CC BY
47
УДК 531.44
Метод редукции размерности и его применение для моделирования трения эластомеров в условиях сложных динамических нагрузок
А.В. Димаки, В.Л. Попов1
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 1 Берлинский технический университет, Берлин, 10623, Германия
Изложены основные идеи метода редукции размерности, показана его эффективность для моделирования трения эластомеров с произвольной линейной реологией и жесткой шероховатой поверхностью, имеющей фрактальный рельеф. Изучено влияние времени фиксации эластомера на жесткой поверхности перед началом тангенциального движения на статический коэффициент трения. Исследовано влияние гармонических осцилляций прижимающей нормальной силы на коэффициент трения при стационарном режиме скольжения.
Ключевые слова: метод редукции размерности, эластомеры, трение, фрактальный рельеф, статический коэффициент трения, коэффициент трения скольжения, осцилляции
The method of reduction of dimensionality and its application to simulation of elastomer friction under complex dynamic loads
A.V. Dimaki and V.L. Popov1
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
1 Berlin University of Technology, Berlin, 10623, Germany
The paper reports on basic ideas of the method of reduction of dimensionality and demonstrates its efficiency in simulation of friction of elastomers having arbitrary linear rheology and a rigid rough surface with fractal relief. The fixation time of elastomer on a rigid surface before the onset of tangential motion is studied as a parameter affecting the static friction coefficient. It is also studied how the friction coefficient in steady-state sliding is affected by harmonic oscillations of normal pressing force.
Keywords: method of reduction of dimensionality, elastomers, friction, fractal relief, stationary friction coefficient, sliding friction coefficient, oscillations
1. Введение
Расчет силы трения между твердыми шероховатыми поверхностями с заданной топографией и эластомерами до сих пор представляет собой сложную и не до конца решенную проблему. Ее сложность обусловлена, прежде всего, следующими причинами: 1) фрактальный рельеф трущихся поверхностей, причем для корректного вычисления силы трения необходимо учитывать шероховатости от нанометрового до макроскопического масштаба, и 2) широкий спектр времен релаксации эластомеров, различающихся до девяти порядков величины, что определяет многомасштабность задачи во времени.
Первая из этих проблем (пространственная многомасштабность) была решена в работах [1, 2] путем использования метода редукции размерности (подробное
описание метода см. также в [3]). В рамках этого метода контакт между двумя трехмерными упругими (или вязкоупругими) телами моделируется контактом между двумя одномерными «шероховатыми линиями», при этом используемое правило преобразования трехмерной системы в одномерную обеспечивает инвариантность контактных свойств поверхностей [1-3], в частности площади реального контакта [4], полной длины реального контакта [5] и силы трения для материалов с простым реологическим законом [6]. Для решения проблемы многомасштабности по времени, играющей важную роль при трении эластомеров, авторами предлагается использование иерархически организованной памяти. Объединение метода редукции размерности с иерархической памятью позволило создать чрезвычай-
© Димаки А.В., Попов В.Л., 2012
но эффективный численный метод расчета силы трения между шероховатой поверхностью с произвольной топографией и эластомером с произвольной линейной реологией. В настоящей работе описан предлагаемый метод, приведены результаты его верификации, а также показана применимость метода для решения ряда актуальных задач трибологии.
2. Описание метода редукции размерности
В рамках предложенного метода эластомер моделируется набором дискретных элементов, соединенных с жесткой «шероховатой линией» пружинами с комплексным коэффициентом жесткости к = 4О(ю)Дх, где Ах — пространственный шаг дискретизации модельной системы; О(ю) — комплексный модуль сдвига эластомера. Сила реакции г-го расчетного элемента определяется согласно закону
fi (;) = 4Дх } О(; - /)% (/) dt/,
(1)
где G(t) — зависящий от времени модуль сдвига эластомера (см., например, [3]); — скорость вертикально-
го перемещения г-го элемента.
Спектральная плотность профиля высот жесткой «шероховатой линии» рассчитывается согласно правилу:
Сю(д) = ПдС 2D(q), (2)
найденному в [1], где Ст(д) — спектральная плотность двумерной поверхности; Ст (д) — спектральная плотность эквивалентной одномерной «поверхности». Правила (1) и (2) гарантируют эквивалентность контактных свойств одномерной модели и реального трехмерного эластомера [3]. Элементы профиля жесткой поверхности генерируются по мере движения области контакта с эластомером согласно алгоритму, описанному в
[4].
