CC BY
35
Доклады БГУИР
2016 № 3 (97)
УДК 538.945
ТРИПЛЕТНЫЙ ЭФФЕКТ И КРИТИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ В МНОГОСЛОЙНЫХ СТРУКТУРАХ СВЕРХПРОВОДНИК/ФЕРРОМАГНЕТИК
ВН. КУШНИР
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 2 декабря 2015
Построено точное матричное решение линеаризованных уравнений диффузионного предела микроскопической теории сверхпроводимости, описывающих критическое состояние многослойных структур сверхпроводник/ферромагнетик при неколлинеарных, компланарных векторах намагниченности ферромагнитных слоев.
Ключевые слова: сверхпроводимость, ферромагнетизм, слоистые структуры, уравнения Узаделя, критическое состояние.
Введение
Слоистые структуры сверхпроводник («^/ферромагнетик (F) являются естественной элементной базой сверхпроводниковой спинтроники, поскольку между S и F системами существует взаимодействие посредством спиновых степеней свободы [1-5]. Управление спиновыми степенями свободы достигается изменением магнитного состояния структуры, что изменяет характеристики ее сверхпроводящего состояния. Если магнитное состояние неоднородно, в структуре индуцируется компонента сверхпроводящего конденсата из триплетных пар электронов с нулевым орбитальным моментом и проекцией полного спина ±1 (помимо существующих триплетных пар с нулевой проекцией спина) [3]. Триплетная сверхпроводимость детально исследована для двухслойных и трехслойных структур, F1/S/F2 и S/F1/F2, в диффузионном и в чистом пределе микроскопической теории сверхпроводимости на основе как точных, так и приближенных методов [1-12], и недавно обнаружена на эксперименте [4, 5]. Однако использование триплетного эффекта в устройствах спинтроники на основе трехслойных структур сопряжено со сложными технологическими проблемами - заметный эффект наблюдается в узком диапазоне толщин слоев, что требует очень высокого качества S-F контактов, надежного контроля материальных параметров системы. Названные проблемы нивелируются для многослойных S/F структур, благодаря «спектральным» свойствам их сверхпроводящего состояния [6, 9, 13-19]. Для исследования критического состояния сверхпроводимости многослойных S/F структур ранее был развит точный матричный метод, применимый при условии коллинеарности векторов намагниченности F-слоев [19, 20]. В данной работе в диффузионном пределе микроскопической теории сверхпроводимости построено точное матричное решение уравнений критического состояния S/F структур с неколлинеарными векторами намагниченности, компланарными поверхностям слоев.
Постановка задачи
Координатную плоскость YOZ совмещаем с плоскостью подложки S/F структуры. Вектор обменного поля F-слоев, h(x) = Eex-m(x) [2], где m(x) - единичный вектор, сонаправленный вектору намагниченности, а Eex - обменная энергия, выбираем в виде (0, Eex-sin9(x), Eex-cos0(x)). Полагаем, что угол 0(x), задающий направление магнитного момента, фиксирован в каждом
—-слое. Сверхпроводящее состояние в диффузионном пределе микроскопической теории сверхпроводимости описывается узаделевской аномальной функцией Грина [21], которую можно записать в матричной форме [1-3]:
4 (г) = (—о,юсо + —12,юс2 + —13,юс3 )*3 о,юсо + Е1,ю (1)
Здесь С1, С2, С3 - матрицы Паули, со - единичная 2x2 матрица, ю = Юп = кквТ(2п + 1) -мацубаровские частоты (п = 0, ±1, ±2,...); —ою и —12,ю, —13,ю - соответственно, синглетная и триплетные составляющие функции £ю, которые выражаются через компоненты аномальной функции Грина в спиновом пространстве следующим образом: —о = (1/2) (—и - —¿т), —13 = (1/2) (—п + —¿т), —12 = —и = —ТТ-
Функции критического состояния 5/— структуры удовлетворяют уравнениям [1-3]
D д 2 +Hj-0,ro (x) = Д( x)
. , x е IS ,
Ds д 2 + |ш|к,ю (x) = 0
д2 +j-o,ro (x) + i sgn(ra)(h( x), F^ (x)) = 0 д2 + |H |Fi,ro (x) + i sgn(ra)h(x)-,,ro (x) = 0
(2.1)
x е I-, (2.2)
А(х) = %квТ о,ю (х),(х е ¡5)- (2-3)
ю
Здесь О, О— - постоянные диффузии электронов в сверхпроводящих и ферромагнитных слоях, соответственно; А(х) - параметр порядка, равный нулю в —-слоях, X - константа эффективного электрон-электронного взаимодействия; ¡5, I— - области 5 и — слоев, соответственно. Легко видеть, что решением систем (2.1)-(2.3) являются частотно-четные функции —ою, и частотно-нечетные функции Е^ ю, так что систему переписываем в виде
(- £ 5 2д2 + г (2п + 1})—о,п (х) = 2гХ)Г —о,п (х)
П=0 (п = 0,1,•••,пс) х е ¡5 , (31)
(-£ 5 2а2 + г (2п + 1))^ (X) = 0
(- £—2д 2 + г (2п +1))—о,п (X) + 2 ^ (т(х), Еи (х)) = о
2
Г 2 - 1.....
