ОРИЕНТАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СЛОЕ ФЕРРОНЕМАТИКА С МЯГКИМ СЦЕПЛЕНИЕМ НА ГРАНИЦАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Серия: Физика Вып. 1 (26)

УДК 532.783; 539.22

Ориентационные переходы в слое ферронематика с мягким сцеплением на границах

А. Н. Захлевных, Д. А. Петров

Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: anz@psu.ru, petrovda@bk.ru

В рамках континуальной теории изучены ориентационные переходы в плоском слое ферро-нематического жидкого кристалла, помещенного в параллельные электрическое и магнитное поля. Рассмотрен случай мягкого сцепления директора с поверхностью примесных частиц и границами слоя. Найдены выражения для пороговых полей переходов между различными ориентационными фазами суспензии. Исследовано влияние мягкого сцепления жидкого кристалла с границами слоя на возвратные ориентационные переходы.

Ключевые слова: ферронематик; магнитная суспензия; ориентационные переходы

1. Введение

Известно, что жидкие кристаллы (ЖК) имеют малую анизотропию диамагнитной восприимчивости, поэтому их переориентация во внешнем магнитном поле требует в тонких ячейках больших значений напряженностей полей. Внедрение нано-размерных анизометричных магнитных частиц в ЖК-матрицу повышает восприимчивость суспензии на 2-3 порядка даже при низких концентрациях дисперсной фазы [1]. Такая суспензия, приготовленная на основе нематического жидкого кристалла (НЖК), получила название ферронематик (ФН). Ферронематик обладают несколькими механизмами ориентационного отклика на внешнее поле в отличие от чистых ЖК. Один из них типичен для ЖК и связан с диамагнитными или диэлектрическими свойствами ЖК-матрицы (квадрупольный механизм), другой механизм обусловлен наличием магнитной примеси, частицы которой обладают магнитным моментом (дипольный механизм). Эти механизмы конкурируют между собой, т.к. воздействие поля на частицы передается матрице. Сцепление частиц с матрицей приводит к существенному изменению физических свойств композитной системы и ее чувствительности к внешним полям [1-3].

В настоящей работе исследуется влияние мягкого сцепления ЖК-матрицы с границами слоя и поверхностью феррочастиц на пороговые явления и ориентационные переходы в ФН, индуцирован-

ные внешними электрическим и магнитным полями. В зависимости от способа приготовления ФН может находиться в ненамагниченном либо в намагниченном состоянии. Примером ненамагни-ченных суспензий являются так называемые компенсированные ФН, рассмотренные в работах [46]. Они представляют собой ЖК-аналоги антиферромагнетиков, т.е. содержат равные доли частиц с противоположно направленными магнитными моментами. В настоящей работе рассматривается намагниченная суспензия, в которой в отсутствие поля магнитные моменты частиц направлены в одном направлении. Энергия поверхностного сцепления директора с границами слоя задавалась в форме потенциала Рапини [7], а учет мягкого сцепления ЖК-матрицы с феррочастицами проводился согласно работе [2].

В пределе абсолютно жесткого сцепления директора с границами слоя рассматриваемая задача решалась в работах [8, 9], где показано, что в заданном электрическом поле с ростом напряженности магнитного поля в ФН возможны возвратные ориентационные переходы: однородная фаза - неоднородная фаза - однородная фаза. Эти переходы могут быть переходами первого или второго рода в зависимости от интенсивности концентрационного перераспределения магнитной примеси (эффект сегрегации [1]). В работе [10] рассмотрен ФН с условиями мягкого сцепления директора с границами слоя в отсутствие электрического поля и без учета сегрегационных эффектов. В работе [11] для геометрии кручения исследовано влияние мо-

© Захлевных А. Н., Петров Д. А., 2014

дифицированного потенциала Рапини на ориентационные переходы, индуцированные внешним магнитным полем. Выяснено, что переход Фреде-рикса и переход в состояние насыщения, в котором директор и намагниченность ориентированы по полю, могут быть как первого, так и второго рода.

Задачей настоящей работы является изучение влияния мягкого сцепления директора с границами слоя на ориентационные переходы в ФН в параллельных электрическом и магнитном полях.

2. Уравнения равновесного состояния ферронематика

Рассмотрим плоский слой ФН толщиной Ь. Поместим начало декартовой системы координат в центр слоя, ось направим вдоль ограничивающих плоскостей в направлении оси легкого ориентирования п0, а ось г - ортогонально границам слоя (см. рис. 1). Магнитное К = ( 0 ,0 ,К) и электрическое поля направим поперек слоя вдоль оси г. Будем полагать сцепление директора п с границами слоя мягким и планарным, так что в отсутствие внешних полей директор на границах слоя параллелен п0. Сцепление директора п с феррочастицами будем полагать мягким и гомеотропным, т.е. в отсутствие внешних полей директор и намагниченность ортогональны друг другу.

матрицей возникает конкуренция между двумя ориентационными механизмами, тем самым магнитная примесь выполняет стабилизирующую роль и препятствует искажению текстуры директора. Возникающие под действием полей искажения ориентационной и магнитной структуры ФН будем изучать на основе континуальной теории.

