CC BY
18
Доклады БГУИР
2006
апрель-июнь
№ 2 (14)
ЭЛЕКТРОНИКА
УДК 538.945
КОЭФФИЦИЕНТ ПРОЗРАЧНОСТИ КОНТАКТА СВЕРХПРОВОДНИК /НОРМАЛЬНЫЙ МЕТАЛЛ И КРИТИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА ТРЕХСЛОЙНЫХ МЕЗОСТРУКТУР. II
На основе точных уравнений микроскопической теории с использованием матричного метода исследовано влияние конечной прозрачности контакта сверхпроводник/нормальный металл на критическую температуру мезоструктур, сверхпроводящих в силу эффекта близости. Полученные теоретические кривые воспроизводят экспериментальные зависимости критической температуры от толщины сверхпроводящего слоя. Определена зависимость коэффициента прозрачности от длины когерентности нормального металла.
Ключевые слова: сверхпроводимость, эффект близости, коэффициент прозрачности, матричный метод.
В предыдущей работе [1] было исследовано в рамках одномодового приближения микроскопической теории влияние конечной прозрачности контакта сверхпроводник/нормальный металл на критическую температуру трехслойных мезоструктур сверхпроводящих в силу эффекта близости. В данной работе уравнения микроскопической теории решаются точно с помощью матричного метода. Рассматриваются плоские трехслойные структуры вида (сверхпроводящий слой находится между нормальными слоями).
Выбирается система координат с осью 02, направленной перпендикулярно плоскости слоев структуры. Левой и правой границам соответствуют значения z=0 и z=L.
Критическое состояние сверхпроводящего конденсата в описывается (в "грязном" пределе, при отсутствии внешнего поля) следующей системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [1, 2]:
ВН. КУШНИР
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П. Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 18 января 2006
Введение
Уравнения микроскопической теории SN
(
1 _ щ z) d_
2 ШБТ dz
2 4
m + —
2
(1)
V
Б
Здесь —Б=[ю0/2л: кв Т — 0.5], ю0 — дебаевская частота; №(г) =
№ 1Д.
г е I.
где 1б, Iп —
области значений г, соответствующие сверхпроводящим и нормальным слоям, , — постоянные диффузии сверхпроводящего и нормального металлов. Аналогично определены и функции Щ(г) (через плотности числа состояний Щ , N. на уровне Ферми) и У(г) (через константы Vп электрон-фононного взаимодействия).
Граничные условия и условия на плоскостях контактов сверхпроводящего и нормального слоев для функций Дт(г) имеют вид соответственно [3]:
ад- (0) аД- (ь)
= 0,
(2)
№(гг + 0) аД■ (^ + 0) = П(гг - 0)'Д- (^ - 0)
г - 0)-
аД■ (г - 0) = Гд■ (г + 0) Д■ (гг - 0) аг 2 I N(г. + 0) N(г. - 0)
(3)
В формулах (2), (3) г. — 2-координаты контактных плоскостей; — скорость Ферми для нормального металла; tn — параметр прозрачности 8К-границы.
Параметр порядка сверхпроводящего состояния выражается через величины Дт(г):
Д( г) = 2квТ •V (г )^Д - ( г). (4)
Поскольку коэффициентные функции в (1) — кусочно-постоянные, можем получить в явном виде общее решение задачи (1)-(3). Для этого строим точные решения для каждого из слоев структуры и сшиваем их посредством условий (3). Построив, таким образом, матрицант
г) уравнения (1) [4], и используя далее граничные условия (2), получим систему алгебраических уравнений
ГА(Ь) V К(Ь)ГА(0)] , (5)
V 0 У
I 0 У
■
где вектор-функция Д(г) = (Д0Ф, Д^г),..., Дто(г), Д0'(г), Д/(г),..., Дто' (г) )Т .
Из условия существования нетривиальных решений системы (5) определяется набор значений Т, наибольшее из которых и есть критическая температура Тс.
Выражение для матрицанта Ь) многослойной структуры вида через
матрицанты 8(г) и М (г) 8- и К-слоев, и через матрицы Рж , Рет условий сшивания (3) имеет вид
й( Ь) = ММ«)Г Р„М )РетМ «)
ЩЫ
(6)
В формуле (6) ЩЬ1 — количество бислоев; — толщина 8-слоя; ап — толщина К-слоя. Для матриц М (с1п ) и ) легко получить следующие формулы:
М « ) =
diag diag
ек
( d 1
£( т ) V' п
1
£
( т )
sк
( d 1
£( т ) V' п
diag diag
£ т) ьк
п
(
( d 1
£( т ) V' п У
ек
d
£т) V' п У
(7)
S(ds) =
С
ек
^ л
£т)
С Cdiag
Сdiag
1
£
(т)
ьк
(т)
У
£
£т) ьк
с л
£(т)
У
л Т *
(С Cdiag
ек
( л Л
(т)
£
У
((Т СТ
В (7), (8) использованы следующие обозначения:
£ т) -££ т)(Т) , £ =
(2т + 1)Т
2^бТ8
(8)
£ (т) = £ (т)(Т) = £__Т5 £ =
2жкБТ8
2Т /и( т )(Т )
Здесь температурные функции ц(т)(Т) есть корни характеристического уравнения
(9)
¥
- +1 + т)(Т)1_¥( 1 + т)(Т)"1 = ¥
2жкБТ
Г
У
0Г
Л
-+1
V 2Жк^БТ5 У
-¥|
1
(10)
Т5 — критическая температура сверхпроводящего материала; ¥х) — действительная часть дигамма функции. Матрицы С в (8) определяются выражениями
с (т) =
(т)
1 ( ) Ь (т) -] +1 + ^т) ^ =
2
тт ( ■ 1
UJ + 2 + ^
(т)
1 -0
_1/2
(11)
и являются ортогональными: С С — С( — 1.
