CC BY
8ВЕСТН ИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014 Серия: Физика Вып. 2-3 (27-28)
УДК 532.783, 539,22
Трикритические явления в слое ферронематика с мягким сцеплением на границах
A. 11. îax.icBHbix. Д. А. Петров
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул., Бу гарева. 15 email: au/.ivpsu ru petrovdaiSibkru
Изучен характер ориентационных переходов в слое ферронематического жидкого кристалла с мягким сцеплением директора с границами. По гаи но. что переходы между неоднородным и однородным состояниями моп г происходить по типу фазовых переходов первого или второго рода в зависимости от параметра сегрегации дисперсной магнитной фазы.
Ключевые слова: ферронематик; магнитная суспензия; мягкое сцепление; ориентационные переходы
1. Введение
Жидкие кристаллы (ЖК) обычно используют в ячейках конечной толщины. В контакте с чужеродной средой (например, с ограничивающей поверхностью) ЖК проявляют анизотропию поверхностного натяжения, которую принято характеризовать направлением легкого ориентирования и энергией сцепления. В зависимости от величины и симметрии анизотропной части поверхностного натяжения (энергии сцепления) на границе с твердым телом ячейки жидких кристаллов можно разделить на два класса: «ориентационно жесткие», где локальные направления ориентации директора и легкой оси ориентирования совпадают, и «ориентационно мягкие», где допустимы значительные отклонения директора ЖК от оси легкого ориентирования на поверхности. Эти классы отличаются особенностями отклика на внешние воздействия, а также типом основного состояния, устанавливающегося в ЖК в отсутствие внешних полей.
Электро- и магнитооптические свойства жидкокристаллических ячеек зависят как от материальных параметров, так и от параметров ячейки (толщина слоя, направление директора на поверхности, поверхностная энергия сцепления), Наиболее важная в приложениях характеристика - пороговое значение ноля перехода между различными ЖК фазами. С целью снижения его значения требуется исследование зависимости порогового поля от толщины ячейки, энергии поверхностного сцепления и материальных параметров. Кроме того, особый интерес представляет возможность ориектационных переходов первого родаг так как в
этом случае ЖК-ячейка обнаруживает бистабиль-ное поведете, важное для практических приложении.
Большинство теоретических работ, посвященных исследованию влияния энергии сцепления на ориентационные свойства и фазовые переходы в жидких кристаллах, выполнены для нематических ЖК [1 9|. В работах [6-9] для чистого ЖК было показано, что для модифицированного потенциала Рапини, допускающего бистабилыюе поведение, переход Фредерикса и переход из неоднородного состояния б фазу насыщения может быть первого или второго рода. Теоретические исследования влияния энергии сцепления с ограничивающей поверхностью для магнитных суспензий на остове ЖК только начинаются, в частности, в работах [10 13] изучено влияние модифицированного потенциала Рапини на индуцированные внешними полями ориентационные переходы в ячейках фер-ронематиков (ФН) - магнитных суспензий на основе нематических ЖК 114] с мягким сцеплением молекул с опорными пластинами, В настоящей работе , используя обычный потенциал Рапини [1], мы покажем, что характер ориентационных пере-чодов вызванных совместным влиянием электрического и магнитного полей [15], т. е. перехода Фредерикса и перехода в состояние насыщения, зависит от интенсивности сегрегации магнитной примеси,
2. Уравнения ориентанионною и магнитного равновесия
Рассмотрим слой ФН толщиной /,, ограниченный двумя плоско параллельными пластинами
О За.хлевных А. Н., Петров Д. А., 2014
(рис. 1), Ось х прямоугольной системы координат направим вдоль ограничивающих плоскостей, а ось z - перпендикулярно им. Начало отсчета поместим в середину слоя. Будем полагать, что директор м мягко и планарио связан с границами слоя (ось легкого ориентирования иа поверхности слоя п0 параллельна оси х) и имеет мягкое гомео-тропное сцепление с поверхностью магнитных частиц, т, е. в отсутствие внешних полей направление магнитных моментов частиц совпадает с осью z. Направим электрическое £ = (0,0, £) и магнитное Ж = (О, О, W) поля вдоль оси z, Целью работы является определение влияния мягкого сцепления директора с границами слоя на характер переходов меж 1> сосуществующими ориентационными фазами ФН в электрическом и магнитном полях. В случае жесткого сцепления ЖК-матрицы и ограничивающих поверхностен эта задача решена в работах [16, 17], Для мягкого сцепления в работе |15| исследованы возможные ориентационные фазы и получены пороговые поля ориентапионных переходов.
Щ
L /
2
У///////////Л
Ж
т
п
2 '////////////А
/
п
о
Рис. 1, Ориентация &юя ФН в электрическом £ и .магнитном JC полях
Известно, что состоянию термодинамического равновесия ФН отвечает минимум свободной энергии
,T=J FYdV + <j> F.xlS.
