Метод расчета пристенных турбулентных струй при наличии продольного градиента давления Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И ]970

М 4

УДК 532.522.2 532.526.4

МЕТОД РАСЧЕТА ПРИСТЕННЫХ ТУРБУЛЕНТНЫХ СТРУЙ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОДОЛЬНОГО ГРАДИЕНТА

ДАВЛЕНИЯ

А. С. Гиневский, А. В. Колесников, И. И. Подольный

Излагается интегральный метод расчета пристенных турбулентных струй, распространяющихся в спутном потоке с продольным градиентом давления. На основе этого метода можно рассчитать основной участок пристенной струи на всем ее протяжении вплоть до ее вырождения в обычный турбулентный пограничный слой или же — при положительном продольном градиенте давления—до сечения, где происходит отрыв потока.

Исследование полуограниченных турбулентных струй, развивающихся вдоль криволинейной поверхности в спутном потоке с продольным градиентом давления, представляет интерес для многих областей техники. Для приближенного расчета таких струй разработаны методы, основанные на использовании полуэмпириче-ских теорий турбулентности. Так, Г. Н. Абрамовичем предложен метод расчета плоских полуограниченных струй в спутном безгра-диентном потоке [1], Н. И. Акатновым — плоских затопленных струй [2]. Обзор зарубежных исследований в этой области содержится в работе [3], где, в частности, упоминается о попытке Дж. Харриса рассчитать полуограниченную струю в спутном потоке с продольным градиентом давления. Численный метод решения задачи о турбулентной полуограниченной струе описан в работе Д. Б. Сполдинга [4]. Наконец, в недавно опубликованной работе Ньюмэна и Гартшера [5] указан эмпирический метод решения задачи.

В настоящей работе излагается приближенный интегральный метод расчета пристенных турбулентных струй при наличии продольного градиента давления для случая, когда скорость струи превышает скорость спутного потока. Метод основан на использовании полиномиальной аппроксимации профилей касательного напряжения в пристенной и струйной частях полуограниченной струи, полуэмпирических формул для турбулентного трения и двух интегральных соотношений. При этом в соответствии с при-

ближением теории пограничного слоя поперечный градащнт давления полагается равным нулю. ^

Поскольку пристенные струи содержат в себе элементы более простых течений — пограничного слоя и свободной струи (фиг. 1), — при их расчете используются некоторые соотношения, полученные для этих течений [6, 7|. Вместе с тем течение в пристенной и струйной частях полуограниченной струи существенным образом отличается от соответствующих течений в пограничном слое и свободной струе. Это отличие обусловлено, главным образом,

а*з~

4 ' ——• — __ /

(х)

//а чалимый

¿/час/пан

х, а

Фиг. 1

двумя обстоятельствами. Во-первых, пристенный пограничный слой полуограниченной струи развивается в условиях повышенной турбулентности „внешнего“ струйного потока, вследствие чего характеристики пристенного пограничного слоя во внешней его части несколько отличаются от соответствующих характеристик обычного турбулентного пограничного слоя и приближаются к соответствующим характеристикам турбулентного пограничного слоя при повышенной турбулентности внешнего потока [8]. Кроме того, здесь внешний поток не является безвихревым, и на границе пристенного слоя не выполняется уравнение Бернулли. Во-вторых, различие течений в струйной части полуограниченной струи и в обычной симметричной свободной струе состоит в том, что в первом случае в точке максимальной скорости касательное напряжение не равно нулю и линия максимальных скоростей не является линией тока.

В рамках полуэмпирической теории турбулентности первое из указанных отличий может быть в какой-то степени учтено путем выбора увеличенного значения длины пути смешения во внешней части пристенного слоя. Что касается второго отличия, то полу-эмпирические теории турбулентности не могут его учесть, поскольку из них следует пропорциональность напряжения трения поперечному градиенту осредненной скорости, т. е. в точке максимальной скорости напряжение трения полагается равным нулю. Можно, однако, ожидать, что отмеченное отличие реального и расчетного распределений касательного напряжения вблизи точки максимальной скорости (см. фиг. 1), обусловленное несимметричностью профиля скорости около этой точки, не внесет в расчет существенных погрешностей. В самом деле, термоанемометрические измерения профилей скорости и касательного напряжения в затопленной полуограниченной струе [9] показали, что в поперечных сечениях

такой струи точка максимальной скорости смещена относительно точки нулевого значения касательного напряжения. При этом оказывается, что знак такого смещения для струи в спутном градиентном потоке зависит от знака продольного градиента давления [14]. Необходимо, однако, отметить, что во всех перечисленных случаях указанное смещение незначительно.

