CC BY
11
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2000. N.1. С.24-26.
© Омский государственный университет, 2000
УДК 537.61
ТРИКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ С ЗАМОРОЖЕННЫМИ
ДЕФЕКТАМИ СТРУКТУРЫ
С.В. Белим, В.В. Прудников
Омский государственный университет, кафедра теоретической физики 644077, Омск, пр. Мира, 55 А 1
Получена 20 декабря 1999 г.
We present, a field-theoretic renorrnolizatiou-group description of the tricritical behaviour of the фЛ model wit.h using the e — A — D expansion. The critical exponents are found in two-loop approximation. The results are compared with exponents for homogeneous systems.
Влияние замороженных примесей на поведение системы вблизи температуры фазового перехода второго рода определяется критерием Хар-риса[]], согласно которому критическое поведение неупорядоченных систем заметно меняется, если для однородной системы индекс теплоемкости а > 0. Трикритическое поведение однородной системы характеризуется индексом а = е/2 > 0, поэтому влияние замороженных примесей должно быть существенным.
Трикритическая точка - это точка, в которой фазовый переход второго рода под влиянием внешнего воздействия сменяется фазовым переходом первого рода. Гамильтониан системы в окрестности трикритической точки в присутствии замороженных примесей может быть записан в виде:
Яг,
dDx{^rs2 + ~(Vs)2 + Ar{x)s2
+ ~g0s4 + Ag(x)s4 + ^0e6},
(1)
где s(x,t) - п-компонентный параметр порядка; г ~ Т — Tqc] Toc -критическая температура примесной системы, определяемая теорией среднего поля; D = 4 — £-размерность системы; и0-положительная константа; Дг(ж) и Ag(x) описывают влияние случайного поля примесей, которые для слабо неупорядоченных систем являются ¿-коррелированными и удовлетворяют корреляционым соотношениям:
(Д T{x))imp = 0, (2)
(Ад(х))ггпр = 0, (3)
(Дг(Ж)Аг(ж'))гтР = 606{х - х'), (4)
(Ag(x)Ar{x'))imp = - ж'), (5)
где (...jimp - усреднение по примесям, <50 и wo -положительные константы, пропорциональные концентрации примесей.
Усреднение по примесям приводит к эффективному репличному гамильтониану:
oli
jD
а \ а /
а \ а
лВ
(б)
1 e-mail: prudnikv@univer.omsk.su
где еа — (п х/)-компонентный параметр порядка, а свойства исходной неупорядоченной системы могут быть получены в пределе числа образов (" реплик") исходной системы I —> 0.
В трикритической точке в эффективном гамильтониане до — 0 в силу того, что для фазовых переходов первого рода д0 < 0, тогда как для фазовых переходов второго рода - до > 0.
Трикритичсское поведение.
Для определения эффективных зарядов 5,у, и> необходимо провести ренормгруиповую процедуру, которая определяется соотношениями:
т0 = ц т2Т, ¿о = //¿Д5,
И70 = г0 «Л) =
(?) (8) (9) (Ю) (П)
где масштабный параметр ц вводится для обезразмерявания величин, а величины Уо и Но введены с целью упрощения расчетов. На основе техники фейнмановских диаграмм могут быть построены двухточечная Г^2' , четырехточечная Г^' и шеститочечные г|Я, вершинные функции. 2 - факторы определяются из требования регулярности неренормированных вершинных функций, выраженном в условиях нормировки:
* ¿Г«,"
к,= 0
= 1,
к'2 = О
7зг (6) А I уу
2
д{-ш)
к г- О
Г <2)(А,£
= А<
8-2 П
IV,
= А"1
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Данная процедура регуляризации вершинных функций была осуществлена нами в рамках двухпетлевого приближения. Следующим шагом в теоретико-полевом подходе является определение скейлинговых функций рб(6, V, У/), ру (6, V, IV), ру (¿, V, IV) V, И') ,1<р(6, V, IV) и
7а (<5, V, И7), задающих дифференциальное уравнение ренормгруппы для вершинных функций:
д п 9 „ д д
7Г~ + Р5 777 + РУ -ТГ7 + РШ -7Г77-.
