ТРЕНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Транспортное машиностроение. 2022. № 01(1)-02(2). ISSN 2782-5957 (print) Transport Engineering. 2022. no. 01(1)-02(2). ISSN 2782-5957 (print)

Научная статья

Статья в открытом доступе

УДК 621.891

doi: 10.30987/2782-5957-2022-01-02-20-28

ТРЕНИЕ ФРАКТАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Михаил Александрович Измеров1Н, Виктор Петрович Тихомиров2

1,2 Брянский государственный технический университет, г. Брянск, Россия.

1 m.izmerov@yandex.ru, 0000-0003-4170-6184

2

dm-bgtu@yandex.ru.

Аннотация

Цель исследования: разработка методики определения коэффициента трения фрактальных поверхностей.

Задача, решению которой посвящена статья: оценка коэффициента трения.

Методы исследования: моделирование контактного взаимодействия, аналитические расчёты.

Новизна работы: проведена оценка коэффициента трения фрактальных поверхностей на основе оценки силового взаимодействия микровыступов.

Результаты исследования: представлена процедура определения составляющих коэффициента трения, зависящих от параметров фрактальной шероховатости; получены количественные результаты коэффициента трения фрактальных поверхностей.

Выводы: фрактальная модель контакта реализуется при малом контактном давлении, а с ростом фрактальной размерности коэффициент трения уменьшается.

Ключевые слова: фрактал, фрактальные поверхности, внешнее трение, модели контактного взаимодействия, коэффициент трения.

Original article Open Access Article

FRICTION OF FRACTAL SURFACES

Mikhail Aleksandrovich Izmerov1^, Viktor Petrovich Tikhomirov2

1,2 Bryansk State Technical University, Bryansk, Russia.

1 m.izmerov@yandex.ru, 0000-0003-4170-6184

2

dm-bgtu@yandex.ru.

Abstract

The work objective is to develop methods for defining the friction coefficient of fractal surfaces.

The problem to which the paper is devoted: estimation of the friction coefficient.

Research methods: modelling of contact interaction, analytical calculations.

The novelty of the work: the friction coefficient of fractal surfaces is estimated based on the estimation of the force interaction of microirregularities.

Results of the study: the procedure for defining the components of the friction coefficient depending on

the parameters of fractal roughness is presented; quantitative results of the friction coefficient of fractal surfaces are obtained.

Conclusions: the fractal contact model is implemented at low contact pressure, and with the growth of the fractal dimension, the friction coefficient decreases.

Keywords: fractal, fractal surfaces, external friction, models of contact interaction, friction coefficient.

Введение

В более ранних работах по данной тематике исследователи полагали, что статическое трение возникает за счет

© Измеров М.А., Тихомиров В.ПА., 2022

механических взаимодействий

шероховатых поверхностей на уровне микромасштаба [1]. Линейная зависимость

20

силы трения от нормальной нагрузки в теории Кулона-Амонтона определялась наклоном неровностей. При этом коэффициент статического трения оказывался пропорциональным тангенсу угла наклона fs = tan в [2]. Линейное соотношение между фактической площадью контакта и нормальной силой, наблюдаемое часто в экспериментальных исследованиях, используется для оценки адекватности предлагаемой модели механики контакта. Боуден и Тейбор [3] отмечали влияние на сопротивление относительному сдвигу твердых тел молекулярного взаимодействия физическом контакте твердых тел.

В настоящее время полагают, трение и сопутствующие процессы, определяющие поведение пары трения, зависят не столько от свойств элементов пары, сколько от структуры всей трибологической системы, включающей промежуточную и окружающую среду, а

на

что

также разного рода воздействия на систему. Это имеет особое значение в трибосистемах в условиях низкой нагрузки, где сопротивление

относительному сдвигу элементов пары трения может не показать линейную зависимость от нормальных сил [4].

Следует отметить исследования по изучению зависимости фрикционных явлений от параметров шероховатости таких, как, например, арифметическое среднее отклонение ординат неровностей Ra и др. [5]. Кроме того, для оценки статического трения используют свойства материала, соотношение твердости элементов пары, распределение высот шероховатой поверхности и форму неровностей [6]. Эти исследования обычно строились на основе определённого распределения высот шероховатости с принятыми неровностями в виде сферических сегментов.

Модель контактного взаимодействия

На рис. 1. приведены поверхности, имеющие разную структуру при одной и

той же амплитудном характеристике среднеквадратичного отклонения высот.