Состоянию термодинамического равновесия отвечает минимум свободной энергии

Т = I Ру¿V + £ ( 1 )

где объемная плотность Ру свободной энергии ФН имеет вид [1-3]:

р =р +р +р +р +р + р

Р1=- [Кг (V ■п)2 +К2(п^х п)2 +

(2)

+К3(пхУхп)2 ] р2 = -\ПоХа(п-н)2, Р3 = -ц0М5Гт ■ Н,

квТ

Я, =

V

Щ

Рис. 1. Геометрия задачи

Будем полагать, что анизотропии диамагнитной восприимчивости Ха и диэлектрической проницаемости еа ЖК-матрицы положительны, в этом случае директор стремится ориентироваться в направлении магнитного и электрического полей (квадрупольный механизм ориентации). Действие магнитного поля на магнитные моменты ферроча-стиц вызывает их повороты в направлении поля (дипольный механизм ориентации), но из-за го-меотропного сцепления магнитных частиц с ЖК-

= ~2£О £а(п-£)2.

Здесь К1, К2 и К3 -константы Франка, ц0 - магнитная проницаемость вакуума, - намагниченность насыщения материала феррочастиц, - диэлектрическая проницаемость вакуума, - объемная доля магнитных частиц в суспензии, - единичный вектор намагниченности суспензии, -объем магнитной частицы, - диаметр магнитной частицы, - постоянная Больцмана, - температура, Шр - поверхностная плотность энергии сцепления ЖК-матрицы с поверхностью магнитных частиц.

Для описания поверхностной плотности свободной энергии сцепления молекул ЖК с ограничивающими поверхностями воспользуемся формулой Рапини [7]

И/- у\[+

Рз = — (п- х п0)2 + — (п+ х п0)2, (3)

где - энергии сцепления директора п+ с

верхней и п~ с нижней границами слоя, соответственно, п+ и п~ - направления директора на границах слоя. При положительных значениях и У\/~ энергия (3) имеет минимум при п^ | | п0, что отвечает планарному сцеплению директора с границами слоя; мягкое сцепление означает, что значения и конечны.

Слагаемое Р1 в выражении (2) описывает объемную плотность энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора (потенциал Озеена -Франка); вклад учитывает взаимодействие диамагнитного нематика с магнитным полем и отвечает за квадрупольный (диамагнитный) механизм воздействия поля на ФН; Р3 - объемная плотность

энергии магнитных частиц в магнитном поле (ди-польный или ферромагнитный механизм ориентации ФН); вклад Е4 учитывает энтропию смешения идеального раствора магнитных частиц в суспензии; ^ - объемная плотность энергии сцепления феррочастиц с ЖК-матрицей (для Шр > 0 минимуму этого выражения в отсутствие магнитного поля отвечает взаимная перпендикулярность директора и намагниченности (п 1 т), т.е. гомео-тропное сцепление магнитных частиц с ЖК-матрицей); учитывает взаимодействие нематика с электрическим полем. Концентрацию магнитной примеси считаем малой (/ « 1 ), что позволяет не учитывать диполь-дипольные взаимодействия, но в то же время эта концентрация превосходит некую величину, необходимую для создания так называемого коллективного поведения суспензии [2].

Для рассматриваемой геометрии (рис. 1) компоненты директора и намагниченности можно представить в следующем виде:

п = (cos cp(z), 0, sin(p(z)), т = (— sir\ip(z), 0, cos xp(z)).

(4)

После подстановки (4) в (2) и (3) выражение для полной свободной энергии ФН (1) примет вид:

Т = J ^(К, соs2 р + K3sm2 ср) (^) -

- 2 (VoXaW2 + £0£а£2) sin2 p - V0MsfW COS гр +

kBT Wp

+ — /1п/ + -f / sin2 (р - гр) V а

dV +

+

W~ 2

W

—-— s in 2 p + —- sin2 p+ ) dS. (5)

Здесь р± - углы между директором и осью х на верхней (+) и нижней (-) границах слоя, соответственно.

В качестве единицы длины возьмем толщину слоя и определим безразмерную координату г = г/Ь (в дальнейшем знак тильда будем опускать). В качестве безразмерных параметров введем

Н = KL

\

ßo Xa

К,

b = Msf L

N

ßo

ХаКl'

я = ■

Е = £L

kBT fL2 KiV

к,

LW±

а =

WpfL2 Кл d '

k =

Ks Кл

(6)

Здесь Н и Е - безразмерные напряженности магнитного и электрического полей, соответственно, [ = N у/V - средняя объемная доля дисперсной магнитной фазы ФН. Параметр Ъ определяет отно-

сительный вклад квадрупольного и дипольного механизмов влияния магнитного поля на ориента-ционную структуру ФН, т.к. представляет собой отношение двух характерных магнитных полей Ъ = / Ка. Одно из них ж Г 1 (х0х а) выбрано в качестве единицы измерения напряженности магнитного поля; оно находится из баланса энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора Р1 и диамагнитного вклада ^ в плотность свободной энергии ФН (2). Второе поле ^а ~ К1/(¡г0М5 [Ь2) находится из баланса ^ и зе-емановской энергии Е3. Таким образом, при Ъ > 1 искажения ориентационной структуры возникают преимущественно из-за дипольного механизма влияния магнитного поля, а при преобладает

