Контактная механика фрактальных поверхностей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.891

В.П. Тихомиров, М.А. Измеров

КОНТАКТНАЯ МЕХАНИКА ФРАКТАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Показана связь классического статистического метода оценки геометрии шероховатых поверхностей и фрактального подхода. Описаны процедуры моделирования фрактальных поверхностей. Адекватность моделей реальным поверхностям проверена по спектральной плотности и предложенному критерию адекватности. Получена связь между деформацией микронеровности и нагрузкой, дающая полную картину упруго-пластического состояния пятна контакта при заданном сближении.

Ключевые слова: контактная механика, фрактальные поверхности, зазор, фрактальная размерность, спектральная плотность, моделирование поверхностей, деформация.

При решении трибологических задач представляется важным определить параметры контактного взаимодействия с учетом наличия шероховатости. Решение подобных задач требует разработки моделей реальных поверхностей и их контактного взаимодействия. При этом принимаются допущения, которые снижают ценность моделей. Критерием адекватности модели реальной поверхности служит либо одинаковость распределения материала в шероховатом слое [1], либо плотность вершин выступов [2]. В ряде случаев при разработке моделей поверхностей полагают постоянство радиусов закругления верхней части выступов, при этом законы распределения вершин выступов могут быть разными. Обзор моделей контактного взаимодействия шероховатых поверхностей представлен в работе [3].

Модель Гринвуда-Вильямсона [2] ограничивалась рассмотрением упругого контакта шероховатых поверхностей. Дальнейшие работы учитывали наличие контактов с пластическим состоянием [4], анизотропию поверхности [5] и другие особенности контактного взаимодействия [6].

Особенности фрактального подхода [7 - 9 и др.] позволяют исключить некоторые недостаточно обоснованные допущения, в частности: постоянство радиуса закругления верхней части неровностей и его независимость от величины сближения; введение в модель контактного взаимодействия таких факторов, не зависящих от масштаба (скейлинга), как фрактальная размерность и фрактальный параметр поверхности. При этом возможно использовать ЭВМ для автоматизации и ускорения расчётов, что немаловажно при решении контактных задач в 3D на больших участках поверхности с высокой детализацией.

Связь фрактального и статистического методов. Моделирование инженерной поверхности возможно при установлении связи фрактальной размерности с параметрами шероховатости инженерных поверхностей. В ряде случаев требуется использовать данные об инженерных поверхностях и их параметрах, которые не содержат оценку фрактальной размерности.

К параметрам фрактальной поверхности, не зависящим от шкалы измерения, относят ее размерность и фрактальный параметр. Фрактальные размерности поверхности и ее профиля (по мнению Б. Мандельброта) связаны следующим соотношением:

Мощность спектральной функции Вейерштрасса-Мандельброта для профиля поверхности определяется выражением

Ds=D+1.

(У

,20-а

Параметр G можно определить из уравнения

--- 1 < П < 2.

Для профиля поверхности фрактальная размерность определяется угловым коэффициентом К (наклоном прямой, построенной в координатах lgS-lga). Тогда фрактальная размерность для изотропной поверхности, параметры шероховатости которой можно определить по одной профилограмме, равна

5-К

О =

Учитывая, что G=f(Rq), после несложных преобразований получим

ш___

I

а

22-Ъ

Проинтегрировав, получим

.2 _

к тах тги *

откуда фрактальный параметр G будет равен

С =

Параметр G (по данным Д. Павелеску и А. Тудора [10]) изменяется в пределах от 9,9-10-16 до 1,2-10-2 мкм, что подтверждает представленная зависимость, выведенная нами.

В работе [10] отмечается существенная разница в оценке параметров шероховатости при использовании фрактального и статистического методов. В таблице приведены некоторые формулы для определения параметров шероховатости.

Таблица

Сравнительная оценка параметров шероховатости

Фрактальный метод Статистический метод

Спектральная мощность профиля

-■ ■ : з мкм " * 2! иг мкм , D0 - число нулей (пересечений профиля средней линией), отнесенное к единице длины, мкм-1

Радиус закругления вершин выступов

мкм, а - площадь пятна контакта, мкм2 мкм, De - число экстремальных точек, отнесенное к единице длины, мкм-1; о - среднее квадратическое отклонение профиля

Нахождение фрактальной размерности D возможно и на основе установления связи с такими параметрами шероховатости, как среднее арифметическое отклонение профиля Ra и среднее квадратическое отклонение профиля Rq. Подобные зависимости получены на основе обработки экспериментальных данных некоторых инженерных поверхностей [9; 11; 12]. Сравнение этих зависимостей показывает их удовлетворительное соответствие в диапазоне Ra Е[0,2.. .1,3].

Моделирование фрактальных поверхностей. Модель фрактальной поверхности может быть представлена следующим выражением [13]:

У-1

м

20

Х,1

ш

/2тгт\ /2ткт\

^ I ■+ уят ^ -

М У \ м

п.= 0 т= 1

Здесь сz - сомножитель; ц>1 - параметр пространственно-частотного масштабирования; Ds - фрактальная размерность (2^<3); Ы,Ы - число гармоник; К - основное пространственное волновое число; впт - случайная фаза, распределенная равномерно в интервале [-п, +п].

