CC BY
40
________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Том XVII 1986
№ 5
УДК 532.517.4: 533.9
О ВОЛНОВОЙ ТЕОРИИ РАЗВИТОГО ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В. А. Жаров
Рассмотрен слабонелинейный вариант волновой модели развитого турбулентного пограничного слоя. Качественно определены дисперсионные характеристики основной (неустойчивой) моды, проанализированы условия трехволнового резонанса основной моды (волн Толмина — Шлихтинга) с основной модой и с волнами непрерывного спектра. По аналогии со слабонелинейной теорией турбулентной плазмы выписаны уравнения для корреляционных функций амплитуд волн основной моды в приближении слабой связи. Рассмотрена структура напряжений Рейнольдса для волн основной моды.
1. Среди множества турбулентных течений можно выделить узкий, но важный с практической точки зрения, класс квазипарал-лельных течений — пограничный слой, слой смешения, некоторые виды струйных течений, след,— обладающих тем свойством, что характерный поперечный масштаб течения много меньше продольного. Это обстоятельство, по-видимому, впервые было использовано для определения спектра пульсаций в пограничном слое в работе [1], в которой пульсационные компоненты течения представлялись в виде суперпозиции волн Толмина — Шлихтинга (Т — Б), являющихся решением уравнения Орра — Зоммерфельда (О — Б).
Сравнительно недавно эта идея получила некоторое экспериментальное подтверждение. В работе [2] было зарегистрировано усиление гармонического сигнала (Т — Б-волн) на фоне среднего профиля течения в турбулентном пограничном слое.
В работе [1] амплитуды Т — Б-волн оставались неопределенными. Для получения замкнутых уравнений для амплитуд необходимо привлечь нелинейные члены. Простейшей возможностью их учета является слабонелинейная теория, математический аппарат которой в настоящее время достаточно хорошо разработан [3].
Ниже рассмотрен развитый турбулентный пограничный слой, образованный при обтекании плоской пластины, расположенной под нулевым углом атаки, несжимаемой жидкостью. Набегающий поток предполагается ламинарным и стационарным. В качестве исходных уравнений приняты уравнения Рейнольдса для осреднен-ных величин и их пульсаций.
2. Пусть й — характерный поперечный масштаб течения, I. продольный. Поскольку при оценке величин в исходных уравнениях сравниваются силовые характеристики, 3**— толщина
потери импульса. Ниже предполагается, что е2 = <2//, <С 1. На практике е2~10-2. Обозначим через и и V средние продольную и вертикальную компоненты скорости, через а, V, ни, р— пульсаци-онные компоненты скорости и давление. Ограничимся сразу модельной постановкой задачи, считая, что и и V удовлетворяют уравнениям пограничного слоя, в которых оставлен член (uvyy скобки означают осреднение, в соответствии с предположением о зависимости среднего поля течения газа от турбулентных пульсаций. Кроме того, пренебрежем непараллельностью течения в пограничном слое в уравнениях для пульсационных величин.
Введем безразмерные величины: и=и/иос, У = е2У/их, иг = = е«//£/00, г = 1, 2, 3, р =■■ ер!р и1э, х^х^й, г=1, 2, 3, Ь =
Х—х/Ь, {ыг} = (н, V, на), {х1}=(х,у, г). Тогда уравне-
ния для и и V запишем в виде
дТ дХ ду ду ду
ди , дУ л 0 и,»11
—- -л — — и , К — ,
дХ V
а для «г, р, I = 1, 2, 3,
Щ+ид_* + /1 =-Ё + -1- уЧ + £7’/ + 0(з2), (1)
д( дхг дх1 Я
^==0. (2)
дхх
В уравнении (1) введены следующие обозначения \{/1} = (:и(ди1дх2), 0, 0), Т^д {{и1 «;.> — нг а^дХу В качестве граничных условий системы уравнений (1) и (2) примем: = 0, г=1, 2, 3, при ~у = 0,
+ оо, р = 0 при у — оо. Относительно числа # предполагается,
ЧТО /?> 1, £2/?> 1.