Г- (n = 0 1... n.) x е Ir,. (3.2)
(- £ - 2д 2 +1 (2n + 1))Fi,n (x) + 2i ^ m(x)-o,n (x) = 0
(n = 0,1,...,nc) x еI-.
г -2
В (3.1), (3.2) использованы обозначения: ^s(F) =-\jfDs(F )/2я ^^ - длины когерентности в S(-) слоях, где Ts - критическая температура массивного сверхпроводника; Г - =л] fD- / Eex - характерная длина затухания функции состояния в - слое; t = T/Ts, n = nc(T) есть
целая часть выражения ((ТкяЛ%квТ) - 0,5), где юс - параметр обрезания по мацубаровским частотам. Системы уравнений (3.1), (3.2) дополняются условиями на границах x = 0 и x = L,
dx-0,n(0) = dx-0,n(L) = 0, dxFUn (0) = dxFUn(L) = 0, (4)
и условиями сшивания Куприянова - Лукичева на S-- контактах [22]: р— + 0)дх-0 „ (x + 0) = p-1(x - 0)dxf я (x - 0),
Fon(x, + 0) = -0n(X -0)+ дх-0П(xt -0) (5)
P(x - 0)3í-
для синглетной составляющей, и точно такими же условиями для триплетных составляющих функции состояния.
В формуле (5) ступенчатая функция р(х) = ps, если xe/s и p(x) = pf, если xe/f, где ps и Pf - нормальные низкотемпературные удельные сопротивления S и F слоев, соответственно; If -длина свободного пробега электронов в ферромагнитном материале, tF - параметр квантовомеханической прозрачности S-F контакта [23].
В частных случаях 9(x) = 0 либо 0(x) = const, в уравнениях (3) исчезает триплетная составляющая с проекциями спина ±1 и остается компонента (1/2)(F-u + Fit) (в случае 0(x) = const ось квантования спина можно направить вдоль m). Эта триплетная составляющая
сверхпроводящего конденсата в S/F структурах всегда существует и проявляется, например, слабыми противотоками, протекающими в ферромагнитных слоях многослойной структуры при включении транспортного тока [19, 20].
Матричное решение уравнений Узаделя
Граничную задачу (4) для системы ОДУ (3), (5) решаем матричным методом [19, 20], принимая направление вектора намагниченности кусочно-постоянным, ш(х) = ш,- для j-го ферромагнитного слоя. В соответствии со стандартной процедурой, образуем из функций Fo,n(x) столбцы Ф0(х) = (р0,0(х) F01(x).. .F0,„c (х))tr , и из функций Fi2,n(x), Fi3,n(x) - столбцы Ф1(х), Ф2(х),
соответственно. Далее определяем вектор-функцию сверхпроводящего состояния У(х) = Ф0 © Ф0' © Ф1 © Ф1' © Ф2 © Ф2' и записываем формальное решение задачи Коши с начальным условием У(0) = У0
У(х) = ад Y0 , (6)
где Я(х) - матрицант (матрица канонической системы фундаментальных решений) [24].