Итак, поставленная задача формулируется следующим образом~ Пусть из тангенциальной щели высотой 80 вытекает вдоль поверхности в спутный поток, Скорость которого и$=ид(х) задана, полу-ограниченная струя с равномерной начальной скоростью

характерное число Рейнольдса Яе =. В отдельных случаях

может быть задана и толщина начального пограничного слоя или

и &**

число Рейнольдса Ие** = °^° , где §о* — толщина потери импульса

пограничного слоя в начальном сечении. Требуется рассчитать профили скорости во всех поперечных сечениях и распределение поверхностного трения вдоль по потоку.

При решении задачи течение условно разделяется на два участка— начальный и основной. При заданном ступенчатом распределении скорости в начальном сечении от места разрыва профиля скорости образуется турбулентная зона смешения. Пересечение ее внутренней границы с внешней границей пограничного слоя, который нарастает вдоль стенки, определяет длину начального участка (см. фиг. 1). Поскольку турбулентная зона смешения и турбулентный пограничный слой в пределах начального участка разделены областью безвихревого течения, то они могут рассчитываться независимо. Метод расчета начального участка плоской свободной струи в спутном градиентном потоке изложен в работе [7], параметры пограничного слоя в пределах начального участка рассчитываются по формулам работы [6].

Поперечные размеры зоны смешения и безвихревого ядра течения в пределах начального участка, равно как и длина началь-

„ Мао

ного участка, зависят от начального отношения скоростей т0 = —,

«о

начальной толщины о0 и заданного распределения скорости т(х). Как показали выполненные расчеты и эксперименты, длина начального участка в полуограниченных струях оказывается незначительной, поэтому наибольший практический интерес представляет расчет основного участка полуограниченных струй.

При расчете основного участка будем считать, что спутное течение безвихревое и, следовательно, вне струи справедливо

йр ?иьс1и$ т.

соотношение — ‘ Интегрируя уравнение движения с

учетом уравнения неразрывности поперек струи от поверхности (у = 0) до точки с координатой у — 8т, соответствующей максимальному значению скорости а — ит, получим интегральное соотношение импульсов для пристенной части струи. Второе интегральное соотношение получается в наиболее удобном для расчетов виде путем умножения уравнений пограничного слоя на функцию ®(и) = «5-|-

-\-ит — 2и и последующего интегрирования поперек внешней части струи от у = 8т до у = 8:

ът ат 1

~4х\ й (“т - «)+ и'т| (ия - «) ¿У= — (х„ - *Ст) + 8т (ит Ит — иь иь)\

а

dx ,

ьт

V о

| и (ит — и) (и — т) йу = и'в j [иъ (ит + Из — 2и) -

и(“т —И)] АУ + “т ] И (И — «8> <*У - у | ^ <У-

(1)

Здесь ^ и %т — касательное напряжение на стенке (у~ 0) и на внешней границе пристенного пограничного слоя (у = Ът), и'т — ,

. (XX

йиъ

я,— ■ Поскольку количество неизвестных в системе (1) превы-

шает число уравнений, ее необходимо дополнить зависимостями, связывающими неизвестные величины.

Пристенная часть струи. Как упоминалось выше, такие зависимости можно получить, рассматривая отдельно пристенный пограничный слой и внешнюю часть полуограниченной струи. Будем считать, что в пограничном слое связь между касательным напряжением т и поперечным градиентом скорости определяется формулой Прандтля

/ ди у

У

где I—длина пути смешения, определяемая соотношением

■^- = 0,14 — 0,08(1 —ц)* — 0,06(1 —г])4, ц— у

8„

т

Профиль касательного напряжения представим в виде полинома по степеням ■»):

(3)

( = 0

Коэффициенты полинома могут быть найдены из граничных условий на стенке:

_ дх ________с1р д21

или

ду-ах-ду-^0 при->,=0

т д х 8 т йр д2 т л

, ^Г-1' "Р" ч=0- <4а>

и на внешней границе пристенного пограничного слоя:

п дх йр , , .