а) б)

Рис. 1. Поверхности: а - фрактальная; б - модель Гринвуда-Вильямсона

Fig. 1. Surfaces: a - fractal; b - Greenwood-Williamson model

Инженерные поверхности имеют многоуровневые отклонения от

правильной формы, присущие

фрактальным объектам и характеризуемые статистическим самоподобием [7], и таким образом, в последние годы фрактальная природа привлекает все большее внимание исследователей в области анализа инженерных поверхностей и задач, связанных с контактной механикой [8, 9].

В работе [10] представлена структура и взаимодействие фрактальных

поверхностей. На рис. 2а - показана модель элементарного взаимодействия неровностей фрактальных шероховатых поверхностей и на рис. 2б - их силовые взаимоотношения. Здесь щ - площадь пятна, которая предполагается

равноценной с ее проекцией ввиду малого угла наклона неровностей 0.

-

х>-^ВгЮи j* im' 1/ 1 И i i4 J |j*i I Y'wJ^H-

0

аоз 1000 1200 14C0 1000 1000 200C

X (nm)

а) б)

Рис. 2. Фрактальные поверхности: а - схема контакта, б - их силовые взаимодействия

Fig. 2. Fractal surfaces: a - contact diagram, b - their force interactions

В соответствии с рис. 2 запишем

El- f - t9° + tgp

P ln

1 — • Тдр где 0 - угол наклона неровностей; р — угол трения (имеется виду молекулярная составляющая трения). Учитывая зависимость угла наклона от фрактальной размерности, перепишем выражение для коэффициента трения

tg[nGD-1atDV2]+fa

.2

fi =

1-tg

При fa = 0,1

nGD-1a(1-UJ/2]fa

G = 10-4 мкм; a = 50 мкм2 соответственно зависимость угла наклона неровности от фрактальной размерности и зависимость коэффициента трения от фрактальной размерности представлена на рис. 3.

а) б)

Рис. 3. Зависимости: а - угла наклона неровности, б - коэффициента трения от фрактальной размерности

Fig. 3. Dependences: a - the angle of inclination of the irregularity, b - the coefficient offriction

on the fractal dimension

Таким образом, рост фрактальной размерности приводит к снижению коэффициента трения. Причем резкое снижение коэффициента трения наблюдается для поверхностей с фрактальной размерностью до D = 1,4.

В первом приближении молекулярную составляющую коэффициента трения можно принять в качестве константы и определить для пластического контакта как

= {др =-ц.

Здесь т - удельное сопротивление срезу молекулярных связей между взаимодействующими поверхностями.

В расчетах приближенно можно принять т = НЛО..^ [11]. Тогда гдр = 0,1. Рассматривая отдельный контакт неровностей, запишем коэффициент трения в виде

fi =

yn и tg Qj + tgp

Li=i^ni1-tgertgp

У? И ■

¿11 = 1 ГП1

Таким образом, коэффициент трения зависит от наклона неровностей и молекулярной составляющей коэффициента тре-

Строение фрактальной поверхности

Представим в упрощенном виде структуру поверхностного слоя при наличии первичной поверхности, характеризуемой фрактальными свойствами (рис. 4).

Рис. 4. Структура сечения поверхностного слоя

Fig. 4. Structure of the cross section of the surface layer

tgOi + tgp

1 - tgBi • tgp ния, а также от размера площади пятна контакта.

Для получения количественной зависимости коэффициента трения от нагрузки примем следующие допущения: для всех структурных составляющих модуль упругости один и тот же; при оценке фактической площади не учитывается площадь пластически деформируемых пятен.

Описание поверхности с помощью фрактальных представлений в большей степени отражает первичную поверхность, не искаженную записью с помощью ощупывания за счет конечного размера радиуса иглы щупа. В работе [12] приведена зависимость ординат поверхности относительно срединной плоскости в виде

Ds-2

1/2 ,

Y

(Ds-3)n

п=п1

cos 0

in

— cos

2nyn(x2 + y2)1/2

I

Здесь г(х,у) — ординаты поверхности; Бз - фрактальная размерность поверхности (2<Оз<3, Д$=0+1); у - параметр масштаба, определяющий спектральную плотность и самоаффинность (у > 1); Ь - длина, характеризующая наличие фрактальности; Ф1п -случайная фаза равномерно распределена на отрезке [0, 2п]; М - количество вершин выступов на рассматриваемом участке поверхности; Птса=т^(Ь/Ьз)/\&{] - целое число верхнего предела суммы; Ьз - длина,

-о-

cos [arctg Q —

+0

in

соответствующая размеру щупа; у'1 = -

Случайная фаза используется для того, чтобы исключить совпадения частот в каждой точке профиля. Фрактальный параметр О является высотным масштабным показателем, не зависящим от частоты.