квадрупольный механизм ориентации [12]. По аналогии с магнитным полем в качестве единицы напряженности электрического поля мы выбрали величину £ч = Ь~1 -^К1/(е0еа) , которая находится из баланса вкладов и в плотность свободной энергии и по порядку величины является полем электрического перехода Фредерикса в чистом ЖК. Мерой интенсивности концентрационного расслоения магнитной примеси (эффект сегрегации) служит параметр сегрегации к = (Ь/Ь5) 2 , который представляет собой квадрат отношения двух характерных длин: толщины слоя Ь

и сегрегационной длины Ь5 = (у^/кдТ 1/2. Величина Ь 5 определяет характерный масштаб области концентрационного перераспределения дисперсной магнитной фазы. При перераспределение магнитных частиц в ФН пренебрежимо мало, а при концентрационное расслоение становится существенным [1]. Параметр а характеризует энергию сцепления ЖК с поверхностью магнитных частиц, - энергию сцепления ЖК-матрицы с верхней и нижней границами слоя, соответственно. Параметр к является мерой анизотропии ориентационной упругости.

В безразмерном виде полная свободная энергия Тт = ТЬ2 / ^ ферронематика примет вид:

1/2 Г 2

f= i Iх(p)(S -1(н2+е2)sin2

-1/2

— ЬдН cos гр + нд\пд + ад sin2 (р — гр)

1 _1

+ — ш sin2 (p + — a>+ sin2 (p+.

Здесь введены обозначения

K(p) = cos2 ср + /csin2 ср, д (z) = f (z)/f.

<P

dz +

(7)

(8) (9)

Свободная энергия (7) представляет собой функционал относительно трех скалярных функций . Минимизация (7) по и

р (г) дает уравнения для угла ориентации директора

1сМС((р) п 1 п К(<р)<р" + (<Р'У +Ч(Н2+ Е2) 8т 2ср -

2 а<р 2

-ag sin 2 (ср — р) = 0

(Ю)

и так называемое уравнение связи директора и намагниченности

ЪН sin р — a sin 2 (ср — р) = 0.

(Н)

Здесь и далее штрихом будем обозначать производную по безразмерной координате .

Минимизация функционала (7) по д (г) с дополнительным условием постоянного числа частиц в системе

I

fdV = N V

приводит к выражению, которое описывает эффект сегрегации магнитной примеси

д

= 0ехъ\—соsp-—si n 2(p-p)}, ( 1 2) Ix я )

где

1/2

Г (ьн а 1

( 1= I ехр{—с о Бр--5 1 п 2(p — р)}¿г.

-1/2

Условия на границах слоя отвечают минимуму поверхностного вклада в полную свободную энергию (1) и имеют следующий вид:

dFv dFs

= О,

(13)

,. d<P

, ч d<p

z=l/2

+ -ш+ sm2(p+ = 0; (14)

z=-l/2

— — it) sin2<p =0. (15)

Отметим, что в рассматриваемом нами случае симметрия решения меняется при разных ( а>~ Ф ш+) энергиях сцепления директора с границами слоя. Положение максимального отклонения директора от оси легкого ориентирования, определяемое условием

dcp dz

= 0,

(16)

смещается из середины слоя (z = 0) в точку z = z*. Координата z* и соответствующее ей значение максимального угла отклонения директора от оси легкого ориентирования вместе

с углами ориентации директора на границах слоя (р± определяются параметрами о>± и напряжен-ностями приложенных полей.

Проинтегрируем систему уравнений равновесия (10)—(12). Для этого умножим уравнение (10) на dp/dz и вычтем из него уравнение (11), умноженное на дdp/dz. Это позволяет найти первый интеграл

<^-=С1/2{ср,р)К~ dz

1/2

(ср), Z 6

dm 1 1

-^=-СЦср,р)К-Цср),

z 6

2'Z

(17)

(18)

где знак первого слагаемого выбирается в зависимости от взаимной ориентации внешней нормали к границам слоя и оси . Подставляя в (13) выражения (2)-(4), получим

Здесь введены обозначения

G(cp,p) = (Н2 + Е2)(cos2 ср — cos2 ср*) —

-2х(д - д*),

<P(z*) = (р*, p(z*) = р*, д* = д{<р*,р*)

для углов ориентации директора и намагниченности и функции распределения магнитных частиц при значении z = z*, которое определяется соотношением (16).

С учетом (17) и (18) граничные условия (14) и (15) можно записать в виде

11 1 3C2((p-)G2((p-,p-) =--co~sm2(p-, (19)

3C4(p+)G4(p+,р+) = ~^M+sm2(p+. (20)

Интегрируя теперь (17) и (18), получим систему уравнений, определяющую неявную зависимость (р (z) для ФН, находящегося в постоянных электрическом и магнитном полях

z +

1= I к1/2(р)G- 1/2(p,p)dp.

-z +

1=-I к1 /2 (p)G-1 /2 (p,p)dp.