0, 1у=^ + Р«т«т при^=8т

или

где

^=°, = + Р“.<)=А+В "Р“ ч-1- <4б>

Для определения второго и третьего граничных условий на стенке и второго условия при у — Ьт были использованы уравнения движения.

Таким образом, коэффициенты полинома (3) будут выражаться через два безразмерных параметра А и В. Первый из них является обычным для теории пограничного слоя, второй связан с отличием течения на внешней границе пристенного слоя струи от потенциального. В случае, если на внешней границе пограничного слоя выполняется уравнение Бернулли йр/йх рити'т — 0, то, как ясно из уравнения (46), сумма параметров А-\-В = 0.

При использовании всех указанных условий получим для определения т/тш полином четвертой степени по 7):

^ = ^(1 —7]){(1 — 7]) [(1 +2т))(1 4- Лг|) + 3^2] - (Л + 5)т]3}. (5а)

Если воспользоваться только двумя условиями (4а) и одним условием (46), будем иметь полином, зависящий только от однога параметра А:

,' = тш(1 — 71)[1 +0 + Л) 71]. (56)

Полиномы (5а, б) пригодны для аппроксимации профиля касательного напряжения только при тех значениях параметров А и В,

когда —^0. В связи с этим необходимо выяснить диапазон допустимых значений этих параметров. Если течение на внешней границе слоя является потенциальным, то, как упоминалось выше, А + В = 0. В этом случае допустимые значения параметра А должны превышать его величину, при которой вторая [для полинома (5а)] или первая [для (56)] производные от т/тш в точке т]=1 изменяют знак. Отсюда следует, что в случае обычного пограничного слоя полиномы (5а) и (56) пригодны для аппроксимации профиля касательного» напряжения при измерении А в пределах от —2 до бесконечности.

Из физической сущности явления следует, что на внешней границе пристенного пограничного слоя Л-[-/?-<0, т. е. — А. Для затопленной полуограниченной струи или струи в спутном потоке с постоянной скоростью А= 0, Другое значение В,.

ограничивающее диапазон изменения этого параметра, можно получить из условия, что в рассматриваемом случае (Л=0) отношение х /не должно быть больше единицы, или производная от т/тда не должна иметь корней в интервале 0<т]<1. Из этого условия следует, что при А=0 допустимые значения параметра В для полинома (5а) должны быть больше •—4. Таким образом, полученные аппроксимации профиля касательного напряжения справедливы для сравнительно узкого диапазона изменения параметра В.

В связи с изложенным интересно определить, какова величина: параметра В для практически встречающихся случаев. Величина параметра В, рассчитанная по опытным характеристикам струи [10],

в случае безградиентного течения достигает значений от —1 до —1,5 в начале основного участка и несколько убывает по мере выравнивания потока. Эта оценка подтверждает применимость полученной аппроксимации профиля касательного напряжения для расчета полуограниченных струй.

На основании формул (2) и (5) могут быть рассчитаны профили

дефекта скорости в турбулентном ядре пристенного пограничного

слоя струи

1

ф = Ит ~ 11 = | Vи'- = /хш/р» (6)

О

зависящие от параметров А и В. Интересно отметить, что относительную скорость потока и — и/ит, равную

й=1_|1_ф> (7)

ит

будут характеризовать три параметра: А, В и «г/ит или А, В и локальное число Рейнольдса.

В непосредственной близости от твердой поверхности, где турбулентные пульсации затухают и основную роль играет молекулярное трение, формула (2), а следовательно и формула (6) для профиля скорости перестает соответствовать действительности. В этой области (вязкий подслой) используем формулу для касательного напряжения,

да „

соответствующую ламинарному течению т = С точностью до

малых второго порядка распределение скоростей в вязком подслое будет выражаться равенством

= Ие 1 т] + 0,5 Л Ие, V. (8)

где

Как и для обычного пограничного слоя, будем считать, что профиль скорости вязкого подслоя (8) переходит в турбулентный профиль скорости (7), когда число Рейнольдса, рассчитанное по местной скорости и2 и расстоянию от стенки 8,, достигает некоторого критического значения а2:

= Ке? + 0,5 Л Г]?) = «2, (9)

8;

гдет)г = ^-, а—константа, которая, по данным разных авторов,

изменяется в пределах 10—12.