Подстановка в (6) граничных условий приводит к однородной системе 3x(nc+1) линейных алгебраических уравнений
R246,135(Z) Ф(0) = 0, (7)
где матрица R246,135(x) получена из R(x) вычеркиванием строк, соответствующих функциям Ф0(х), Ф1(х), Ф2(х), и вычеркиванием столбцов, соответствующих их производным.
Из условия существования нетривиального решения (7) следует характеристическое уравнение
det[R246,i35(L)] = 0. (8)
Его корнями являются собственные критические температуры, которым соответствуют собственные вектор-функции состояний, полученные в результате решения системы (7). Матрицант R(x) вычисляем, пользуясь рекуррентными соотношениями
ад = S(x - xi) Psf R(Xi) = S(x - xi) Psf Ma(x - Xi-1) Pfs RXi -l) = ..., (9.1)
если x принадлежит S-слою с левой граничной плоскостью х = Xi, и
R(x) = Ma(x - Xj) Pfs R(Xj) = Ma(x - Xj) Pfs S(x - Xj -1) Psf R(Xj -1) = ., (9.2)
если x принадлежит F-слою с левой граничной плоскостью х = Xj .
В (9.1), (9.2) S(x), Ma(x) - матрицанты системы ОДУ (3.1) и (3.2), соответственно, и
Pfs, Psf - матрицы условий на S-F контакте.
Матрицанты слоев и матрицы контактных условий
В соответствии с (3.1), матрицант S-слоя имеет следующую форму:
S X) =
S+ ( X) 0 0
0
0
л
S" (x) 0 0 S" (x)
(10)
где 5+(х), 5 (х) определены в [20], (гл. 2).
Точно так же матрица условий на контакте
Фга (SF) -
PFS (SF) 0
0
PFS (SF)
0
0
PFS (SF) y
(11)
0 0
V
есть результат добавления третьего диагонального блока PFS(SF) в матрицу PFS(SF), приведенную в [20] (матрица PsF^FS) отображает решение У (г) из ^(£)-слоя в S(F)-слой). Выполним в (3.2) замену переменных (преобразование вращения)
¥1,п = F13,И СО80 + ^ п вт0
¥2,п = ~F13,n 0 + ^2,п СОэ0 Тогда система (3. 2) преобразуется к виду
-$F2д2 + г(2п + 1))Фо,п(х) + 2/(Е,F /СF)2(х) = 0
(12)
(- ÉF иX + 1 (2n + 4^0,n (X) + 2i(ÉF
(-£ F2^2 + t(2n + 1))^ (X) + 2i(2, F / с F )2 Ф o,n (X) - 0 (n - 0,1,..., nc ) X G If ■ (
(13)
-ÉF^2 + t(2n + 1))%n (X) - 0
Видим, что (13) состоит из подсистемы, образованной первыми двумя уравнениями и независимого от нее третьего уравнения. Матрицант подсистемы, включающей первые два уравнения, приведен в [20]; в результате полный матрицант системы (13) записывается в виде
M(x) -
Re(M( x)) i Im(M(x)) 0 i Im(M( x)) Re(M( x)) 0
Л
(14)
v 0 0 N(x)y
Здесь M(x), N(x) - 2(пс+1)х2(пс+1)-размерные матрицы-функции, из них M(x) определена в [20], а N(x) имеет вид
(
N(x) -
diag
ch
( xJt(2n + 1) ^
ÉF
diag
/t(2n + 1)'
.sh
i x,Jt(2n + 1) ^
Л
diag
t(2n + 1)
ÉF
sh
x,\t(2n +1)
Vf
diag
ch
xjt(2n +1)
Vf
(15)
где diag[an] - диагональная матрица с элементами ап (п = 0,1,...,пс) вдоль главной диагонали.