Сомножитель ^ можно определить из соотношения

1/2

На рис. 1 представлена модель поверхности, построенная при следующих данных: ц =2,7; К=1; Ы=Ы=3; в^-К^О,*]; Ds=2,17.

К алгоритмам моделирования фрактальных поверхностей можно отнести метод последовательного случайного сложения, предложенный Р.Ф. Фоссом, а также метод серединного смещения, применяя которые можно получить достаточно детализированную картину поверхности в объёме (3D). Все эти алгоритмы были нами опробованы и протестированы. Составленная на языке программирования С++ программа даёт возможность не только увидеть в 3D смоделированную поверхность с её параметрами шероховатости, но и провести компьютерный эксперимент по контактированию двух шероховатых поверхностей (рис. 2).

Адекватность модели реальной поверхности. Моделирование фрактальных поверхностей и построение базы поверхностей позволяет за сравнительно короткое время с помощью компьютерных технологий провести оценку параметров, необходимых для практических задач. Важной является проверка адекватности модели реальной поверхности. Нами предложены критерии сравнения модели поверхности с оригиналом. На рис. 3 представлены реальная поверхность и ее модель. Сравнение спектральной плотности реальной поверхности и модели (рис. 4) является одним из обоснований их адекватности. Так как важную роль играют такие параметры, как среднее квадратическое отклоне-

ние высот неровностей поверхности и фрактальный фактор G, то в дополнение к фрактальной размерности DS предлагается следующий критерий адекватности:

тг = Ra/Rq = idem,

где Ra - среднее арифметическое отклонение ординат; Rq - среднее квадратическое отклонение.

Критерий тс можно представить в виде следующего выражения:

71 =

гС

— со

тах ~min

Здесь G - фрактальный фактор; у - величина, равная 1,5 (по А. Маджумдару); а -частота.

>" Ч jJ-ni h

\ (jim>

У (Jimh

зс. (4J ni>

а)б)

Рис. 3. Моделирование инженерной поверхности: а - реальная поверхность; б - модель

■ь

Df = 2.Sl

-я 4 I |0£ <й

а)

б)

Рис. 4. Спектральная плотность: а - реальная поверхность; б - модель

Для представленных на рис. 3 поверхностей критерий п принял следующие значения: п =0,085816 - для реальной поверхности; п = 0,08248 -для модели. Критерий п показывает хорошую сходимость полученных результатов, свидетельствуя о том, что эти две поверхности идентичны.

Контактная механика фрактальных поверхностей. Для единичного пятна связь между нагрузкой и площадью соответственно при упругом и пластическом состояниях имеет

ВИД

=

-

где ад G [amiil, aj; ctp G [ае_.р2, ctmax~\. Учитывая, что а = a"ctmax,запишем:

=

l(3"J?î /2„Î3"J?î/2

'"е/ 771QX '

FpO 00 = Нта;а

max'

где a; G <Ь % е 1].

Для множественного контакта найдем нагрузку, воспринимаемую упруго деформированными пятнами:

-

Здесь а"'- переменная интегрирования. Число пятен контакта определяется выражением

/я

№ГЛ > а ■ V= [ = ГЯ" .

v^1 Sii»/ I „ f

Подставив число пятен в формулу для Fe(o), после несложных преобразований получим

-

0 з i - «J1- J

Проинтегрировав это выражение, окончательно запишем:

ре(_а) = --—--^-^^

Нагрузка, приходящаяся на пятна, находящиеся в пластическом состоянии, оценивается соотношением

.о Г ,Л1-а ,

■ m"maj-4""mí)i.' -}_ A -j _ * "ll-c 1

¿ " 1 lUtn¡J

^m flmaí С™)

Fv(a) при—> 110a;; 0 при — < 110я*.

Кроме пятен, находящихся в упругом и пластическом состояниях, имеются пятна в упругопластическом состоянии (е-р-контакт). Изучение упругопластической деформации при контакте полусферы с жесткой плоскостью с помощью метода конечных элементов [14] позволило записать соотношения между нагрузкой и относительной деформацией в следующем виде:

• для случая а% < < 6а*

с

4,12 , . -Е ,

е~Р± ~ a TZG--

В _ ч 2 О ч ■-■ ¿-цадвз-я

fCerY? н f

=— НЧ С*ЦсС[а") da =

2 / 2 2.425-a 1-lV.

Э jtG

для случая 6а"с < р1 < ИОа*

° i-a

*-Р2 Э ^^--V:)1 к 2 / 2.2&3-Й l-fQ" ■ 11_Я

Из условия равновесия найдем

Г = ?е (а) + + Ге_.р2 + (а) ■

Площади упруго, упругопластически и пластически деформируемых пятен соответственно равны

(а" ■ У^12 а _г г-а _ г-ал.