(1)
Здесь объемная плотность свободной энергии ФН в электрическом и магнитном нолях имеет вид [17,18]:
квТ
F* = —f 1п/.
v
W„
•f(n ■ m)\
Здесь К1: К2 и К. - модули ориентационной упругости НЖК; /а > 0 анизотропия диамагнитной восприимчивости НЖК; М, намагниченность насыщения материала магнитных частиц еа > 0 -анизотропия диэлектрической проницаемости ЖК; f{z) локальная объемная плотность магнитных частиц в суспензии; п - директор ЖК; т - единичный вектор намагниченности суспензии; V -объем магнитной частицы (I - диаметр магнитной частицы; к8 - постоянная Больцмана; Т - температура; УУр - плотность энергии сцепления молекул НЖК с поверхностью магнитных частиц.
Взаимодействие ЖК-матрицы с границами слоя учитывается с помощью поверхностной плотности свободной энергии Fs [ I]
w-
W+ ~2~
(п х щ)2 + («+ х щ)2,
(3)
где У\7+ и У\7~ - энергии сцепления НЖК с нижней и верхней границами слоя, соответственно, п0 -единичный вектор оси легкого ориентирования; п~ = п|г=1/2 - директор на верхней границе слоя. п = - директор на нижней границе.
(>г\!С1им. что объемная доля магнитной примеси должна быть мала (/ « 1), чтобы можно было не учитывать межчастнчные магнитные диполь-днполъные взаимодействия, но достаточна для создания коллективного поведения с\-спензии [14, 18].
Под действием электрического и магнитного полей в ФН возникают искажения ориентационной и магнитной структур, которые могут быть записаны в следующем виде:
п = (cos (p(z), 0, sin <p(z)), m = (— sin ip(z), 0, cos 5/>(z)).
(4)
После подстановки выражений (4) и обезразмери-вания свободная энергия (1) примет вид
Т
-1/2
d(p\j
:(Н2 +£2)sm2<P
ЬдН cos ф + я ging + ад siir (<Р — ф) ]dz +
(5)
1.1. + sin2<р s'n2'
Fv = Fi + F2 + F} + F4 + Fs + F6, (2) Здесь f = TU(K^S), где S - площадь ограничива-
= \\K,W-nY + Кny + К,,(п х V х n)2],
F-z = ~^Xa(n ■ Ю2, F, = -MJm • Ж,
ющих слои пластин, <р- ~~ углы отклонения директора от оси легкого ориентирования на верхней (+) и нижней ( ) границах слоя, соответственно, и введены обозначения
g(z) = /00//,
(6)
К(<р) — cos2 <р + ksin2 (р.
(7)
Здесь / = Nv/V - средняя объемная доля дисперсной фазы ФН (N - число частиц в системе, V -объем одной частицы, V объем образца).
В выражении (5) выбраны следующие единицы измерения. В качестве единицы длины толщина слоя I, так что х = г/1 является безразмерной координатой (в дальнейшем знак тильда будем опускать) и введены безразмерные параметры
H=JÍL
У
ТГ-, E = £L
M,fL _ кдТ fhz
М' !<lV
WpjLz
0)~
К/
W'-~L
(3)
нительным условием постоянства числа частиц в суспензии $ [(IV = Nv приводит к следующей системе уравнений орнентациоиного и магаитиого равновесия ФН [15]:
" 1 ((р'У2 + Е2)пт2<р
В качестве единицы измерения напряженности магнитного поля И выбрана величина 'Кц да
К1/Ха> которая может быть получена из батана) вкладов (потенциал Озеена-Франка) и Р2 в свободною энергию (1) и характеризует поле магнитного перехода Фредерикса в беспримесном нематике. При К > искажения ноля директора в ФН вызываются преимущественно диамагнитным механизмом влияния магнитного поля. Кроме этою, искажения ориентационной структуры ЖК-матрицы могут быть вызваны примесными частицами п по аналогии с полем 'Л'д можно ввести величину 'К,1 да Кх!{Мь• /X2). определяемую из баланса вкладов и Ел, Если Н ё 'Мс,, искажения поля д!фектора в ФН вызываются преимущественно ферромагнитным механизмом влияния магнитного поля. Таким образом, можно ввести параметр Ь = 3{ч['}{<1 [19], показывающий, какой из ориентацпонных механизмов преобладает в ФН: при Ь > 1 СКЦ > Ка) искажения структуры ФН вызываются диполъным механизмом, а при Ь < 1 (Нц < На) квадрупольным. В качестве единицы напряженности электрического поля Е выберем величину £ = /г1 характери-
зующую поле перехода Фредерикса в чистом нематике, когорое может быть найдено из баланса слагаемых и Р6 в плотности свободной энергии (1), Также мы определили параметр сегрегации к. отвечающий за интенсивность концентрационного расслоения дисперсной фазы. При 1 сегрегационные эффекты являются существенными, Кроме того, здесь введены безразмерная энергия сцепления директора с магнитными частицами а и энергия сцепления директора с верхней и нижней границами слоя Параметр к представляет собой отношение упругих моду лей.
