CC BY
10
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2000. N.3. С.17-19. © Омский государственный университет, 2000
УДК 537.61
ТРИКРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ
СЖИМАЕМЫХ СИСТЕМ
С.В.Белим, В.В.Прудников
Омский государственный университет} кафедра теоретической физики 644077 Омск, пр. Мира, 55-А 1
Получена 9 марта 2000 г.
The renormalizatioivgroup method is applied to the analysis of tricritical behavior of a compressible disordered three-dimensional system where the order parameter is coupled to a mmordering elastic variable. The tricritical exponents were calculated in two-loop order with using Fade-Bore! summation technique.
Как показано в работе [1], в упруго-изотропных системах под действием внешних напряжений фазовые переходы второго рода сменяются фазовыми переходами первого рода, то есть реализуется трикритическая точка.
Гамильтониан неупорядоченной модели Изин-га с учетом упругих деформаций может быть записан в виде:
Яо = J dDx[1-(r0 + 42)S(x)2 + u0(S(x)2)2)
+ J dûx[Ar{x)S{x)S{x)}
.. 3 3
+ / ^х[ах(^г(иа(ж))2 + а2 ^ и2а$]
J t* = l а,
+ ia3 f dDxS{x)2(J2u««(x))
^ а = 1
+ J dDxh(x)(J2uaa(x))> (1)
а=1
где й'(ж) - параметр порядка, «о - положительная константа, г0 ~ \Т—ТС\/ТС} Тс - температура фазового перехода, Аг(ж) - случайное поле примесей типа случайной температуры, иар- тензор деформаций, а\,а2 - упругие постоянные кристалла, а3 - параметр квадратичной стрмкции.
Взаимодействие примесей с нефлуктуирующим
з
параметром порядка у(х) — «(•'*■) задается
величиной /г(х)- случайным полем, термодинамически сопряженным иаа(х) . Переходя в (1) к фурье-образам переменных и интегрируя по
слагаемым, зависящим от нефлуктуирующих переменных, не взаимодействующих с параметром порядка 3(х), получим гамильтониан системы в следущем виде:
Яо - -J dD q(rQ + q2)SqS-+ IJ dDqArqSqS-q
+ IÎQ +
+
+
J dD{qi\SqiSq2SqzS-qi-q2-4z
al j dDqyq{S42S-q\-q-t
a(0) f 1 Г
-^Уо j dDgSqS..q + -a3 j dD
1 fii ^ о f iD i
2ITy°+J d чЬм+пУо-
(2)
<lVqV-q
В (2) выделены слагаемые у$, описывающие однородные деформации. Как показано в работе [1], такое разделение необходимо, так как неоднородные деформации уч отвечают за обмен акустическими фононами и приводят к эффектам дальнодействия, которые отсутствуют при однородных деформациях.
При малой концентрации примесей распределение случайных полей Атя, Ич, Лц можно считать гауссовым и задать функцией:
Р[Дг,Л,Л0] = [ Дт2чЛ°ч
1 e-mail: [email protected]
4b4J
D. 1
Arqhqd q —
4b--
j Ar,MDi],(3)
18
С.В. Белим, В.В. Прудников
где А - нормировочная константа, а 6,- - положительные константы, пропорциональные квадрату концентрации замороженных дефектов структуры.
Применяя рспличную процедуру л, л я усреднения по случайным полям, получим эффективный гамильтониан системы:
Ян=\ [¿О<1(то+
а—1
А тп Г
-у Е /
+г'0 ¿2 / ^ д 1 -<?2-<73
а~1 ^ т „
а=1 ^
(0) гп »
а = 1
1 . [ ,п 1 Лд з
Здесь введены положительные константы , ,<7о, ¿'о» > ) выражаемые через константы н,-, . Свойства исходной системы могут быть получены в пределе числа реплик (образов) т ■— 0.
