CC BY
13На графике перепада давления (кривая 2) хорошо виден всплеск положительного давления в момент отбрасывания дна. В этом случае отношение замеренного донного давления к статическому Pb/Pst = +1,95. Это говорит о присутствии донной тяги. После сброса отделяемого дна из области донного давления перепад давления отрицательный: донное давление ниже статического и составляет Pb/Pst = —0,5, т.е. наблюдается донное торможение.
Сопоставление результатов расчета Pb/Pst с экспериментом показывает хорошее совпадение результатов. В этом случае можно применять расчеты, не проводя дальнейших экспериментов, что позволит сократить расходы по использованию газодннами чееких установок.
Заключение. В рамках модели проведены расчеты течения газа между дном тела вращения и отделяемым дном с искривленной поверхностью, обращенной в сторону дна тела вращения. Расчеты показывают, что отношение донного давления к статическому Pb/Pst = +2,2. Для проверки результатов расчета был проведен эксперимент на аэродинамической трубе при скорости потока, соответствующей M = 3. Замер донного давления происходил с помощью дифференциальных датчиков давления. Опорным давлением было статическое давление основного потока. В этом случае отношение замеренного донного давления к статическому Pb/Pst = +1,95, что говорит о присутствии донной тяги. Наблюдается хорошее соответствие между экспериментом и расчетом, что позволяет применять расчеты для подобных опытов, не проводя дальнейших экспериментов и сокращая тем самым расходы по использованию газодинамических установок.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Weller H.G., Tabor G., Jasak H., Purely С. Terisorial approach to computational continuum mechanics using object-oriented techniques // J. Coniput. Phys. 1998. 12. N 6. 620 631.
2. Kurganou A., Tadmor E. New high-resolntion central schemes for nonlinear conservation laws and convection-diffnsion equations // J. Coniput. Phys. 2000. 160, N 1. 241 282.
3. Боголепов B.B, Ермолаев И.К., Сухановская Л.Д. Экспериментальное исследование эффективности различных способов теплоподвода в донную область тела вращения // Ломоносовские чтения: Тез. докл. М.. 2017. 17.
Поступила в редакцию 24.0L2018
УДК 534-13
ТРЕХВОЛНОВОЙ РЕЗОНАНС В ДВУМЕРНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
А. Н. Голубятников1, Д. В. Украинский2
В рамках изэнтропического движения совершенного идеального газа на постоянном однородном сверхзвуковом фоне решается плоская потенциальная стационарная задача газовой динамики о взаимодействии трех бегущих воли с медленно изменяющимися по направлению фонового потока амплитудами и фазами, сумма "гармонических" фаз которых точно равна нулю. Выведены уравнения изменения амплитуд и фаз волн, проведены
1 Голубятников Александр Николаевич доктор физ.-мат. паук. проф. каф. гидромеханики мох.-мат. ф-та МГУ. o-mail: golubiatOmail.ru.
2 Украинский Дмитрий Владимирович аси. каф. гидромеханики мох.-мат. ф-та МГУ. o-mail: d. v. ukrainskiy Ogmail .com.
аналитические исследования их решений. Обсуждается вопрос о том, какие граничные условия должны удовлетворяться.
Ключевые слова: трехволновой резонанс, амплитудно-фазовые уравнения, эллиптические функции, газовая динамика.
In the theory of two-dimensional stationary gas dynamics, the potential isentropic motion of a perfect ideal gas on the constant homogeneous supersonic background is considered. The problem on the interaction of three traveling waves with slowly varying amplitudes and phases along the direction of the background flow is solved in the case when the sum of "harmonic" phases is exactly equal to zero. The equations of amplitude and phase variations of the waves are derived, an analytical study of their solutions is conducted. The question of what the boundary-conditions should be satisfied is discussed.
Key words: three-wave resonance, amplitude-phase equations, elliptic functions, gas dynamics.