Расчет силы трения производится следующим образом. На «нулевом» расчетном шаге жесткая поверхность и эластомер приводятся в первоначальный контакт, после чего к эластомеру прикладывается вертикальная сила РЫ, а жесткое контртело принудительно передвигается в отрицательном направлении оси х со скоростью
V. На каждом шаге проверяется выполнение условий контакта. Элементы эластомера, находившиеся на предыдущем шаге в контакте с жесткой поверхностью, остаются с ней в контакте до тех пор, пока сила взаимодействия не станет отрицательной (отрицательные контактные силы не допускаются в виду того, что мы рассматриваем контакт в отсутствие адгезии). Напротив, элементы, которые не находились в контакте, считаются пришедшими в контакт с момента, когда разность между положением элементов эластомера и жесткой поверхности оказывается нулевой или отрицательной, после чего вновь пришедший в контакт элемент эластомера перемещается на жесткую поверхность (таким образом
исключается «проваливание» элементов эластомера сквозь жесткую поверхность). На каждом временном шаге контролируется условие равновесия нормальных сил и при необходимости восстанавливается путем перемещения всех элементов эластомера как единого целого в вертикальном направлении. Тангенциальная сила, действующая на каждый элемент поверхности, вычисляется путем умножения нормальной силы на значение локального градиента жесткой поверхности.
Проблема многомасштабности по времени, отмеченная выше, состоит в том, что зависящий от времени модуль сдвига G(t) для реальных эластомеров обычно уменьшается со временем по степенному закону и тем самым не имеет характерного временного масштаба. Это означает, что для корректного вычисления силы (актуальное значение которой необходимо на каждом временном шаге) требуется информация обо всей истории изменения скоростей деформации каждого элемента системы, хранение которой в памяти приводит к чрезвычайному замедлению счета.
Мы предлагаем следующий способ решения этой проблемы. Для вычисления силы (1) произведем сначала замену переменных t - t' = £:
f = 4Д х} О (£)&(; -^
(3)
Дискретизируем теперь переменную £ на неравномерной сетке, заданной следующим образом:
= дпД;, п = 0,1,.... (4)
Величина q есть основание геометрической прогрессии, которую образует последовательность длин интервалов времени, соответствующих различным значениям п. Применив правило средних прямоугольников «слева» (с использованием значений подынтегрального выражения в середине п-го интервала), запишем интеграл (3) в дискретной форме:
f а) = 4Д х £ О(£п -Д1п-У1) Х п=0
- (£п -Д£п-1/2))Д£п (5)
и рассмотрим его значение на Ы-м временном шаге = NДt, введя при этом обозначение:
г(ЫМ - (£п - Д^п-У2)) = .
Сила (1) может быть записана в виде: f (;Ы) = 4Д хД; Х
-
<£ о
п=0
- п+1 1
д_________11 - дп-12
д
д -1
(6)
/у
Поскольку шаг суммирования в (6) растет экспоненциально с номером п, фактически достаточно производить суммирование до сравнительно небольшого п. Так, при q = 2 и п = 20 суммирование в (6) охватывает времена, различающиеся на шесть десятичных порядков величины, при q = 4 для охвата такого же спектра времен была бы достаточна глубина памяти п = 10. Тем самым
проблема многомасштабности по времени решена: благодаря иерархической структуре памяти время счета с увеличением продолжительности времени моделирования растет только логарифмически. Связь между величиной переменной 2 на Ы-м и (Ы + 1)-м временном шаге может быть найдена из следующих соображений. По определению
Х ' дп+1 - 1
1_-------1 - д^2
ЫД; -Д;
\\
-1
2Ы+1
(N+1)Д; -Д;
п+1
-1
У У
-1 п-12
—-д 1
(7)
/у
Поскольку = (2пых -2пЫ)/Д£п и Д£п = дпД;, путем
очевидных алгебраических преобразований получаем:
• п-1 - • п
2Ы+1 ~ + п • (8)
Это уравнение дает правило обновления информации об истории скоростей деформации в иерархически организованной памяти.
3. Верификация метода
Для верификации разработанной модели была рассчитана зависимость коэффициента трения от скорости движения жесткой поверхности, имеющей характерную длину волны Я = 20 мкм. Для случайных поверхностей, имеющих характерную длину волны (не фрактальных), существует аналитическая оценка [3] для коэффициента трения, которая позволяет произвести предварительное тестирование предложенного метода:
(9)
|в(с к V)!
