CC BY
0ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№4 (85) / 2023.
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК УДК 539.3
doi:10.24412/0136-4545-2023-4-5-13 EDN:ZNIAZB
©2023. И.А. Моисеенко1, Л.П. Вовк2, Е.С. Кисель3
ТРЕХМЕРНЫЙ ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ КУСОЧНО-НЕОДНОРОДНОЙ ПРИЗМЫ
В статье рассмотрен численно-аналитический алгоритм решения пространственной задачи об установившихся колебаниях кусочно-неоднородной упругой области. В рамках модального анализа проведено исследование спектра резонансных частот и собственных форм колебаний в зависимости от упругих и геометрических параметров области.
Ключевые слова: волновое поле, локальные напряжения, частотный спектр, краевой резонанс, прямоугольная призма, модальный анализ.
Введение. Эксплуатация элементов конструкций и деталей машин на частотах, близких к резонансным, обычно имеет катастрофические последствия. Предупреждение вредных последствий резонансных явлений является важной научно-технической задачей. При этом усложненные физико-механические характеристики не дают возможность провести расчет собственных частот аналитически. Анализ спектра частот существенно усложняется в случае неоднородности материала области. Возникающая локальная концентрация напряжений
1 Моисеенко Игорь Алексеевич - доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: miamia733@mail.ru.
Moiseyenko Igor Alekseevich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
2 Вовк Леонид Петрович - доктор техн. наук, проф. каф. математического моделирования ф-та транспорт. и информ. технологий АДИ ДонНТУ, Горловка, e-mail: leonidvovk166@gmail.com.
Vovk Leonid Petrovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Automobile and Highway Institute, Gorlovka, Faculty of Transport and Information Technologies, Chair of Mathematical Modeling.
3Кисель Екатерина Сергеевна - кандидат физ.-мат. наук, доц. каф. математического моделирования ф-та транспорт. и информ. технологий АДИ ДонНТУ, Горловка, e-mail: e.s.kisel@gmail.com.
Kisel Ekaterina Sergeevna - Candidate of of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Automobile and Highway Institute, Gorlovka, Faculty of Transport and Information Technologies, Chair of Mathematical Modeling.
в сингулярных зонах неоднородной области на границах раздела сред с различными упругими характеристиками требует разработки уточнённой методики расчета, что позволит избежать резонансных явлений при виброэксплуатации неоднородных ограниченных тел и правильно подобрать рабочие режимы виб-ронагружения. Актуальным является и вопрос выбора геометрических и конструктивных параметров деформируемой области. Решение этих проблем существенно повысит сроки эксплуатации и надежность элементов конструкций. В современных практических приложениях наблюдается повсеместное использование функционально-градиентных неоднородных и кусочно-неоднородных материалов. Спектр собственных частот таких материалов существенно отличается от соответствующих спектров частот для однородных материалов. Уже на уровне анализа спектра частот однородной области можно сделать некоторые выводы о наличии краевых динамических эффектов в окрестности резонансных частот, важнейшим из которых является краевой резонанс [1, 2]. Картина распределения локальных зон концентрации напряжений в неоднородном и, особенно, - в кусочно-неоднородном теле, существенно усложняется и зависит от частотного параметра вибронагружения [2]. В данной работе в качестве объекта исследования выбрана трехмерная упругая кусочно-неоднородная призма с особыми зонами концентрации напряжений в угловых точках области и на внутренних поверхностях раздела сред с различными механическими характеристиками. Это обусловлено, во-первых, независимостью характера локальной концентрации напряжений от геометрии стыкуемых областей [3] и, во-вторых, повсеместным использованием подобных элементов с высокими прочностными характеристиками в технике [4]. Исследование спектра собственных частот для однородных балок с прямоугольным поперечным сечением не представляет особых затруднений и может быть выполнено по различным методикам [3-5]. Однако, не представляется возможности использовать эти результаты ни для прогнозирования времени работы таких элементов, ни, тем более, для уточненного анализа динамических характеристик волнового поля при режимах работы, близких к резонансным. Вычисление собственных частот и анализ собственных форм колебаний в зависимости от различных усложненных разрывных физико-механических характеристик объекта представляет несомненный практический и научный интерес. При этом необходим анализ зависимости механических характеристик волнового поля в пределах изменения упругих и геометрических параметров исследуемой области.