Профиль как фрактальная кривая описывается уравнением г(х,у) = 0. Для отдельно взятого пика (М=1), приняв Ф1п = 0, запишем

z(x) = GD-1(lny)1/2l

2-D

(2пх\

1—cosbr>

Высота выступа (пика) равна

8 = х(х = 1/2) = 2С°-1(1пу)1/212-°. Найдем радиус верхней части пика по формуле:

-Л Г = 88 .

Подставив выражение для высоты выступа в уравнение радиуса, получим:

__I2__ 1°

Г = 8 • 2С°-1(1пу)1/212-° = 16Си-1(1пу)1/2'

п

Учитывая, что у=1,5 и l <х а, где а - площадь среза выступа, найдем

а°/2

г =

10,188С°-1'

Множественный контакт

Для оценки параметров контактного взаимодействия необходимо знать распределение площадей пятен контакта, сумма которых равна фактической площади. В работе А. Маджумдара [13] используется размерное распределение площадок контакта, которое получено на основе фундаментального закона Корчака, устанавливающего связь количества фрактальных объ-

ектов с фрактальной размерностью и площадью объекта, имеющего максимальную площадь a L:

Ы(А > а) = .

Размерное распределение площадок множественного контакта выражается зависимостью

п(а') =

йЫ(А > а) йа

В В/2 = 2<

(а')

-(2+Р)/2.

Здесь a' - площадь среза неровности.

В случае упругого контакта нагрузка воспринимаемая всеми пятнами, определяется соотношением

.а'3/2

п(а')йа'.

_ Г^4 а'

= к 3е Т3

п3/2г

Приняв ac = 0 и подставив в него выраже ние для радиуса, получим

Ее = 2Е'-ф4(\пу)1/2С1/2а1/4\п^ ,

Ре =

0 <а' <аь;1<0 <2. 2,44Е'Бв0-1

■а

(3-0)/2

Б <1,5.

(3 — 2Б)

При фрактальной размерности D =1,5 зависимость нагрузки от факторов фрактальной поверхности представлена в [13]. В частности, в работе [14] приведена следующая зависимость

Критическая площадь пятна, характеризующая переход от пластического состояния к упругому, определяется так

ас = (2,44С0-1

2/Ф-1)

н

И = 1,5.

Фактическая площадь контакта будет

равна

А-,

= I а' ^0

п(а')йа' =

Б

2 —Б

аь.

Оценка коэффициента трения

Молекулярную составляющую коэффициента найдем с помощью выражения

г- = нг+1>-

Здесь т0 — удельное сопротивление срезу фрикционных связей при нулевом контактном давлении (в расчетах принято зна-

2,44Е'ПС°-1

F =-

Ге (3 — 20)

Заметим, что при 0^1 имеем /у =к Аг.

чение т0 = Н/8); р — коэффициент, учитывающий упрочнение адгезионных связей в результате приложения контактной нагрузки = 0,05 [11]).

Запишем нормальную нагрузку, подставив значение а1 = /(Аг), в виде

3-Р 2

А„

3-Р 2

Пусть рассматриваемая номинальная

ЕР 2,440С°-1 (2

Б

площадь равна Ь2. Выразим параметры контактного взаимодействия в виде безразмерных величин. Тогда

ъ-р

Б

3-Р

I 2

Е'Ь2 (3 — 2Б)Ь2 ( Б

А.

2

Запишем связь между относительной площадью контакта и безразмерной силой в виде следующего соотношения

Ay

~L2

-2 3-D

3-D

2,44DG°-1 /2-DyT / fe \ ТЗ—2Щ2 [ D ) [M2)

2

3-D

Примем Z = 1. В качестве иллюстрации приведем на рис. 5 зависимость площади контакта от нагрузки в относительных величинах при значениях Ra 3,2 мкм; D = 1,462 и H = 2000 МПа.

Используя приведенные ранее соотношения, найдем молекулярную составляющую коэффициента трения для фрактальных поверхностей в зависимости от безразмерной нагрузки (рис. 6).

Рис. 5. Зависимость площади контакта от нагрузки

в относительных величинах Fig. 5. The dependence of the contact area on the load in relative terms

F, /(EL2)

Рис. 6. Зависимость молекулярной составляющей от безразмерной нагрузки Fig. 6. Dependence of the molecular component on the dimensionless load

Для фрактальной размерности D >1,5 молекулярная составляющая коэффициен-

та трения с ростом фрактальной размерности падает (табл. 1 ).