Следуя работе [1], исключим из системы уравнений (1) и (2) давление р (ниже у всех безразмерных величин черта сверху
л л
опущена). При этом для vkш, где vlta> — Фурье-преобразование от г>, получим
л л
(3)
I • / п \ и->\ ■ 1 / (Р , ,\
/.о-б = I (а О — о))------------------А2 — I а-------------------------------£2
\йу2 ) Лу1 И и^2 1
л л а л л
ч = -&Тя--Гу{иТх+1$Тх), (4)
Ті = Sj u^ut + <и, г»> 8 (At) 8 (ш) , (5)
{Sl} = (_i«,_^, -»р),
л +°°
00 = JJJ ехр {—Цкг — wt)} a (t, х, у, z) drdt,
—00
Л +00 д д
(аЬ)иш = f jj S'-bk„m„dk'du', k’^k — k', а)" = ш — (o',
— 00
«І.(у) = «_*_«,Су). * — («. Р). fc2 = *2 + P2, r=(x,z).
л л л Для и4ш, />Аю получим
Л Л Л Л 1/^2 \ л л
і (а и - «) И/Аш + /_, = S, и + _ ^5_ л*) «,* „ + вГу . (6)
В силу локальной однородности задачи по х и z для напряжений Рейнольдса можно написать
+ °° Л А
<ив> = JJJ <и*тО dkdio. (7)
—со
3. Система уравнений (3), (6) и (7) содержит малый параметр. Если разлагать искомые функции в ряды по є, то для главного
Л
приближения функции vkm получим уравнение О — S, которое при нулевых граничных условиях и заданном k представляет задачу на собственные значения <ой на заданном профиле скорости U (у).
Л Л
При этом уравнения (6) позволяют определить pki0i ukm, wkm как
Л
функции vkw. Рассмотрим поэтому более подробно уравнение (3) при 2 = 0.
Л
В работах [4, 5] исследовался спектр оператора L0-s [см. формулу (4)] на профиле скорости типа пограничного слоя. При этом было показано, что спектр состоит из конечного числа дискретных мод (Т — S-волны), к которому для полноты системы функций во временной постановке [5] необходимо добавить волны непрерывного спектра. С помощью преобразования Сквайра [6] это свойство переносится на трехмерные возмущения. Следовательно, в общем случае можно написать
д N +00
®..«= 2с;. <л + j ч.< w ^ ■ <8)
п = 0 —00
Оператор Lo-s не является самосопряженным. Для оператора Lo-s> союзного к Lo_s, мож-но ввести собственные функции xl(y), (у)
аналогичным образом. Функции {<р* (у), ?£ (у)} и [х1 (У), X* (У)} соответствуют собственным значениям {со", «£} и обладают свойством ортогональности [5]. Если скалярное произведение определить формулой
Для решения исходной задачи необходимо знать функции 91'* {у) и X* Ту) и дисперсионные характеристики в широком диапазоне волновых чисел k. Из исследований дискретного спектра на профиле Блазиуса известно [7], что только одна низшая мода имеет в некоторой области по k положительную величину Im (ш*), т. е. неустойчива. Остальные моды, в том числе и решения из непрерывного спектра, являются затухающими.
При больших значениях R эта ситуация имеет место в раз-витом турбулентном пограничном слое — уравнение О — S решалось асимптотически при Р = 0, а<1 методом сращиваемых асимптотических разложений [8 — 10]. При этом показано [8], что область по у разбивается на подобласти, в которых вязкость существенна (критический слой, вязкий подслой у стенки), и подобласти, в которых вязкость не играет существенной роли (внешняя, основная и подобласть, разделяющая критический слой и вязкий подслой у стенки). Количество подобластей, на которые разбивается вся область течения по у, зависит от величины а. Пусть [amin, amax]— область неустойчивости. Тогда при а — amin критический слой присоединен к стенке и реализуются три подобласти: с характерными размерами 8г, /=1, 2, 3, внешняя ^1~l/a(nin, основная, 82^— 1, и пристенная, 83 — amin. При этом Сл ~ а, С = <o|/a = CR + iCl. Критическая линия, U (ус)ss CR, находится внутри пристенной области. При увеличении а расстояние ус растет и при некотором] значении a(a<^l) критический слой отрывается от стенки, так что при а ~ ашах реализуется схема с отошедшим критическим слоем. Во всей области a£[amin, атах]С/г'~а [8, 9]. Более точная асимптотика [10] показывает, что следующий член разложения CR по а пропорционален (—а2). Приведенные результаты обобщаются на случай $ф0, [3 — а с помощью преобразования Сквайра [6]. Заменяя в Lo-s комбинацию a.R на kR, R — (a.jk)R, получим CR = k, k = (a2 -f- p2)1/2.