(21)

(22)

Система уравнений равновесия (10)-(12) с граничными условиями (14) и (15) кроме полученных выше неоднородных решений (21) и (22) допускает также однородные решения. Одно из них описывает первоначальное состояние ФН, в котором директор направлен вдоль оси легкого ориентирования, а намагниченность -по оси , т. е. в этом состоянии , что отвеча-

ет гомеотропному сцеплению магнитных частиц с ЖК-матрицей. Другое однородное решение р (г) = п/2, р (г) = 0 отвечает фазе магнитного насыщения. В ней директор и намагниченность

параллельны (п | | т) и ориентированы вдоль внешних полей перпендикулярно оси легкого ориентирования, таким образом она представляет собой состояние ФН с планарным сцеплением частиц с матрицей. Следуя [13], неоднородные решения, которые описываются уравнениями (21) и (22), отвечают так называемой неоднородной угловой фазе. В ней угол между намагниченностью и директором отличен от нуля и .

Для оценки безразмерных параметров ФН, следуя [1-3, 14-21], полагаем: ха = 2 ■ 1 х 1 0 - 6,

К± = 6.4 х 10

-12

,

К3 = 1.0 х

еа = 13.5

1 0 - 1 1 Н , Т = 2 98 К

Н-м - \ [ = 2.0 х 1 0

, ,

Щ, = 10"6 - 10"4 М, = 5 х 105 А

Ш± = 10-6 - 10-5 Н-м - \

- 1 Т — п п 1 Г! - 7

М

-2

ср" + Л2ср = 0,

где

2 аЬНР 2а + ЬНР

(23)

(24)

вания принимает наибольшее значение в центре слоя (г* = 0). Для определения полей перехода Фредерикса Ер и Нр воспользуемся линеаризованным граничным условием (1 4), которое примет вид

йср йг

+ шср{г) |г=1/2 = 0,

1 0 2 2 м 3, Ь = 2 5 0 м км. Получим к = 1 0 а ^ 10-1, Ъ ^ 10, с± ^ 101 - 102. Малость параметра к говорит о важности сегрегационных эффектов.

3. Переход Фредерикса

Однородное решение ср (г) = \р (г) = 0 системы уравнений ориентационного равновесия (10)-(12), описывающее состояние ФН, для которого директор параллелен оси легкого ориентирования, а направление намагниченности совпадает с осью г (см. рис. 1), является устойчивым, пока магнитное или электрическое поля не превысят некоторых пороговых значений или , соответственно. Выше этих полей происходит переход ФН из однородной фазы с гомеотропным сцеплением частиц с матрицей в неоднородную угловую фазу; этот переход по аналогии с чистым ЖК получил название перехода Фредерикса. Пороговое поведение является результатом конкуренции различных вкладов в свободную энергию (1): сил ориен-тационной упругости, взаимодействия магнитных частиц с магнитным полем, сил сцепления магнитных частиц с матрицей и директора с границами слоя, стремящихся стабилизировать начальное состояние ФН, и диамагнитных и диэлектрических взаимодействий матрицы с приложенными полями, стремящихся его нарушить.

Вблизи перехода Фредерикса углы отклонения директора и намагниченности от оси легкого ориентирования малы ( , поэтому систему уравнений (10)-(12) можно линеаризовать. В результате приходим к уравнению

Будем рассматривать случай одинаковых энергий сцепления ЖК-матрицы с ограничивающими поверхностями ( , тогда граничные условия (14) и (15) становятся тождественными, а отклонение директора от оси легкого ориентиро-

2=1/2

и условием (16), принимающим вид йср йг

= 0.

(25)

(26)

Ь=10; ст=0.5

3-

2-

ю=<ю

■Т

3-

2-

1-

Ь=0.5; ст=0.5

ю=<ю

Т 3

га=0.5

ю=0

0

1

т 3

б

Рис. 2. Фазовая диаграмма электрического Ер и магнитного Нр полей перехода Фредерикса для (а) дипольного режима Ъ = 1 0 и (б) квадрупольного режима Ъ = 0. 5 при различных значениях энергии сцепления директора с границами слоя сс (Ерс = п)

Из условия существования нетривиального решения уравнений (23), (25) и (26) находим уравнение для пороговых полей перехода Фредерикса

1

0

а

0

Ш = я tg-

(27)

Здесь X определено формулой (24). Уравнение (27) совпадает с полученным ранее для чистого нема-тика [7], если X = НР.

Результаты численного решения системы уравнений (24) и (27) для дипольного и квадрупольно-го режимов влияния магнитного поля на ориента-ционную структуру ФН показаны на рис. 2.

Кривые на этом рисунке определяют границу перехода Фредерикса в ФН при совместном действии электрического и магнитного полей. Области под кривыми отвечают невозмущенному состоянию системы с однородной планарной ориентации директора ( ) и ортогональной ему намагниченности ( ), т.е. фазе с гомеотроп-ным типом сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей. Области над кривыми отвечают неоднородному состоянию ФН или неоднородной угловой фазе.

В случае абсолютно жесткого сцепления директора с границами задача рассмотрена в работах [8, 9], а выражения для пороговых полей перехода Фредерикса (27) и (24) имеют вид

Ер + Нр —

2аЬНр 2 а + ЪНр

(28)

На рис. 2 им соответствуют кривые .

При отсутствии сцепления директора с ограничивающими поверхностями (с = 0) система уравнений (27) и (24) примет вид:

2 2 2 аЬНр Ер+Нр 2а + ЪНр

= 0.

