ТРЕЩИНА НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ТОНКОЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ КОМПОЗИТНОГО ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Научная статья УДК 539.386, 539.375.5

ГРНТИ: 30.19: Механика деформируемого твердого тела ВАК: 1.1.8. Механика деформируемого твёрдого тела doi:10.51608/26867818_2022_3_70

ТРЕЩИНА НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ ТОНКОЙ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНКИ ИЗ КОМПОЗИТНОГО ИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА

© Автор 2022 ТЕЛИЧКО Виктор Григорьевич

SPIN: 2755-2105 кандидат технических наук, доцент

AuthorlD: 449403 Тульский государственный университет

(Россия, Тула, e-mail: katranv@yandex.ru)

Аннотация. В статье рассматривается напряженно-деформированное состояние тонкой полубесконечной пластины из начально-изотропного композитного материала с повреждением в форме трещины нормального отрыва. Приводится методика решения задачи механики разрушения о распределении напряжений и деформаций около кончика трещины, что позволяет эффективно исследовать механизмы разрушения для различных материалов, в том числе для обладающих неклассическими свойствами и получать дополнительную информацию о процессах и причинах разрушения. Для каждой конструкции имеется стадия деформирования, которая приводит к образованию дефектов в материале, накоплению их с последующей трансформации в макротрещину, что может приводить к полному разрушению. Вблизи кончика трещины существует особая область, в которой происходят основные процессы образования и развития повреждаемости. Приведено численное решение конкретной модельной задачи о плоском напряженном состоянии тонкой пластинки с учетом повреждаемости в форме трещины нормального отрыва. В качестве материала для модельной задачи в данной статье рассматривается композитный материал, каковым является бетон и чье поведение описывается определяющими соотношениями для начально-изотропного материала, механические свойства которого существенно зависят от вида напряженного состояния. Определяющие соотношения сформулированы в рамках подхода, связанного с нормированными пространствами напряжений. Получена замкнутая система разрешающих уравнений, решение которой строится в рамках метода переменных параметров упругости и метода конечных разностей. Показаны эпюры напряжений непосредственно вблизи кончика трещины.

Ключевые слова: повреждаемость, трещинообразование, трещина, трещина нормального отрыва, бетон, строительство, метод конечных разностей, дефекты, начально-изотропный материал, разносопротивляемость

Благодарности: работа выполнена при поддержке гранта Правительства Тульской области для выполнения работ в сфере науки и техники, договор №ДС/284.

Для цитирования: Теличко В.Г. Трещина нормального отрыва при плоском напряженном состоянии тонкой полубесконечной пластинки из композитного изотропного материала // Эксперт: теория и практика. 2022. № 3 (18). С. 70-74. doi:10.51608/26867818_2022_3_70.

Original article

NORMAL SEPARATION CRACK UNDER A PLANE STRESS STATE OF A THIN SEMI-INFINITE PLATE FROM COMPOSITE ISOTROPIC MATERIAL

© The Author(s) 2022 TELICHKO Victor Grigorievich

candidate of technical sciences, associate professor Tula State University

(Russia, Tula, e-mail: katranv@yandex.ru)

Annotation. The article considers the stress-strain state of a thin semi-infinite plate made of an initially isotropic composite material with damage in the form of a normal separation crack. A technique for solving the problem of fracture mechanics on the distribution of stresses and strains near the crack tip is presented, which makes it possible to effectively investigate the fracture mechanisms for various materials, including those with non-classical properties, and to obtain additional information about the processes and causes of fracture. There is a stage of deformation for each structure, which leads to the formation of defects in the material. Their accumulation with subsequent transformation into a macrocrack can lead to complete destruc-

fi

ЭКСПЕРТ: 202 2 No 3 (18) EXPERT:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА N- 3 (18) THEORY AND PRACTICE

tion. Near the tip of the crack, there is a special area, in which the main processes of formation and development of damage occur. A numerical solution is given for a specific model problem of the plane stress state of a thin plate considering damage in the form of a normal separation crack. As material for a model problem, this article considers concrete. Its behavior is described by constitutive relations for an initially isotropic material, the mechanical properties of which depend significantly on the type of stress state. The constitutive relations are formulated within the framework of the approach associated with normalized stress spaces. A closed system of resolving equations is obtained, the solution of which is constructed within the framework of the method of variable elasticity parameters and the method of finite differences. Stress diagrams are shown directly near the crack tip.