Здесь в(^^) есть комплексный модуль сдвига; в"(^к V) — его мнимая часть; к = 2 п/Я — характерный (средний) волновой вектор шероховатой поверхности; Vz — среднеквадратичное значение градиента поверхностного профиля твердой поверхности; £ — безразмерная константа.
Зависимость модуля сдвига эластомера от времени G(t) была задана нами в следующей интегральной форме [3]:
2 / в (;) = в0 + в1т1} т-8 е М т,
(10)
где в0 =1 МПа, в1 = 1000 МПа, т1 = 10-2 с, т2 = 102 с, s = 2. Данная зависимость характеризуется широким спектром времен релаксации от 10-2 до 102 с и, таким образом, идеально подходит для тестирования предложенного метода.
Зависимость коэффициента трения от скорости, полученная численным моделированием согласно описанному выше алгоритму, а также аналитическая оценка согласно (13) приведены на рис. 1. Сравнение данных зависимостей позволяет сделать вывод, что предложен-
ный метод позволяет адекватно моделировать трение между эластомерами и фрактальными шероховатыми поверхно стями.
Независимое поведение элементов эластомера создает предпосылки для построения параллельной версии алгоритма расчета сил трения, основанного на описанном выше методе. Авторами была реализована параллельная версия данного алгоритма, предназначенная для выполнения на устройствах обработки графических данных общего назначения, иными словами, на графических картах. Современные графические карты содержат до нескольких сотен процессоров, а также от одного до нескольких гигабайт оперативной памяти, доступной каждому процессору. Графические карты с такой архитектурой в настоящее время широко применяются как для решения собственно задачи ускорения отображения компьютерной графики, так и для выполнения различных научных и прикладных расчетов, математического моделирования и т.д.
В рамках параллельной версии алгоритма новые значения координат элементов эластомера и сил, действующих со стороны каждого элемента, рассчитываются независимо для каждого элемента на отдельном процессоре. Также независимо осуществляются и процедуры обновления информации в иерархической памяти. Применение данного подхода позволило сократить время вычислений до 40 раз по сравнению с версией алгоритма, выполняющейся на одном процессоре.
4. Моделирование статического коэффициента трения
Известно, что коэффициент трения покоя зависит от продолжительности контакта, при этом статическая сила трения обычно растет логарифмически с продолжительностью контакта, что отражено в законе трения Дитериха-Руины [7, 8]. Справедливость данного закона была экспериментально проверена на материалах различной природы, таких как металлы, горные породы, стекло, бумага, дерево [9, 10]. Очевидно, что коэффи-
Рис. 1. Сравнение модельной зависимости коэффициента трения скольжения от скорости с аналитической оценкой
циент трения в контакте между эластомером и твердой поверхностью также должен зависеть от времени. Однако поведение коэффициента трения эластомеров при переходе от статического режима к динамическому в настоящее время изучено недостаточно. Авторами численно исследована статическая сила трения в области контакта между вязкоупругим материалом, имеющим спектр времен релаксации от 10-2 до 102 с и жесткой поверхностью, имеющей случайный рельеф с характерной длиной волны X = 20 мкм при помощи метода редукции размерности.
Оценивание статического коэффициента трения производилось следующим образом. К одному из контактирующих тел, имеющему свойства эластомера, описываемые выражением (10), прикладывалась нормальная сила, которая оставалась постоянной в течение временного интервала, называемого временем фиксации. Ввиду того, что эффективная жесткость эластомера уменьшается со временем, за время фиксации происходило постепенное увеличение глубины вдавливания жесткой подложки в эластомер и, соответственно, увеличение размера пятен контакта. По истечении времени фиксации жесткое контртело начинало принудительно перемещаться относительно эластомера с постоянной скоростью V в тангенциальном направлении. При этом среднее значение тангенциальной силы, действующей со стороны эластомера на жесткое контртело, интерпретировалось как сила трения. В момент, предшествующий началу движения, значение тангенциальной силы было близко к нулю. Затем она быстро нарастала, достигала максимума, после чего спадала до значения, соответствующего силе трения при стационарном скольжении. Максимальное значение тангенциальной силы, возникающее с момента начала движения, рассматривалось как статическая сила трения. Скорость движения выбиралась из интервала скоростей V = 10-7 ^10-3 м/с, охватывающего как растущую, так и спадающую ветви зависимости коэффициента трения скольжения от скорости (рис. 1). Статический коэффициент трения определялся как отношение максимального значения тангенциальной силы к прижимающей нормальной силе.
