Трехмерная граничная обратная задача тепловой диагностики трения в подшипниках скольжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.89:536.24

ТРЕХМЕРНАЯ ГРАНИЧНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОВОЙ ДИАГНОСТИКИ ТРЕНИЯ В ПОДШИПНИКАХ СКОЛЬЖЕНИЯ

А. С, Кондаков, Н, П, Старостин, М, А. Васильева

Введение. Метод тепловой диагностики трения, позволяющий определять мощность трения в трущихся сопряжениях по температурным данным, сводится к восстановлению фрикционного тепловыделения путем решения граничной обратной задачи теплообмена. Успешное восстановление функции тепловыделения зависит от учета в математической модели основных факторов, определяющих тепловое состояние исследуемого узла трения, в том числе пространственное распределение температуры. Анализ постановки трехмерной обратной задачи показывает, что для ее решения необходимо задавать дополнительную температурную информацию на некоторой поверхности в окрестности зоны контакта. При практической реализации метода размещение термочувствительных элементов внутри элемента узла трения на некоторой поверхности приведет к нарушению его целостности.

Анализ температурного поля полимерного подшипника скольжения с использованием полной трехмерной модели показывает, что распределение температуры практически однородно по длине втулки и обоймы подшипника [1]. Влияния теплоотдачи от их торцевых поверхностей незначительны. Вследствие этого нестационарное температурное поле во втулке с обоймой можно описать двумерным уравнениям теплопроводности, а в вале — трехмерным. Таким образом, температурное поле в подшипнике скольжения можно представить в

© 2012 Кондаков А. С., Старостин Н. П., Васильева М. А.

А-А

Рис. 1. Расчетная схема подшипника скольжения:

1 — вал, 2 — полимерная втулка, 3 — обойма, 4 — ось нагружения подшипника, Р — нагрузка.

виде суперпозиции двумерного и трехмерного полей. При тепловой диагностике трения с использованием такой математической модели теплового процесса дополнительные температурные данные достаточно задавать, как для плоской постановки по некоторой кривой [2]. Алгоритм решения граничной обратной задачи теплообмена по определению мощности фрикционного тепловыделения в цилиндрическом подшипнике скольжения с учетом подвижности вала в двумерной постановке построен в работе [2]. В данной работе предлагается обобщение этого алгоритма при использовании упрощенной трехмерной модели теплового процесса в подшипнике скольжения.

Постановка трехмерной задачи теплообмена в подшипнике. Рассмотрим подшипник скольжения, схема которого представлена на рис. 1.

В предлагаемой упрощенной трехмерной модели распределение температуры Т(г, £) во втулке с обоймой описывается двумерным

уравнением теплопроводности с разрывами коэффициентов С(Т), А(Т) по границе сопряжения втулки с обоймой при г =

дТ I д ( дТ дЬ г дг\ дг

г2 <9у V ду У' (1)

Д1 < г < Е3, -п < у < п, 0 < Ь < Ьт. Температурное поле в вале и (г, у, г, Ь) описывается трехмерным уравнением теплопроводности с конвективным членом, учитывающим подвижность вала:

г (тпди 1д(хппди

г2 дер ( в ^ ^ дер

Ь С и

ди

ду

(2)

Ь

граничные условия, введем обозначения: Ь = 1\ + ¡2 + /3, Ь = Ь± + 14,

Б — полная боковая поверхность вала, Ба = {(г, у, г) : г = ДВ2, |у| ^

уо, г £ [Ьх, Ь]} — контактная зона вала со втулкой, Бс = Б \ Б а —

свободная от контакта боковая поверхность вала.

В зоне контакта задается условие равенства удельной мощности о<<р,г)

тепловыделения ^ сумме плотностей тепловых потоков, идущих в

вал и втулку, а также условие равенства температур:

Аи

дЩг, у,г,Ь)

дг

- А(Т)

дТ(г, у,Ь)

дг

г=Й1

5 '

(3)

5 = |у| < у0, Ь ^ г < Ь,

и(Дв2,у,г,Ь) = Т(Дьу,Ь), |у| < у, Ь < г < Ь2. (4) На свободной от контакта боковой поверхности вала Бс происходит

Т

= -а(и|дс - Тс

ср;

(5)

Такие же условия записываются на свободной от контакта внутренней поверхности втулки и внешней поверхности обоймы: дТ

= а2(Т(Д1,у,*)-Тср), |у|>у0, (6)

АТ

дг

г=Кг

А(Т)

ОТ дг

= —«з(Т(Д3, у, г) — Т

г=Я3

ср;

—п < у ^ п.