(29)

Этому случаю отвечает кривая а> = 0 на рис. 2. Из выражения (29) видно, что в отсутствие магнитного поля ( ) ФН переходит в неоднородное состояние при сколь угодно слабых электрических полях, в то время как в отсутствие электрического поля ( ) ФН остается в невозмущенном (однородном) состоянии, пока магнитное поле не достигнет величины

н; = -- +

N

(д2

+ 2а,

(30)

которая зависит от энергии сцепления молекул ЖК с магнитными частицами и параметра . Выше было отмечено, что магнитная примесь играет стабилизирующую роль и препятствует переориентации директора в направлении магнитного поля, чем и объясняется наличие порогового поля даже в отсутствие сцепления ЖК-матрицы с подложкой. Отметим, что значение в диполь-ном режиме больше, чем в квадрупольном (см. рис. 2, а и 2, б).

Под влиянием электрического и магнитного полей в ФН возникает конкуренция между разны-

ми механизмами ориентационного отклика, а именно квадрупольным механизмом, связанным с диэлектрическими и диамагнитными свойствами ЖК-матрицы, и дипольным механизмом, обусловленным наличием дисперсной магнитной фазы. Поэтому при фиксированном значении электрического поля с ростом магнитного поля в системе оказываются возможными возвратные ориентаци-онные переходы, характеризующиеся чередованием ориентационных фаз: неоднородная - однородная - неоднородная. Существование этих переходов впервые было описано в работах [8, 9]. Для заданной напряженности электрического поля существуют два пороговых значения напряженности магнитного поля Н. Первое из них определяет переход из угловой неоднородной фазы в однородную гомеотропную фазу, а второе пороговое поле отвечает последующему переходу из однородного в неоднородное состояние (рис. 2).

Отметим, что для одинаковых значений энергии сцепления ЖК-матрицы с границами слоя и магнитными частицами диапазон электрических полей, в котором по мере роста магнитного поля происходят последовательно переходы неоднородная - однородная - неоднородная фаза для ди-польного режима ( ), шире, чем для квадру-

польного режима ( ) (см. рис. 2, а и 2, б).

Ширина области возвратных переходов в случае жесткого сцепления директора с границами слоя найдена аналитически в работах [8, 9], где показано, что диапазон значений напряженности электрического поля, допускающий возвратную однородную фазу ФН, расширяется с ростом энергии сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей и параметра . Максимальное значение области, в которой возможны возвратные переходы, достигается в отсутствие сцепления ЖК-матрицы с границами слоя ( ), когда переход из исходной однородной фазы в неоднородную угловую происходит при сколь угодно малых напряженностях электрического поля. С ростом энергии сцепления с границами слоя со ширина этой области уменьшается и достигает своего предельного значения при . Кроме этого, с ростом энергии сцепления директора с ограничивающей подложкой происходит и увеличение напряженности электрического поля перехода Фредерикса. Наибольшее значение электрического поля, необходимого для искажения ориентационной структуры ФН, отвечает жесткому сцеплению директора с границами слоя (кривая на рис. 2), при этом в отсутствие

магнитного поля оно равно электрическому полю перехода Фредерикса в чистом нематике ( л ).

На рис. 3 представлена зависимость магнитного поля перехода Фредерикса как функция энергии сцепления директора с границами слоя ФН для дипольного режима влияния магнитного поля ( ), мягкого сцепления магнитных частиц с

ЖК-матрицей ( ) для трех значений напря-

женности электрического поля: Е = 0, Е = 0 . 7 и Е = 1 . 4.

Ь=10; ст=0.5

3-

1-

0

т 3

п Ю

4

Рис. 3. Зависимость магнитного Нр поля перехода Фредерикса от энергии сцепления директора с границами слоя ш при Ъ = 1 0 , а = 0. 5 (Н^с = л)

В отсутствие электрического поля области, находящейся под кривой Е = 0, отвечает однородное состояние ФН с магнитными частицами, ориентированными в направлении магнитного поля, и директором, параллельным оси легкого ориентирования - т.е. фаза с гомеотропным сцеплением частиц с матрицей, а области выше кривой отвечает неоднородное состояние ФН - угловая фаза, в которой угол между директором и намагниченностью отличен от л/2 . Значение поля перехода Н р при с = 0 определяется с помощью формулы (30). Эта картина качественно меняется, если напряженность электрического поля отлична от нуля. Для выбранных значений параметров Ъ = 1 0 , а = в диапазоне полей , где правая

граница определяется максимумом функции, показанной на рис. 2, а (кривая с = 0) , бифуркационная диаграмма разделяется на три области (см. рис. 3, кривая Е = 0 . 7). Область, ограниченная сверху нижней ветвью двузначной кривой и снизу прямой отвечает неоднородному со-

стоянию ФН. Здесь искажения ориентационной структуры вызваны преимущественно влиянием электрического поля, т.к. силы ориентационной упругости малы из-за слабого сцепления директора с границами слоя. Внешней области, ограниченной снизу двузначной кривой Нр, также отвечает неоднородное состояние ФН, и, соответственно, внутренней области отвечает однородное состояние с директором, направленным вдоль оси легкого ориентирования и магнитными частицами, ориентированным вдоль магнитного поля. С ростом электрического поля для бифуркационная диаграмма разделяется на две области (см. рис. 3, Е = 1.4): внутренняя область, ограни-

ченная кривой , отвечает однородному состоянию, а внешняя - неоднородному состоянию ФН. В пределе абсолютно жесткого сцепления директора с границами слоя значение поля перехода Фредерикса стремится к значению , отвечающему магнитному переходу Фредерикса в чистом нематике.