Рассмотрим теперь случаи к ~ 1 и при /?> 1. Пусть k—1.
Поскольку критический слой с ростом k отходит от стенки, естественно искать решение с отошедшим критическим слоем. При этом вязкость существенна только в критическом слое и вязкой подобласти у стенки. В остальных областях получим уравнение Рэлея с CR'— 1. Для нахождения решения в этом случае достаточно
то имеют место соотношения
(10)
решить уравнение Рэлея, учитывая скачок фазы при переходе через критический слой, и срастить решение с решением в вязкой пристенной области.
Пусть теперь А >1. Положим & = &7?1/2, £=0(1). Можно показать, что в этом случае решение сосредоточенно в области с размером Д ж/?-1'2 вблизи стенки. Полагая С “С/?-1'2, С=0(1). получим укороченный аналог уравнения О — Б
U' (0) (у-с)
d*_ сГу2
ЪЛ <рл
■О,
решение которого выражается через функции Эйри. При этом для удовлетворения граничных условий на стенке необходимо обращение в ноль интеграла
+СО
j exp { — ку] At (z + (ikf) dy = 0,
z = {iU' (0) A)1'3 (y—'c), k = k/[iU' (0) k)w,
который и является в рассмотренном случае дисперсионным уравнением для С.
Поскольку $(у) при у -*-оо затухает как exp {—ky}, критический
слой в промежутке волновых чисел 1 ^k^R112 располагается на расстоянии yj—\jk(CR—1 jk), так как в противном случае нельзя удовлетворить граничным условиям на стенке.
Подобный анализ уравнений О — S можно провести и в случае р > а, 1. Поведение CR (Р) будет аналогично описанному выше.
В работе [10] приведена зависимость С7 от а в области неустойчивости. Вблизи а — ат!пС;имеет четко выраженный максимум (шах С1—10“2). С ростом а увеличение С1 очень медленно убывает, скорость убывания грубо можно оценить следующим образом. Если предположить, что убывание монотонно и близко к линейному, то учитывая, что при k — R112 величина С1 — R~v2, получим C'~klR. На рис. 1, а, б изображены качественные зависимости CR = f(k) и С1 от k. Отметим, что зависимость CR от k немонотонна и при \ k\—1 имеет максимум.
Дисперсионное соотношение для волн непрерывного спектра получается из уравнения О —S при у -foo, (у) — exp{+ijiy}:
(оГ = а — I -
№
R
(И)
т. е. эти волны являются затухающими и без учета взаимодействия сносятся вниз по течению со скоростью набегающего потока. При [*г-}-£2—1 величина 1ш (со^) для волн непрерывного спектра мала и имеет порядок О (1//?). Область невязкого решения ограничена сверху величиной у*: и (у*) — 1 — (£2 + [а2)//?.
Относительно Т — Э-волн с п > 0 в настоящее время ничего сказать нельзя, кроме того, что по расчетам на профиле Блазиуса [7] они затухают гораздо быстрее основной моды.
