CC BY
87УДК 621.89:536.24
Р.С. Тихонов1, Н.П. Старостин1
Институт проблем нефти и газа Сибирского отделения Российской Академии наук, 677891, г. Якутск, ул. Октябрьская, 1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ПРОЦЕССА ДЛЯ ДИАГНОСТИКИ ТРЕНИЯ В СИСТЕМЕ ПОДШИПНИКОВ ПРИ ИСПЫТАНИЯХ В УСЛОВИЯХ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР
Аннотация. Для повышения информативности стендовых и эксплуатационных испытаний узлов трения машин и механизмов перспективным является метод тепловой диагностики трения, позволяющий определять силу трения по данным о фрикционном тепловыделении. Данная работа посвящена одному из основных этапов тепловой диагностики трения - адекватному математическому описанию теплового процесса в системе подшипников на общем валу. Приводится математическая модель теплового процесса в системе подшипников на общем валу, представляющая систему двумерного и трехмерного уравнений теплопроводности с конвективным членом, учитывающим вращение вала. Приводятся результаты определения шага по времени при численном решении задачи, обеспечивающего достаточную для практического использования точность расчета динамики температурного поля в подшипниках скольжения.
Ключевые слова: подшипник скольжения, втулка, математическая модель, трение, система подшипников, теплопроводность, вал, температура, тепловой процесс, тепловыделение, скорость вращения.
R.S. Tihonov1, N.P. Starostin1
1 Institute of Oil and Gas Problem of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, 677891, Yakutsk, Oktyabr'skaya, 1
MATHEMATICAL MODELING OF THERMAL PROCESS FOR DIAGNOSTICS OF FRICTION IN THE SYSTEM OF BEARINGS WHEN TESTED IN LOW TEMPERATURE CONDITIONS
Abstract. To improve the informative content of poster and operational tests of friction units of machines and mechanisms there is a promising method of thermal diagnostics of friction, allows to define the friction force from the data on frictional heat generation. This work is devoted to one of the main stages of thermal diagnostics of friction - adequate mathematical description of the thermal process in the system of bearings on a common shaft. There is a mathematical model
of the thermal process in the system of bearings on a common shaft, representing the system of two-dimensional and three-dimensional equation of thermal conductivity with convection term, which takes into account the rotation of the shaft. The results of determination of the time step are given in the numerical solution of the problem, which provides sufficient for practical use accuracy of calculation of the dynamics of the temperature field in the sliding bearings. Comparison of calculated and experimental temperature data shows the real value of the mathematical model of the thermal process.
Keywords: sliding bearing, the mathematical model, friction, bearing system, thermal conductivity, shaft, temperature, thermal process, heat generation, rotation speed.
Введение. Широкое освоение северо-восточных регионов требует привлечения большого количества различных видов техники, условия эксплуатации которых связаны с длительным воздействием низких климатических температур и температурных перепадов. Практика эксплуатации машин и механизмов показала, что их работоспособность в условиях холодного климата Крайнего Севера резко снижается. Значительная часть неисправностей техники связана с низкой надежностью трибо-технических систем, в том числе опор скольжения. Одним из этапов создания техники, работоспособной в условиях низких температур, является проведение стендовых и эксплуатационных испытаний узлов трения. В то же время информативность таких испытаний крайне низка.
Моделирование теплового процесса. Математическая модель теплового процесса в системе подшипников на общем валу получается обобщением модели для одного подшипника. Во многих работах, чтобы получить удобные для инженерных расчетов формулы нахождения температурного поля в подшипнике скольжения, вводят предположение о постоянстве коэффициента разделения теплового потока на границе контакта между валом и подшипником. Решение задачи теплопроводности при таком предположении получено в работах [1-3, 7, 8, 10, 11, 13].
В работе [22] приближенно решается задача об определении температурного поля подшипника в предположении о независимости температуры в пределах угла контакта от угловой координаты по всей толщине втулки. Используя уравнение теплового баланса, в [22] получают решение для нестационарного теплового режима. Введение указанного предположения практически эквивалентно допущению о постоянстве коэффициента разделения потока.
Задача теплопроводности с граничными условиями, соответствующими условиям термического контакта, сформулированным в [6], рассмотрена в работе [17]. Здесь ограничений на коэффициент разделения теплового потока не накладывается. Вводя предположение о непрерывном тепловом контакте вала с втулкой по всей дуге внутреннего контура, в работе [17] для решения задачи применяется преобразование Фурье в конечных пределах. Применение этого метода расчета позволило определить температуру в подшипнике, не усредняя тепловой поток в вал по периметру, т.е. рассчитывать температуру вала для бегущего теплового источника.