Минимизация свободной энергии (5) по углам ориентации директора <р('/.). намагниченности ф(г) и объемной доле феррочасшц д(г) с допол-
+ 2 d<p - '2 -адат2((р-ф) = 0, (9)
ЬН sin ф - ff sin 2{<р - ф) = 0. (10)
(ЬН <7 ) g^Qexpj—cosi/j--sin {q>—Tjj)h (11)
l. X X }
■i/2
Г (ЬН а ,, ")
Q 1 = J ехр |— cos ф — si ir (<р - ф) ^ dz.
■■■Л,¡2
Эта система уравнений должна быть дополнена граничными условиями, которые получаются из условии минимума поверхностной части полной свободной энергии (1):
dFY dFs
dip д<р
г=±:1 ¡2
где знаки и отвечают верхней и нижней границам слоя соответственно После подстановки (2) и (3) и обезразмеривания эти условия принимают вид
Х(<р+)
К(<р~)
d<p dz d<p dz
г/2
+ ~<o+sm2<p'1
-ш sin2<p
0, (12) 0. (13)
Здесь введено обозначение <р* = <р|г=+1/2 лтя углов ориентации директора на верхней (+) и нижней (.....) границах слоя.
Для типичных значений материальных параметров НЖК и магнитных частиц [14, 16, 18. 20]: Ха = 1.7 х 10""7, Кг = 6.4 х 10~7 дин, К-л = 1.0 х 10'"в дин, Т = 298 К, УУ* = 10~3 - IV 2
см™\ И4-10-2дин-см-2, /-Ю Мх
4.0x10-6 см.
4.0 х Ю-17 см3
дин '
И)2 Гс
L =
25 мкм оценка безразмерных величин (8) дает и да 10 к * 1 а « 10 - 1 Ь да 10 й)± да 1 - 10. Малость параметра к свидетельегвует о том, что сегрегационный эф(}юкт с\шссгвенен
3. Пороговые поля
Система уравнений (9) (11) с граничными условиями (12) и (13) допускает два однородных решения: <р(г) = ф(г) = 0 и. (р(г) = ж/2, ф(;/.) = 0 Первому из них отвечает фаза с гомеотропным (п 1 ш) сцеплением магнитных частиц с ЖК-матрицей [21]. В ней директор направлен вдоль оси легкого ориентирования (п — п0), т, е. пла-нарно ориентирован на границах слоя, а намагнп-
ченность вдоль внешних полей. Второе однородное решение отвечает ила парной) (п [| m) сцепленшо частиц с матрицей, В ней директор и намагниченность ориентированы в направлении внешних полей. Такое состояние называют состоянием насыщения (21 ], В этом состоянии, однако, директор ортогонален границам слоя (гомеотроп-ное (и 1 и0) сцепление директора с границами слоя),
Исходная фаза (р(;г~) = ф{х) = 0 является устойчивой, пока магнитное или электрическое поля не превысят некоторых пороговых значений HF и Ер,, соответственно, выше которых происходит переход Фредерикса в неоднородную фазу. В этой фазе угол мсясп директором и намагниченностью становится отличным от п/2 : она полу чила название угловой фазы |21|, Вблизи пороговых полей отклонения директора от оси легкого ориентирования и намагниченности от направления электрического и магнитного полей малы, поэтому вблизи И/> и EF систему (9)-( 11 ) можно разложить в степенной ряд по малым <p(z) « 1, ~ф(г) « 1, В этом случае уравнение для угла ориентации директора примет вид
<р" + Хг<р = О,
где
Ер- + H ?
2abHp
(14)
(15)
2а + ЬНр
Это уравнение должно быть дополнено линеари зованными граничными условиями (12) и (13)
dq>
dz
dq> dz
z=-i/2
z=~~l/2
+ ù)+<p = 0,
■ ù) <fi
и условием
d<p dz
0,
(16)
(17),
(18)
çp(z) = (p'p cos A(z-zp),
(19)
в котором параметр A, определенный формулой (15), удовлетворяег уравнению
tgÀ
Я (&> "" + (о* ) Я2 — <х>~(о+ '
(20)
Это уравнение позволяет найти пороговые поля перехода Фредерикса. В слу чае одинаковых энер-
гии сцепления директора с границами слоя (со = ш* — ш) уравнение (20) принимает вид
А
w = A tg-.
(21)
Для нахождения полей переходов и £<,- из неоднородной угловой фазы в состояние насыщения <р(г} — 7г/2. ф(г} = 0 систему уравнений равновесия (9)-(11) и граничные условия (12) и (13) нужно разложить в степенной ряд по малым величинам (р{£) =» тг/2 - ф(?.) « 1, где 8<р « 1г так как вблизи перехода в состояние насыщения отклонения директора и намагниченности от направления элекгрического и магнитного полей малы. Тогда получим
d2S<p
dz2
где введено обозначение 1
Аг8<р = О,
Л2 = + H'i +
2ahHc
1er - bHs.