Keywords: damageability, crack formation, crack, normal separation crack, concrete, finite difference method, defects, initially isotropic material, different resistance

Acknowledgments: the work was supported by a grant of the Tula region Government for work in the field of science and technology, agreement No. DS / 284.

For citation: Telichko V.G. Normal separation crack under a plane stress state of a thin semi-infinite plate from composite isotropic material // Expert: theory and practice. 2022. № 3 (18). Pp. 70-74. (In Russ.). doi:10.51608/26867818_2022_3_70.

Введение

Современная практика предъявляет все более жесткие требования к инженерным расчетам на жесткость и прочность, вследствие чего они становятся более ответственными и сложными. Теория деформирования материалов чувствительных к виду напряженного состояния относительно молодая ветвь механики деформируемого твердого тела. Периодом ее становления можно считать 60-е годы прошлого века. За прошедшее время, было предложено и рассмотрено достаточно много различных работоспособных определяющих соотношений для разносопротивляющихся и склонных к дилатации материалов, базирующихся на различных комплексных гипотезах, экспериментальных исследованиях и теоретических предпосылках. Несмотря на это, оказалось, что физическая и механическая природа этого явления до сих пор недостаточно исследована, а существующие теории далеко не всегда отражают реальное поведение изучаемых материалов [1-5].

Одной из основных возможных причин зависимости деформационных характеристик материалов от вида напряженного состояния могут быть дефекты типа трещин и пористость материала. На практике это означает, что в начальном состоянии, в свободном от дефектов материале, имеется некоторая стадия деформирования, которая может приводить к образованию указанных дефектов, их развитию, слиянию с последующим формированием макроскопической трещины [6-8].

В данной статье, на основе полученной в работах А.А. Трещева и Н.М. Матченко [1-3] оптимальной формы потенциала деформаций для нелинейных начально-изотропных материалов, сформулированы уравнения состояния для разносопротивляющихся материалов, находящихся в плоском напряженном состоянии. Применяя указанные определяющие соотношения, а также используя методику исследования задач механики разрушения для дефектов типа трещин, для материалов, чьи механические свойства зависят от

вида напряжённого состояния, предложенную в работах А.В. Березина [7-9], получено разрешающее дифференциальное уравнение для плоского напряженного состояния тонкой пластинки с учетом повреждаемости в форме трещины нормального отрыва.

Решение данного класса задач представляет собой значительный интерес для механики твердого тела как науки, так как позволяет исследовать процессы, протекающие около кончика трещины при наличии повреждаемости в этой области, что, вероятно, позволит получить дополнительную важную информацию о механизмах разрушения для материалов чувствительных к виду напряженного состояния.

Таким образом, можно заключить, что задача об исследовании плоского напряженного состояния полубесконечной тонкой пластины из разносопро-тивляющегося материала, с учетом повреждаемости в форме трещины нормального отрыва является актуальной и важной задачей современной механики деформируемого твердого тела как в теории, так и при рассмотрении решения прикладных задач.

\ с_

а— хэ 4 \ f — а

—- ч —-

h

Рис. 1. Схема модельной задачи пластины в плоском напряженном состоянии

Постановка задачи исследования

В представленной работе рассматривается задача о напряженно-деформированном состоянии тонкой пластинки шириной Ь и бесконечной длины с учетом наличия трещины нормального отрыва со свободными от усилий берегами. В качестве граничных условий задавались значения функции /(0) и ее

производных в зависимости от полярного угла 0 [9], как указано ниже. В работе проводится сравнение результатов расчета по предложенной в статье модели с результатами расчета на основе физических соотношений, принятых в классической теории (без учета разносопротивляемости) изотропных материалов. Проведен анализ учета влияния свойств разносопротивляемости материалов и наличия повреждаемости (в виде трещины нормального отрыва) на плоско напряженное состояние тонкой пластинки.

Здесь (см. рис. 1) г - расстояние от конца трещины. Ввиду симметрии геометрии решаемой задачи для ее решения удобно воспользоваться полярной системой координат с центром в конце трещины. Пластинка считается ограниченной по торцам абсолютно жесткими и гладкими плоскостями. В качестве материала для решения модельной задачи выбран бетон с пределом прочности на сжатие Н = 28,4 МПа, так для такого материала подобные задачи еще не рассматривались [1].