Коротко охарактеризуем геометрическую структуру совокупности решений уравнения О — Б, относящейся к основной моде. Толщину внешней области'~1/ат1п можно ассоциировать с толщиной пограничного слоя. Основную область — 1, ограниченную снизу шах ус, можно связать с логарифмическим подслоем, тем более, что волновые функции в этой подобласти при 1 линейны по у с точностью О (й2). При у<Стах ус сосредоточена „большая часть* критических слоев в широком диапазоне волновых чисел. Эту область можно ассоциировать с буферным подслоем. И, наконец, тонкую область вблизи стенки, в которой для волн во всем диапазоне волновых векторов становится существенной вязкость, можно ассоциировать с вязким подслоем. Таким образом геометрическая по у структура решений уравнения О —Б вполне аналогична геометрической структуре турбулентного пограничного слоя, наблюдаемой экспериментально [11].
Как показано в работах [6, 8, 9, 10] для случаев с отошедшим критическим слоем можно воспользоваться решением уравнения Рэлея, обойдя особенность вблизи критической линии С = и(у,) в комплексной плоскости по правилу Рэлея [6]. Это обстоятельство можно использовать для вычисления интегралов от волновых функций по у. При этом вкладом в интеграл вязкого пристенного подслоя можно пренебречь ввиду того, что эта область не вносит особенностей в собственные функции и мала по величине.
4. Следуя работе [1], умножим уравнение (3) на х* ^ (Я и ПР0_ интегрируем по у от 0 до +со. В результате получим с учетом соотношений (10)
где скалярное произведение функций упк'*{у) и vkш(y) определено формулой (9).
Воспользовавшись системой уравнений (6) для иАц>, 1юк т, с точностью О (е) получим
(12)
о
А
Л
Л
Л
Выражения (13), (14) и (15) справедливы вне вязких подобластей*
Л
При ЭТОМ <7 с точностью О (е) определяется соотношениями (4) и
Л Л
(5), в которых ик0> и гизкт определены формулами (13)—(15). При этом уравнение (12), с учетом разложения (8), запишется в виде
-і
пу I, т к ш кг со'
С і
Я і
и т
йМ <*«•>' + О (в2),
(16)
А'.
В уравнении (16) индексы п, I, т пробегают значения как из дискретного, так и из непрерывного спектров. В последнем случае при выполнении конкретных выкладок необходима замена п, ... -> Р, ... , ^лен п0РяДка О (г2) содержит кубичные по С"ш
П
члены. Матричные элементы определяются выражением
п /«.\ л / «л гги, I, т
Х*-(У) ?*00 нк«к’ш' =
-4-00
і (*.
2*" с
І к* со'
Л
7ІІУ) +
Л
йу
А» Лл . /\» Л 0, А» ^
где и.' =и. , й* «ет" , ггоь = ¥*(_У)-
^ 1 Я со к а) ’ 3 к ш я оз * 2 я ш ‘й 7
5- Уравнение (16) аналогично уравнению, описывающему нелинейное взаимодействие волн в плазме [3], и допускает систему резонансов, простейший из которых — трехволновой. Условие резонанса имеет вид
Ке«-<-<2) = 0, (17)
к = к,+к2. (18)
Докажем, что в случае основной моды (п — 1 = т — 0) уравнения (17) и (18) имеют неправильные решения. Как показано выше, в широком диапазоне волновых чисел Ие (ш°) ^ а/(&), й = (а3 + р2)1'2, где функция /(&) изображена на рис. 1, а. Перепишем уравнение
(17) с учетом (18) в виде
» = «1 (/ (*,) -/(А)) + «2 (/ {k2)-f{k)) = О . (19)
чаи (рис. 2, а):
а) к^к,, к^к2, оц^О, а2>0. При этом из (19) следует, что
& 9^0;
б)к = к1 = к2. Уравнение (19) удовлетворяется тождественно. Для выполнения (18) необходимо, чтобы угол <р между векторами Л и кг (Л и #2) равнялся тс/3;
в) к^й, а!>0, а2>0. При этом на границах Г1 и Г2 области б величина &>0, на границе Г3 величина & < 0, т. е. существует кривая, проходящая через точку Л? в точку £°, к° и /г° удовлетворяют условию (б), и кривая, лежащая в области С, на которой &=0. При этом вектор Л2 расположен на кривой, проходящей через начало координат. Множество точек этой кривой образует совокупность низкочастотных компонент спектра пульсаций.