гв 2—а ^^ тах т.гп.}1

_ 0,93 а,

~ 1.136

НС-с"-

с

0,9 4ас 2 1-я (6

V 2Д46 _ ~ 1 — ОС-,,)1"*

0,9 4а_ л 1-я (110а^146-а-(бяП114б"а

■_г \ —_^__4 с-_

атах V. й"тг«-'

2

Если какая-либо часть фактической площади контакта окажется отрицательной, то ее не следует учитывать при оценке всей площади контакта.

Интерес представляет сравнение оценок фактической площади контакта, полученных по формулам

Аг — Аге +'Ля.|(в_р|) 25

рр

и

1+Р/2

¿1 — тах г Я/2 ■

Я

шел

Номинальная площадь равна

Номинальное давление при задаваемой величине номинальной площади равно

I? 1

Сближение можно найти из соотношения

■

где

/2 , если а" > 110я*;

<р = \ 2 - я* /а", если 1 < я* < 110я*;

если а" < 1.

При контактном взаимодействии анизотропных поверхностей пятна контакта существенно отличаются по форме от круга. В этом случае, используя компьютерное моделирование, найдем в графической форме зависимости контурной площади сопряжения от сближения при любой форме пятен касания. Тогда несущая способность контакта при заданной нагрузке определяется одной и той же контурной площадью, которая соответствует разным сближениям и другим параметрам контактного взаимодействия. Процедура определения сближения для разных сочетаний поверхностей понятна из рис. 5.

Таким образом, выполнена сравнительная оценка параметров инженерной поверхности, полученных с помощью фрактальных представлений и методом статистического анализа. Используя фрактальные представления о геометрии шероховатой поверхности, можно создать трёхмерную компьютерную модель контакта и провести компьютерный эксперимент по деформированию сопряжённых поверхностей с расчётом основных параметров контактирования.

Установленные зависимости позволяют определить такие параметры контактного взаимодействия, как фактическая площадь контакта, контактная жесткость и др. С помощью представлений о шероховатом

слое как о фрактальном объекте рассмотрен вопрос замены контакта шероховатых поверхностей на контактное взаимодействие гладкой поверхности с поверхностью, имеющей эквивалентные параметры шероховатости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демкин, Н.Б. Развитие теории фрикционного контакта/Н.Б. Демкин//Трение и износ.-1992. - Т. 13.-№1.-С.71-80.

2. Greenwood, J.A. Contact of nominally flat surfaces/J.A. Greenwood, J.B.P. Williamson//Proc. Royal Soc. Lon-don.Ser. A. - 1966.-V. 293.-P. 300-319.

3. Bhushan, B. Contact mechanics of rough surfaces in tribology: Multiple asperity contact/B. Bhushan//Tribology Letters.-1998-V.4-P. 1-35.

4. Chang, W, An elastic-plastic model for the contact of rough surfaces/ W. Chang, I. Etsion, D. Bogy// Journal of Tribology. -1987. -V. 109.-P. 257-263.

5. Bush, A. Strongly anisotropic rough surfaces/ A. Bush, R. Gibson, G. Klogh//Journal of Lubrication Technology. - 1979.-V. 101.- P. 15-20.

6. Горячева, И.Г. Механика фрикционного контакта/И.Г. Горячева.-М.: Наука, 2001. - 479 с.

7. Маджумдар, А. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей /А. Маджумдар, Б. Бхушан//Современное машиностроение. Сер. Б.-1991.-№6.- С. 11-23.

8. Ganti, S. Generalized fractal analysis and its application to engineering surfaces/ S. Ganti, B. Bhu-shan//Wear. -1995.-V. 180.-P. 17-34.

9. Тихомиров, В.П. Контактное взаимодействие фрактальных поверхностей/ В.П. Тихомиров// Трение и из-нос-1997-Т.18. - №3. - С.369-374.

10. Pavelescu, D. On the roughness fractal character, the tribological parameters and the error factors/D.Pavelescu, A. Tudor//Proceedings of the Romanian Academy. Ser. A. - 2004. -Vol. 5. -№2.

11. Barman, T.K. Fractal relation with conventional roughness parameters for surface topography generated in grinding/T.K. Barman, P. Sahoo// Proc. of the Intern. Conf. of Mech. Engineering. - Dhaka, Bangladesh, 2005. -P.1-5.

12. Лабутин, И.С. Связь шероховатости и фрактальной размерности для односвязных поверхностей//И.С. Лабутин, В.В. Брюханов//Изв. КТГУ. - 2006.-№ 10.

13. Потапов, А.А. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью / А.А. Потапов, А.В. Лактюнькин// Нелинейный мир. - 2001.-Т. 6. - № 6. - С. 3-36.

14. Jackson, R.L. A Finite element study of elastic-plastic hemispherical contact against a rigid flat / R. L. Jackson, I. Green/Journal of Tribology. - 2005. - V. 127. - P.343-354.

Материал поступил в редколлегию 10.02.15.

1 1- а

1- а* 1- Щ V

V\

Ас

Рис. 5. Зависимость контурной

площади от относительного

сближения a*=a/Rp