Цель данной работы - качественный и количественный пространственный анализ математических и механических характеристик волнового поля. Объект исследования - ограниченная призматическая кусочно-неоднородная область с характерными зонами локальной концентрации напряжений. Основной задачей является исследование спектра собственных частот и собственный форм колебаний в окрестности нерегулярных точек границы области и на внутренней границе раздела областей в зависимости от геометрии и упругих параметров стыкуемый областей. В статье поставлены и решены следующие задачи:
1. Создание геометрических и расчетных моделей пространственных изотропных упругих областей с различным характером разрыва механических характеристик и, соответственно, с различной геометрией неоднородности.
2. Создание методики численного расчета спектра резонансных частот в программном комплексе А^УБ. Численное исследование проводится для модели, не имеющей начальных напряжений.
3. Определение динамических характеристик напряженно-деформированного состояния при установившихся колебаниях исследуемой составной области
4. Численный сравнительный анализ локальных характеристик волнового поля на различных резонансных частотах с целью определения наиболее опасных, с точки зрения прочности, собственных частот.
5. Исследование влияния геометрии стыкуемых областей на характер локальной концентрации напряжений.
6. Формулировка выводов проведенного анализа и перспектив дальнейших исследований.
1. Постановка задачи и численное исследование. Первым этапом исследования является определение и анализ спектра резонансных частот тела, состоящего из трех состыкованных однородных призматических трехмерных областей с различными упругими параметрами (рис.1).
Численный анализ спектра частот основан на компьютерном моделировании и последующем модальном анализе в конечно-элементном комплексе ANSYS Mechanical 2019 R2. В данной работе приведен расчет свободных колебаний без учета предварительных напряжений.
Материал внешних наплавок областей - магний, материал внутренней области - конструкционная сталь (Structural Steel). Они, соответственно, представлены в библиотеке материалов программного комплекса. Тестовая модель внутренней области представляет собой прямоугольную пластину, линейный размер которой по оси x равен 0.22 м, по оси z - 0.08 м. Ширина внешних областей при
Рис. 1. Геометрия области
а=0° - 0.02 м, и в численном анализе а может варьироваться, в связи с чем форма наплавок будет трапецией. Толщина призмы Н изменяется в пределах от 0.001 м до 0.03 м.
При численном анализе определялись первые 14 собственных частот и собственных форм колебаний. Вид стыковки внутренней области и наплавок -жесткое сцепление. Граница контакта по предположению является гладкой для гладкой границы раздела областей. При исследовании волновых характеристик никакие условия закрепления на призматическую область не накладывалось. Поскольку при таких условиях данная область имеет шесть степеней свободы (три линейные и три угловые), то первые шесть собственных («твердотельных») форм игнорировались. Данные формы не имеют физического смысла при установившихся колебаниях.
На рисунке 2 представлена зависимость значений найденных резонансных частот от толщины призмы при а=0. Если увеличивать толщину призматической области от 0.001 м до 0.03 м, то масса всего тела увеличивается и значения собственных частот растут. На рисунке 2 отчетливо видно, что скорость увеличения значения резонансной частоты растет в зависимости от её номера. Начиная от значения толщины Н ~ 9 • 10_3 м появляется постоянная частота шг~3100 Гц, не изменяющаяся с дальнейшим увеличением толщины, которую можно считать частотой толщинного краевого резонанса и которая не зависит от толщины [6, 7]. Порядковый номер частоты шг уменьшается с ростом значения Н (линия 1 на рис. 2). При дальнейшем росте толщины появляется еще одна такая более высокая частота (линия 2 на рис. 2). Как показали дальнейшие расчеты, краевые эффекты на этой частоте выражены гораздо слабее.
