
Оуу - Охх + 2%оХу = 2 [гФ'(.г) + Ф(г)] связаны между собой зависимостью
^1(г) = Ф(г) - гФ'(г).
(2.2)
Симметрия плоскости $ и внешних усилий р и ц относительно координатных осей х и у накладывает на Ф(г) и ^1(2) условия [6]
Ф(г) = Ф(2) = Ф(-2) , Ф1(г) = Ф 1(2) = Ф1(-2)
или
Ф(2) = Ф(г) = Ф(-г) , Ф1(2) = Ф1(;г) = Ф1(-;г). Приняв во внимание (2.3), из (2.1) получаем
Оуу + %Оху = Ф(2) + Ф(г) + 2хФ'(г) + ^1(2).
Отсюда
*уу = Ф(г) + $(¿0 + X [Ф'(г) + ф'(-^)] + ^ [Ф^) + *!(*)]
(2.3)
2
аху = -хг [Ф'(г) - Ф'(Е)] - - [Ф^) - Ф^)] .
ху -V-,-, - 2
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 2
(2.4)
(2.5) 275
3. Первая задача. Пусть решетка содержит бесконечно много разрезов (т ^ то). Тогда напряжения ахх(г), оуу(г), аху(г) будут периодическими функциями с мнимым периодом И, причем на «основном» разрезе аоЬо имеем
(x) = 0, a±y(x) = 0 (-a < x < a).
Здесь и ниже индексами + и — обозначены соответственно верхние и нижние берега разреза. Отсюда на основании выражений (2.3), (2.4) и (2.5) находим
Ф+(х) + Ф (x) + x Ф'+(х) + Ф'+(-х) Ф-(x) + Ф+ (x) + x Ф^^+Ф-(-x)
+ 2 | + = 0
(3.1)
x |V+(x) - Ф/- (x)] +
x ^/-(x) - Ф/+И] +
2
^-(x) - ^+(x)
(3.2)
Складывая и вычитая равенства (3.1), получим
Ф+(ж) + Ф"(ж) + ^ [ф|(ж) + ФГ(Ж)] Выполнив аналогичные операции в (3.2), устанавливаем
ф+(ж) — ФгИ = 0 • Решение задачи (3.4) очевидно:
(3.3)
(3.4)
^l(z) = const,
где z € S, включая бесконечно удаленную точку, в окрестности которой имеем lim xФ/(z) = 0 [6]. Следовательно, в силу нижнего уравнения (2.1) и оговоренных
x^ ж
ранее условий на бесконечности получаем
*i(z)
7уу - ахх _ р-д
(3.5)
Внеся (3.5) в соотношение (3.3), запишем его в форме краевого условия задачи Гильберта—Привалова для функции Ф(г):
Ф+x + Ф (x) =
q - p
Согласно [7, с. 398], ее решение таково:
ФМ
q - p
1
"V lim Xm(x)
-1- / m —у со
dx,
(3.6)
2 lim Xm(z) 2ni J x — z
m ^^ _a
и
где
Xm(z) =
(z — a)(z + a) (z — a — ikl)(z — a + ikl)(z + a — ikl)(z + a + ikl) = fc=i
= (m!)2l
2;2m
Л
(z — a)n
П
fc=i
1 +
(z — a)2
k2P
(z + a)n
П
fc=1
1 +
(z + a)1
k2P
Имея в виду формулу [8, с. 438]
shz = zf] (l , кЧ2
k=1
подставим выражения Xm(z) и Xm(x) в зависимость (3.6). Тогда после взаимного сокращения множителей lim (m!)2(l/n)l2m и выполнения предельных переходов находим
*(z) =
q — p
1
1
sh2^ -sh2^
dx.
Отсюда получаем
*(z) =
-P P 4 2
1
1
sh2(aTt/1) sti2(zir/l)
(3.7)
Учитывая (3.5), разделим в комплексных уравнениях (2.1) вещественные и мнимые части. В результате будем иметь
ахх = 2Re$(z) - 2xRеФ'(г) -оуу = 2Re$(z) + 2xRe$'(z) + axy = 2xImФ/(z).