Трехволновой резонанс является характерной особенностью нелинейных систем с низшей квадратичной степенью нелинейности [1]. Таким образом, газовая динамика — подходящая область для исследования данного вопроса. Настоящая работа посвящена двумерной стационарной задаче. Решение одномерной нестационарной задачи можно найти, например, в [2].
Рассмотрим двумерное стационарное изэнтропическое потенциальное течение совершенного идеального газа. Введем систему координат Оху и запишем систему уравнений газовой динамики в форме
д^р дх2
+ Й1М7-1)
ду2
ду J I дх ду дхду '
(1)
1
•M^V + Cirf
2 \ V дх J \ду J
+ h = con st,
(2)
где 7 — ^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^ ^^^^^ ^ ^^тоянная в интеграле Бернулли (2), ф — потенциал скорости, Н — энтальпия. Уравнение (1) есть следствие уравнения неразрывности и адиабатичности.
Пусть течение представляет собой относительно малые возмущения постоянного однородного сверхзвукового фона. Фоновое поле скорости параллельно оси Ох Тогда ф и Н будут иметь вид
Н(х, у) = Но + еИ(х, у, е),
ф(х, у) = Уох + еФ(х, у, е),
Где Но — фоновая энтальпия, Уо — фоновая скорость.
Осуществив подстановку, получим слабонелинейное уравнение относительно возмущения Ф, низшая степень нелинейности которого — квадратичная:
д2Ф
ду2
- (Уо2 - a20)
д2Ф
дх2
— £
дФ д2Ф , дФ д2Ф пт, дФ д2Ф
(7 + 1Жо + 2Vo
дх ду2
ду дхду
+
£
<92Ф /7 +1 /<9Ф\2 7-1 (дФ Ъх2 [ 2 V&V + 2 \~ду
+
д2Ф (7-1
Ihp 1 2
2
+
<9Ф
дх
7 + 1 2
дФ\ ду J
2
+ 2
<9Ф<9Ф д2Ф
дх ду дхду
(3)
где ао = л/Л-о(7 — 1) — фоновая скорость звука. В дальнейшем звездочкой будем обозначать комплексное сопряжение, а штрихом — операцию дифференцирования по аргументу.
Будем искать возмущения в виде трех гармонических волн, для каждой из которых пары волновых чисел связаны дисперсионным соотношением, соответствующим линейному приближению, а амплитуда 2а ^ и сдвиг фазы в] медленно изменяются по ко ординате х. Таким образом, можно записать
3
Ф = (Ф^(£х) exp(i%) + Ф*(£х) exp(-i6j))
j=1
2
£
a
о
Фj{ex) = aj{ex)eщ>{ifij{ex)), 03=к3у — 13х, ^ = ±— к^, ¿ = 1,2,3. (5)
-1
Здесь Мо — фоновое число Маха, Мо > 1.
Подставим (4) в (3) и отметим, что величины порядка е уйдут в силу выполнения соотношений (5). Пусть г € Ъ \ { —3, ±2, ±1, 0}, и пусть выполняется специальное "резонансное" условие на фазы 0: 0\ + 02 + в3 = 0. Выберем некоторое волновое число к\, тогда к2 = гк\ и к3 = —(1 + г)к1. В этом случае уравнение для величин порядка е2 допускает ортогонализацию с помощью умножения на комплексно-сопряженную /-ю экспоненту и интегрирования по у на интервале [0, 2п/к\]. В результате получаем амплитудно-фазовые уравнения взаимодействия трех нелинейных волн:
с,- = - м°
¡з ао (Мо2 — 1)
ф(0 = СФ*т(£)Ф*п(0, С = ех, .,т,п : сус1, (6)
(1т1п + ^п^т) ^ 7) (}ткп ~Ь 1пкт) кткп1п кпкт1п
2
3
7 + 1,2.,1 , ^ _ 7 + 1,2,1 , ^ _ 7 + 1,, „ _ Мо
С\ = -^—ф(1 + г)д, С2 = -^—кЦ1 + г)д, С3 = д =
2 2 2 ао (мо — 1)
2
Отметим важные свойства коэффициентов уравнений взаимодействия: они вещественны, не одного знака и не равны нулю, а их произведение всегда положительно.