Влияние энергии сцепления директора с магнитными частицами на переход Фредерикса проанализировано в работе [8], в которой показано, что с ростом энергии сцепления для перехода ФН из однородной гомеотропной фазы в возмущенное состояние требуются большие электрические и магнитные поля.

Заметим, что в случае беспримесного нематика с мягким сцеплением директора с границами слоя уравнение для пороговых полей перехода Фредерикса (24) примет вид

А2 = Ер + Н2, (31)

а уравнение (27) не изменится. Эти результаты совпадают с полученными ранее в работе [22] для Нр = 0. В случае жесткого сцепления ЖК-матрицы с ограничивающими поверхностями (ш » 1) уравнение (31) примет вид л2 = Ер + Нр.

4. Поле насыщения

Система уравнений ориентационного равновесия (10)—(12) при Е Ф 0 и Н Ф 0 допускает еще одно однородное решение р = л/2, р = 0, отвечающее состоянию насыщения [13], когда директор и намагниченность ориентированы в направлении магнитного и электрического полей ортогонально оси легкого ориентирования. Такая фаза характеризуется планарным сцеплением частиц с матрицей. Найдем выражение для определения магнитного Н5 и электрического Е5 полей насыщения. Вблизи перехода в состояние насыщения р = л/2 — 5р, 5р « 1, р « 1 , поэтому в низшем порядке разложения уравнений (10)—(12) и граничных условий (14)-(15) находим

С8(р)" - А2 6ср = 0.

Здесь

Л2

-и

е1 + я| +

2аЬН3 2 а - ЬН,

а{8(р)

(1г

+ шб^ = 0,

(32)

(33)

(34)

£ = ±1/2

Из условий существования нетривиального решения получаем уравнение для определения пороговых полей перехода ФН из неоднородного состояния в состояние насыщения

Л

ш = Л/с Ш-.

2

2

0

и

На рис. 4 показаны результаты решения системы уравнений (33) и (35) для дипольного (Ъ = 1 0) и квадрупольного (Ъ = 0 . 5 ) режимов влияния магнитного поля для разных значений энергии сцепления с ЖК с границами слоя. Кривые на рис. 4 определяют границы перехода ФН из неоднородного состояния в состояние насыщения. Областям выше кривых отвечает однородная фаза насыщения, а областям ниже кривых - неоднородная угловая фаза или, как будет показано ниже, начальная фаза с директором, направленным вдоль оси легкого ориентирования и намагниченностью параллельной внешним полям.

Из рис. 4 видно, что имеется минимальное значение магнитного поля, ниже которого не происходит перехода из неоднородной фазы в состояние насыщения. Это значение определяется уравнением 2 а — Ъ Н5 = 0; для энергии сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей а = 0 . 5 в дипольном режиме (Ъ = 1 0) получим И = 0 . 1 и в квадруполь-ном режиме ( Ъ = 0. 5 ) - И = 2 (пунктирные линии рис. 4). Отсутствие перехода объясняется тем, что на феррочастицы действует только магнитное поле, учитываемое вкладом в плотности свободной энергии (2), в то время как директор взаимодействует с электрическим и магнитным полем за счет вкладов ^ и Р2 соответственно. Внешние поля меняют ориентацию директора и вследствие связи феррочастиц с ЖК-матрицей меняется ориентация намагниченности ФН, поэтому даже в сильных электрических полях, когда из-за положительного значения анизотропии диэлектрической проницаемости директор однородно ориентирован в направлении внешних полей, ФН не может достичь состояния насыщения из-за начального гомеотропного сцепления феррочастиц с ЖК-матрицей. Для случая, когда искажения ори-ентационной структуры директора вызваны преимущественно дипольным механизмом влияния магнитного поля (рис. 4, а), область, в которой невозможен переход в состояние насыщения, гораздо уже, чем для квадрупольного режима (рис. 4, б). Это объясняется тем, что для переориентации феррочастиц в квадрупольном режиме требуются большие магнитные поля, чем в дипольном режиме.

Из рис. 4 видно, что с ростом энергии сцепления директора с границами слоя для перехода ФН в состояние магнитного насыщения увеличиваются пороговые значения напряженностей электрического и магнитного полей.

В частном случае отсутствия сцепления с ограничивающими поверхностями система уравнений (33) и (35) примет вид

2аЬН3

= (36)

Этому случаю отвечают кривые на рис. 4. В

отсутствие электрического поля ( ) переход в

состояние насыщения возможен лишь в магнитном поле, превышающем значение

а

Щ = Ъ

2 Ъ2

1 + 1+-

л а

(37)

Этот результат полностью совпадает с ранее полученным в работе [13].