(3.8)
Одноосное растяжение плоскости в направлении перпендикулярном разрезам. Полагая в формулах (3.7) и (3.8) параметр q равным нулю, припишем комплексной переменной z значения x + ilk, где к = 0, ±1, ± 2,...; | x | > а. Выполнив затем соответствующие выкладки и преобразования, из зависимостей (3.8) определим распределение напряжений перед вершинами разрезов:
^xx(x) = p
1
yy
(x) = p
Y sh2(a7r/£) sh2(®7T/I)
^ sh2(air/l) sh2(xir/I)
1 +
1
xn cth(xn/l)sh2(an/l) T [sh2(xTt/1) — sh2(a7r//)]
xn cth(xn/l)sh2(an/l) T [sh2(x7r//) — sh2(a7r//)]
1
°xy (x) = 0.
На рис. 2 и 3 представлены (в безразмерной форме) величины напряжений О0у = оуу(х)/р и О0х = охх(х)/р, где кривым 1, 3 соответствуют отношения а// =1, 2 , 5.
xz
q
1
а/1 =1
/
/ N 1
1.8 1.6
t1"4
1.2 1
1.1 1.2 1.3 1.1 1.5 x/a
Рис. 2. Распределение напряжений ayy на линиях г = x + ilk.
a/l=l
/ К У
/ N Ч/ (
1.1 1.2 1.3 1.1 1.5 х/а
Рис. 3. Графики напряжений aXtx на линиях z = x + ilk.
Считая, что г = х + И(2к + 1)/2, где | х | > 0, к = 0, ±1, ± 2,... , аналогичным образом находим поле напряжений между разрезами:
&xx I x i
® VV ' x ±
il(2k ± 1)
il(2k±l) 2
= P
1
. sh2(air/l)
1 + сЬ2(жтг/г)
. sh2(air/l)
1 + сЬ2(жтт/г)
1 +
1
xn th(xn/l)sh2 (an/l) ~T [ch2(xn/l) + sh2(an/l)}
xn th(xn/l)sh2 (an/l) ~T [ch2(xn/l) + sh2(an/l)}
1
il(2k±l) (J Xy | x ± -
0.
Величины напряжений oxx(z) и oVV(z) на линиях z = x + il(2k + 1)/2, где k = 0, ±1, ± 2,... , представлены в безразмерном виде графиками на рис. 4 и 5.
Пусть теперь комплексная переменная z принимает значения iy + ilk, где k = 0, ±1, ± 2,... Тогда из выражений (3.7) и (3.8) выводим следующие зависимости для напряжений на оси y между разрезами:
0~xx(iy) = Р-
уп
-р, <7yy(iy)=P-
уп
Vxy Ш =
I- Г> "УУ\"У) Г I-
Y sin2 + sll2 ¡f y sin2 + sh2 ¡f
2
1
P
1 2 3 ?/а
Рис. 4. Графики напряжений аХХх на линиях х = х + й(2к + 1)/2.
аП =1
_______ кУ
/ \
\ //
-3 -2 -1
>. Распре х = х + И(2к + 1)/2.
Рис. 5. Распределение напряжений а0у на линиях
График функции о0х = охх(%у)/р представлен в безразмерном виде на рис. 6, где кривые 1, 2, 3 соответствуют отношениям 2а/1 = 4,1, 0.2.
Рис. 6. Распределение напряжений на оси у между разрезами.
Одноосное растяжение плоскости в направлении параллельном разрезам. Приняв в формулах (3.5) и (3.7) параметрр = 0, имеем ^\(х) = —ц/2, Ф(х) = ц/4. Согласно (3.8), находим аХХ(х) = ц, ауу(х) = аху(х) = 0. Как видим, напряженное состояние является однородным во всей плоскости.
4. Вторая задача. Пусть упругая плоскость Б содержит бесконечную вертикальную решетку прямолинейных разрезов акЬк, к = 0, ±1, ±2,..., причем все разрезы имеют длину 2а, параллельны оси х и равноудалены друг от друга на расстояние I. Разрез аоЬо находится на оси х, начало координат — в его середине. В точках (0, гк1) берега разрезов загружены сосредоточенными силами Р (рис. 7); напряжения на бесконечности отсутствуют (а^у = а^Х = а^У = 0).