Для решения выбранной задачи, имеем следующие граничные условия: при 6 = 0, /'(0 = 0) = /"'(6 = 0) = 0, /(6 = 0) = 1, при 6 = л , /(6 = л) = /' (6 = л) = 0; где /(6) - выражение, учитываемое в функции напряжений и зависящее только от полярного угла, угла раскрытия трещины.

Методология расчета

Как показали ранее проведенные вычислительные эксперименты по решению задач механики твердого тела для начально-изотропных материалов чувствительных к виду напряженного состояния, определение их механического поведения можно эффективно проводить, используя оптимальную форму потенциала 1 (1), предложенную в работах [1-3]. Данный потенциал позволяет достаточно просто сформулировать физические зависимости между напряжениями и деформациями для существенно нелинейных, чувствительных к виду напряженного состояния изотропных материалов с разными механическими характеристиками на растяжение и сжатие [10-12].

Сначала запишем определяющие соотношения для начально-изотропного тела. Для этого воспользуемся ранее полученными соотношениями для этой задачи [11].

Потенциал деформаций и связь деформаций с напряжениями [1] имеют вид:

1 = (4 + Ве4)ст2 +(Се + ЕелС053ф)т2 +

+[(Др + Вр^)ст2 +(Ср + Dр^+ ЕрЛС053ф)т2 ]"

М = [4М , (2)

где 50 - модуль вектора полного напряжения на ок-таэдрической площадке; 4, л - гармонические функции, которые могут трактоваться как нормиро-

п„ , (1)

ванные нормальные и касательные напряжения на октаэдрической площадке; ф - фаза напряжений. Зависимости для элементов матрицы [Л] могу быть получены применением к потенциалу (1) формул Ка-стильяно [2]:

[ А.

[ A] =

A12 Ai6 A14 A

A22 A26 A24 A

A66 A64 A,

sim A44 A,

A,

(3)

Соответственно, могут быть записаны определяющие соотношения для изотропных разносопро-тивляющихся материалов [1] в матричной форме. Эти соотношения будут положены в основу разрешающих уравнений, которые учитывают возникновение трещины нормального отрыва.

В соответствии с условиями рассматриваемой задачи о плоском напряженном состоянии, компоненты тензора напряжений т13, т23, ст33 и соответствующие компоненты тензора деформаций обращаются в нуль. Принимая во внимание условия поставленной задачи, определяющие соотношения перепишутся в следующем виде:

A11CT11 + A12CT22 ' е22 " А2СТ11 + A22CT22 , в12

Здесь

(4)

Ап = {2(«1 + 2Н 2)/3 + Нз4(1 -42)/3 + Н 4[4(2-Л2) + + 4 (ст 11 - 2ст 22)/9 5 0] + Я5[лСОБ3Ф(1 + 42 )+2^24--2СОБ3ф^72СТ22 /50]}/3 ;

А12 = {2(«1 -Н2)/3+(Н3 + Н, /3)4 + Н5[СОБ3Ф(1 -4)->/24]}/3; А22 = {2(Н1 + 2Н2)/3 + Н3[4(1 -42)/3 + Н ,[4(2-Л2 ) + +4(ст22 -2ст 11)/950] + Н5[Лсоб3ф(1 + 42) + 2^4--2СОБ3Ф^72СТ и/ 5 0]}/3;

А66 = 2{2Н2 -Н343 + Н4[4(2-Л2)-(ст 11 +ст22)/350] +

+Н 5[>/2 л(ст 11 -ст 22)/2-л 3с0б3ф]}/3,

- константы потенциала деформаций 11 [1, 2].

Для исследования распределения параметров напряженно-деформируемого состояния у конца трещины в зависимости от полярного угла 6 (угол раскрытия трещины) в случае плоского напряженного состояния выполним следующее: а) введем полярные координаты с центром в конце трещины (г,6); б) введем

специальную функцию напряжений %(г,6).

Поскольку в данном исследовании не рассматривается область трещины, где реализуется асимптотика, функция напряжений примет следующий вид: х(г,6) = г3/2/(6) [9].

