Тригонометрические суммы сетки с весами для целочисленной решётки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 34-39

Математика :

УДК 511.3

Тригонометрические суммы сетки с весами для целочисленном решетки *

А. М. Рарова

Аннотация. В работе показано, что тригонометрическая сумма обобщенной параллелепипедальной сетки с весами для целочисленной решётки является характеристической функцией этой решётки на фундаментальной решётке Zs.

Ключевые слова: сетка, решетка, весовая функция, тригонометрические суммы сетки с весами.

1. Введение

В работе [1] доказана следующая теорема:

Теорема 1. Для произвольной решётки Л и произвольной весовой функции р(х) справедливо равенство

1 1

БыАт) = 5(гп) + ^ [■■■ I р(у)е2т^т~г)йу, (1)

где

5(т) = {1> при ^ =

\ 0, при т = 0, т € ^■

Здесь и далее символ ^ означает, что из области суммирования исключена нулевая точка.

Цель работы — получить конечную формулу для тригонометрической суммы сетки с весами для произвольной целочисленной решётки Л и показать, что тригонометрическая сумма обобщенной параллелепипедальной сетки с весами для целочисленной решётки является характеристической функцией этой решётки на фундаментальной решётке .

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 11-01-00571а).

2. Необходимые обозначения и определения

Будем использовать следующие обозначения и определения из работы [1]. Рассматриваются единичные 8-мерные кубы:

С. = {X | 0 < XV < 1, V = 1, 2,..., 8}, С. = {X | 0 < XV < 1, V = 1, 2,..., 8};

полагается т = тах(1, |т|) для любого вещественного т.

Для произвольного вектора X его дробной частью называется вектор {X} = ({XI},..., {X.,}). Отсюда следует, что всегда {X} € С.. Целой частью вектора называется вектор [X] = X — {X}.

Далее везде под произвольной решеткой Л С К5 мы будем понимать только полные решетки, то есть

Л = {ш1А1 + ... + т.А. = т ■ А |т = (Ш1,..., т.) €

где А1 = (А11,...,А1.),...,А. = (А. 1,...,А..) — система линейно-независимых векторов в К5, а матрица решётки А задана соотношениями

(А11 ... А1 . \ / А1 \

: '■• ; , , - ,

1 ... А.8 / \ А. /

Взаимная решетка Л* = {X |Уу € Л (X, у) € Ъ}. Непосредственно из определения следует равенство (-Л)* = - Л*.

Определение 1. Для произвольной решетки Л обобщенной параллелепипедальной сеткой М(Л) называется множество М(Л) = Л* П

п с3.

Сетка М1(Л) = Л* П [—1,1)в.

Обобщенной параллелепипедальной сеткой II рода М'(Л) называется множество М'(Л) = {X | X = {у}, у € М1(Л)}.

Лемма 1. Если решётка Л — целочисленная, то

М (Л) = М '(Л).

Доказательство. Действительно, всякая целочисленная решётка Л является подрешёткой фундаментальной решётки Ъв: Л С Ъя. Поэтому Л* Э Э (Ъ)* = Ъ и для любого в] = (¿у,... , ¿у), где символ Кронекера задан равенствами

г Г 1, при г = з, 0у = 1 0, при г = з,

имеем ё? € Л*. Отсюда следует, что

о

М1(Л)= и (М'(Л) + (£!,..., £а)), £1,. . . ,£в=-1

что доказывает утверждение леммы.

Определение 2. Весовой функцией порядка г с константой В называется гладкая функция р(х), удовлетворяющая условиям

о

У^ р(х + (е1,..., ез)) = 1 при х € Сз, (2)

£1,. . . ,£в=-1

р(Х) = 0 при х € (-1,1)3, (3)

1 1

^ В(а1. ..аз)-г для любого а € Мз. (4)

-1 -1

Если выполнены условия (2) и (3), то говорим просто о весовой функции р(х).

3. Тригонометрические суммы сетки с весами

Совокупность М С С точек Мк = (6(к),..., 6(к)) (к = )

называется сеткой М из N узлов, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины рк = р(Мк) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещественнозначные и являются значениями специальной весовой функции.