В центре вала задается условие ограниченности теплового потока

(7)

(8)

Условия периодичности для вала и подшипника записываются в виде

дТ

Л<г'а5

—п

дТ

= л<г'а5

Т(г, —п, г) = Т(г, п, г),

и (г, —п, г, г) = и (г, п, г, г).

(9) (10)

На концах вала задаются условия 3-го и 1-го родов:

ди

К(и)

дг

= —a1[и(г, — ТСр],

(П) (12)

г=0

и (г, у, Ь,г) = в(г, у,г),

где 0(г, у, г) — заданная функция. Начальные распределения температур в элементах узла трения задаются равными и однородными:

Т(г, у, 0) = и (г, у,г,0) = Тс р.

(13)

Поставленная прямая задача (1)-(13) определения температурного поля в подшипнике с валом решается при помощи безусловно устойчивых разностных схем по пространственным переменным и итераций по нелинейности. Численное решение трехмерной задачи для вала сводится к цепочке локально-одномерных задач по каждой пространственной координате. Все граничные условия 3-го рода аппроксимируются со вторым порядком.

Представление подшипника скольжения как суперпозиции двумерного и трехмерного элементов незначительно изменяет алгоритм решения плоской задачи [3]. Для расчета температуры вала на верхнем временном слое при известном значении температур на нижнем временном слое используются две вспомогательные функции. Первая, как

и в плоской задаче, используется для перехода от счета по радиальной переменной к счету по угловой координате. Вторая — для перехода от счета по угловой координате к счету по осевой координате. После реализации методов прогонок по радиальным и угловым переменным температурное поле для втулки с обоймой будет полностью определено на верхнем временном слое, а для вала будет определена вторая вспомогательная функция. Температурное поле в вале на верхнем временном слое полностью определяется после реализации метода прогонки по осевой координате в вале с использованием второй вспомогательной функции.

Постановка обратной задачи. Алгоритм решения трехмерной граничной обратной задачи по восстановлению функции мощности тепловыделения ф(у, г) по температурным данным строится аналогично алгоритму для плоской задачи [2].

Пусть в подшипнике скольжения во втулке по окружности с радиусом Д, заданы температурные данные по углу в пределах угла контакта:

Т-сп(Д,,у,г) = /(у,г), R1<Rf <Д, |у| < у. (14)

Обратная задача определения функции мощности тепловыделения ф(у, г) по температурным данным (14) сводится к минимизации функционала невязки

¡ш Ч><1

*)] = \ / / V, *) - /(у, *)]2 скрМ (15)

о —^о

на решениях системы (1)—(13).

Для решения поставленной обратной задачи методом итерационной регуляризации необходимо вычислить градиент функционала, т. е. производную Фреше

¡ш ¥о

7(д + дд) — лд) = у J J'[д(у,г)]дд(у,г)#^ + о(удд||), (16)

О —^о

где 0(удд||)/удду ^ о при ||Дду ^ о.

Для получения формулы для вычисления градиента функционала (15) так же, как в работе [2], выводится сопряженная краевая задача г, у, Ь г, у, г, Ь

ственно:

дФ А д ( <9Ф\ Л <92Ф 1,

дЬ г дг дг г ду

-[Т(г, у,Ь) - Ду,Ь)]5(г - К/)ХУ,

К < г < К3, -п < у < п, 0 < Ь < Ьт, (17)

где 5 = 1 при г = К/, 3 = 0 при г ф К/, а х(у) = 1 ПРИ |у| ^ уо> х(у) = 0 при |у| > у0,

<9Ф Ав <9 / <9Ф\ Ав <92Ф <9Ф <92Ф

= V э-г Ы + ^ V " + (18)

Дв2 ( Ав I

КА

аФ

дг

= 0, |у| ^ у, Ь ^ г ^ Ь2

г=Кх

Ф(Дв2,у,,г,4) = Ф(Дьу,4), |у| < у0, ¿1 < -г < Ь2, <9Ф

Л'

дг

^ф

дг

= а2Ф(Д 1,у,4), |у| > уо,

г=Кг

= -а3Ф(Д3, у, 4), -7Г < у < 7Г,

г=Я3

аФ

дп

= -«1Ф| £>с,

<9Ф\ Ит ( г—— = О,

дг

аФ

ду

<9Ф

ду

<9Ф

ду

—п

аФ

ду

Ф(г, -7Г,г) = Ф(г, 7Г, ¿),

Ф(г, —7Г, г, ¿) = Ф(г, 7Г, г, ¿),

Аи

дФ

дг

= -с^Ф(г, у, 0,4),

(19)

(20)

(21) (22)

(23)

(24)

(25)

(26) (27)

2=0

Г

Ш= —п

ф = п

Ф(г,<р,Ь,1) = 0, (28)