В силу неравенства треугольника, "резонансного" условия и вида дисперсионного соотношения аналогичные трехмерные потенциальные нестационарная и сверхзвуковая стационарная задачи газовой динамики всегда вырождаются в одномерную и двумерную соответственно.
Обсудим физическую реализацию рассматриваемого движения. Можно считать, что течение задается произвольными значениями Ф1, Ф2 и Фз в точке х = 0, а также граничными условиями в виде непротекания через две поверхности, в области между которыми рассматриваемое течение и происходит. Формы поверхностей находятся асимптотически, здесь они, приведенные с точностью до величин порядка е и координаты х ^ 1/е, имеют вид
кз
уш{х) = уш{0) + 2е V а3{0) со8(к3уш(0) + (З3(0)) - соё(к3уш(0) - 13х + (З3(0))
л Уо1] 1
з = 1 ■>
ш = 1, 2.
Фактически задача решается полуобратным методом: принимается вид решения, содержащий некоторые неизвестные функции, которые находятся в процессе решения уравнений, после чего определяется, каким условиям данное решение удовлетворяет, т.е. конкретизируется сама постановка задачи.
Таким образом, рассматриваемое нами течение, создающееся из некоторого распределения при обтекании поверхностей специальной формы, есть решение в среднем уравнений газовой динамики с точностью до малых второго порядка включительно.
Найдем решение системы нелинейных уравнений (6).
Соотношение
МШV = + о*?«) = ф.ф. ф. + ф
приводит нас к первым интегралам
а%(0 ~ <#0) _ аКО - а2т(0) аЩ) - а2п(0)
С] СтСп
=: % (С). (7)
Эти интегралы как раз и описывают нелинейное взаимодействие трех волн — взаимодействие в виде перекачки энергии и импульса между модами, трехволновой резонанс.
В силу определения функции 2 и того факта, что все коэффициенты амплитудно-фазовых уравнений не одного знака, а модуль амплитуды в квадрате никак не может быть меньше нуля, можно получить оценку решения
[ а2(0) 1
т ■
Соотношение
Ф (е щ'ю = с?Ф*т(£ )Фт (еше )Фп (е)
приводит нас к выражению медленно изменяющихся фаз только через амплитуды:
_ Ltm Vs! ^Чг V
Pj ш" 7
am
(¿K(0 aj2(0
(8)
Таким образом, для полного решения задачи необходимо определить лишь действительнозначную функцию 2. С этой целью вычислим вторую производную функции 2, используя исходные уравнения, после чего полученное выражение домножим на 2 и проинтегрируем по В результате придем к нелинейному уравнению для определения 2, которое имеет вид
Z = 4 (CiZ + af (0)) (C2Z + (0)) {C3Z + a3(0)) —4af(0)a2 (0)a2 (0) sin2 в (0) + в2(0) + вз(0)). (9)
В общем случае решение уравнения (9) выражается через эллиптические функции (через f (Z) обозначена правая часть уравнения (9)):
Z
dZ
±У7W)
= е-
Если медленно изменяющиеся фазы постоянны, то решение для амплитуд выписывается в явном виде через функции Якоби (которые могут выродиться в гиперболические функции при определенных условиях) с помощью соотношений (7) и (8).
Решение задачи справедливо до значения переменной £ порядка единицы. Трехволновое взаимодействие осуществляется до соответствующего значения координаты x, если нет других внешних возмущений.
Пусть медленно изменяющиеся фазы постоянны. Построим контурный график плотности (линии уровня). Для этого будем использовать математический пакет Maple и функцию densityplot. Более светлые области соответствуют большим значениям плотности. На график наносится координатная сетка.