7 ч
8ч
9 ч
10ч
11ч
12ч
13ч
14ч
15ч
Рис. 2. Зависимость спектра собственных частот от толщины призмы
Наиболее действенным способом предотвращения разрушения конструкций при резонансе является выбор режима вибрационной нагрузки и геометрии тела, при которой собственная частота колебаний отличается от ее рабочей частоты. Наиболее актуален этот вывод для первых собственных форм и, особенно, для собственной формы колебаний на частоте краевого резонанса. Поэтому, пред-
ставляется интересным качественный и количественный анализ распределения характеристик волнового поля в сингулярных зонах границы тела и в окрестности внутренних поверхностей раздела. Результаты численного анализа для кусочно-неоднородной трехмерной призмы представлены на рисунках 3-6, где изображены эпюры изменения собственных напряжений ах на внешней границе тела на различных частотах при а=20°.
Рис. 3. Распределение напряжений ах на 3-й собственной частоте
Распределение напряжений существенно зависит от номера собственной частоты. Если на третьей собственной частоте практически отсутствуют зоны локальной концентрации напряжений, то уже на шестой эти зоны ярко выражены (локальные напряжения увеличиваются в 2,5 раза). Прочностный расчет на этой частоте обязательно должен учитывать максимальные значения растягивающих и сжимающих напряжений в зоне концентраторов напряжений.
Рис. 4. Распределение напряжений ах на 6-й собственной частоте Практически на всех частотах имеем несколько зон концентрации напряже-
ний, для которых обычные теории прочности не применимы. На основе анализа данных представленных рисунков, можно сделать вывод, что, если не учитывать локальную концентрацию напряжений, ошибка может достигать 800%.
Рис. 5. Распределение напряжений ах на 7-й собственной частоте
Рис. 6. Распределение напряжений ах на 8-й собственной частоте
Следует отметить, что с увеличением толщины призмы локальные и краевые динамические эффекты затухают. Это можно объяснить следствием общего увеличения массы тела. Однако, даже при большой массе тела, локальные динамические эффекты сохраняют выраженный характер. Особенно явно это прослеживается на частотах краевого резонанса.
Следующий этап численного анализа связан с изучением влияния геометрии стыкуемых областей, а именно угла асимметрии а на величину и характер распределения локальных напряжений. На рисунках 7-8 представлено распределение нормальных напряжений ах на 7-й собственной частоте при а=200 и а= 500. При увеличении значения угла а на некоторых частотах наблюдается
ярко выраженная концентрация напряжений на внешней границе наплавок и у внешних вершин области, что так же следует рассматривать, как повод для конструктивных изменений подобных неоднородных элементов конструкций.
Рис. 7. Распределение напряжений ах на 7-й собственной частоте при а=20°
Рис. 8. Распределение напряжений ах на 7-й собственной частоте при а=50°
Из данных на представленных рисунках следует, что с увеличением значения а и, соответственно, с увеличением массы наплавок, интенсивность локальной концентрации напряжений существенно увеличивается. Наблюдается рост максимальных напряжений в 7 раз. Это нужно обязательно учитывать при проектировании неоднородных элементов конструкций.
При больших значениях а наблюдается существенная концентрация напряжений по толщине области. На рисунке 9 представлено распределение поля напряжений ах на торце трехмерной области при а=60° и на частоте краевого резонанса ^=66041 Гц. Сжимающие напряжения достигают на этой частоте своей максимальной величины, значительно превышающей соответствующие значе-
ния на всем рассматриваемом частотном диапазоне. При малых значениях а и на других резонансных частотах этот эффект отсутствует.
Рис. 9. Распределение напряжений ах на 7-й собственной частоте при а=60°
Выводы. По данному исследованию справедливы следующие выводы.
1. С ростом толщины призматического тела наблюдается рост значений резонансных частот. Скорость роста значений частот возрастает с увеличением номера собственной частоты.
2. На спектре частот, начиная с некоторого значения толщины, появляются частоты краевого резонанса, характеризующиеся появлением плато в спектральной области. Это является причиной появления пограничных эффектов при установившихся колебаниях области.