Полученная зависимость статического коэффициента трения от времени фиксации £йх для эластомера в интервале времен фиксации (т1, т2) имеет логарифмический характер и может быть описана выражением следующего вида:
И8Ш /= а + Ь(1°Е(/йх /т0 )), (11)
где т0 =А/V, а и Ь — коэффициенты, зависящие от свойств эластомера и скорости относительного движения (рис. 2).
Отношение статического коэффициента трения к среднеквадратичному значению градиента профиля поверхности стремится к максимальному значению, в рассматриваемом случае равному 2.2. Данный факт обусловлен тем, что в момент начала движения контакты
между поверхностями формируются в областях, имеющих наибольшее значение градиента, превышающее его среднеквадратичное значение.
Как и следовало ожидать, при временах фиксации %х меньше т1 и больше т2 имеются отклонения от логарифмической зависимости, в связи с тем, что в этой области времен вязкоупругие свойства эластомера практически не проявляются и, соответственно, площадь контакта не зависит от времени. При < т0 статический коэффициент трения также не зависит от скорости.
Таким образом, показано, что зависимость статического коэффициента трения между эластомером и жестким контртелом от времени фиксации имеет логарифмический характер. Выявление зависимостей параметров а и Ь, входящих в выражение (11), от реологических параметров эластомера требует дальнейших исследований.
5. Изучение влияния осцилляций прижимающей нормальной силы на коэффициент трения скольжения
Вибрации с различными частотами и амплитудами применяются для модификации сил трения во многих областях техники. Так, высокочастотные колебания используются для уменьшения сил трения при металлообработке, соединении деталей, штамповке и волочении [11, 12]. На взаимодействии между вибрациями и трением основаны вибрационный транспорт и сепарация веществ [13]. Вибрации могут вести к «раскачиванию» резьбовых соединений [14] или, наоборот, к сварке контактирующих деталей. В последние годы интерес к активному управлению трением путем вибрационного воздействия значительно возрос благодаря приложениям в микромеханических системах и системах нанопозиционирования. Одним из пионеров исследования колебаний на силу трения был М. Толстой [15], но и в последующие годы, прежде всего в связи с развитием
о 7 0 м > 1
—1— V = 10-4 м/с
о о II >
I < II о I СП О
I < II о о / /
^1=.
1(Г3 1(Г2 10~1 10° 101 ю2
Продолжительность фиксации, с
Рис. 2. Влияние времени фиксации эластомера на жесткой поверхности до начала движения на статический коэффициент трения
Ъ, Гц
Ъ, Гц
Рис. 3. Зависимость коэффициента трения скольжения от частоты осцилляций прижимающей нормальной силы: поверхность с характерной длиной волны X = 20 мкм (а) и фрактальная поверхность (б)
высокочувствительной измерительной техники, исследования влияния вибраций на трение продолжаются с неослабевающим вниманием (см., например, [16-18]). Исключительно важным классом трибологических материалов являются эластомеры. Однако, несмотря на их большое техническое значение, до сих пор отсутствуют теоретические модели, описывающие влияние вибрации на коэффициент трения скольжения эластомеров даже с линейной реологией. В настоящей статье авторы использовали метод редукции размерности [1-6] для исследования зависимости коэффициента трения скольжения в паре «эластомер - абсолютно жесткое контртело» от амплитуды гармонических колебаний прижимающей нормальной силы.
Были рассмотрены два типа профилей шероховатости жесткого контртела: 1) рельеф, имеющий характерную длину волны X = 20 мкм, и 2) фрактальный рельеф, сгенерированный по методике, описанной в [2, 3], на основе снимка металлического образца с пространственным разрешением порядка 0.6 мкм. Несмотря на фрактальность, и для второго типа поверхностного рельефа возможно определение характерного значения волнового вектора Я согласно следующей формальной процедуре:
qmax
I Чсю(яМя
Я = Т-------------, (12)
Уmax
I сю (Я Мя
0
где Сю (я ) — спектральная плотность профиля поверхности. Характерная длина волны X, связанная с характерным значением волнового вектора известным соотношением X = 1/Я, в рассматриваемом случае составляла X ^ 4.7 мкм.