Определим эффективный гамильтониан системы, зависящий только от сильно флуктуирующего параметра порядка 5, следующим образом:
ехр{-#[5]} - В |ехр{-Ят,]} (5)
Если эксперимент осуществляется при постоянном объеме, то уо является константой, интегрирование в (5) проводится только по неоднородным деформациям и однородные деформации вклада в эффективный гамильтониан не вносят. При постоянном давлении в гамильтониан добавляется слагаемое Р£1, объем представляется в терминах компонент тензора деформации в виде
и = ГЦ] + ^ и„а + ^ + 0(и3)] (6)
и интегрирование в (5) осуществляется также и по однородным деформациям. Как отмечено в [2], учет в (6) квадратичных слагаемых может оказаться важным в случае высоких давлений и кристаллов с большими стрикциоиными эффектами. Пренебрежение в [1] данными квадратичными слагаемыми ограничивает применение результатов работы Ларкипа и Пикина только к
случаю низких давлений. В результате:
1 Г 771
И ~ 2 ] +
т
а—1 о,6=1 ^
а—1
ZQ = дЦХ^о ~ 50°,2/Л0)
А = К + 21)/<Ло = К + 2Р(с1~ I)/с1,
где К , /л - модули сжатия и сдвига соответственно. Возникающий в гамильтониане эффективный параметр взаимодействия ио = «о — дЦ(2Х) за счет влияния стрикционных эффектов, определяемых параметром до, может принимать не только положительные, но и отрицательные значения. В результате данный гамильтониан описывает фазовые переходы как первого, так и второго рода. При г>о = 0 в системе реализуется трикритическое поведение. В свою очередь, эффективное взаимодействие в (7), определяемое разностью параметров — и>при давлениях Р > Р{ = ¡1 может вызывать в системе фазовый переход второго рода, а при давлениях ниже Р( - фазовый переход первого рода. Предсказываемое моделью довольно высокое значение три-критического давления Pt, задаваемое модулем сдвига (1, есть результат пренебрежения вкладом ангармонических слагаемых и слагаемых более высокого порядка по флуктуациям параметра порядка и стрикционному взаимодействию, которые хотя и несущественны в ренормгрушю-вом смысле для описания критических свойств, но могут вызывать существенное изменение величины трикритического давления [2]. Из данного вида эффективного гамильтониана следует возможность осуществления критической точки более высокого порядка, в которой пересекаются трикритические кривые, при одновременном выполнении условий г?о = 0, го = гио [2]. Следует отметить, что при трикритическом условии 20 — ги0 гамильтониан модели (7) изоморфен гамильтониану неупорядоченной модели Изинга.
В рамках теоретико-нолевого подхода асимптотическое критическое поведение и структура фазовых диаграмм во флуктуационной области определяется ренорм-групповым уравнением Каллана-Симанчика для вершинных частей неприводимых функций Грина. Для вычисления /?- и 7-функций как функций, входящих в уравнение Каллана-Симанчика перенормированных
/
^ {Яг} %
Трикритичеекое поведение неоднородных сжимаемых систем
19
г.ершин взаимодействия и, <5, у, д^0"1 или более удобных для определения критического и три-критического поведения модели комплексных вершин -г = д1 [А, го = д^2/Хо, V ~ [и — г/2), мы применили стандартный метод, основанный на диаграммной технике Фейнмана и процедуре перенормировки [3]. В результате в рамках двух-петлевого приближения были получены следующие выражения для /?-функций:
Д, = ~у(1 - 36г> 4- 24£ + 547.555556г)2 +219.259259^ - 736.11 ШЫ). Рг = -,5(1 - 24у + 16(5 + 363.555556н2 -355.555556^4- 112.592593^). & = -г{\- 24г1 + 86- 2г + 163.555550^2 (В) -99.555556^+ 27.259259<*2).
= -ш(1 - 241; + 86 - 42 -4- 2ги +163.555556г>2 - 99.5555561/* + 27.259259Л2).