3. Характер динамического напряженно-деформированного состояния при резонансных колебаниях существенно зависит от номера собственной частоты. С увеличением номера собственной частоты интенсивность локальной концентрации напряжений увеличивается. Но на высоких частотах локальные динамические эффекты затухают.
4. При увеличении массы наплавок и угла асимметрии области растет интенсивность локальной концентрации напряжений и появляются зоны интенсивности на торце области. Представленный модальный анализ свободных колебаний кусочно-неоднородной упругой призматической области является первым этапом динамического анализа, т.к. на его основе можно проводить анализ вынужденных колебаний и нестационарных задач.
В качестве перспектив дальнейших исследований можно предложить следующие направления исследования.
1. Изменение геометрии стыкуемых областей. Переход к анализу свободных колебаний несимметричных кусочно-неоднородных областей.
2. Рассмотрение различных сочетаний упругих параметров наплавок и внутренней области, что, конечно, скажется на величине интенсивности локальной концентрации напряжений. Возможно рассмотрение колебаний области, состо-
ящей из трех состыкованных призматических тел, каждое из которых имеет разные упругие характеристики.
3. Одним из направлений исследования может стать рассмотрение наплавок или внутренней области, выполненных из функционально-градиентных материалов.
4. Анализ собственных форм при таком значении угла асимметрии, при котором наплавки сойдутся. В этом случае возникнет стык трех областей. Анализ напряженного состояния в такой сингулярной точке несомненно представляет интерес.
1. Ватульян А.О. Об оценке законов радиальной неоднородности в цилиндрическом волноводе У A.O. Ватульян, В.О. Юров ^ A^ct. журн. - 2020. - Т. 66. - № 2. - С. 119-12T.
2. Вовк Л.П. Особенности локальной концентрации волнового поля на границе раздела упругих сред У Л.П. Вовк. - Донецк: Норд-Пресс, 2004. - 26T с.
3. Вовк Л.П. Aнализ спектра резонансных частот неоднородной упругой призматической детали с учетом ее толщины У Л.П. Вовк, И.В. Даниленко, Е.С. Кисель ^ Вести автомобильно-дорожного института. - Горловка: AДИ ГОУ ВПО «ДОННТУ». - 2020. - № 3(34). -С. 20-26.
4. Евдокимов А.А. Гибридная численно-аналитическая схема для расчета дифракции упругих волн в локально неоднородных волноводах У A.A. Евдокимов, Н.В. Глушкова, Е.В. Глушков УУ A^CT. журн. - 201S. - Т. 64, - № 1. - С. 3-12.
5. Вильде М.В. Краевые и интерфейсные резонансные явления в упругих телах У М.В. Виль-де, Ю.Д. Каплунов, Л.Ю. Коссович. - М.: Физматлит, 2010. - 2T9 c.
6. Chuanyong Wang Laser-generated Rayleigh wave for width gauging of subsurface lateral rectangular defects У Chuanyong Wang, Anyu Sun, Xiaoyu Yang, Bing-Feng Ju, Yongdong Pan
Journal of Applied Physics. - 201S. - No. 124(6) - P. 124-130.
T. Sinclair G.B. Stress Singularities in Classical Elasticity У G.B. Sinclair ^ I: Removal, Interpretation and Analysis. Applied Mechanics Reviews. - 2004. - V. 5T, no. 4. - P. 251-29T.
I.A. Moiseyenko, L.P. Vovk, E.S. Kisel
Three-dimensional frequency analysis of a piecete-inhomogeneous prism.
The article discusses a numerical-analytical algorithm for solving a spatial problem about steady-state oscillations of a piecewise inhomogeneous elastic region. Within the framework of modal analysis, a study was carried out of the spectrum of resonant frequencies and natural vibration modes depending on the elastic and geometric parameters of the region.
Keywords: wave field, local stresses, frequency spectrum, edge resonance, rectangular prism, modal analysis..
Получено 06.10.2023