Граничные условия (12), (13) принимают вид й(6ф)
dz d{ô<p)
■ <а+5(р = О,
(22)
(23)
(24)
z=+ 1/2
dz
+ a>S<p- = 0. (25)
z=-l/2
Вместе с условием максимального отклонения директора от направления электрического и магнитного полей
d{Sq>)
dz
О,
г = "у
позволяющим наши максимальное отклонение директора от оси легкого ориентирования (р'Р — <р(г'р). которое при разных значениях энергий сцепления ЖК-матрицы с границами слоя (ш~ Ф со') смещается из середины слоя (г = 0) в точку
Уравнение (14) вместе с граничными условиями имеет решение
система (22)—(25) имеет нетривиальное решение
6<р(г) = <р*5 сЬ Л (г — , (26)
где <р$ = 8<р(г$)- Условие его существования позволяет найти выражения для пороговых полей Иу и Ец переходов менаду неоднородной угловой фазой и состоянием насыщения ФН
thA
A/t'((i) + Ш*)
A2/f2 + <o+ar'
(27)
Для одинаковых энергий сцепления на границах выражение (27) примет вид
а)
Л
^ Лк th-
2
(23)
Подробный анализ зависимостей полей переходов от материальных параметров ФН выполнен в работе 1151,
4. Характер ориентационных переходов
Исследуем далее характер переходов Фредерикса и переходов в состояние насыщения, ннду-
цироваиных магнитным и электрическим полями. Ограничимся случаем одинаковых энергий сцепления директора с границами слоя (о.) = ш' = «О Из-за симметричных граничных условий при переходе Фредерикса и при переходе в состояние насыщения значения х'р и Яу совпадают с серединой слоя,
4.1. Магнитный переход Фредерикса
Вначале рассмотрим переход Фредерикса, индуцированный внешним магнитным полем при постоянном электрическом. Как было сказано выше, ориентационные искажения вблизи точки перехода Нр малы, поэтому функционал свободной энергии ФН (5) может быть представлен в виде ряда по малым <р (д) « 1 и ф(х) « 1, где угол отклонения директора от оси легкого ориентирования <р (г) задает ся выражением (19) и связан с углом ориентации намагниченности ф(х) с помощью линеаризованного уравнения(10)
= (29)
После интегрирования по координате г в четвертом порядке разложения по <р*р свободная энергия ФН принимает вид разложения Ландау
Т = - Н)(<р;)2
-ЬН,
1
а» = -т(2НР - b(sp)¿)(Á + eos(2Azî) sin А),
21
1 fp¿ + AÀz(k - 1 ) , pg ,
— ■!----1- — cos(2/iZf;) si
A x { 4
p£ - 12Д'Ч* -1)
ЗА
sin A +
24Л
cos(4Az¿) sin 2/. + - Тр [ x
x (* - x¡¡). (30)
Здесь введены обозначения
= 4/2 + ЗЬН,,(з^У''(2 - s£)2,
xï,
-ш ^™cos(4Azp)cos2A +
+ cos(2Xz*f) eos A 4- —j, [3(sp)2b2H$ (A eos(4Az^) sin 2A +2A'¿
В предельном случае абсолютно жесткого сцепления директора с границами слоя коэффициенты разложения (30) совпадают с полученными ранее вработе [17|,
После минимизации разложения свободной энергии (30) по <р'Р получим выражение для угла ориентации директора
<PF
(32)
где
, 1 + 4А'Ч/с - 1)
уП = _ !----^ _ со${2/. х'Р) ЙШ А +
4х( 4 ЗА
ре — 12Хг(к — 1) , 3
4- —-:-С05 (4121)511121 4- -гМ > 0.
24А 3 }
Из выражения (32) видно, что характер перехода Фредерикса зависит от значений параметра сегрегации к и знака коэффициента разложения Здесь величина Хр представляет собой значение параметра сегрегации, отвечающее трикритиче-ской точке. Определим условие смены знака коэффициента
На рис, 2 представлена бифуркационная диаграмма электрического и магнитного полей перехода Фредерикса для абсолютно жесткого (ш = со) и мягкого сцеплений директора с границами слоя, построенная по формулам (15) и (21). Из рисунка видно, что при жестком сцеплении директора с границами слоя переход Фредерикса происходит в больших полях по сравнению с мягким сцеплением.
Й=оО
-4cos2(2A4) sin2 A)j х [бА2 (р£ 4- 4А2(/< - 1)) +
+8ррЯ eos(2AZp) sin А 4- 64А2Тр +
+Л (¡г; - Ш2(к - 1)) cos(4Azi) sin 2Я]_1. (31)
Роль параметра порядка при переходе m раст величина sin (рр да <p'F.
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма ориен-тационных фаз ФН электрического Е(, и магнитного HF полей перехода Фредерикса для h = 10, а = 0,5, ш = 0,5 и ш = HP = 0.30, Ер = 0.96, Е™ = 1.26
Внутренняя область, находящаяся под кривой, отведет исходной однородной фа ю с гомеотропным характером сцепления частиц с матрицей, а внешняя область соответствует неоднородной угловой фазе либо фазе насыщения |15|, Из рнс. 2 видно, что для заданной напряженности электрического поля Ер <Е < Ер' (т. е. в области, ограниченной сверху и снизу пунктирными линиями) существуют два пороговых значения напряженности магнитного поля Ир, Первое из них определяет переход из неоднородного состояния (угловая фаза) в однородную гомеотропную фазу, а второе соответствует переходу из однородного состояния в неоднородную угловую фазу. т.е. в указанном диапазоне электрических полей в ФН возможны индуцированные магнитным полем возвратные переходы угловая фаза - гомеотропная фаза - угловая фаза. Здесь значение Ер отвечает электрическому переходу Фредерикса в отсутствие магнитного поля, а Ерх - минимальное значение электрического поля, выше которого переход в гомеотропную фазу невозможен при любом значении магнитного поля. Значение И™ отвечает максимуму бифуркационной кривой,
В работе |15| показано, что с ростом энергии сцепления ш директора с границами слоя происходит уменьшение ширины области, где возможны возвратные ориентационные переходы.