Этот метод был далее применен для получения трехмерного температурного
поля в подшипнике скольжения [18]. Как в плоском, так и в трехмерном случае, решение имеет весьма громоздкий и трудно анализируемый вид. Кроме того, решение получено для стационарного случая.
Реальные подшипники имеют зазор между валом и втулкой, поэтому применение гипотезы о равенстве температур для вала и втулки в пределах всей окружности искажает реальное температурное поле. Плоская математическая модель для подшипника скольжения с учетом зазора между валом и втулкой и алгоритм численного решения задачи нестационарного теплообмена предложены в работе [20]. В данной модели вал представляется как сосредоточенная теплоемкость. Такое представление возможно при существенном различии теплофизических свойств антифрикционного материала подшипника и стального вала и достаточно высокой скорости вращения вала. При использовании подобной плоской модели не учитывается те-плоотвод по длине вала, что искажает результаты расчета.
Адекватную реальной картину распространения тепла в подшипнике можно получить только при учете пространственного распределения теплоты, возникающей в результате трения. При тепловой диагностике трения с использованием полной трехмерной модели теплового процесса возникает необходимость задавать температуру на некоторой плоскости в окрестности зоны трения, что практически невозможно реализовать. В связи с этим построим квазитрехмерную математическую модель.
Примем допущение об однородности распределения температуры по длине подшипника и корпуса, поскольку теплоотдача от их торцевых поверхностей незначительна. Тогда втулку и корпус можно рассматривать плоскими, а вал - трехмерным.
Рис. 1. Геометрическая схема двумерного подшипника скольжения: 1 - вал; 2 - вкладыш
(втулка); 3 - обойма
Нестационарное температурное поле в подшипниках описывается двумерным квазилинейными уравнениями теплопроводности для втулок с корпусами:
и для вала - трехмерным уравнением с конвективным членом, учитывающим его вращение:
ния:
В зонах трения втулок с валом задаются условия фрикционного тепловыделе-
(3)
П. , (3')
На свободных поверхностях вала, втулок и обойм задаются условия конвективного теплообмена:
сг
—г:
сг
Г Л,
дг
г-Пл
На концах вала задаются условия I и III рода
&
= н^СОДф.ЗД - ГД Р(г,ф,0,0 =
Г т.
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Начальные распределения температур в элементах узла трения примем равными и однородными
В центре вала задается условие ограниченности теплового потока:
Нт гл.
ди
= о.
дг _
По угловой координате выполняются условия периодичности:
Численное решение. Задачи (1) - (11) решаются методом конечных разностей и сведением к цепочке одномерных уравнений теплопроводности. Наличие конвективного члена в уравнении теплопроводности (2), учитывающего вращение вала, приводит к определенным трудностям при численном решении поставленной задачи. Использование монотонных локально-одномерных разностных схем суммарной аппроксимации позволяет обеспечить выполнение принципа максимума, т.е. при любых шагах t и Ь по временной и угловой переменным может быть определено приближенное решение. Из множества приближенных решений выберем решение, удовлетворяющее условию «слипания» при стремлении нулю шага по времени. В дальнейшем разработанный алгоритм численного определения динамики температурного поля намечается использовать для решения обратной задачи теплообмена. Затраты машинного времени на решение обратной задачи во многом зависят от временного шага при численном решении прямой задачи. При чрезмерно мелком шаге затраты машинного времени могут оказаться неприемлемыми для практических расчетов. Поэтому шаг по времени необходимо выбирать как можно большим при заданном критерии «слипания».
Пусть имеется достаточно детальная пространственная сетка. Для этой пространственной сетки вычислительными экспериментами определим шаг по времени, обеспечивающий сходимость решения. Варьировалось число Куранта
XV „
, характеризующее связь шага по угловой переменной со скоростью движения вала и шагом по времени. Поскольку для всех подшипников скольжения вращающийся вал является общим, достаточно рассмотреть случай одного подшипника. В последующем, найденный таким образом шаг по времени будет использован для расчетов температур в системе с нескольких подшипников.