Распределение плотности в плоском канале
Будем считать, что волна номер один бежит в положительных направлениях осей Введем
безразмерные переменные, в которых р0 (фоновое давление), а0 и кг равны единице. Зададим параметры в виде 7 = 1,4; е = 0,1; М0 = у/2\ г = 3; а3(0) = ^(0) = /32(0) = /?з(0) = 0; а^О) = 10; а2(0) = 5; ш(0) = —2; у2(0) = 2. Результаты расчета представлены па рисунке. Наблюдается периодическая картина распространения возмущений плотности, два периодических уплотнения сменяются двумя периодическими разрежениями. Максимумы и минимумы располагаются вдоль характеристик основного потока, что объясняется малостью рассматриваемых возмущений. Вдоль
характеристик, от верхней границы до нижней, значения плотности удерживаются на одном и том же уровне, что говорит о едином волнообразном характере распространения возмущений плотности. Данная картина представляет собой пример рассматриваемого течения.
В результате исследований, приведенных в настоящей работе, показано, что при определенных граничных условиях двумерное стационарное волновое течение газа на постоянном сверхзвуковом фоне приводит к независимому взаимодействию трех волн — так называемому нелинейному трехвол-новому резонансу, который описывает перекачку энергии и импульса между этими волнами.
Работа поддержана РФФИ (проект №17-01-00037).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Филлипс О.М. Взаимодействия волн // Нелинейные волны / Под ред. С. Лейбовича, А. Сибасса. Пер. с англ. М.: Мир, 1977. 197-220.
2. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.
Поступила в редакцию 02.03.2018
УДК 532.5.032
ОБ ЭЖЕКТИРОВАНИИ ЖИДКОСТИ ИЗ СОСУДА ПЛОСКОЙ ПРИСТЕННОЙ СТРУЕЙ
А. Т. Нечаев1
Изучен процесс эжектирования жидкости из сосуда конечного размера с наклонной стенкой пристенной затопленной струей. Численно исследованы характер возникающих в сосуде течений и интенсивность удаления жидкости при разных значениях скорости струи и ее толщины. Использован численный метод, для верификации которого была проведена серия экспериментальных исследований. Установлена возможность многократного формирования в жидкости вихревых областей, в том числе с газовыми включениями в их центрах, на последних стадиях эжектирования. Найдены зависимости времени полного опорожнения сосуда от скорости и толщины струй.
Ключевые слова: эжектирование, затопленная струя.
The process of ejecting a liquid from a finite-sized vessel with an inclined wall is studied using a submerged wall jet. The nature of the fluid flow arising in the vessel and the intensity of fluid removal for various values of the jet velocity and its thickness are studied numerically. For the verification of the numerical method, a series of experimental studies are carried out. The possibility of multiple formation of vortex regions in the liquid, including gas inclusions at their centers, at the last stages of ejection is established. The time dependences of complete emptying of the vessel on the speed and thickness of jets are found.
Key words: ejection, submerged jet.
Существенной особенностью затопленных струй в вязкой жидкости является их способность интенсивно взаимодействовать с окружающей средой и увлекать ее за собой. Этот процесс эжектирования активно используется во многих технологических процессах (эжекторы, струйные насосы, смесители и т.п.) [1]. В некоторых работах эффективность эжектирования затопленными струями исследуется применительно к явлениям, наблюдаемым в природе [2].
Эжектирование с помощью плоских затопленных пристенных струй является одним из возможных способов удаления жидкости из сосуда. В настоящей работе этот процесс рассматривается применительно к сосуду конечного размера с наклонной стенкой. Численно изучены особенности возникающего в сосуде течения и интенсивность удаления жидкости при разных значениях определяющих параметров — начальной скорости струи V и ее толщины §.
1 Нечаев Артем Тимурович — асп. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artm26Qmail.ru.