Анализ выражения (30) для йр показал, что а'р < 0 слева от штрихпунктирной линии (см, рис 2, Н < и ар > 0 справа от нее (И > Hßl), в точке максимума бифуркационной кривой (Нр\Ерх) коэффициент ар обращается в нуль. В электрических полях Е < Ер возвратных ориента-ционных переходов нет, и с ростом магнитного поля происходит переход Фредерикса из гомео-тропной фазы в неоднородное состояние. В этом случае коэффициент знакоопределен и является положительным, поэтому поведение утла ориентации директора вблизи точки перехода описывается выражением (32), из которого видно, что при х > Яр ориентационный переход является переходом второго рода, а для х < к?.....первого рода.
Ситуация меняется, когда электрическое поле принимает значения, лежащие в диапазоне E¡, < Е < Ерг. В этом случае даже в отсутствие магнитного поля из-за положительной анизотропии диэлектрической проницаемости ФН находится в неоднородном состоянии. С ростом магнитного поля происходит переход в гомеотропную фазу из-за гомеотропного сцепления директора и магнитных частиц, которые стремятся ориентироваться в направлении магнитного поля. В этом случае коэффициент ар < 0, а выражение для угла ориентации директора (32) примет вид
_ J Yp(x ~ Хр) ' (33)
и возвратный ориенгационный переход из неоднородного в однородное состояние является переходом первого рода при х < кр, а при х> кр.....второго рода. При дальнейшем росте магнитного поля однородное состояние становится неустойчивым из-за положительных значений анизотропии диамагнитной восприимчивости и диэлектрической проницаемости и директор начинает ориентироваться в направлении магнитного и электрического полей, т.е. происходит переход Фредерикса. В этом случае ар > 0, поэтому согласно (32) при к > кр ориентационный переход является переходом второго рода, а для и < кр - первого рода.
4.2. Мапштньш переход в состояние насыщения
Рассмотрим теперь магнитный переход ФН из неоднородного состояния в фазу магнитного насыщения. На рис. .3 показана построенная по формулам (23) и (28) диаграмма полей насыщения Es и Hs для мягкого сцепления директора с границами слоя (oj = 0,5), Заметим, что при абсолютно жестком сцеплении (о; = со) переход в состояние насыщения в конечных полях недостижим. Как видно из рис. 3, любому значению электрического поля Е отвечает лишь одно значение магнитного поля насыщения HSt поэтому возвратные ориентационные переходы между неоднородным состоянием и фазой насыщения, в отличие от перехода Фредерикса (рис. 2), невозможны. Отметим, что на фазовой диаграмме (рнс. 3) имеется минимальное значение магнитного поля Н§, ниже которого не происходит перехода между неоднородным состоянием и фазой насыщения. Подробное объяснение этого эффекта дано в работе 1151,
Рис. 3, Бифуркационная диаграмма ориен-тационных фаз ФН электрического Е$ и магнитного Hs полей насыщения для b = 10, а = 0.5, ш = 0.5, к = 1.5, Hg = 0.1
Во ш ш точки перехода Нх директор и намагниченность слабо отклонены от направления электрического и магнитного полей (р{х) = гг/2 -8(р(х), где 8(р(х) определено выражением (26), а угол ориентации намагниченности связан с утлом отклонения директора от направления полей соотношением
2ст
Ф(Ю = s|
ЬН5 -2а
Учитывая; что <р$ « 1 и « 1. получим выражение для свободной энергии (5) в виде разложения Ландау
$ = -НХ<РзУ
fS
1
4 1
а$
№
■ ЬН + ш--Е2 --Н2,
= - i+ —.....) (Д + cli(2A%0 sh A),
1 ÍP.? + 4A2(fc-l) , р.?
---— ch(2Azs) sh A 4-
p£ - l2Á¿(k -1) 8
-I---cli(4Azí) sh 2Л + —?
24Л 3
x (*-*£). (34)
Здесь введены обозначения
pl = —А К2 к + 3bHs(4)z(2 4- 4Уг,
т| = ш ^ch(4/\Zv) ch 2A + c!i(2A%) ch A +
x!l = [3(s^y¿b2H¿ (Л ch(4AZj) sh 2Л +2A2 -
-4ch2(2Az¿)sh2 A)j x [бА2 (pj? 4- 4A2(/< - 1)) +
+Qp<¡A ch(2Az¿) shA 4- 64Л2т| +
+Л (pl - 12 Л2 (к - 1)) ch (4Azs )sh2A] \ (35)
Роль параметра порядка при переходе в состояние насыщения играет sin <pl да <p"s.