т.*с
Рис. 2. Расчетные зависимости максимальных температур в зоне трения при различных числах Куранта у: 1 - У=36; 2 - 12; 3 - 2; 4 - 1; 5 - 1/8
На рис. 2 представлены результаты расчетов температур в подшипнике скольжения в зависимости от числа Куранта при следующих геометрических размерах: Й1к = 12 мм, Я2к = 13 мм, Й3к = 16 мм, Я4к = 30 мм, к=1. Материалом для вала и обоймы служит сталь, а для втулки - наполненный фторопласт Ф4К20. Скорость вращения
вала 30 об./мин, угол контакта - 30°. Удельная интенсивность тепловыделения по-
к 13т
стоянна и равна £) = 57 Расчеты показывают, что при д<1 решения сходятся.
м~
Для практических расчетов шаг по времени можно определить из условия д=2, поскольку при д<2 значения температур меняются в пределах одного градуса.
Сопоставление расчетных и экспериментальных температур. Для установления адекватности математической модели в виде двухмерного и трехмерного уравнений теплопроводности реальному тепловому процессу в подшипнике скольжения расчетные температуры сопоставлялись с экспериментальными (рис. 3).
т. С
42
40
38
36
м 32 зо 2В 26 24
0 300 600 900 1200 15<Ю 1800 2100 МОО 2700 3000 3100 £. сек
Рис.3. Расчетная зависимость температуры от времени во внутренней точке втулки на расстоянии 0,5 мм от зоны трения (значком I отмечены доверительные интервалы экспериментальных температурных данных)
Испытания проводились на машине трения СМТ-1 для одного подшипника. Температуры регистрировались с помощью медь-константановых термопар диаметром 0,1 мм с использованием многоканального устройства «ТЕРМОДАТ» в 5 точках втулки на расстоянии 0, 5 мм от зоны трения. Угол контакта составлял 60°. Трехкратное повторение эксперимента с регистрацией температур позволило определить доверительный интервал для зависимости температуры от времени. На рис. 3 показано, что расчетная зависимость температуры при ]=0 лежит в пределах разброса экспериментальных данных. Подобные результаты получены и для других точек замера температур, что свидетельствует об адекватном описании теплового процесса в рассматриваемом подшипнике скольжения.
В результате расчетов определены эффективные коэффициенты в уравнении теплопроводности, обеспечивающие близость расчетных и экспериментальных температурных данных. При этом эффективные коэффициенты отличаются от значений справочных теплофизических характеристик материалов на величину, не превышающую разброс свойств композиционного полимерного материала и стали. Эффективный коэффициент теплопроводности Л2 наполненного фторопласта Ф4К20 составил 0,34 Вт/(м-°С), объемная теплоемкость - С2 = 2,02-106 Дж/(м3-°С). Для стали -Л1 = 46 Вт/(м-°С), С1 = 3,48-106 Дж/(м3-°С). Коэффициент теплообмена вращающего вала вычислялся по формуле [23]:
а. =N11^
2Я,
№ = 0,95(2 КеЧО-Г". (12)
Полученные результаты сопоставления температурных данных свидетельствуют о возможности использования предлагаемой математической модели для определения температурного поля в подшипниках скольжения.
Моделирование теплового процесса в системе подшипников. Разработанный алгоритм решения задачи был обобщен для систем подшипников скольжения. В качестве примера рассматривалась система из четырех одинаковых подшипников наполненного фторопласта Ф4К20. Интенсивности тепловыделения в подшипниках задавались в виде функций времени:
Й(<р,0 = 3851,656-(/+1)4|со8<р|,
Й(<р,0 = 2 |соз<р|. (13)
= 3851,656-7г|со8ф|,
Й1(ф,0 = 12 ™™|со8ф|.
Функции интенсивности выбраны таким образом, что первая из них возрастает, третья постоянная, а вторая и четвертая имеют точку максимума на 10 минуте. Динамики температурных полей в подшипниках взаимно влияют на зависимости температур от времени в соседних подшипниках, о чем свидетельствуют кривые температур в зоне трения (рис. 4). При возрастании тепловыделения на первом подшипнике температура в зоне трения должна также повышаться. Под влиянием уменьшения тепловыделения на втором подшипнике после 10 минут температура на первом подшипнике снижается после 15 минут работы. На третьем подшипнике температура должна была установиться в силу постоянства тепловыделения, но под влиянием уменьшения температуры четвертого подшипника также начинает снижаться.