Отметим некоторые совпадения полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными. Поскольку выше использовалось предположение о локальной однородности, то полученные результаты должны быть качественно пригодны и в допереходной области. В работе [12] наблюдался трехволновой резонанс в начале перехода эволюционного типа. При этом углы между продольной Т — Б-волной и резонансными наклонными волнами равнялись 59°. Кроме того, наблюдалось образование низкочастотных компонент спектра.
На рис. 2, б продемонстрировано резонансное трехволновое взаимодействие, когда задана совокупность продольных Т —■ 8-волн с равными к и небольшим разбросом по р. Для резонансных наклонных волн также будет иметь место разброс по углам. Но из-за того, что имеются резонансные кривые в области б, вблизи концов наклонных волн образуются области точек, дающих резонанс с продольной волной с большим (аналогично, с мёныпим) значением А, т. е. резонанс может распространяться в фазовом пространстве.
В работе [13] измерены параметры периодичности когерентной структуры пограничного слоя в продольном и поперечном направлениях (рис. 3, а и б) при % 5-103, и & — 2 м/с, §*^3,5 см ~ о**. Предполагая, что структура образуется за счет распада продольной
волны на ср«60°, получим Л?’^1,5 при Ац^;0,3. Попереч-
ная структура I (рис. 3) проявляется приз/<8*, поперечная структура II—при ^^5*. Сопоставляя величины £(1'2) с дисперсионной кривой основной моды (рис. 1, а), видим, что рассмотренные наклонные волны действительно сосредоточены в областях по у, согласующихся с результатами эксперимента, если учесть, что (у)—
— ехр(—ку). Наблюдаемая поперечная структура может объясняться также наличием наклонных волн с Р>а~ат1п.
В работе [2] обнаружена область частот v = 2-f-20 Гц, для которой искусственный гармонический сигнал усиливается на среднем профиле скорости турбулентного пограничного слоя. Условия эксперимента те же, что и в работе [13]. Согласно дисперсионной зависимости для основной моды [8, 9] <о ^ (£/„,/8**) ^/£/' (0). Считая, что £/' (0) — 1, ^0,3, получим (от1п^г6 Гц(у^1 Гд), что хорошо
коррелирует с экспериментом. Верхняя граница области неустойчивости о>—£Лю/8** [8, 9] тоже хорошо соответствует экспериментальному диапазону.
Рассмотрим условия трехволнового резонанса основной моды с волнами непрерывного спектра и между волнами непрерывного спектра. Воспользовавшись для Ие( ш|) соотношением (11), получим из уравнений (17) и (18):
I) (X (/(£)- 1)= 0, II) а, (/(£,)- 1)+а2 (/(Л2)-1)=0,
III) al{f{k)~\)+*2{f{k)-f(ki)) = Q, IV) «Л1-/(*,))= 0,
I — распад Т — Б-волны на две ^-волны, II — распад (д.-волны на две Т —Б-волны, III — распад Т — Б-волны на Т — 5-волну и ^-волну, IV — распад и.-волны на Т—,5-волну и [л-волну (у-волна принадлежит совокупности волн с непрерывным спектром). Все равенства (20) выполняются при условии /(/г) = /(&1)=/(&2)= 1. Однако /(/г) не может достигать значения 1 (в эксперименте, если отождествить скорость движения когерентной структуры с шах /(А), то шах /(&);==: 0,8), поэтому рассмотренные резонансы могут быть только приближенными, т. е. |А (&) — 1 | <^ 1. В связи с этим при выводе уравнений для амплитуд необходимо учитывать отличие зависимости (ев — а>А) от дельта-функции 8 (ш — с»А). В работе [3] получены уравнения для корреляционных функций амплитуд в случае слабой связи волн в приближении случайных фаз. По
аналогии с работой [3] для С“ш можно при £~2 1т (со°)—1 написать
+ (21)
с*1° = ск 5 (® — %). % = Ие (®“), (22)
2в-2 1т («“) /* = *]■ {2Ие (А* к„ V к) 1к 1к, —
- IА* *' Г 7*' К"} 5 (®2 — «V - %") -
1
Itn (hk h>, hk"k)
k"
V*-
dk
' + 4j
Л- dk'
к = к' + к", !гЬ1г, = Н0000 о + М% о ,
кау'гкш,, к <о, к”и>, „
я я к к
где <с*> = 0; <С4С4,> = /А 8 (*+*')•
Величина (3АА, обусловлена членами порядка О (е2) в уравнении (16).