Воспользуемся дифференциальными уравнениями для компонент тензора напряжений, приведенными в работе А.В. Березина [9] для трещин нормального отрыва в телах, характеристики которых зависят от вида напряженного состояния:

A66T12

e

fi

ЭКСПЕРТ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

2022. № 3 (18)

EXPERT: THEORY AND PRACTICE

п 1Л 1 Э2х . ^ Э2х . ^ 1 Эх 1 Э2х (5) =---^^-7 ; сте =-7" ; г0 =~Т----. (5)

г г Эг г2 эе2 0 Эг2 г2 эе г ЭгЭе

Деформации удовлетворяют условию совместности, которое в полярных координатах имеет вид:

2 —( Г ^ Эг { Э0

_dsr _ r + r Э (гье)

' эе2 эе Эг2

(6)

Тогда уравнения равновесия удовлетворяются автоматически.

'1 Эх , 1 Э2х\ Л (Э2х1 Эг2

er = Ли! 1 + A12 I ^

r Эг r2 эе2 1 Эх 1 э2х

= Al21 r Эг + r2 эе2 J+A22 [эг2

1 эх 1 э2х

э2х

г2 эе r эгэе

(7)

Полученные выражения для деформаций (7) подставляем в уравнение совместности деформаций (6):

_Aiif(IV ) (е)+V • f "(е) _ 2 ( a66 + зли + ^ ) f "(е) +

i i + r (6 All + 3Ai2 ) f '(е)+—(6A12 + ЗА22 ) f (е)=0. 4 i6

(8)

Представленное разрешающее дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно зависимости /(0), определяющей функцию напряжения с учетом наличия трещины нормального отрыва, достаточно сложно для получения непосредственно аналитического решения, поэтому для его решения можно прибегнуть к численным методам, из которых в данном случае наиболее просто реализуется метод конечных разностей [13-15].

Результаты расчета

В ходе выполнения настоящего исследования, была решена модельная задача о плоском напряженном состоянии тонкой пластинки из начально-изотропного разносопротивляющегося материала с учетом повреждаемости в форме образования трещины отрыва. Для указанного композитного материала константы применяемого потенциала имеют следующие значения [1]:

п = 2,75; 4 = 6,533-10-5 МПа; Ве = 9,961 -10-6 МПа; С = 1,090-10-4 МПа; D = 3,493-10-5 МПа;

е ' ' е ' '

Ее = 8,829-10-6 МПа; Ар = 1,682-10-3 МПа(1-2п)/п; Бр = 1,609-1С-3 МПа(1-2п)/п; Ср = 1,376-1С-3 МПа(1-2п)/п; йр = 2,008-1С-3 МПа(1-2п)/п; Ер = 1,412-1С-4 МПа(1-2п)/п.

На рис. 2, 3 показаны результаты расчета напряжений вблизи кончика трещины (при г = 0,05 ), для двух вариантов расчета: с учетом теории деформирования разносопротивляющихся материалов и без учета данных эффектов.

а,. , 180

150 --

_________ > У \ ч \ \

\ \ \

Ч ^ \ \ \ N ч

ч ч L Ч

\ \ \ \ ____\ V.

\\ ЧЛ

0,2 0,4 0,6 0,8 1

- Классическое решение

----- Решение сучетом разносопротивляемости

Рис. 2. Напряжения стг (0) вблизи конца трещины

0,2 0,4 0,6

- Классическое решение

---- Решение сучетом разносопротивляемости

Рис. 3. Напряжения сте(0) и стг0(0) вблизи конца трещины (начало)

0,2 0,4 0,6

- Классическое решение -• Решение сучетом разносопротивляемости

Рис. 3. Напряжения сте(0) и стг0(0) вблизи конца трещины (окончание)

e

е

ь

6

Проводя анализ полученных результатов, показанных на рис. 2, 3, отметим, что при учете эффекта чувствительности материала к виду напряженного состояния наблюдается значительное увеличение уровня возникающих напряжений вблизи конца трещины, причем эта разница явно зависит от угла раскрытия трещины (полярного угла) 6 .

На рис. 2 для напряжений ar разница достигает 23% в зависимости от полярного угла 6 (в радианах). На рис. 3 для напряжений ст6 разница достигает 25% процентов, в зависимости от величины полярного угла 6 (в радианах). Здесь, для касательных напряжений стг6, разница достигает 77% в зависимости от величины полярного угла 6 (в радианах), кроме того, имеются заметные качественные различия в полученных результатах. Установленные эффекты, как в качественном, так и в количественном выражении, согласуются с характером результатов численных экспериментов, приведенных в работе [9].