Приравняв скорости, определенные по формулам (7) и (8) на границе вязкого подслоя гп, получим связь между касательным напряжением на стенке тш и толщиной пристенного пограничного слоя струи:

= [а/1 + 0,5Л^ + ф (Л, В, (10)

ит

Таким образом, задаваясь относительной толщиной вязкого Подслоя, можно определить для разных значений Л и В величину

динамической скорости мх/мш или коэффициент поверхностного трения С;?=2 {и^1итУ, а по профилям скорости (6) и (8) рассчитать все интегральные характеристики пограничного слоя

С Г - ,

О

1 . еч** г

= 1.5(1 _ї)^ = -^Л-

°т V ит

гг _________ _____ 1 _

** т — — 1 1

/, ия

(11)

а также

Ие„

Их

и„

где /, = ^.йч\, /2=Гі2^7].

%|/1 + 0,5

Для .дальнейших расчетов необходимо определить величину эмпирической константы а. С этой целью сравним расчетное и экспериментальное распределения скоростей вблйзи стенки. Из соображений подобия следует, что при небольших продольных градиентах давления в спутном потоке профиль скорости должен

изображаться зависимостью вида ^ , называемой „зако-

ном стенки“. С другой стороны, на основании формул (2) и (9) можно написать

, ^ или при малых значениях у, когда 1 = 0,4у,

и . уи^

— = а — 1п а + 1п —— .

Их ' V

Таким образом, для определения константы а нужно найти

, , „ и уих

значение И/Их или уиф в точке пересечения прямой— = -— и

Их ^

экспериментального профиля скорости в турбулентной части при-

и (уи

стенного пограничного слоя, представленного в виде _________= л

Ых \ V

Такие построения, проделанные в работе [6] для обычного пограничного слоя, показали, что константа а может быть принята равной 10—10,5. Аналогичные построения для пристенной струи с использованием экспериментальных данных работы [10] подтвердили

возможность использования в пристенных струях того же значения а, что и для обычного пограничного слоя. Оказалось, что параметр В во всем диапазоне его изменения практически не влияет на распределение скоростей в непосредственной близости от стенки.

По приведенным выше формулам были проведены расчеты зависимостей, связывающих локальные характеристики пристенного пограничного слоя, необходимые для замыкания интегральных соотношений (1). Для примера на фиг. 2 показано влияние чисел Рейнольдса Яе™ и параметра В на коэффициент поверхностного трения и параметр Нт в случае спутного потока с нулевым продольным градиентом давления {А = 0). Параметр В во всем диапазоне его изменения оказывает несущественное влияние на характеристики пограничного слоя (не более 5—6% для с/ и 2—3% для Ня). Учитывая приближенность разрабатываемого метода расчета, можно пренебречь этим влиянием и определять все характеристики пограничного слоя в предположении, что А +5 = 0.

Сравнение показало, что зависимости, рассчитанные с использованием полиномов четвертой степени (5а) и второй степени (56), практически совпадают.

В связи с этим для расчета пристенного пограничного слоя могут быть использованы интерполяционные формулы, полученные в работе [6] на основе аппроксимации (56) для обычного пограничного слоя:

С/ = с/0 [1 + &,/+ с, (**./ - 1)], сп = 2с (12)

с = 0,001 [6,55 — 0,0685 Ие” - 4,4) + 0,2506 Ие« - 4,4)*];

= 0,2814 — 0,036 1ё Иет + 36 (^ Иет)-4,5;

С1 = 0,1185Ие^ — 0,262;

' а,= 0,585- 0,125 ^ 1*е« + 20,4 (^ Ие^Г1'75;

Нт = Н0 (1 - kf) - 0,019 fef[g Ие;*; (13)

Я0== 1,251-0,01311§Ке: +5,35 (^Яе;*)"2’85;

' к = 0,28 - 0,0341ё Яем + (0,1 £

полином (5а),------- полином (56)

Фиг. 2

В работе [6] было показано, что профили скорости, полученные на основе использования аппроксимации (56), близки к степенным ^ |

с показателем я — —^-----------. Поэтому для определения связи между

С = 8М~. Я^-1— ■ (14)

т нт(нт +1) ' ;

Внешняя часть струи. Для расчета характеристик потока во внешней части полуограниченной струи представим профиль

касательного напряжения в виде полинома от переменной

г]1 — ——^ (см. работу [7]):

8 — Ьт 81

(15)

і =0

Коэффициенты полинома определим из граничных условий

дх

•с —О, -^- = р(итит-иьид) при у = от(гіі = 0),

'с = 0, ^=° при .у = 8 (■»], = 1).