Для вычисления коэффициента трения образец эластомера с реологией, определяемой интегральным соотношением (10), приводился в контакт с жестким контртелом под действием нормальной силы Рн0- Затем жесткое контртело приводилось в движение в тангенциальном направлении со скоростью Vх в течение вре-
мени tmax >> т2. При этом нормальная сила изменялась по закону
Р(1) = ^N0 +Л^ ОС8(2п/00, (13)
где ЛЕН — амплитуда колебаний нормальной силы; /0 — частота колебаний. Скорость тангенциального движения Vх подбиралась таким образом, чтобы коэффициент трения ц, соответствующий данной скорости движения, находился вблизи максимума зависимости ц( vx), который для эластомеров определяется условием G*(ш) > G'(ш), где G'(ш) и G/r(ш) — действительная и мнимая части комплексного модуля упругости соответственно, а ш = 2п х/ X [6].
На рис. 3 показаны зависимости коэффициента трения от отношения амплитуды колебаний силы ЛРМ к прижимающей нормальной силе 0 при различных значениях частоты колебаний /0. Как видно, наибольшее снижение коэффициента трения достигается при выполнении условия V х/ X = /0. Видно, что с приближением /0 к значению отношения Vх/X коэффициент трения резко падает и с дальнейшим увеличением /0 возрастает по логарифмическому закону.
Эффект снижения коэффициента трения при
V х/ X = /0 имеет простое физическое объяснение. В случае, когда период вибраций соответствует времени прохождения характерной длины волны поверхности жесткого контртела, на поверхности эластомера формируется «отпечаток» жесткой поверхности, имеющий тот же порядок величины длины волны. В таких условиях контакт эластомера с жестким контртелом происходит в областях малых градиентов жесткой поверхности, в результате чего коэффициент трения снижается. Таким образом, воздействие вибрации определенной частоты приводит к адаптации эластомера к профилю поверхности жесткого контртела.
Обнаруженный эффект имеет место и при взаимодействии эластомера с фрактальной жесткой поверхностью, обладающей широким спектром длин волн. В настоящей работе такая поверхность была сгенерирована на основе снимка поверхности стального образца.
Как было отмечено выше, полученная поверхность хотя и является фрактальной, однако возможно формально определить характерную длину волны X = 4.7 мкм, усредненную по всему спектру. На рис. 3, б приведена зависимость коэффициента трения от частоты при = Рш0 для фрактальной поверхности. Видно, что минимальное значение коэффициента трения для фрактальной поверхности достигается при частоте, примерно равной отношению скорости тангенциального движения к характерной длине волны, также как и для поверхности с узким спектром длин волн. Таким образом, характерная длина волны поверхности является фактором, определяющим поведение фрикционного контакта при воздействии вибрации.
Необходимо отметить, что в рамках метода редукции размерности элементы системы являются безмассовы-ми, следовательно, при рассмотрении контактной пары в рамках указанного метода инерционные эффекты не учитываются. Тем самым полученные результаты относятся к микроскопическому масштабному уровню, на котором описывается эволюция сил трения на отдельных пятнах контакта. Полученные зависимости коэффициента трения от параметров вибрационного воздействия демонстрируют возможность активного управления коэффициентом трения путем индуцирования высокочастотных колебаний в системе. Указанный эффект, однако, проявляется только в ограниченном интервале частот колебаний.
6. Выводы
Предложенный новый метод численного моделирования процесса трения эластомера и жесткой поверхности с фрактальным рельефом может быть успешно применен для решения ряда актуальных проблем трибологии. Отличительной особенностью метода является высокое быстродействие, а также возможность явного учета реологических свойств эластомера, имеющего широкий спектр времен релаксации, и фрактальный характер профиля трущихся поверхностей, проявляющийся на нескольких пространственных масштабах. Важной чертой программной реализации предложенного метода является возможность его эффективного распараллеливания. К важным направлениям совершенствования предложенного метода можно отнести введение в модель явного учета адгезии между трущимися поверхностями, а также зависимости реологических свойств эластомера от температуры. Как показано в [19], учет адгезии в рамках метода редукции размерности не представляет принципиальной сложности (см. также статью [20] в этом номере).
Авторы благодарят немецкую службу академических обменов DAAD, немецкое научно-исследовательское общество DFG и European Science Foundation за финансовую поддержку.