Выводы

Описанная в работе методика расчета пластин с учетом наличия дефектов, позволяет выполнять расчеты тонких пластинок из начально-изотропного материала чувствительного к виду напряженного состояния с учетом повреждаемости в форме трещины нормального отрыва. Результаты проведенных исследований подтверждают, что учет эффекта разносопротивляемости является весьма важным для задач механики твердого тела при рассмотрении задач разрушения элементов конструкций. Показано, что учет чувствительности к виду напряженного состояния оказывает весьма существенное влияние на параметры напряженно-деформированного состояния в зоне развития трещины нормального отрыва, вблизи кончика трещины. Материалы данной статьи могут дать новую информацию о разрушении твердых тел и очевидно будут полезны для изучения процессов разрушения разносопротивляющихся материалов.

Библиографический список

1. Трещев, А.А. Теория деформирования и прочности материалов с изначальной или наведенной чувствительностью к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения / А.А. Трещев. - Москва-Тула: РААСН - ТулГУ, 2016. - 328 с.

2. Трещев, А.А. Теория деформирования и прочности разносопротивляющихся материалов / А.А. Трещев. - Тула: ТулГУ, 2020. - 359 с.

3. Матченко, Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред. Ч. 2. Нелинейные соотношения / Н.М. Матченко, Л.А. Толоконников, А.А. Трещев // Изв. РАН. МТТ. - 1999. - № 4. - С. 87-95.

4. Трещев, А.А. Теория деформирования пространственных железобетонных конструкций / А.А. Трещев, В.Г. Теличко. - М.; Тула: РААСН; ТулГУ, 2019. -386 с.

5. Treschev, A.A. Constitutive relations for isotropic materials allowing quasi-linear approximation of the deformation law / A.A. Treschev, A.A. Bobrishev, L.N. Shafigullin // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. -481 (2019). - 2019. - P. 1-7.

6. Березин, А.В. Сопротивление деформированию и разрушению изотропных графитовых материалов в условиях сложного напряженного состояния / А.В. Березин, Е.В. Ломакин, В.И. Строков, В.Н. Барабанов // Пробл. прочности. - 1979. - №2. - С. 60-65.

7. Березин, А.В. Трещины поперечного и продольного сдвига в разномодульных дилатирующих средах /

A.В. Березин, П.Л. Пономарев // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 2002. - №3. - С. 127-135.

8. Березин, А.В. Трещины в разносопротивляющихся дилатирующих материалах / А.В. Березин // Упругость и неупругость. - М.: Изд-во Моск. гос. ун-та. - 2011. - С. 304-307.

9. Березин, А.В. Влияние повреждений на деформационные и прочностные характеристики твердых тел. / А.В. Березин. - М.: Наука, 1990. - 134 с.

10. Березин, А.В. Деформирование материалов с приобретаемой физической или механической поврежденностью: монография / А.В. Березин,

B.Ю. Жиркевич, А.А. Трещев. - Тула: Изд-во ТулГУ, 2020. -401 с.

11. Теличко, В.Г. Гибридный конечный элемент для расчета плит и оболочек с усложненными свойствами / В.Г. Теличко, А.А. Трещев // Изв. вузов. Строительство. -2003. - № 5 (533). - С. 17-23.

12. Теличко, В.Г. Прочность многоэтажного здания из монолитного железобетона с учетом разносопротивляемости и повреждаемости материала / В.Г. Теличко, Н.В. Золотов // Строительство и реконструкция. -2018. - № 6 (80). - С. 22-31.

13. Бахвалов, Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения) / Н.С Бахвалов - М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». - 1975. -632 с.

14. Варвак, П.М. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций / П.М. Варвак, Л.П. Варвак. - М.: Стройиздат. - 1977. - С. 160.

15. Варвак, П.М. Справочник по теории упругости (для инженеров-строителей) / П.М. Варвак, А.Ф. Рябова -Киев: «Будiвельник». - 1971. - С. 418.

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Статья поступила в редакцию 19.04.2022; одобрена после рецензирования 01.07.2022; принята к публикации 15.07.2022. The authors declare no conflicts of interests.

The article was submitted 19.04.2022; approved after reviewing 01.07.2022; accepted for publication 15.07.2022.