Рис. 7. Плоскость с бесконечной решеткой нагруженных разрезов.
На основании (2.1) и (2.3) устанавливаем
Туу = ф(2) + $(¿0 + х [ф'(2) + Ф'(-Е)] + - [Ф^) + Ф^)] ,
(4.1)
7ИУ = -хг [Ф'(2) - Ф'(5)] - 2 [*!(-) " ■
(4.2)
В силу периодичности задачи функции Ф(х) и Фх(х) можно определить из краевых условий на «основном» разрезе аоЬо (у = 0, —а < х < +а):
ауу(х) = — Р1 [Мх)] , а±у (х) = 0,
где I [¿то(х)] — бесконечный ряд функций Дирака
I [¿^(х)] = ¿(х)+^ 3(х ± гк1).
(4.3)
(4.4)
к=1
Внеся выражения (4.1), (4.2) и (4.4) в равенства (4.3), после соответствующих выкладок и преобразований, аналогичных (3.1)—(3.7), будем иметь
Ф+(ж) + Ф (х) + - [Ф+(ж) + Фх (ж)] = -Р
5(х ) + 5(х ± гк1)
к=1
(4.5)
Ф+(х) - (х) = 0 . (4.6)
Так как на бесконечности напряжения отсутствуют, из равенства (4.6) заключаем
Ф1(г)=0, (4.7)
что позволяет представить соотношение (4.5) в виде задачи Гильберта—Привалова для функции Ф(г):
Ф+(х) + Ф— (х) = —Р
6(х
) + 5(х ± 1Ы)
к=1
Решение последней выглядит следующим образом: Ф(г)
Р
1
л/вЬ2^ - вЬ2-^ то 5(х) + £ 6(х ± гк1)
1 к=1 ]
./вЪ2^ -вЪ2^ 2т
у I I — а
Отсюда, вычислив интеграл, получим
¿х.
Ф(г) = -Р
-вЬ2
■к а I
то
1
+
1
1
—ь /
г V гк1 — г —1к1 — г
к=1
Р
2тг
1 ТО 2г
г г2 + к212
к=1
Но, как известно [8, с. 431],
сШ г
поэтому окончательно
Ф(г ) =
Р
1 ул
г г2 + к2п2
к=1
В случае одного разреза (у = 0, —а < х < +а) следует положить в (4.8) параметр I ^ ж и разложить гиперболические функции в степенные ряды (с точностью до малых первого порядка). Тогда
Ф(г)
Ра
2ихл/ х2 — а,2
и, если 1г I ^ а, последнее равенство преобразуется в известную формулу
Ф(г) =
Р
2пгг'
которая, вкупе с (4.7), является решением задачи об упругой полуплоскости, загруженной на границе сосредоточенной силой [9].
5. Растяжение плоскости с конечным числом коллинеарных разрезов.
Если решетка содержит конечное число разрезов, функции Ф(г) и ^1(г) могут быть
хг
найдены на основе соответствующих формул, приведенных выше. Например, решения первой задачи для решетки с разрезами аьЬь, к = 0, ±1, ±2 (рис. 1) выглядят так:
/ П ( \ Р~1 ¿ы \ 1~Р , Р
к = 0 : Ф^) = ——, ф(^) = __ + _
2 ^ - а2 '
(23 + г12)
2 - а2){г2 - а{){г2 -Щ)"
к = 0, ±1, ±2: Ф^) =
Р - Я
, , , я - р р
25 + 52 312 + 42/4
2 - «2)(-2 - «2)(-2 - - «¡Х-2 -
На рис.8 представлены графики напряжений а0Х = ахх(гу)/р на мнимой оси между смежными разрезами. Непрерывные кривые 1, 2, 3 соответствуют решетке с тремя разрезами и отношениями 2а/1 = 4.0,1.0,0.2. Пунктирные линии воспроизводят аналогичные графики для решетки с бесконечным числом коллинеарных разрезов.
-0.2-
-0.4-
-0.6-
-0.8-
0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 уП
Рис. 8. Напряжение аХх на мнимой оси решетки с тремя разрезами.
Изложенные выше результаты позволяют сделать следующие выводы.