В результате получим

’ї = р(итит — ибіі'ь)Ь1-гі1(1—гІІ)2. (16)

С другой стороны, согласно формуле Прандтля, во внешней части полуограниченной струи

х = рх8,(иЯ| —и.в)-^-. (17)

Приравняв правые части выражений (16) и (17), после интегрирования и простых преобразований получим выражение профиля скорости

и = иъ + {ит — Иа)(1 - бт]^ + 8т)3 — Зт)*), (18)

а также соотношение

(ити'т — ыь«;)8, = - 12 *(ит -и&)\ (19)

устанавливающее связь между ит, Ът и 8.

Как и в случае плоской свободной турбулентной струи в спут-ном потоке с градиентом давления [7], постоянная * = 0,01.

Преобразование системы уравнений. Таким образом, для расчета характеристик плоской полуограниченной струи мы полу-

чили три дифференциальных уравнения: (1) и (19). Преобразуем эти уравнения к безразмерному виду:

12х(и иОг + (Ят_1)и5Ц; .

I \---------III / V V Т

61 -

<1ит__иьиц йх и.т

йх

(20)

ит ит

т т

где

0,1034 ит — 0,0426»;, 0,0535 ит + 0,0608 «а

Ф2

0,0680 ит + 0,0462 «5

0,0535 ит + 0,0608 и<>

Итак, задача о расчете плоской полуограниченной струи сводится к решению системы трех дифференциальных уравнений (20), разрешенных относительно производных от трех искомых функций. Входящие в систему уравнений величины су и Нт выражаются через искомые функции при помощи формул (12) и (13). В общем случае система уравнений (20) может быть решена численно на ЭВМ.

При этом должны быть заданы число Рейнольдса Ие = и° °° ,

V

зависимость скорости внешнего потока от продольной координаты х и характеристики струи в начальном сечении при л = хн: ит = ит н, 0) = 81 н, Кет = Ие/п н.

Отличительной особенностью системы дифференциальных уравнений (20) является то, что параметры внешней части струи 8, и ат могут быть найдены независимо от параметров ее пристенной части. Это обстоятельство обусловлено специальным выбором второго интегрального соотношения (1). Таким образом, для расчета внешней части полуограниченной струи на ее основном участке могут быть использованы известные решения задачи о распространении свободной турбулентной струи в спутном потоке с продольным градиентом давления. Такой вывод не противоречит имеющимся экспериментальным данным.

Сравнение результатов расчета и эксперимента. Сравнение данных расчета и эксперимента для полуограниченной струи затруднено неоднозначностью режимов течения в пристенном пограничном слое — здесь при сравнительно небольших числах Рейнольдса течение может быть ламинарным не только в пределах вязкого подслоя, но и во всей пристенной части струи [11]. Приведем результаты такого сравнения для затопленных пристенных струй и пристенных струй в спутных безградиентном (фиг. 3) и градиентном (фиг. 4 и 5) потоках. Во всех случаях результаты расчета скорости ит и поперечных размеров струи 61/2 и 8т достаточно удовлетворительно согласуются с опытными данными.

Что касается . сравнения расчетных и экспериментальных значений локального коэффициента поверхностного трения, то здесь необходимо отметить следующее. Экспериментальные значения при фиксированных значениях числа Рейнольдса для безградиент-ных пристенных струй, согласно различным исследованиям, разнятся примерно на 20—25%, причем ббльшие значения соответствуют затопленным струям, меньшие — струям в спутном потоке

1-и 1и0\ 2-0,1 (51/2/50); 3—0,1 (5да/в0); 6-иъ!ал = 0,333, Ие = 2,02-10* [5]:

4-и5/а0 = 0, Ие = 5-10* [121; 7-п&/и0 = 0,487, Не = 1,745-10' [51;

5—иь /ц, = 0,197, Яе = 2,02-10* [5); «-расчет

Фиг. 3

'-“Лн; 2-«¿/в

3- !