Литература
1. Geike T, Popov V.L. Mapping of three-dimensional contact problems into one dimension // Phys. Rev. E. - 2007. - V. 76. - P. 036710 (5 p).
2. Geike T, Popov VL. Reduction of three-dimensional contact problems to one-dimensional ones // Tribology Int. - 2007. - V. 40. - P. 924-929.
3. Popov VL. Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Ap-
plications. - Berlin: Springer-Verlag, 2010. - 362 p.
4. Popov VL., FilippovA.E. Applicability of a reduced model to description
of real contacts between rough surfaces with different Hurst exponents // Tech. Phys. Lett. - 2008. - V. 34. - P. 722-724.
5. Popov VL., Filippov A.E. Statistics of contacts and the dependence of their total length on the normal force for fractal surfaces with different Hurst exponents // Tech. Phys. Lett. - 2008. - V. 34. - P. 792-794.
6. Popov VL., DimakiA.V. Using hierarchical memory to calculate friction force between fractal rough solid surface and elastomer with arbitrary linear rheological properties // Tech. Phys. Lett. - 2011. - V. 37. - No. 1. -P. 8-11.
7. Dieterich J.H. Modeling of rock friction: 1. Experimental results and con-
stitutive equations // J. Geophys. Res. - 1979. - V. 84. - P. 2161-2168.
8. Ruina A.L. Slip instability and state variable friction laws // J. Geophys.
Res. - 1983. - V. 88. - P. 10359-10370.
9. Heslot F., Baumberger T, Perrin B. et al. Creep, stick-slip and dry friction
dynamics: Experiment and heuristic model // Phys Rev. E. - 1994. -V. 49. - P. 4973-4988.
10. Popov VL., Grzemba B., StarcevicJ., Popov M. Rate and state dependent friction laws and the prediction of earthquakes: What can we learn from laboratory models? // Tectonophysics. - 2012. - V. 532-535. -P. 291-300.
11. Eaves A., Smith A., Waterhouse W., Sansome D. Review of the application of ultrasonic vibrations to deforming metals // Ultrasonics. - 1975. -V. 13. - No. 4. - P. 162-170.
12. Siegert K., Ulmer J. Superimposing ultrasonic waves on the dies in tube and wire drawing // J. Eng. Mat. Tech. - 2001. - V. 123. - No. 4.- P.517-523.
13. БлехманИ.И., ДжанелидзеГ.Ю. Вибрационное перемещение. - М.: Наука, 1964. - 410 c.
14. Hess D., Soom A., Kim C. Normal vibrations and friction at a Hertzian contact under random excitation: Theory and experiments // J. Sound Vibration. - 1992. - V. 153. - No. 3. - P. 491-508.
15. Tolstoi M. Significance of the normal degree of freedom and natural normal vibrations in contact friction // Wear. - 1967. - V. 10. - No. 3. -P. 199-213.
16. Popov VL., Starcevic J., Filippov A.E. Influence of ultrasonic in-plane oscillations on static and sliding friction and intrinsic length scale of dry friction // Trib. Lett. - 2010. - V. 39. - P. 25-30.
17. Попов В.Л., Старкевич Я., Тайделът Е. Влияние ультразвуковык колебаний в плоскости скольжения и перпендикулярно к ней на силу трения покоя и скольжения // Трение и смазка в машинах и механизмах. - 2011. - № 2. - С. 3-9.
18. Teidelt E., Popov VL., Starcevic J. Influence of in-plane and out-ofplane ultrasonic oscillations on sliding friction // SAE Int. J. Passeng. Cars - Mech. Syst. - 2011. - V. 4(3). - P. 1387-1393.
19. Hefi M. Uber die Abbildung ausgewahlter dreidimensionaler Kontakte auf Systeme mit niedrigerer raumlicher Dimension: PhD thesis. - TU Berlin: Berlin, 2011. - 165 p.
20. Popov V.L. Basic ideas and applications of the method of reduction of dimensionality in contact mechanics // Физ. мезомех. - 2012. - Т. 15. -№ 4. - С. 7-17.
Поступила в редакцию 10.06.2012 г.
Сведения об авторах
Попов Валентин Леонидович, д.ф.-м.н., проф. Берлинского технического университета, v.popov@tu-berlin.de Димаки Андрей Викторович, к.т.н., нс ИФПМ СО РАН, dav@ispms.tsc.ru