Выражение для максимального угла отклонения директора от направления магнитного и электрического полей получается путем минимизации свободной энергии (34) по (p's:
<Ps = ±
«У
№ - Ю
(36)
где
Ys
1 fp| + 4А2(& — 1) . р£
4х[
р£ - 12Л2 (к - 1) 24Л
4-^-ch(2Azí) shA 4-ЗА
8 .i
ch(4Az|) sh 2А 4- — т'- [ > О,
Для рассматриваемого перехода коэффициент разложения с?'1 знакоопределен и является отрицательным, поэтому из выражения (36) видно, что
при я > переход из неоднородной фазы в фазу насыщения является переходом второю рода, а при к < - первого рода. Здесь - значение параметра сегрегации, отвечающее трикритиче-ской точке.
4.3. Электрический переход Фредернкса
Перейдем к рассмотрению электрического перехода Фредерика) в постоянном магнитном поле. Вблизи точки перехода Е,, искажения ориенгаци-онной и магнитной структуры малы <р(?) « 1 и ф(г) « 1, где <р(г) задастся выражением (19), которое с помощью линеаризованного уравнения связи (10) позволяет определить угол ориентации намагниченности ф(х)
2 ст
В четвертом порядке ра '.ложе ни я по <р'р получим выражение для свободной энергии в виде разложения Ландау
Т = П «;;(£> - ЕШУ +
П
-ьн,
JL
4 я
EF
а$ = (А 4- cos(2Azp) sin А),
А
¡Рр + 4A2 (fe — 1) , pl .
----h —~cos(2AzF) sin A 4-
4 ЗА
p$ ~-12Xz(k- 1) 24A
cos(4Azp) sin 2A 4- —тf, | x
x (к - H$y (37)
Здесь введены обозначения
Pf
4A2 +3bH($p)¿(2 —Sp)¿,
Tp
-iú
X%
^~cos(4AZp)cos2A +
+ cos(2Az.p) eos A 4--j,
[3(5|)2¿2H2(Acos(4AZp) sin 2A 4-2A2 -
—4cos2(2Az|.) sin2 A)] x [óA2(p| 4- 4X¿(k - 1)) 4-
+8pf,Á eos (2 Я z,') sin A 4- 64A2t| +
+A(pf, - 12A2(k - 1)) cos(4Az¿) sin 2A]~\ (38)
Выражения (37) для коэффициентов разложения совпадают в предельном случае абсолютно жесткого сцепления директора с границами слоя с результатами работы 1171,
Минимизируя свободную энергию (37) по <рр, полу чим выражение для утла ориентации директора в середине слоя
<PF = ±
- ЕР)
Ч
г,? (х-4)'
(39)
где
1 {pcF + U2(k-l) рр у, = ^ j--5-+ и cos(2Azp) sin Я +
pp-12X¿(k-1) „ 8 )
+ --—-cos(4Az¿) sin 2A + — [ > 0.
24А 3 j
Здесь - трикритическое значение параметра сегрегации, Из бифуркационной диаграммы, представленной на рнс, 2, видно, что электрическое пороговое поле Ер является однозначной функцией магнитного ноля перехода Фредерикса HF, т.е. возвратных переходов с изменением электрического поля в заданном магнитном не происходит, также как и в случае абсолютно жесткого сцепления директора с границами слоя [17]. Из выражения (39) следует, что при к < Нр ориентационный переход из гомеотропной фазы в неоднородное состояние происходит по типу фазового перехода первого рода, а при к > Яр - второго рода,
4.4. Электрический переход в состояние насыщении
Рассмотрим переход ФН между неоднородной фазой и фазой насыщения, индуцированный электрическим полем в заданном магнитном поле. Так как распределения директора и намагниченности вблизи точки перехода Es слабо отличаются от однородных ( фаза насыщения), то для утла отклонения директора от оси легкого ориентирования можно записать (p(z) = n/2 - 8<p(z), где S<p(z) определяется выражением (26), а связь угла ориентации директора и намагниченности дается уравнением
ф(г) = s§ô<p(z), $$
..h
2а
bHs - 2а'
ívf = а-ЬН + -^И2,
1 , 1 ,
— F2--
2 2'
Es
= - -i (A + ch(2Az|) shA),
«« 1 fpí+i^Cfc-l) p|
4 ch(2AZ5)shA +
p§-l2Á¿(k-l) 8 }
+ t±-^--ch(4A^.) sh 2Л + —t| } x
24Л 3
x(*-*|). (40)
Здесь введены обозначения
pi = -4Л2k + ЗЬН(s'0¿ (2 + s|')2.