Матрицы "сшивания" определяются формулами
(1 п£Лл 0 р1
(1 Уь£пр "11 0 р -11
(12)
В (12) использованы параметры 1 2
р -— гь - ——
Рп 3£п К
(13)
где р5, рп — удельные сопротивления сверхпроводящего и нормального материалов; 1п -длина свободного пробега электрона в нормальном металле.
В данной работе рассматривается критическое состояние 3-слойных структур (ЫЬ1 = 1). Можно показать, что критической температуре соответствует симметричное решение
ьп
системы (5), так что А(Ь) = Л(0) . Тогда для трехслойной структуры система (5) редуцируется к любому из двух видов, дающих одну и ту же критическую температуру:
М (<) + р-1ыь (ап )$ (/2) £, I (а, / 2) Д(0) = 0,
'м,«)+р(а, /2)Мь (ап )] м1Л (ап) Д(0) = о
(14)
Здесь
= ^11,1 М = -'Мщ Мъ = 1 + Гь^А
1Л Л
где матрицы с римскими индексами означают соответствующие квадратные блоки матриц 8 и
Таким образом, критическая температура соответствует нулевым, и одновременно минимальным собственным значениям матриц
С помощью вышеизложенного метода вычислим зависимости Тс(а,) для тех же структур, что и в работе [1] — это два набора (рв1 и р82) образцов Pd/Nb/Pd, полученных методом напыления, и два набора (с81 и с82) образцов Си/КЬ/Си, полученных методом молекулярно-лучевой эпитаксии. Для параметров структур используются оценки, извлеченные из экспериментальных данных [5, 6]. Во всех случаях с уверенностью можно полагать, что длина когерентности ^5=^Кь=64 А. Критическая температура массивного ниобия принята равной Т,5=8,44 К для набора рв1, Т$=8,3 К — для набора р82, Т= К — для наборов С81 и с82. Эти значения меньше приведенных в [5, 6] критических температур массивного ниобия (неограниченных размеров) и, по мнению автора, лучше соответствуют критической температуре толстой пленки сверхпроводящего материала. Тем более, расчеты и по точным уравнениям, и по одно-модовому приближению [1] не подтверждают асимптотических значений, приведенных в [5, 6]. Значения длин когерентности нормального материала £п при расчетах варьировались в пределах 260-300 А для Си и 60-80 А — для Pd. В [1] приведены доводы в пользу известной свободы в выборе этого параметра. Однако основной довод состоит в том, что структуры вида использованные для определения £п, резко отличаются по своим свойствам от рассматриваемых структур. Удельные сопротивления нормальных металлов рм=5,0 ц^-см, рСи=1,3 ц^-см. Удельное сопротивление ниобия в структуре Си/КЬ/Си Рмь,тЬе=3,6 ц^-см;
для структуры Pd/Nb/Pd использовалось уточненное значение рКь,эри1=5,0 ц^-см [7]. Параметр прозрачности гп является подгоночным (он связан с квантовомеханическим коэффициентом прозрачности Тформулой Т=,п/(1+,п).
Моделирование экспериментальных данных проводилось следующим образом. Для заданного подгонкой значения критической температуры при заданной толщине а, находился параметр Т Для структуры р81 достигалось совпадение теоретического и экспериментального значений Тс(300 А), для структуры С8 1 — Тс(200 А). Далее для полученной пары значений (4, Т выстраивалась вся кривая Тс (а,). Для структур р82 и с82 использовались параметры
МЛ.