Т, *С
Г А — л
12 3 4
50
25
45
40
35
50
20
0 209 400 600 800 10 0 9 1 200 1400 1600 ^ сек
Рис. 4. Зависимости максимальных температур в зоне контакта подшипников скольжения от времени: 1 - температура 1-го подшипника; 2 - 2-го подшипника; 3 - 3-го подшипника;
4 - 4-го подшипника
Исследованиями температурных полей в подшипниках скольжения определены расстояния между подшипниками, равные 10 см, исключающие взаимное влияние на изменение во времени температурных полей подшипников. Полученные результаты использованы при разработке многопозиционного стенда для испытаний материалов на трение и износ при низких температурах.
При тепловой диагностике трения, основанной на решении обратной граничной задачи теплообмена, затраты машинного времени на решение прямой задачи имеют первостепенное значение. Уменьшение времени расчета может быть достигнуто упрощением математической модели. Рассматриваемая математическая модель теплового процесса в системе подшипников может быть упрощена путем принятия допущения об однородности распределения температуры по поперечному сечению вала, позволяющего рассматривать вал одномерным и учитывать скорость вращения вала только в коэффициенте теплообмена его поверхности с окружающей средой. Для установления правомерности допущения об однородности распределения температуры, наряду с анализом распределения температуры по радиальной переменной, необходимо исследование изменения температуры в вале по окружности. Пусть интенсивность тепловыделения, диаметр и теплофизические свойства вала таковы, что распределение температуры по радиальной переменной можно считать однородным. С увеличением скорости вращения вала изменение температуры по окружности будет стремиться к однородному распределению. Определим скорость вращения вала, выше которой распределение температуры можно принять однородным.
Т. °С -|
1___ ц
28 3 4 2 / \
Я* -J' .
27 6 7
26,5
'130 -ISO -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 if.rpaa
Рис.5. Распределения температур по поверхности вала при различных скоростях его вращения в момент времени t = 1 мин: 1 - 3 об/мин; 2 - 9; 3 - 15; 4 - 21; 5 - 30; 6 - 42; 7 - 60
На незначительном расстоянии от подшипника скольжения (2-4 мм) по осевой переменной распределение температуры в вале по окружности становится однородным. В связи с этим, для исследования однородности температуры по окружной переменной в системе подшипников скольжения рассматривался один подшипник с исходными данными, принятыми выше. В проведенных расчетах при различных скоростях вращения функции удельной интенсивности тепловыделения оставались неизменными в силу введения условия pV = const. Максимальное и мини-
мальное значения температуры в зоне трения вала достигаются в точке выхода поверхности вала из контакта и в точке входа в контакт. Расчетные зависимости температур поверхности вала от угловой координаты приведены на рис. 5. Несмотря на повышение коэффициента теплообмена с увеличением скорости вращения, после выхода из контакта поверхность вала охлаждается меньше и минимальная температура контакта повышается. Кроме того, за счет сокращения времени контакта, максимальная температура на поверхности вала снижается. Таким образом, увеличение скорости приводит к однородности распределения температуры по окружности.
Упрощающие допущения в математической модели теплового процесса в системе подшипников принимаются исходя их необходимой точности описания процесса, диктуемой целью исследования. На рис. 6 приведены разности максимальных и минимальных значений температур на поверхности вала в зависимости от скорости вращения. Такая зависимость позволяет определить скорость вращения вала, выше которой распределение температуры можно считать однородным с определенной точностью.
т/с
1,2
М
0
1 15 17 33 51
Рис. 6. Зависимость разности максимальных и минимальных значений температур на поверхности вала от скорости вращения вала в момент времени t = 1 мин
Выводы:
- предложены математическая модель теплового процесса в системе подшипников скольжения с учетом скорости вращения вала и методика, позволяющая на основе вычислительных экспериментов определить шаг по времени, пригодный для практических расчетов;
- сопоставлением расчетных и экспериментальных температурных данных установлена адекватность математической модели реальному тепловому процессу в подшипнике скольжения;
- исследованием температурных полей в подшипниках скольжения определены расстояния между подшипниками, исключающие их взаимное тепловое влияние, и скорость вращения, выше которой возможно упрощение математической модели;
- предлагаемая математическая модель теплового процесса может быть рекомендована для определения по температурным данным сил трения в каждом из подшипнике системы.