Полученные выражения имеют характер асимптотических рядов относительно эффективных зарядов. Для их суммирования нами был применен метод Паде-Бореля, обобщенный на многопа раметрический случай, с использованием апрок-симантов Паде [2/1].
Фиксированные точки ренормгрушювых преобразований , 6*, г*, и;*), определяющие возможные типы критического поведения системы, находятся из требования обращения в нуль ¡3-функций:
= 0, = О,
0, =
Из совокупности решений данной системы уравнений нами были выделены фиксированные точки, соответствующие двум типам три-критического поведения однородной системы [у* = 0.044353, = 0, г* = = 0.089187), (у* =0,6* = 0, г" = 0.5, иЛ = 0) и критическая точка четвертого порядка (г?* = 0, 6* = 0; г* — т* = 0.5), в которой пересекаются две трикритические линии, задаваемые условиями ь*[Р}д) = 0 и г* = ги* при давлении, равном трикритическому Рь{я) - Исследования показали, что фиксированные точки для однородных систем являются неустойчивыми относительно возмущений, создаваемых присутствием примесей. При этом для неупорядоченных сжимаемых систем реализуется критическое поведение, определяемое фиксированной точкой
= 0.066205, 6* = 0.034478, г* = 0.020432, ю* — 0, и только один тип трикритического поведения, задаваемый фиксированной точкой си* = 0.066205, = 0.034478, г* = ю* = 0.020432. Влияние дефектов структуры делает невозможным реализацию трикритического поведения с
у" = 0 и критической точки четвертого порядка с V* = 0 и 2* ~ ш* в области физических (положительных) значений примесной вершины 6.
Значения критических и трикритических индексов для однородной и неупорядоченной систем могут быть получены на, основе вычисления 7-функций в соответствующих фиксированных точках. Так нами были получены следующие выражения для индекса и, характеризующего рост радиуса коррелляции в окрестности трикритиче-ской точки (Яс ~ \Т — 2с|~1'),
и = + 61/ + - 26* - чи* - 4.888889и*2
1-16.888889^5^ - 2.8148Ш*2, (9)
и индекса г/, описывающего поведение пространственной коррелляционной функции для флук-туациЙ параметра порядка вдоль критической линии {С(г) ~
128
т;= —(Зг;*2-ЗгЛГ + 0.5<Г2).
2/
Для суммирования данных рядов был применен метод Паде-Бореля. Значения остальных трикритических индексов могут быть получены из скейлииговых соотношений, связывающих их с индексами В результате были получены
значения трикритических индексов для однородных сжимаемых систем в трикритической точке первого типа (ь* - 0}:^(одн) = 1,т/£одн) = 0, с*{ = — 1.,}% ~ 0.5,7( — 2, и в трикритической точке второго типа {г* = и/"): ^(одн) = 0.63,г/[ОАн) -0.03, аь = 0.10, # ~ 0.32,^ = 1.25. Для неупорядоченных сжимаемых систем критические индексы имеют значения: ¿Лпр) — 0.70, = 0.03, а = -0.08,0 = 0.36,7 = 137. Трикритические индексы для сжимаемых систем равны: ^(пр) = 0.68, г)^'^ = 0.03, сц ~ -0.03, Д = 0.35, -у* = 1-33.
Проведенные исследования показали существенность влияния дефектов структуры на критическое и трикритичеекое поведение сжимаемых систем, проявляющееся ие только в изменении значений критических индексов, но и в сокращении типов различного мультикритиче-ского поведения но сравнению с однородными сжимаемыми системами. Мы надеемся, что выявленные эффекты найдут подтверждение в экспериментальных исследованиях.
[1] JTapnun A.M., IJukuh C.A. >K3T®. 1969. T.56. C.1664.
[2] y./mry.Phys.Rev.Let.t., 1974. V.33. P.1304.
[3] J. Zinn-Justin. Quantum field theory and critical phenomena, Clarendon Press, Oxford, 1989.