Не„

ан"тн/* = 1'93-10*[13Ь

т н .. .... Кетн = 3,55-10* [13]

Фиг. 5

0

*0 ¡0

120 х/0о

1 — ^т^а'' ^ ид1ио> 3 0,1 (&1/2/^о); 4 — 0,1 (5т/^),

О -_1?е = 3-10* [5]; 6— Ие = 2,3-10* [51; 7 — расчет

Фиг. 4

1 — т0 Ф 0 [5]; 2—та = 0, трубка Престона [10]; 3 — т0 = О, весовые измерения [8]; 4 — т0 = 0, эксперименты авторов и К. А. Почкиной;

5 — Ото = 0, эмпирическая формула [10]; 6 — т0 + 0, Эмпирическая формула [10]; 7 — /по = 0, расчет Глауэрга [10]; 5 — расчет по предлагаемому методу.

Фиг. 6

410]. На фиг. 6 приводятся расчетная зависимость (Re”)1/6 =

<?(Нт), соответствующая закону сопротивления для плоской пластины, и экспериментальные данные для затопленной пристенной струи (опыты авторов настоящей статьи и К. А. Почкиной) и струи в спутном потоке (опыты Николя [5]). Здесь сходимость следует считать удовлетворительной.

На нижнем графике фиг. 6 сопоставлены расчетные и экспериментальные зависимости cy(Rem) для затопленных пристенных

струй ^Rem = Um°m. Здесь обнаруживается указанное выше расхождение. При этом опыты авторов и К. А. Почкиной удовлетворительно согласуются с результатами расчета.

Таким образом, изложенный метод позволяет рассчитать плоскую турбулентную полуограниченную струю на всем ее протяжении от выходного сечения сопла до ее вырождения в обычный

пограничный слой, когда -^---»1, или же, в случае диффузорного

It5

спутного потока, до сечения, где происходит отрыв потока, т. е. Cf—0. Этот метод легко распространяется на случай осесимметричной пристенной струи на теле вращения или на стенках осесимметричного канала, а также на случай радиальной пристенной струи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй. М., Физ-матгиз, 1960.

2. Акатнов Н. И. Распространение плоской турбулентной струи вдоль твердой, гладкой и шероховатой поверхности. »Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение“, 1960, № 1.

3. Вилле Р., Фернгольц Г. Сообщение о первом европейском коллоквиуме механиков, посвященном эффекту Коанда. Сб. переводов „Механика“, 1966, № 5 (99).

4. Сполдинг Д. Б. Некоторые приложения нового метода расчета турбулентного пограничного слоя. Сб. „Тепло- и массопере-нос‘, T. I. М., .Энергия“, 1968.

5 Gartshore I. S., Newman В. Q. The turbulent wall jet In an arbitrary pressure gradient. The Aeronautical Quarterly, v. XX, p. 1, February, 1969.

6. Федяевский K. K., Колесников А. В., Смолья-нинова А. Н. К расчету турбулентного пограничного слоя с продольным градиентом давления. Труды ЦАГИ, вып. 1088, 1967.

7. Гиневский А. С. Теория турбулентных струй и следов.

М.. „Машиностроение“, 1969.

8. Mathieu J. Écoulement pariétaux. J. de Mécanique, v. 8, № 1,

196Э.

9. T a i 11 a n d A., Mathieu J. Jet pariétal. J. de Mécanique, v. 6,

№ 1, 1967.

10. Bradshaw P., G ее M. T. Turbulent wall jet with and without an external strim. ARC R. and М., 1962, № 3252.

11. Вулис Л. A., Кашкаров В. П. Теория струй вязкой жидкости. М., „Наука“, 1965.

12. Förtman E. Über turbulente Strahlausbreitung. Ingenieur-Archiv,

1934, В. 5.

13. Weinhold K. Untersuchung von Wandstrahlen bei ruhender und bewegter Außenströmung ohne und mit Druckanstieg. Mecanique appliquée, t. 12, № 1, 1967.

14. Erian F a d e 1 F. Influence of pressure gradient on turbulent flows with asymmetric mean velocity. Trans. ASME, E 36, № 4, 1969.

Рукопись поступила 11 ¡IX 1969 г.