Обозначения:
0к- удельная интенсивность тепловыделения в зоне контакта к-го подшипника; и - температура вала; Тк- температура к-го подшипника; Г - температура окружающей среды; к, N - индекс и количество подшипников; - радиус вала; Й2к, Й3к - внутренний и внешний радиусы втулки к-го подшипника; Я4к - внешний радиус обоймы к-го подшипника; дк- длина к-го подшипника; I - длина вала; г, ф, 1 - цилиндрические координаты; 1к1, 1к- осевые координаты начала и конца расположения к-го под-
шипника; 2ф0 - угол контакта; О - угловая скорость; ? - время; Хт- время испытания; С1 - объемная теплоемкость материала вала; С2к, С3к - объемная теплоемкость материалов втулки и обоймы к-го подшипника, соответственно; а;, а, а3 - коэффициенты теплоотдачи с поверхности вала, втулки и обоймы, соответственно; Л( - коэффициент теплопроводности материала вала; Л2к, А3к- коэффициенты теплопроводности материалов втулки и обоймы к-го подшипника, соответственно; Лвоз - коэффициент теплопроводности окружающей среды; Йв- критерий Рейнольдса; Сг- критерий Грасгофа; р - давление; V- линейная скорость.
Литература
1. Айнбиндер, С.Б., Дзенис, А.А., Тюнина, Э.Л. Расчет температуры металл-полимерной пары при тяжелых режимах трения // Механика полимеров. -1973. - № 4. - С. 75-81.
2. Александров, В.М., Губарева, Е.А. О расчете контактных температур, возникающих при вращении вала в подшипнике // Трение и износ. - 2007. - Т. 28.
- № 1. - С. 39-43.
3. Бабешко, В.А., Ворович, И.И. К расчету температур, возникающих при вращении вала в подшипнике // ПМТФ. - 1968. - № 2. - С. 135-137.
4. Богатин, О.Б. Экспериментальная оценка эффективности восстановления моментов трения в системе несмазываемых подшипников по замерам температур / О.Б. Богатин и др. // Трение и износ. - 1991. - Т. 12. - № 3. - С. 442-445.
5. Васильева, М.А., Кондаков, А.С., Старостин, Н.П. Исследование применимости упрощенных моделей тепловых процессов в радиальных подшипниках скольжения на основе численных экспериментов // Математические заметки ЯГУ. - 2008 - Т. 15. - № 2. - С. 84-91.
6. Гинзбург, А.Г., Чичинадзе, А.В. К расчету износа при торможении с применением системы уравнений тепловой динамики трения // Трение и износ фрикционных материалов / под ред. А.В. Чичинадзе. - М. : Наука, 1977. - 26 с.
7. Колесников, В.И., Подрезов, С.А., Алексеев, В.А. К вопросу о теплона-груженности металлонаполненных полимерных подшипников скольжения // Трение и износ. - 1982. - Т. 3. - № 6. - С. 1009-1015.
8. Колесников, В.И., Кучеров, В.А., Подрезов, С.А. Исследование температурных полей некоторых узлов трения // Физико-механические процессы в зоне контакта деталей машин. - Калинин, 1983. - С. 70-77.
9. Кузнецов, В.Д. Физика резания и трения металлов и кристаллов // Избранные труды. - М. : Наука, 1977. - 310 с.
10. Огарков, Б.И., Голомедова, Л.И. Расчет стационарного поля анизотропного вкладыша подшипника скольжения // Известия вузов. Машиностроение.
- 1970. - № 8. - С. 43-48.
11. Огарков, В.И., Кухаренко, С.П. Аналитико-экспериментальный метод определения температурного поля двухслойного анизотропного вкладыша подшипника // Трение и износ. - 1985. - Т. 6. - № 2. - С. 228-234.
12. Одинец, С.С., Топилин, Г.Е. Средства измерения крутящего момента. -М. : Машиностроение. - 1977. - 160 с.
13. Павлова, И.В., Колесников, В.И., Евдокимов, Ю.А. Исследование распределения температуры в тонкостенных металлополимерных подшипниках скольжения // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. - 2001. - № 2. - С. 29-33.
14. Старостин, Н.П. Математическое моделирование теплового режима и температурная диагностика трения в системе цилиндрических подшипников скольжения // Математические заметки ЯГУ. - 1997. - Т. 4. - № 2. - С. 161-170.
15. Старостин, Н.П. Расчет триботехнических параметров в опорах скольжения / Н. П. Старостин и др. - Якутск : Изд-во ЯНЦ СО РАН, 1999. - 276 с.