Таким образом, для каждого /-го F-слоя имеем матрицант, М(х - х/), системы уравнений
(13), не зависящий от угла 0. По найденной матрице М(х - х/) легко получить решение задачи
Коши, У(х/) = У/, для исходной системы уравнений (3.2), описывающей сверхпроводящее состояние /-го F-слоя. Для этого вначале преобразуем, в соответствии с (12), вектор У/ в начальный вектор, У/= Ф0 © Ф0' © ¥1 © ¥1' © ¥2 © ¥2', для системы (13):
y; -
1
0
0
0 1 • COS0 ; 1 • sin 0 ;
0 -1 • sin0 1 • COS0 ,■
J J y
YJ s U(0J )Yj. ,
(16)
где 1 - единичная матрица размерности 2(ис+1).
Далее по начальному вектору Y/ находим решение Ye(x) системы (13) в области j-го F-слоя, Ifj , Ye(x) = M(x - Xj)YjS, и, совершая обратное вращение, имеем искомый вектор
Y(x) = Щ-ej) M(x - x)Ue)Yj (x e Ij (17)
Из (17) следует выражение для матрицанта F-слоя, Mye(x),
м je (x) = u(-e j )M( x-xj )U(e j). (18)
Таким образом, формулой (18) выражается простой математический смысл триплетного эффекта. Используя (18), запишем выражения для матрицантов элементарных структур, F0/S/F и S/F0/F. В первом случае имеем
R(x) = M(x)PfsS(x - dFo) Psf U(-e)M(x - dF0- ds)U(e), (19)
где dF0 и ds - толщины слоев F0 и S, соответственно, а во втором, в приближении полностью прозрачной границы между слоями F0 и F, получим
R(x) = S(x - dpo) Psf M(x) U(-e)M(x - dFo- ds)U(e). (20)
Численный пример
Рассмотрим 5-бислойную S/F структуру с тонким центральным S-слоем, для которой ранее рассчитывался спин-вентильный эффект [18]. Все S-слои структуры, за исключением центрального, имеют толщину ds « 4,7£s (примерно 27 нм); для толщин центрального S-слоя и F-слоев примем значение d = dF = Çf = 0,5£s (около 3 нм). Рассчитываем критическую температуру при одновременном повороте магнитных моментов четных F-слоев на угол 0 из начального состояния с ферромагнитным упорядочением (каждый F-слой характеризуется магнитным моментом Mo). В конечном состоянии, 9 = л, в структуре устанавливается антиферромагнитный порядок (AF) (магнитные моменты соседних F-слоев, My = ±Mo, антипараллельны). Рассчитанная зависимость Tc(9) представлена на рис. 1. Кроме того, на рис. 1 приведены характеристики структуры Tco,F(d), Tci,F(d) и Tc^F(d) с ферромагнитным и антиферромагнитным упорядочением моментов My. В первом случае при толщине d « 2,65£s происходит кроссовер состояний с симметричной и антисимметричной синглетной составляющей конденсатной волновой функции (им соответствуют критические температуры Tco,F и Tci,f). Следовательно, при вращении магнитных моментов структура переходит из л-состояния с ферромагнитным упорядочением моментов (треугольник на графике Tci,F(d)) в 0-состояние с антиферромагнитным порядком (треугольник на графике TCAF(d)). Более подробно этот переход совершается следующим образом (рис. 1). При увеличении угла 9 от нуля до значения 9cr « 84° синглетная составляющая функции состояния остается антисимметричной, при этом критическая температура убывает. В точке 9cr происходит кроссовер - система переходит в состояние с симметричной синглетной составляющей, что отражается резким возрастанием Tc. Для иллюстрации на рис. 2 приведены графики функций состояния, рассчитанные для трех значений угла Э: 0°, 105°, 180°.
0.55
F— /
0.52 -----т ---т eüf «ii /\
1 2 ,, 3 4 d/?s / т сО
т 0/ cl —
20 40 50 söгш ш 140 160 180
0 (град)
Рис. 1. Зависимость критической температуры структуры 5[РУ5]/Р от угла между магнитными моментами четных и нечетных Р-слоев. На вставке: критические температуры ферромагнитного (Р и антиферромагнитного (АР) состояний структуры в зависимости от толщины центрального 5-слоя
©
о
x/Z,
0
x/L
0
x/L
б
Рис. 2. Функции критического состояния структуры 5[F/S]/F для трех значений угла между магнитными моментами четных и нечетных F-слоев: 6 = 0° (a), 6 = 105° (б), 6 = 180° (в)
Заключение
В данной работе впервые построено точное матричное решение линеаризованных уравнений Узаделя, позволяющее анализировать критическое состояние многослойных структур сверхпроводник/ферромагнетик при неколлинеарных, компланарных векторах намагниченности, и без ограничения на количество бислоев.