дц дб дУ д\¥
д 1п '¿и
д
~1\Х
дХ
(17)
Из этого уравнения могут быть получены скей-линговые функции, определяющие поведение системы вблизи трикритичсской точки:
гг, 16 г 8(п + 1)тж,
& = —£¿[1 + —Л - , 'УЧ £ 6"
480
(18)
0 Г1 30. Зп + 22
ру = -2еь[1 + — ё +
е ¿4ег
3 п + 22
38
вщ = —2ЕИ)\1 Н---
г
Зтг + 4
№
2520
п
п + 4 V 2(п4 М)
-г& +
IV
10с2 V/ 5848
15г
336(п + 4) К 2 +-^-1
7т = 2[] + 26
и* +
120с
(п + 2) Зе
ИГ
28
(21) (22)
7а =45--
£
Природа трикритической точки полностью определяется стабильной фиксированной точкой для констант связи (5*, I/*, V/*), определяемой из требования обращения в нуль скейлинговых функций
, V* ,\¥*) = 0, (24)
ру{6щ,У*,1ЛГ) = 0, (25)
Рту (6*, V', IV) = 0. (26)
Решение данной системы приводит к физической трикритической фиксированной точке:
0, V* = 0,
3
Зп + 4"
Критерием ее устойчивости является положительная определенность матрицы системы линеаризованных дифференциальных уравнений ре-нормгруппового преобразования:
8А5 дрб Аб + дРб .
5/, 88
<9АУ <9/л дру дб ■А6 + дру дУ '
дАШ др дб' -А6 + дру, д¥
006 сЖ7
ди/,
ДУ + ^Д^,
-дк + Цди7
(Ж
(28)
(29)
(30)
Собственные значения матрицы устойчивости фиксированной трикритической 'точки равны:
А1
21 п + 20 Зп + 4
£, А2
4(3 п + 31) 3 п + 4
£,Хз — 2с
Отсюда видно, что А^г.з > 0 для е > 0, и, следовательно, фиксированная точка является устойчивой для реальных систем с I) = 3.
Критический индекс и, характеризующий асимптотическое поведение радиуса корреляции при температурах, близких к критической (Яс ~ г-"), может быть найден из соотношений:
26
С. В. Белим, В. В. Прудников
и = 7Г"1((Г, 1/',1/Г) (п + 2)(п + 4)
1 4
_(1 _ 28* + -<Г2
120е
V*
(и + 2)
3s
W*
1,, п + 2 2(J +
(32)
Асимптотическое поведение времени релаксации при г —> 0 определяется индексом 2, (¿д ~ г-"2) .который может быть найден из соотношения:
28
г = ■2+-1Х{д*,У1Нг*) = 2 + 46*---б*2 = 2. (33)
с
Асимптотическое поведение корреляционной функции определяется критическим индексом т]
{С{к) ~ к2+т>):
0.
(34)
Индекс теплоемкости соответственно равен г'"):
2 - иП
п + 4 " 2(3гг + if
(35)
Из полученных, результатов видно, что введение замороженных примесей приводит к новому режиму поведения системы вблизи трикри-тической точки. В отличие от однородных систем примесная трикритическая точка не является г ауссовой с д* = 0, V* = 0, и поведение неупорядоченных систем в трикритической точке определяется влиянием длинноволновых флук-туаций параметра порядка. Более того, примесная трикритическая точка, ь отличие от однородной, является устойчивой. Совпадение полученных значений для индексов г и >|, описывающих поведение времени релаксации и кореляционной функции вблизи трикритической точки со сред-неполевыми значениями 2 = 0 и г] = 0, является следствием низкого порядка теории приближения, а не предлагаемой модели. Флуктуацион-ные поправки к этим индексам возникают в более высоких порядках теории. Двухнетлевое же приближение является минимальным в рассматриваемой модели, начиная с него проявляются эффекты влияния шеститочечной примесной вершины, играющей определяющую роль в три-критическом поведении.
Результаты расчета показали, что наличие замороженных примесей приводит не только к изменению численного значения, но и знака индекса теплоемкости а, в результате теплоемкость неупорядоченной системы перестает быть
расходящейся функцией в трикритической точке. Аналогичные эффекты наблюдались и при критическом поведении неупорядоченных изин-гоиодобных систем [2]. Это можно рассматривать как общее свойство влияния замороженных дефектов структуры с индуцируемыми ими полями типа "случайной температуры".
Проведенные вычисления показали важную роль слагаемого Ад(х)в4, задающего влияние примесей на взаимодействие флуктуаций параметра порядка. Неучет этого слагаемого приводит, согласно работе [3], лишь к логарифмическим поправкам к термодинамическим функциям в трикритической точке при совпадении трикритических индексов с их среднеполевыми значениями.
[1] Harris А.В.// J.Phys.C. 1974. V.7. Р. 1671.
[2] Хмельницкий Д.Е. Фазовый переход второго рода в неодаородныхтелах // ЖЭ'ГФ. 1975. Т.68. В.5.
[3] Stephen M.J. Tricritical points in random systems // Phys.Rev.B. V.13. №5.