16. Старостин, Н.П., Кондаков, А.С., Васильева, М.А. Тепловая диагностика трения в радиальных подшипниках скольжения с учетом скорости и характера движения вала // Трение и износ. - 2012. - Т. 33. - № 5. - С. 454-464.
17. Флоке, А., Плей, Д., Годе, М. Температуры поверхностей при распределенных контактах : приложение к проектированию подшипников // Проблемы трения и смазки. - 1977. - № 2. - С. 143-151.
18. Флоке, А., Плей, Д. Температуры в зоне контакта в несмазываемых подшипниках. Трехмерная теория и ее проверка // Проблемы трения и смазки. - 1981. - № 2. - С. 61-71.
19. Фролов, Л.Б. Измерение крутящего момента. - М. : Энергия, 1967. -С. 99-100.
20. Черский, И.Н., Богатин, О.Б., Борисов, А.З. Анализ температурного поля полимерного подшипника скольжения в нестационарный период трения // Трение и износ. - 1981. - Т. 2. - № 2. - С. 231-238.
21. Черский, И.Н., Богатин, О.Б., Старостин, Н.П. Восстановление моментов трения в системе несмазываемых подшипников по замерам температуры // Трение и износ. - 1986. - Т. 7. - № 5. - С. 878-887.
22. Янин, Л.Ф. Графо-аналитический метод теплового расчета подшипников скольжения с неметаллическим антифрикционным слоем / Л.Ф. Янин и др. // Методы испытания и оценки служебных свойств материалов для подшипников скольжения. - М. : Наука, 1972. - С. 100-110.
23. Dropkin, D., Karmi, A. Natural-convection heat transfer from a horizontal cylinder rotating in air // Trans. ASME. - 1957. - V. 59. - № 4. - P. 19-27.
24. Starostin, N.P., Kondakov, A.S., Vasilieva, M.A. Thermal diagnostics of friction in plain bearings with account for speed and mode of shaft motion // Journal of Friction and Wear. - 2012. - V. 33. - № 5. - P. 330-337.
25. Starostin, N.P., Kondakov, A.S., Vasilieva, M.A. Identification of friction heat generation in sliding bearing by temperature data // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2013. - V. 21. - № 2. - P. 298-313.
References
1. Ajnbinder, S.B., Dzenis, A.A., Tjunina, Je.L. Raschet temperatury metall-polimernoj pary pri tjazhelyh rezhimah trenija // Mehanika polimerov. - 1973. -№ 4. - S. 75-81.
2. Aleksandrov, V.M., Gubareva, E.A. O raschete kontaktnyh temperatur, voznikajushhih pri vrashhenii vala v podshipnike // Trenie i iznos. - 2007. - T. 28. -№ 1. - S. 39-43.
3. Babeshko, V.A., Vorovich, I.I. K raschetu temperatur, voznikajushhih pri vrashhenii vala v podshipnike // PMTF. - 1968. - № 2. - S. 135-137.
4. Bogatin, O.B. Jeksperimental'naja ocenka jeffektivnosti vosstanovlenija momentov trenija v sisteme nesmazyvaemyh podshipnikov po zameram temperatur / O.B. Bogatin i dr. // Trenie i iznos. - 1991. - T. 12. - № 3. - S. 442-445.
5. Vasil'eva, M.A., Kondakov, A.S., Starostin, N.P. Issledovanie primenimosti uproshhennyh modelej teplovyh processov v radial'nyh podshipnikah skol'zhenija na osnove chislennyh jeksperimentov // Matematicheskie zametki JaGU. - 2008. -T. 15. - № 2. - S. 84-91.
6. Ginzburg, A.G., Chichinadze, A.V. K raschetu iznosa pri tormozhenii s primeneniem sistemy uravnenij teplovoj dinamiki trenija // Trenie i iznos frikcionnyh materialov / pod red. A.V. Chichinadze. - M. : Nauka, 1977. - 26 s.
7. Kolesnikov, V.I., Podrezov, S.A., Alekseev, V.A. K voprosu o teplonagruzhennosti metallonapolnennyh polimernyh podshipnikov skol'zhenija // Trenie i iznos. -1982. - T. 3. - № 6. - S. 1009-1015.