Таблица1

Коэффициент трения между фрактальными поверхностями

Арифметическое среднее отклонение ординат профиля Ra, мкм Фрактальная размерность D Молекулярная составляющая коэффициента трения fa

0,30 1,611 0,330

0,63 1,563 0,407

1,25 1,520 0,551

Переход от фрактальной модели к модели Герца

Под моделью Герца понимаем те мо- статистического описания поверхности как

дели, в которых параметры шероховатой случайного поля. Такой подход применен,

поверхности определяются с помощью например, в работах [15, 16, 17].

В качестве критерия, оценивающего условия перехода, рассмотрим соотношение между такими безразмерными параметрами, как

(Ал =

L2)fr (2 — D)L2

D

• модель Герца

( Ay

Ay

L2

К

vs

2A4DGd

Е' 1?'

Приведем эти соотношения для моделей:

• фрактальная модель 2

-1

3 — 2D

2 3-D

(Je_\3-D \E'L2)

{ь2)^ егГ{Е'ь2^ш;).

Здесь т2 — второй спектральный момент (Vт2 - наклон неровности).

Приняв Ь = 1; Vт2 = 0,07, получим в

двойных логарифмических координатаз соответствующие зависимости (рис. 7). В качестве примера для получения искомых зависимостей, используем фрактальные параметры Б = 1,462; О = 0,015 мкм.

F/(EZ-)

Рис. 7. Переход от фрактальной модели к модели Герца Fig. 7. Transition from the fractal model to the Hertz model

До ~ 3 10-6 адекватной для данного примера является фрактальная модель, а при значениях, больших чем 3 10-6, точнее отражает процессы контактного взаимоЗаключение

При оценке коэффициента трения фрактальных поверхностей при малых нагрузках учитывались молекулярная составляющая и наклон неровностей. Представлена процедура определения состав-

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. O'Connor J., Johnson K. The role of surface asperities in transmitting tangential forces between metals. Wear. 1963; 6:118-39.

2. Muser M.H., Wenning L., Robbins M.O. Simple microscopic theory of Amonton's laws for static friction // Phys rev lett. 2001; 86:1295. DOI:

действия модель Герца. Условие перехода можно сформулировать в терминах давления: номинальное давление перехода в данном случае составляет ~ 6 МПа.

ляющих коэффициента трения, зависящих, в свою очередь, от параметров фрактальной шероховатости. Получены количественные результаты коэффициента трения фрактальных поверхностей.

10.1103/PhysRevLett.86.1295.

3. Bowden F., Tabor D. The area of contact between stationary and between moving surfaces Proceedings of the royal society of London series A - Mathematical and physical sciences. 1939:391-413.

4. Adams G.G., Muftu S., Azhar N.M. A scale-

dependent model for multi-asperity contact and friction Journal of tribology. 2003;125:700-8.

5. Menezes P.L., Kailas S.V. Effect of surface roughness parameters and surface texture on friction and transfer layer formation in tin-steel tribo-system J. mater process technol. 2008;208:372-82.

6. Greenwood J., Williamson J. Contact of nominally flat surfaces Proceedings of the royal society of London series A - Mathematical and physical sciences. 1966;295:300-19.

7. Go J.Y., Pyun S.I. Fractal approach to rough surfaces and interfaces in electrochemistry Modern aspects of electrochemistry. Springer, 2006. P. 167229.

8. Yan W., Komvopoulos K. Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces Journal of applied physics. 1998; 84(7):3617.

9. Kuo X., Yuan Y., Jianjiang C. The effects of size distribution functions on contact between fractal rough surfaces AIP Advances 8. 2018;075317:1-14.

10. Hanaor D.A., Gan Y., Einav I. Static friction at fractal interfaces Tribology International. 2016; 93:229-238.

11. Михин Н.М. Внешнее трение твердых тел. М.:

REFERENCES

1. O'Connor J., Johnson K. The role of surface asperities in transmitting tangential forces between metals. Wear. 1963; 6:118-39.

2. Muser M.H., Wenning L., Robbins M.O. Simple microscopic theory of Amonton's laws for static friction // Phys rev lett. 2001; 86:1295. DOI: 10.1103/PhysRevLett.86.1295.

3. Bowden F., Tabor D. The area of contact between stationary and between moving surfaces Proceedings of the royal society of London series A - Mathematical and physical sciences. 1939:391-413.

4. Adams G.G., Muftu S., Azhar N.M. A scale-dependent model for multi-asperity contact and friction Journal of tribology. 2003;125:700-8.