Считая, что непрерывный спектр вносит малый вклад в напряжения Рейнольдса, для т = <иг>>, с учетом формул (13), (14), (15), (21), (22), получим
+ со оо
<мг/> = j da j </р/4ф(Л) ,
С0 I и° Г dU ф (к) = 2 Zl І » I _ .
а | U —С0 |2 rfy
. У
с» = »ї/«-сї + іс! .
п 1Лл I2 гі# +°° +°° С? |у°
В области следа (иг>) = У7.—, ^ <2а^ ^ ^/й, что
^ 0 -оо
по форме совпадает с многочисленными полуэмпирическими теориями, хорошо зарекомендовавшими себя при определении среднего профиля скорости.
Таким образом, в рассмотренной модели явно сформулирована причина поддержания турбулентного пограничного слоя и механизмы перераспределения энергии между пульсациями и образования пространственной структуры. Геометрическая по у структура совокупности решений уравнения О — Б аналогична структуре турбулентного пограничного слоя. Перечисленные особенности показывают, что модель может представлять интерес с точки зрения описания физических процессов, протекающих в развитом турбулентном пограничном слое.
В заключение автор благодарит О. В. Денисенко, А. В. Казакова, М. Н. Когана, В. В. Михайлова и О. Г. Фридлендера за обсуждение работы.
ЛИТЕРАТУРА
1. L an dal М. Т. A wave-guide model for turbulent shear flow.— J. Fluid Mech., 1967, vol. 29, pt. 3.
2. Taneda Sadatoshi. Visual observations on the amplification of artificial disturbances in turbulent shear flows. — Phys. Fluids 1963, vol. 26, N 10-
3. Кадомцев Б. Б. Турбулентность плазмы,—В кн.: Вопросы теории плазмы, вып. 4,—М.: Атомиздат, 1964.
4. Жигулев В. Н., Сидоренко Н. В., Тумин А. М. О генерации волн неустойчивости в пограничном слое внешней турбулентностью.— ПМТФ, 1980, № 6.
5. Sol wen Н., Grosh С. Е. The continuons spectrum of Orr — Sommerfeld equation. Part 2. Eigenfunction expensions.— J. Fluid Mech., 1981, vol. 104, pt. 1.
6. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости.— М.: Изд-во иностр. лит., 1958.
7. М а с k Z. М. A numerical study of the temporal eigenvalue spectrum of the blasius boundary layer.— J. Fluid Mech., 1976, vol. 73, pt. 3.
8. Михайлов В. В. Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя.— Изв. АН СССР, МЖГ, 1981, № 5.
9. Жук В. И., Рыжов О. С. Об асимптотике решений уравнений Орра — Зоммерфельда, задающих неустойчивые колебания при больших числах Рейнольдса.—ДАН СССР, 1983, т. 268, № 6.
10. Жук В. И. Об асимптотике решений уравнений Орра — Зоммерфельда в областях, примыкающих к двум ветвям нейтральной кривой,—Изв. МЖГ АН СССР, МЖГ, 1984, № 4.
11. Kline S. J., Reynolds W. С., S с h г a u b F. A., R u n s t a d-ler P. W. The structure of turbulent boundary layers.— J. Fluid Mech., 1967, vol. 30.
12. К о з л о в В. В., Левченко В. Я., С а р и к В. С. (США). Образование трехмерных структур при переходе в пограничном слое,—ИТПМ СО АН СССР. Препринт № 10—83, Новосибирск, 1983.
13. Taneda Sadatoschi. The main structure of turbulent boundary layer.— J. Physical Society of Japan, 1983, vol. 52, N 12.
Рукопись поступила 2/ VII 1985