TRIPLET EFFECT AND THE SUPERCONDUCTIVITY STATES IN THE MULTILAYERED SUPERCONDUCTOR/FERROMAGNET STRUCTURES
V.N. KUSHNIR Abstract
The precise matrix solution of the linearized Usadel equations for the multilayered Superconductor/Ferromagnet structures has given for arbitrary in-plane magnetization vectors of ferromagnet layers and an arbitrary layer number.
Keywords: superconductivity, ferromagnetism, multilayered structures, Usadel equations, critical condition.
Список литературы
9.
GolubovA.A., KupriyanovM.Yu., Il'ichevE. // Rev. Mod. Phys. 2004. Vol. 76. P. 411-469. Buzdin A. I. // Rev. Mod. Phys. 2005. Vol. 77. P. 935-976.
BergeretF.S., VolkovA.F., EfetovK.B. // Rev. Mod. Phys. 2005. Vol. 77. P. 1321-1373. Кушнир В.Н., Прищепа С.Л. // Вестник Фонда фундаментальных исследований. 2011. № 1/11. С. 101-120. Кушнир ВН., Прищепа С.Л. // Вестник Фонда фундаментальных исследований. 2015. № 2/15. С. 165-192. Bergeret F.S., Volkov A.F., Efetov K.B. // Phys. Rev. B 2003. Vol. 68, № 6. P. 064513 (1-14). Fominov Ya.V., Golubov A.A., Kupriyanov M.Yu. // Письма в ЖЭТФ. 2003. T. 77, № 9. C. 609-614. Eschrig M., Kopu J., Konstandin A. et al. // Advances in Solid State Physics (book series). Vol. 44. / Ed. B. Kramer. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2004. P. 533-546.
LofWander T., Champel T., Durst J. Eschrig M. // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 187003 (1-4).
10. Halterman K., BarsicP.H., Valls O.T. // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 99. P. 127002 (1-4).
11. Fominov Ya.V., Golubov A.A., Karminskaya T.Yu. et al. // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 91, № 6. С. 329-333.
12. Wu C.-T., Valls O.T., Halterman K. // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 86. P. 014523 (1-13).
13. Карминская Т.Ю., КуприяновМ.Ю., Голубое А.А. // Письма в ЖЭТФ. 2008. T. 87, № 10. C. 657-663.
14. Karminskaya T.Yu., Golubov A.A., Kupriyanov M.Yu. // Phys. Rev. B. 2011. Vol. 84. P. 064531 (1-5).
15. Proshin Yu.N., Izyumov Yu.A., KhusainovM.G. // Phys. Rev. B. 2001. Vol. 64. P. 064522 (1-5).
16. Proshin Yu.N., Zimin A., Fazleev N.G. et al. // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 73. P. 184514 (1-12).
17. Karminskaya T. Y., Kupriyanov M. Y. // Письма в ЖЭТФ. 2008. T. 86, № 1. C. 65-70.
18. Кушнир В.Н. // Докл. БГУИР. 2013. № 8 (78). C. 40-47.
19. Кушнир В.Н., КуприяновМ.Ю. // Письма в ЖЭТФ. 2011. T. 93, № 9. C. 597-602.
20. Кушнир В.Н. Сверхпроводимость слоистых структур. Минск, 2010.
21. Usadel K. // Phys. Rev. Lett. 1970. Vol. 25.P. 507-509.
22. Куприянов М.Ю, Лукичев В.Ф. // ЖЭТФ. 1988. Т. 94, № 6. C. 139-149.
23. TagirovL.R. // Physica C. 1998. Vol. 307. P. 145-163.
24. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., 1972.
S
а
в