5. Menezes P.L., Kailas S.V. Effect of surface roughness parameters and surface texture on friction and transfer layer formation in tin-steel tribo-system J. mater process technol. 2008;208:372-82.

6. Greenwood J., Williamson J. Contact of nominally flat surfaces Proceedings of the royal society of London series A - Mathematical and physical sciences. 1966;295:300-19.

7. Go J.Y., Pyun S.I. Fractal approach to rough surfaces and interfaces in electrochemistry Modern aspects of electrochemistry. Springer, 2006. P. 167229.

8. Yan W., Komvopoulos K. Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces Journal of applied physics. 1998; 84(7):3617.

9. Kuo X., Yuan Y., Jianjiang C. The effects of size

Наука, 1977. 221 с.

12. Yaii W. Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces Journal of applied physics. 1998;84(7):3617.

13. Маджумдар А., Бхушан Б. Фрактальная модель упругопластического контактирования шероховатых поверхностей // Современное машиностроение. Сер. Б. 1991. №6. С. 11-23.

14. Zhao Y., Yang Ch., Cai L., Shi W., Hong Y. Stiffness and damping model of bolted joints with uneven surface contact pressure distribution Strojniski vestnik - Journal of Mechanical Engineering. 2016;11(62):556-677.

15. Whitehouse D.J., Archard J.F. The Properties of random surfaces of significance in their contact Proceedings of the royal society of London A. 1970;316:97-121.

16. Jackson R.L., Streator J.L. A multiscale model for contact between rough surfaces. Wear. 2006;261(1112):1337-1347.

17. Jackson R.L., Green I. A statistical model of elasto-plastic asperity contact be-tween rough surfaces Tribology international. 2006;9(39):906-914.

distribution functions on contact between fractal rough surfaces AIP Advances 8. 2018;075317:1-14.

10. Hanaor D.A., Gan Y., Einav I. Static friction at fractal interfaces Tribology International. 2016; 93:229-238.

11. Mikhin N.M. External friction of solid surfaces, Moscow: Nauka, 1977. 221 p.

12. Yaii W. Contact analysis of elastic-plastic fractal surfaces Journal of applied physics. 1998;84(7):3617.

13. Majumdar A., Bkhushan B. Fractal model of elastic-plastic contacting of rough surfaces // Sov-remennoye Mashinostroenie [Modern Mechanical Engineering]. Ser. B. 1991. to. 6. pp. 11-23.

14. Zhao Y., Yang Ch., Cai L., Shi W., Hong Y. Stiffness and damping model of bolted joints with uneven surface contact pressure distribution Strojniski vestnik - Journal of Mechanical Engineering. 2016;11(62):556-677.

15. Whitehouse D.J., Archard J.F. The Properties of random surfaces of significance in their contact Proceedings of the royal society of London A. 1970;316:97-121.

16. Jackson R.L., Streator J.L. A multiscale model for contact between rough surfaces. Wear. 2006;261(1112):1337-1347.

17. Jackson R.L., Green I. A statistical model of elasto-plastic asperity contact be-tween rough surfaces Tribology international. 2006;9(39):906-914.

Ссылка для цитирования:

Измеров, М.А. Трение фрактальных поверхностей /М.А. Измеров, В.П. Тихомиров // Транспортное машиностроение. - 2022. - № 1-2. - С. 20 - 28. ёо1: 10.30987/2782-5957-2022-01-02-20-28.

Информация об авторах:

Измеров Михаил Александрович, кандидат тех- Тихомиров Виктор Петрович, доктор технических нических наук, доцент кафедры «Трубопроводные наук, профессор кафедры «Трубопроводные транстранспортные системы» Брянского государственно- портные системы» Брянского государственного го технического университета, тел.: 8-952-960-17- технического университета, тел.: 8(4832) 41-98-90.

19.

Izmerov Mikhail Aleksandrovich, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Pipeline transport systems at Bryansk State Technical University, phone: 8-952-960-17-19.

Tikhomirov Viktor Petrovich, Doctor of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Pipeline transport systems at Bryansk State Technical University, phone: 8(4832) 41-98-90.

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов. The authors declare no conflicts of interests.

Статья поступила в редакцию 22.09.2021; одобрена после рецензирования 22.11.2021; принята к публикации 15.01.2022. Рецензент - Алгабачиев А.Ю., доктор технических наук, профессор, заведующий отделом Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, член редсовета журнала «Транспортное машиностроение».

The article was submitted to the editorial office on 22.09.2021; approved after review on 22.11.2021; accepted for publication on 15.01.2022. The reviewer is A.Y. Algaba-chiev, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences, member of the Editorial Board of the journal Transport Engineering.