Для произвольных целых т1,...,тз суммы >^м,р(т1,.. .,тз), определённые равенством

N

Бм,р(т 1,...,тв) =£ рк ё2пг[т1^к)+... (к)], (5)

к= 1

называются тригонометрическими суммами сетки с весами.

Будем также рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весами

8*м,р(т 1,..., т8) = NN$м,р(т1,..., т3).

Положим

N

р(М ) = £ |р,-1,

3 = 1

тогда для всех нормированных тригонометрических сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

1^(У)| < Nр(М). (6)

Если все веса равны 1, то будем говорить просто «тригонометрическая сумма сетки», и писать 5м(т) и «нормированная тригонометрическая сумма сетки» — (т).

Пусть Л — целочисленная решётка. Рассмотрим сетку М(Л) = М'(Л) из N (Л) = det Л узлов (к = 1,..., N (Л)) с весами

Рк = РХк = (det(Л))-1 ^ Р(У)

,г/€М1(А)

и её тригонометрическую сумму с весами

5м(А),дт) = (det(Л))-1 £ ( £ р(у}) в2пг(т,Х).

ХеМ(Л) \{г?}=ж,УеМ1(А) У

Лемма 2. Для произвольной целочисленной решётки Л и произвольной весовой функции р(ж) справедливо равенство

5м (Л),р(т) = ^(Л))-1 £ в2пг(т,Х).

Хем (Л)

Доказательство. Действительно, следуя доказательству леммы 1, получим

о

^ Р(у) = Р^ +(£1,...,ев)) = 1,

{У}=Х,?7еМ1(Л) £1,. ..,ев=-1

что и доказывает утверждение леммы.

В следующем разделе будет вычислена тригонометрическая сумма обобщенной параллелепипедальной сетки с весами для целочисленной решетки Л.

4. Тригонометрическая сумма с весами обобщенной параллелепипедальной сетки для целочисленной решетки Л

Теорема 2. Для произвольной целочисленной решётки Л и произвольной весовой функции р^) справедливо равенство

5м,р(т) = Гл(т), (7)

где

1, при т € Л;

г ( т) = Г 1, при т € Л; гл(т) = | о, при т € Ъ \ Л

— обобщенный символ Коробова.

Доказательство. Согласно теореме 1

1 1

Вы ) = ) + Е / ••• / Р(У)е2пЫ ^^

£еЛ_1 —1

Так как т — У € , то в силу периодичности экспоненты имеем

1 1

I... I р(у)е2ж^'т _Х)ёу = _1 _1 о 1 1

= Ё IIр(У+у>2пг(?7+£;т_Х)а$= £!,... ,£е = -1 0 0

= /---¡у Е Р(У+У)) е2жтт_х)ау = 1 1

= I... I е2™(у т _Х)йу = 5(т — У). о о

Отсюда следует, что

Вы(ь),р(т) = 5(т) + ^ 5(т — У) = 5л(т)

ХеЛ

и теорема полностью доказана.

5. Заключение

Теорема 2 показывает, что для любой весовой функции р(У) тригонометрическая сумма обобщенной параллелепипедальной сетки с весовой функцией для целочисленной решётки Л является характеристической функцией решётки Л на фундаментальной решётки Zs.

Автор благодарит научного руководителя профессора Н. М. Добровольского за постановку задачи, постоянное внимание и полезные обсуждения.

Список литературы

1. Рарова Е. М. Разложение тригонометрической суммы сетки с весами в ряд по точкам решетки // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч. 1. С. 37 -49.

Рарова Елена Михайловна ([email protected]), ассистент, кафедра алгебры, математического анализа и геометрии, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого.

Trigonometric sums net with weights for the integer lattice

A. M. Rarova

Abstract. In the work is shown that the trigonometric sum generalized parallelepiped net with weights for the integer lattice is a characteristic function of this lattice on fundamental lattice.

Keywords: net, lattice, the weight function,trigonometric sums net with weights.

Rarova Elena ([email protected]), assistant, department of algebra, mathematical analysis and geometry, Leo Tolstoy Tula State Pedagogical University.

Поступила 25.07.2014