6 и

4

Ь=10; ст=0.5; к=1.5

1—1—I V' * I—1—I—1—1Н5

Н*

0 0.5 1 51.5 2 2.5

6 и

4

Ь=0.5; ст=0.5; к=1.5

1.5

2.5

1Н5

3

б

Рис. 4. Фазовая диаграмма электрического Е5 и магнитного Н5 полей перехода в состояние насыщения для дипольного режима Ъ = 1 0 и (б) квадрупольного режима Ъ = 0 . 5 и различных значений энергии сцепления директора с границами слоя сс (Е? = п)

Бифуркационная диаграмма границы перехода ФН из неоднородной угловой фазы в фазу насыщения для разных значений энергии сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей представлена на

5

2

0

а

2

0

рис. 5. Из рис. 5 видно, что с увеличением энергии сцепления резко возрастает значение магнитного поля, определяющее границу перехода ФН из неоднородной фазы в состояние насыщения, а также согласно уравнению расширяется

область, где переход в состояние насыщения невозможен.

Рис. 5. Фазовая диаграмма электрического и магнитного полей перехода в состояние насыщения для , и различных значений энергии сцепления магнитных частиц с директором

Е Ь=10; ст=0.5; ю=0.5; к=1.5

Рис. 6. Фазовая диаграмма электрического и магнитного полей перехода Фредерикса и полей насыщения

5. Основные результаты

В работе рассмотрено влияние сонаправленных электрического и магнитного полей на плоский слой ФН с мягким планарным сцеплением директора на границах слоя и мягким гомеотропным сцеплением на поверхности примесных магнитных частиц. Путем минимизации функционала свобод-

ной энергии получена система уравнений, описывающая равновесные состояния ФН. Найдены выражения для пороговых полей перехода Фредерик-са и перехода в состояние насыщения как функции материальных параметров ФН. Построены бифуркационные диаграммы ориентационных фаз ФН. На рис. 6 показана диаграмма, объединяющая границу перехода Фредерикса и перехода в состояние насыщения для материальных параметров ,

(х> = 0 . 5, а = 0. 5 и k = 1 . 5 . Кривая F определяет границу перехода Фредерикса, а кривая S - границу перехода в состояние насыщения. Область, ограниченная снизу прямой , а сверху кри-

вой отвечает однородной фазе ФН с директором, направленным вдоль оси легкого ориентирования, и намагниченностью, ориентированной в направлении внешних полей (nlm, т \ \ Н , т \ \ Е). Области, ограниченной снизу кривой и сверху кривой S, отвечает неоднородная угловая фаза, в которой директор и намагниченность отклонены от оси легкого ориентирования. Области, ограниченной снизу и слева кривой S, отвечает фаза насыщения, в которой директор и намагниченность ориентированы в направлении внешних полей (n \ \ т \ \ Н \ \ Е).

Показано, что для мягкого сцепления директора с границами слоя диапазон значений напряжен-ностей полей, в котором возможны возвратные ориентационные переходы, шире, чем для случая жесткого сцепления. Установлено, что имеется диапазон магнитных полей, в котором невозможен переход в состояние магнитного насыщения, даже в сколь угодно больших электрических полях.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-02-96001).

Список литературы

1. Brochard F., Gennes de P. G. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals // Journal de Physic. 1970. Vol. 31. P. 691-708.

2. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. I. Extended continuum model // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 1995. Vol. 258. P. 107-122.

3. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. II. Behavior of real ferronematics in external fields // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 1995. Vol. 258. P. 123-141.

4. Petrov D. A., Zakhlevnykh A. N. Freedericksz transition in compensated ferronematic liquid crystals // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2012. Vol. 557. P. 60-72.

5. Zakhlevnykh A. N., Petrov D. A. Influence of the segregation effect on the magnetic and optical properties of a compensated ferronematic liquid

crystal // Technical Physics 2012. Vol. 57. P. 1208-1218.

6. Zakhlevnykh A. N., Petrov D. A. Magnetic field induced orientational transitions in soft compensated ferronematics // Phase Transitions. 2014. Vol. 87. P. 1-18.

7. Rapini A., Papoular M. Distorsion d'une lamelle nematique sous champ magnetique conditions d'ancrage aux parois // Journal de Physic Colloques. 1969. Vol. 30. P. 54-56.

8. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Reentrant phase transitions in ferronematic liquid crystals // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2012. Vol.553. P. 199-210.

9. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Interplay between dipole and quadrupole modes of field influence in liquid-crystalline suspensions of ferromagnetic particles // Soft Matter. 2012. Vol. 8. P. 6493-6503.

10. Bena R.-E., Petrescu E. Surface effects on magnetic Freedericksz transition in ferronematics with soft particle anchoring // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2003. Vol. 263, no. 3. P. 353359.

11. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First order orientational transitions in ferronematic liquid crystals // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2011. Vol. 540. P. 219-226.

12. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. Ferrocholesteric-ferronematic transition in an external magnetic field // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1995. Vol. 146. P. 103-110.

13. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields and Freedericksz transition in a ferronematic // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2004. Vol. 269. P. 238-244.

14. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Shear flow of a ferronematic in a magnetic field // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2007. Vol. 475. P. 233-245.

15. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Magnetic field-induced orientational phases of ferronematics in shear flow // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2008. Vol. 320. P. 1312-1321.

16. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical phenomena at the Freedericksz transition in ferronematic liquid crystals // Physical Review E. 2010. Vol. 81. P. 051710 (9 pp.).

17. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Эффекты магнитной сегрегации в слое ферронематического жидкого кристалла при наличии сдвигового течения // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2011. Вып. 1(16). С. 55-63.

18. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Magnetic Freedericksz transition in ferronematic layer under shear flow // Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2011. Vol. 540. P. 135-144.

19. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фре-дерикса в ферронематиках: трикритическое по-

ведение // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2009. Вып. 1(27). С. 62-68.

20. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Магнитооптический отклик ферронематика на внешнее магнитное поле // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2010. Вып. 1(38). С. 26-31.

21. Blinov L. M., Chigrinov V. G. Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. N. Y.: SpringerVerlag, 1994. 464 p.

22. Barberi R., Barbero G., Gabbasova Z., Zvezdin A. Flexoelectricity and alignment phase transitions in nematic liquid crystals // Journal de Physic II. 1993. Vol. 3. P. 147-164.

References

1. Brochard F., Gennes de P. G. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals. Journal de Physic. 1970, vol. 31, pp. 691-708.

2. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. I. Extended continuum model. Molecular Crystals and Liquid Crystals. 1995, vol. 258, pp. 107-122.

3. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. II. Behavior of real ferronematics in external fields. Molecular Crystals and Liquid Crystals. 1995, vol. 258, pp. 123-141.

4. Petrov D. A., Zakhlevnykh A. N. Freedericksz transition in compensated ferronematic liquid crystals. Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2012, vol. 557, pp. 60-72.

5. Zakhlevnykh A. N., Petrov D. A. Influence of the segregation effect on the magnetic and optical properties of a compensated ferronematic liquid crystal. Technical Physics. 2012, vol. 57, pp. 1208-1218.

6. Zakhlevnykh A. N., Petrov D. A. Magnetic field induced orientational transitions in soft compensated ferronematics. Phase Transitions. 2014, vol. 87, pp. 1-18.

7. Rapini A., Papoular M. Distorsion d'une lamelle nematique sous champ magnetique conditions d'ancrage aux parois. Journal de Physic Colloques. 1969, vol. 30, pp. 54-56.

8. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Reentrant phase transitions in ferronematic liquid crystals. Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2012, vol. 553, pp. 199-210.

9. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Interplay between dipole and quadrupole modes of field influence in liquid-crystalline suspensions of ferromagnetic particles. Soft Matter. 2012, vol. 8, pp. 6493-6503.

10. Bena R.-E., Petrescu E. Surface effects on magnetic Freedericksz transition in ferronematics with soft particle anchoring. Journal of Magnetism and

42

A. H. SaxxeeHbix, ff. A. nempoe

Magnetic Materials. 2003, vol. 263, no. 3, pp. 353-359.

11. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First order orientational transitions in ferronematic liquid crystals. Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2011, vol. 540, pp. 219-226.

12. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. Ferrocholesteric-ferronematic transition in an external magnetic field. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1995, vol. 146, pp. 103-110.

13. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields and Freedericksz transition in a ferronematic. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2004, vol. 269, pp. 238-244.

14. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Shear flow of a ferronematic in a magnetic field. Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2007, vol. 475, pp. 233-245.

15. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Magnetic field-induced orientational phases of ferronematics in shear flow. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2008, vol. 320, pp. 1312-1321.

16. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical phenomena at the Freedericksz transition in ferro-nematic liquid crystals. Physical Review E. 2010,

vol. 81, 051710.

Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Magnetic segregation effects in a ferronematic liquid crystal layer under shear flow. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2011, no. 1(16). pp. 55-63. (In Russian).

17. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Magnetic Freedericksz transition in ferronematic layer under shear flow. Molecular Crystals and Liquid Crystals. 2011, vol. 540, pp. 135-144. 18. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Perehod Frederiksa v ferronematikah: trikriticheskoe povedenie. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2009, no. 1(27), pp. 62-68. (In Russian).

19. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Magneto optic reply of ferronematic induced by external magnetic field. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2010, no. 1(38), pp. 26-31. (In Russian).

20. Blinov L. M., Chigrinov V. G. Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. N. Y.: SpringerVerlag, 1994. 464 p.

21. Barberi R., Barbero G., Gabbasova Z., Zvezdin A. Flexoelectricity and alignment phase transitions in nematic liquid crystals. Journal de Physic II. 1993, vol. 3, pp. 147-164.

Orientational transitions in a ferronematic layer with soft anchoring on the boundaries

A. N. Zakhlevnykh, D. A. Petrov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm email: anz@psu.ru, petrovda@bk.ru

In the framework of continuum theory we consider the orientational transitions in a planar layer of ferronematic liquid crystal placed in parallel electric and magnetic fields. The case of soft anchoring of the director with the surface of magnetic particles and layer boundaries is studied. We obtain analytical expressions for the threshold fields of the transitions between different orientational phases of the suspension. The influence of soft anchoring with the boundaries of the liquid crystal layer on the re-entrant orientational transitions is studied.

Keywords: ferronematic; magnetic suspension; orientational transitions