2a
/1 3\
г| = и) ^ - сЬ (4А^) сЬ 2Л + сЬ(2сЬ Л + - ],
х§ = [3(4)2Ь2И2 (Л сЬ(4А%) 2Л +2А'' --4 сЬ/(2Лг|) 5И2 А)] х [бА2 (р| + 4А2 (к - 1)) + +8р|ЛсЬ(2Лг^) яЬ Л + 64А2т| +
+А(р| - 12Л2(к-1))с\-\^;.)%Ъ2Л]~\ (41)
Минимизация свободной энергии (40) по даег выражение для максимального угла отклонения директора от направления электрического поля в середине слоя
(p¡ = ±
m - Е) у/О-*!) '
(42)
где
, 1 fpj? + 4ЛЧ/< -1) , р! „ . . ,
i/| = —- i...................................;...................................+ — cIi(2Az<-) shA +
4к( 4 ЗА
то в четвертом порядке но <рх выражение для свободной энергии (5) примет вид разложения Ландау
f = п - ЮШ2 + \ß!(<Pir,
ЬИ - 2а
р| - 12Аг(£ - 1) 8 }
+ ---сЬ(4Лф яЬ 2Л + -тП > О,
а значения коэффициента разложения являются отрицательными. Таким образом, из формулы (42) видно, что при к > хр имеет место переход второго рода, а при х < ир - первого рода. Здесь н§ -значение параметра сегрегации, отвечающее трикритической точке.
5. Заключение
В работе в рамках континуальной теории изучены пороговые изменения ориентационной и магнитной структуры ФН. индуцированные внешними магнитным и электрическим полями с учетом мягкого сцепления ЖК-матрицы с границами слоя. Внимание уделено определению характера переходов: однородная гомеотропная фаза - угловая неоднородная фаза и однородная фаза насыщения - угловая неоднородная фаза. Выяснено, что индуцированные магнитным и электрическим полями переходы из однородного в неоднородное состояния могут быть переходами первого или второго рода в зависимости от значений параметра сегрегации магнитной примеси. Аналитически найдены параметры сегрегации, отвечающие трикритическим точкам,
Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследовании ( грант № 13-02-96001).
Список литературы
1, Rapini A., Papoular M Distorsion d'une lamelle nematique sous champ magnétique conditions d'ancrage aux parois // Journal de Pliysic Colloques. 1969. Vol. 30. P. C4-54.
2. Blinov L. М. Structure and properties of liquid crystals. Dordrecht: Springer, 2011. 440 p.
3. Zhao IV, II и С.-Х., Iwamoto M, Analysis of weak-anchoring effect in nematic liquid crystals // Physical ReviewE. 2010, Vol. 62. P. 14814484.
4. Napoti G. Weak anchoring effects in electrically driven Freedericksz transitions // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006, Vol. 39, P, 11-31,
5. RumoeJL M. Ксщ E. И., СонинА. А. Физика поверхности гермотропных жидких кристаллов // Успехи физических наук. 1987, Т. 152. вып. 3, С. 449.....477.
6. Yang G., Shi J., Liang Y. Surface anchoring energy and the first order Freedericksz transition of a NLC cell // Liquid Crystals, 2000. Vol, 27. P. 875-882.
7. Yang G., Zhang S. The firsl order Freedericksz transition at saturation point for weak anchoring NLC cells // Liquid Crystals. 2002. Vol. 29. p. 641-646.
8. Yang G., Guan 11, ifuai J. Multiple discrete energy levels and the bistable state of weak anchoring NLC cells // Liquid Crystals. 2003. Vol. 30. P. 1225-1233.
9. Zhang $., An >!., Guan R., Yang G, The bistable state of a twisted nematic liquid cry stal cell with weak anchoring boundary // Liquid Crystals, 2006. Vol. 33. P. 227-236,
10. BenaR.-E., Petrescu E. Surface effects on magnetic Freedericksz transition in ferronematics withsoft particle anchoring // Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2003. Vol. 263. P.' 353.....359.
11. Zakhlevnykh A.N., Seme nova OR. First order ori-entational transitions in ferronematic liquid crystals // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2011. Vol. 540, P, 219-226.
12. Zakhlevnykh A.N., Semenova OR. Optical transmission factor of a ferronematic liquid crystal under magnetic field induced orientational transitions // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2012. Vol. 553. P. 220-232.
13. Захлевпых А,И., Семенова О.P. Ориентацион-ные переходы в слое ферронематика с биста-бильным сцеплением на границе // Журнал технической физики. 2012. Т. 82, вып. 2. С. 1-9.
\4.Brochard P., Gennes de P. G. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals // Journal de Physic, 1970. Vol. 31. P. 691-708.
15. Захлевпых A. II, Петров Д. А. Ориентаотонные переходы в слое ферронематика с мягким сцеплением на границах // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2014. Вып, 1(26) С. 32—42.
16 Makarov D. V.„ Zakhlevnykh А. N. Reentrant phase transitions in ferronematic liquid crystals // Molecular Crystals and Liquid Crystals 2012. Vol. 553, P. 199-210.
\1.Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Interplay between dipole and quadrupole modes of field
influence in liquid-crystalline suspensions of ferromagnetic particles // Soft Matter. 2012. Vol. 8. P. 6493-6503.
18. Bwylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. 1. Extended continuum model // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 1995. Vol. 258. P. 107-122.