1. Краевая задача теории упругости о растяжении плоскости с бесконечной решеткой прямолинейных разрезов, решаемая на основе формул Г.В.Колосова (2.1), сводится к задаче Гильберта—Привалова для функции Ф(г).
2. Это утверждение распространяется на случаи бесконечных решеток, загруженных самоуравновешенными нормальными сосредоточенными усилиями, а также на решетки с конечным числом разрезов.
3. Полученные решения выявили своеобразные эффекты «экранирования» растягивающих напряжений между разрезами, зависящие от геометрических параметров решетки.
4. Характерной особенностью поля напряжений «внутри» решетки является наличие областей сжимающих напряжений между разрезами.
2
Литература
1. Nisitani H., Murakami Y. Interaction of elasto-plastic cracks subjected to a uniform tensile stress in an infinite or a semi-infinite plate // Mechanical behavior of materials. Proceedings of the International Conference of Mechanical behavior of materials. Kyoto. 1972. Vol. 1. P. 346—356.
2. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений / ред. Ю. Мураками. М.: Мир, 1990. Т. 1. 448 с.
3. Даль Ю. М. О местном изгибе растянутой пластины с трещиной // Известия АН СССР, МТТ. 1978. №4. С. 135-141.
4. Поляхов Н.Н. (мл.), Поляхов Н.Н. Растяжение плоскости с решеткой разрезов без выноса // Вестник ЛГУ. 1981. Вып. 2, №7. С.85-90.
5. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. Л.; М., 1935. 215 с.
6. Даль Ю. М. О формулах Г. В. Колосова в плоской задаче теории упругости при наличии периодических разрезов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2014. Т. 1(59), вып. 2. С. 228-236.
7. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.
8. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. 4-е изд. М.: Наука, 1973. 736 с.
9. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
Статья поступила в редакцию 26 мая 2015 г. Сведения об авторе
Даль Юрий Михайлович —доктор физико-математических наук, профессор; ymdahl@yandex.ru
THE STRETCH OF ELASTIC PLANE WITH THE LATTICE OF STRAIGHT CUTS
Yuriy M. Dahl
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; ymdahl@yandex.ru
The closed-form solutions of the elasticity theory for the plane with a set of straight cuts are obtained. Two basic cases are studied. The first one is as follows: both borders of cuts are free whereas the plane is stretched out by external stresses applied at the infinity. In the second case both borders of cuts are loaded by concentrated normal forces while no stress is applied at the infinity. Refs 9. Figs 8. Keywords: plane elasticity, set of straight cuts, complex variable, Kolosov's formulas.
References
1. Nisitani H., Murakami Y., "Interaction of elasto-plastic cracks subjected to a uniform tensile stress in an infinite or a semi-infinite plate", Mechanical behavior of materials. Proceedings of the International Conference of Mechanical behavior of materials 1, 346-356 (1972).
2. Reference book of stress intensity coefficients 1 (Ed. Yu.Murokami, Mir, Moscow, 1990, 448 p.) [in Russian].
3. Dahl Yu. M., "About local bend of stretched plate with a crack", Izvestiya AN SSSR. MTT (4), 135-141 (1978) [in Russian].
4. Polyahov N. N. (ml.), Polyahov N. N., "Tension of plane with the set of cuts without shear", Vestnik Leningrad. Univ. Issue2, N7, 85-90 (1981) [in Russian].
5. Kolosov G. V., Application of complex variable to theory of elasticity (Leningrad, Moscow, 1935, 215 p.) [in Russian].
6. Dahl Yu. M., "About Kolosov's formulas in a plane problem of theory of elasticity in the presence of periodical cuts", Vestnik St. Petersburg Univ. Ser. 1 1(59), Issue 2, 228-236 (2014) [in Russian].
7. Muschelishwili N.I., Some basic problems of the mathematical theory of elasticity (Nauka, Moscow, 1966, 707p.) [in Russian].
8. Lavrentiev M.A., Shabat B. V., Methods of theory of the functions complex variable (Nauka, Moscow, 1973, 736p.) [in Russian].
9. Novozilov V. V., Theory of elasticity (Sudpromgiz, Leningrad, 1958, 370 p.) [in Russian].