Щг,<р,г,гт)=Щг,<р,гт) = 0. (29)

Используя сопряженную краевую задачу и проводя те же преобразования, что и для плоского случая [2], получаем формулу для вычисления градиента функционала (16):

= (зо)

Алгоритм минимизации функционала (16) с использованием метода сопряженных градиентов представляется следующей цепочкой перехода от к-й итерации к (к + 1)-й:

Як(ср,¿) Тк(г, у,¿) Щг, у,¿) 1к

^ Бк(у, г ^ Ук{г, у, г ^ вк ^ Qk+1 (у, г),

где

Qk+1 (у,г) = Qk( у,г) — вк Б к( у,г), к = 0,1,2,..., (31) Б к( у,г) = J' ^к] + 7к Бк—1 (у,г),

п 0 -Vo

7о = 0, 7fc =

tm VO

f f J'[Qk(y,t)}fdydt

(32)

tm VO

/ f J'[Qk-1 (y,t)]fdydt

0 -vo

Начальное приближение Q°(y,t) задается произвольно, например, Qo(y,t)=0.

Шаг спуска ßk вычисляется по формуле

tm VO

J J [Tk(Rf,y,t) - f(y,t)]Vk(Rf,y,t)dydt

& = —-~-' (33)

/ / Vk (Rf,y,t)dydt 0 -vo

где Vk(Rf ,y,t) определяется решением краевой задачи для приращений температур подшипника V(r, у, t) и вала W(r, у, z, t): d(CV) _ 1 d f d(XV)\ 1 d2(XV) öt "rärV ör J + ^ ö^2 ' (34)

Ri<r<R3, -п<у<п, 0< t < tm,

Э(СЖ) _ 1 д | 1 д2(\Ж) | , д2(\Ж)

дt

дг

дг

с граничными условиями

д(\Ж)

дг

д(АвУ)

дг

г=Кг

ду2

лд(у,г) 5

ду

дг2

(35)

|у| < у0, ¿1 < г < Ь2,

ЩДв2,у,г^) = У(Дьу,*), |у| < у, Ьх < г < Ь2, д(^У) = |у|>у0,

г=Д

= -аУ(^,у, -п < у < п,

дг д(АУ)

дг

г=П з

д(Ав!)

дп

= -а! Ьс,

г^о \ дг

д АУ

ду

д АУ

д(Ав!)

ду

—п

д(Ав!)

ду

У (г, -п,г) = У(г,п,г),

—п

ду д(Ав!)

!(г, -п, г, ¿) = !(г, п, г, г),

дг

= -а?(г, у, О,*)

2=0

Щг, у, ¿,*) = 0,

У (г, у,0) = Щг, у,г,0) = 0.

Таким образом, построен алгоритм восстановления функции фрикционного тепловыделения ф(у, £) по температурным данным, который сводится к выполнению следующих шагов.

1. По известному приближению Qfc(у, £) решением прямой задачи (1)—(13) определяем температурные поля подшипника г, у, £) и г, у, г, £).

д

г

2. Подставляя полученные значения температур, решаем сопряженную краевую задачу (17)-(29) и по формулам (30) и (32) вычисляем

Бк у, г

3. Подставляя Бк(у, г) вместо А^у,г), решаем задачу для приращений температур (34)-(46).

4. По формуле (33) определяем шаг спуска вк и п0 формуле (31) последующее приближение Qk+1 {у, г).

5. Проверяем выполнение условия итерационной регуляризации:

где о2 (у, г) — дисперсия функции /(у,г).

6. Если условие итерационной регуляризации не выполнено, то

к

итерационный процесс останавливается и текущее значение Qk+1 (у, г) принимается за искомое решение Q(у, г).

Для установления устойчивости решений, полученных данным алгоритмом, необходимо проведение вычислительных экспериментов с имитацией погрешностей, что будет представлено в дальнейших исследованиях.

1. Старостин Н. П., Тихонов А. Г., Моров В. А., Кондаков А. С. Расчет трибо-техпических параметров в опорах скольжения. Якутск: Изд-во янЦ СО РАН,

2. Кондаков А. С., Старостин Н. П., Васильева М. А. Построение алгоритма восстановления плотности сосредоточенного источника тепла в двумерном уравнении теплопроводности в цилиндрических координатах // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 138-150.

3. Васильева М. А., Кондаков А. С., Старостин Н. П. Исследование применимости упрощенных моделей тепловых процессов в радиальных подшипниках скольжения на основе численных экспериментов. // Мат. заметки ЯГУ. 2008. Т. 15, вып. 2. С. 84-91.

г. Якутск 9 июня 2012 г.

0 —^о

ЛИТЕРАТУРА

1999.