-м,«) + р(а, /2)Мъ (п)
и
(15)
Критическая температура и коэффициент прозрачности структур Р^Ь/Ра [5] и Си^Ь/Си [6]
(¿n, T) структур ps2 и cs2 соответственно. Результаты приведены на рис. 1,а, б и 2,а, б. Из рис. 1,а видно, что теоретические кривые Tc(dS) точно воспроизводят экспериментальную зависимость. Кроме того, оказалось, что кривые Tc(dS), построенные для последовательности пар значений (4, T), практически накладываются друг на друга. Это отражено на рис. 1,а и 2,а. На них приведены теоретические зависимости для двух пар значений (¿¿n, T): одна из них соответствует параметру ¿¿n=60 А, использованному в [5] при моделировании экспериментальных данных, другая соответствует полной прозрачности границы S/N, т.е. параметру T=1. Аналогичная ситуация имеет место и для наборов cs1 и cs2; поэтому на рис. 1,б, 2,б приведена одна кривая для значения длины когерентности ¿n=260 А, использованного в [6] при моделировании экспериментальных данных. Данному значению соответствует коэффициент прохождения T=0,242 — это несколько меньше приведенного в [6]; а, например, значению ¿¿П=300А соответствует коэффициент T=0,353.
структура ps1
8 7 6
ьс 5-К "43210
измерения —Л— расчет, T* = 0.539, £=60 Ang - -V - расчет,!* = 1, £ = 80.306 Ang
структура cs1
измерения ■ расчет, T* = 0.242, £ =260 Ang
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600
0
0
600
dS, Ang
dS, Ang
а б
Рис. 1. Экспериментальная и теоретическая зависимости критической температуры от толщины сверхпроводящего слоя: а — для набора р81 структур Рй/ЫЬ/Рй; б — для набора 081 структур Си/ЫЬ/Си
структура ps2
8. 7. 6.
ьс 5-К" 4. 320-
измерения —Ь— расчет, T = 0.539, £=60 Ang ■ -v - расчет, T* = 1, £ = 80.306 Ang
структура cs2
600 800 1000 1200 1400 1600
dS, Ang
0
0
dS, Ang
а б
Рис. 2. Экспериментальная и теоретическая зависимости критической температуры от толщины сверхпроводящего слоя: а — для набора рБ2 структур Рй/ЫЬ/Рй; б — для набора 082 структур Си/ЫЬ/Си
Интересно отметить, что одномодовое приближение с уточненными параметрами Т,, рКь, приведенными выше, столь же хорошо описывает экспериментальные результаты, как и точные уравнения теории (см. рис. 3,а, б). При этом, однако, коэффициент прозрачности оказывается завышенным.
Ои/ЫЬ/Ои
9 ■ 86-
X 5' К" 4
3' 21 ■ 0.
измерения для сз1 измерения для с§2 - расчет, Т= 0.371, $ = 260 А^
1400 1600
Апд
Апд
5
- 4
0
0
1200
0
а б
Рис. 3. Экспериментальная зависимость критической температуры от толщины сверхпроводящего слоя и теоретические кривые, полученные в одномодовом приближении: а — для структур Pd/Nb/Pd; б — для
структур Си/№/Си
Связь между параметрами ¿¿п, Т соответствующими экспериментальной зависимости Тс(а,) для структуры р81, отображена на рис. 4; на том же рисунке приведена важная с экспериментальной точки зрения зависимость ?ь(£п). Этот график позволяет по измеренному значению ¿п получить коэффициент прозрачности Т
4п - Апд
Рис. 4. Зависимость коэффициента прозрачности и параметра ^ь от длины когерентности нормального металла
Заключение
На основе точного решения уравнений критического состояния в трехслойных структурах типа сверхпроводник/нормальный металл рассчитаны зависимости критической температу-
ры от толщины сверхпроводящего слоя. Теоретические зависимости хорошо описывают данные на структурах Pd/Nb/Pd, Cu/Nb/Cu. Получена зависимость коэффициента прозрачности контакта сверхпроводник/нормальный металл от длины когерентности нормального слоя. Автор признателен проф. С.Л. Прищепе, проф. C. Attanasio, C. Cirillo за предоставленные экспериментальные данные.
SUPERCONDUCTOR/NORMAL METAL CONTACT TRANSPARENCY AND CRITICAL TEMPERATURE OF TRILAYER MESOSTRUCTURES. II
V.N. KUSHNIR Abstract
The effect of superconductor/normal metal contact finite transparency on proximity mesostructures critical temperature estimated. The matrix method of microscopic theory is used. The theoretical curves fit the experimental Tc versus superconducting layer width data very satisfactory. The transparency versus normal metal coherent length explained.
Литература
1. Кушнир В.Н. // Докл. БГУИР. 2005. № 4 (12). С. 5.
2. Koperdraad R.P.W. and A. Lodder // Phys. Rev. B. 1995. Vol. 51. P. 9026.
3. КуприяновМ.Ю., В.Ф. Лукичев // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. C. 139.
4. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М., 1972.
5. Cirillo C., S.L. Prischepa, M. Salvato and C. Attanasio // Euro. Phys. J. B 2004. Vol. 38. P.59.
6. Tesauro A., A. Aurigemma, C. Cirillo, S.L. Prischepa, M. Salvato and C. Attanasio // Supercond. Sci. Technol. 2005. Vol. 18. P. 152
7. Cirillo C. — частное сообщение.