8. Kolesnikov, V.I., Kucherov, V.A., Podrezov, S.A. Issledovanie temperaturnyh polej nekotoryh uzlov trenija // Fiziko-mehanicheskie processy v zone kontakta detalej mashin. - Kalinin, 1983. - S. 70-77.
9. Kuznecov, V.D. Fizika rezanija i trenija metallov i kristallov. Izbrannye trudy. -M. : Nauka, 1977. - 310 s.
10. Ogarkov B.I., Golomedova L.I. Raschet stacionarnogo polja anizotropnogo vkladysha podshipnika skol'zhenija // Izvestija vuzov. Mashinostroenie. - 1970. -№ 8. - S. 43-48.
11. Ogarkov, V.I., Kuharenko, S.P. Analitiko-jeksperimental'nyj metod opredelenija temperaturnogo polja dvuhslojnogo anizotropnogo vkladysha podshipnika // Trenie i iznos. - 1985. - T. 6. - № 2. - S. 228-234.
12. Odinec, S.S., Topilin, G.E. Sredstva izmerenija krutjashhego momenta. - M. : Mashinostroenie, 1977. - 160 s.
13. Pavlova, I.V., Kolesnikov, V.I., Evdokimov, Ju.A. Issledovanie raspredelenija temperatury v tonkostennyh metallopolimernyh podshipnikah skol'zhenija // Vestnik Rostovskogo gosudarstvennogo universiteta putej soobshhenija. - 2001. - № 2. - S. 29-33.
14. Starostin, N.P. Matematicheskoe modelirovanie teplovogo rezhima i temperaturnaja diagnostika trenija v sisteme cilindricheskih podshipnikov skol'zhenija // Matematicheskie zametki JaGU. - 1997. - T. 4. - № 2. - S. 161-170.
15. Starostin, N.P. Raschet tribotehnicheskih parametrov v oporah skol'zhenija / N.P. Starostin i dr. - Jakutsk : Izd-vo JaNC SO RAN, 1999. - 276 s.
16. Starostin, N.P., Kondakov, A.S., Vasil'eva, M.A. Teplovaja diagnostika trenija v radial'nyh podshipnikah skol'zhenija s uchetom skorosti i haraktera dvizhenija vala // Trenie i iznos. - 2012. - T. 33. - № 5. - S. 454-464.
17. Floke, A., Plej, D., Gode, M. Temperatury poverhnostej pri raspredelennyh kontaktah. Prilozhenie k proektirovaniju podshipnikov // Problemy trenija i smazki.
- 1977. - № 2. - S. 143-151.
18. Floke, A., Plej, D. Temperatury v zone kontakta v nesmazyvaemyh podshipnikah. Trehmernaja teorija i ee proverka // Problemy trenija i smazki. -1981. - № 2. - S. 61-71.
19. Frolov, L.B. Izmerenie krutjashhego momenta. - M. : Jenergija, 1967. - S. 99100.
20. Cherskij, I.N., Bogatin, O.B., Borisov, A.Z. Analiz temperaturnogo polja polimernogo podshipnika skol'zhenija v nestacionarnyj period trenija // Trenie i iznos. - 1981. - T. 2. - № 2. - S. 231-238.
21. Cherskij, I.N., Bogatin, O.B., Starostin, N.P. Vosstanovlenie momentov trenija v sisteme nesmazyvaemyh podshipnikov po zameram temperatury // Trenie i iznos.
- 1986. - T. 7. - № 5. - S. 878-887.
22. Janin, L.F. Grafo-analiticheskij metod teplovogo rascheta podshipnikov skol'zhenija s nemetallicheskim antifrikcionnym sloem / L.F. Janin i dr. // Metody ispytanija i ocenki sluzhebnyh svojstv materialov dlja podshipnikov skol'zhenija. -M. : Nauka, 1972. - S. 100-110.
23. Dropkin, D., Karmi, A. Natural-convection heat transfer from a horizontal cylinder rotating in air // Trans. ASME. - 1957. - V. 59. - № 4. - P. 19-27.
24. Starostin, N.P., Kondakov, A.S., Vasilieva, M.A. Thermal diagnostics of friction in plain bearings with account for speed and mode of shaft motion // Journal of Friction and Wear. - 2012. - V. 33. - № 5. - P. 330-337.
25. Starostin, N.P., Kondakov, A.S., Vasilieva, M.A. Identification of friction heat generation in sliding bearing by temperature data // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2013. - V. 21. - № 2. - P. 298-313.