19. Zakhlevnykh A. ,¥., Sosnin P. A. Ferrocliolesteri.c-ferronematic transition in an external magnetic field // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1995. Vol. 146. P. 103-110,
20. Mertelj A., Osterman N„ Lisjak D., Copic M. Magneto-optic and converse magneloelectric effects in a ferromagnetic liquid crystal // Soft Matter. 2014. Vol. 10. P. 9065-9072."
21. Zakhlevnykh A, N. Threshold magnetic fields and Freedericksz transition in a ferronematic // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2004, Vol. 269. P. 238-244.
References
1. Rapini A., Papoular M. Distorsion d'une lamelle nematique sous champ magnetique conditions d'ancrage au.x parois. Journal de Physic Colloques. 1969. vol. 30. pp. C4-54.
2. Blinov L. M. Structure and properties of liquid crystals. Dordrecht: Springer, 2011,440 p.
3. Zhao W. WuC.-X., Iwamoto M. Analysis of weak-anchoring effect in nematic liquid crvstals. Physical Review E 20.10, vol. 62, pp. 1481-1484.
4. Napoli G. Weak anchoring effects in electrically driven Freedericksz transitions, Journal of Physics A: Mathematical and General. 2006, vol. 39, pp, 11-31.
5. Blinov L. M., Kac E. 1.. Sonin A. A. Fizika pover-hnosti termotropnyh zhidkih kristallov, Uspehi fizicheskih nauk. 1987, vol. 152, pp, 449-477. (In Russian),
6. Yang (j . Shi J., Liang Y, Surface anchoring energy and the first order Freedericksz transition of a NLC cell, Liquid Crystals. 2000, vol, 27, pp. 875-882.
7. Yang G., Zhang S. The first order Freedericksz transition at saturation point for weak anchoring NIX cells. Liquid Crystals. 2002, vol. 29, pp. 641-646.
8. YangG., GuanR., Huai J. Multiple discrete energy levels and the bistable state of weak anchoring NIX cells. Liquid Crystals. 200,3, vol. ,30, pp. 1225-1233.
9. Zhang S., AnH., GuanR., YangG. The bistable state of a twisted nematic liquid crystal cell with weak anchoring boundary. Liquid Crystals. 2006, vol. 33, pp. 227-236,
10. Bena R.-E.. Petrescu E. Surface effects on magnetic Freedericksz. transition in ferronematics withsoft particle anchoring. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2003. vol. 263, pp. 353-359.
1L Zakhlevnykh A N, Seme nova О. R. First order onentational transitions in ferronematic liquid crystals, Molecular Crystal.y and Liquid Crystals.
2011, vol, 540, pp. 219-226.
12. Zakhlevnykh A. N,, Semenova O, R Optical transmission factor of a ferronematic liquid crystal under magnetic field induced orientalional transitions, Molecular Crystals and Liquid Crystals.
2012, vol. 553, pp. 220.....232,
13. Zakhlevnykh A. N,, Seme nova 0. R Onentarional transitions in a ferronematic layer with bistable anchoring at the boundary. Technical Physics. 2012, vol. 57, pp, 157-166.
14. BrochardF,, GennesdeP, G. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals. Journal de Physic. 1970, vol. 31, pp, 691-708.
15. Zakhlevnykh A N,, Peirov D, A, Onentational transitions in a ferronematic. Bulletin of Perm University. Series; Physics. 2014, no, 1(26), pp. 32 42, (In Russian)
16. Makarov D V., Zakhlevnykh A, N, Reentrant phase transitions in ferronematic liquid crystals, Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2012,
vol. 553, pp, 199 210.
17 Makarov I) V Zakhlevnykh A. N. Interplay between dipole and quadnipole modes of field influence in liquid-crystalline suspensions of ferromagnetic particles. Soft Matter. 2012, vol, 8, pp. 6493-6503.
18. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by onentational interactions on the particle surfaces, 1. Extended continuum model. Molecular Crystals and Liquid Crystals. 1995, vol. 258, pp. 107-122.
19. Zaklilevm kli A N., SosninP. A. Ferrocliolesteric-ferronematic transition in an external magnetic field. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1995, vol. 146, pp. 103-110.
20. Mertelj A., OstermanN., LisjakD., C'opic M Magneto-optic and converse magnetoelectric effects in a ferromagnetic liquid crystal. Soft Matter. 2014, vol, 10, pp. 9065-9072.
2 i. Zakhlevnykh A, N. Threshold magnetic fields and Freedericksz transition in a ferronematic. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2004, vol. 269, pp. 238.....244,
Tricritical phenomena in a ferronematic layer with soft anchoring on the boundaries
A. N. Zakhlevnykh, D. A. Petrov
Perm State University, Bukireva Si 15, 614990, Peon email: anz@psu.ru, pctrovda c/.tok ru
The character of onentational transitions in the ferronematic liquid crystal with sol) coupling of director with layer boundaries was studied, It was shown that the transition between non-uniform and uniform states may be t he phase transition of the first or the second order depending on the intensity of the segregation of dispersed magnetic phase-
Key words: ferronematic; magnetic suspension; soft coupling; orientational transitions
