Алгоритм восстановления мощности тепловыделения в радиальных подшипниках скольжения возвратно-вращательного движения с высотой частотой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.89:536.24

АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ МОЩНОСТИ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ В РАДИАЛЬНЫХ ПОДШИПНИКАХ СКОЛЬЖЕНИЯ ВОЗВРАТНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ВЫСОКОЙ ЧАСТОТОЙ М, А. Васильева

Радиальные подшипники скольжения возвратно-вращательного (колебательного) движения используются в различной технике, эксплуатируемой в экстремальных условиях. Работоспособность подшипников скольжения из полимерных композиционных материалов определяется по комплексу критериев, в том числе по критериям, выражающим ограничения по мощности трения и температуре. Для определения мощности трения, характеризуемого всей теплотой, возникающей при трении, достаточно определить функцию мощности тепловыделения, так как известно, что практически вся механическая работа трения трансформируется в тепловую.

Метод тепловой диагностики трения был разработан для радиальных подшипников скольжения при вращательном движении вала в работах [1,2], где в принятых допущениях распределение температуры по перечному сечению вала считалось однородным и вал рассматривается как одномерный стержень. Поэтому восстанавливалась функция мощности тепловыделения, зависящая только от времени. Для подшипников скольжения возвратно-вращательного движения функция мощности тепловыделения зависит от угловой координаты и времени, так как распределение температуры по поперечному сечению вала будет неоднородным.

© 2008 Васильева М. А.

Рис. 1. Схема иодшишшка: 1 вал, '2 вкладыш, 3 обойма.

В данной работе предлагается алгоритм решения соответствующей граничной обратной задачи определения функции мощности тепловыделения. значит, и мощности трения по замерам температуры, а также пример численной реализации решения прямой задачи по определению температурного поля подшипника по известной мощности тепловыделения. Считая температурное поле в подшипнике однородным по длине, будем рассматривать плоскую модель, которая является основой для построения упрощенных трехмерных моделей.

Рассмотрим схему подшипника скольжения, представленного на рис. 1. Втулка, выполненная из полимерного композиционного материала. жестко соединена со стальным корпусом. Вал из стального материала контактирует со втулкой по дуге с углом 2у>о и совершает возвратно-вращательное движение с достаточно высокой угловой скоростью ш с малой амплитудой р (р ^ у>о)> которой можно пренебречь и записать уравнение теплопроводности для вала без конвективного члена.

Введем систему полярных координат (г, у) с начальным углом отсчета. проходящим через середину зоны контакта. Распределение тем-

пературы Т(т, у, г) во втулке с обоймой описывается двумерным уравнением теплопроводности с разрывными коэффициентами С(Т), М(Т) па границе сопряжения втулки с обоймой при т = Д3:

дТ 1 д ( дТ

С'Г»Ж = гЖ 757

Шт^-

т2 ду

ду)'

(1)

н2<т< я4, -п < у <п, о < г < гт.

На свободных поверхностях втулки и обоймы задаются условия конвективного теплообмена с коэффициентами теплообмена

дТ(т, у, г)

ЧТ)-

дт

= а2{Т(Е2,у,-Ь) - Тср), \у\ > у0,

(2)

Т = К2

^Т)

дТ{т, у, г)

дт

= -^(ТК,у,г) - Тср), -п <у < п. (з)

Г=К4

Двумерное температурное поле Т(т, у, г) во втулке с обоймой связано с распределением температуры и (т, у, г) в вале, описываемым уравнением

ди 1 д

дг

дт

ди

Св(и)— = -- г\в(и)— + -— Лв(и)— ,

дт

д

т ду

ди

ду

(4)

о<т<я1, п < у < п, о<г < гт.

На свободной поверхности вала задается конвективный теплообмен со средой:

Лв( и)

ди(т, у, г)

дт

= -^(иК,у,г - Тср), \у\ >у0. (5)

г=Й1

В центре вала задается условие ограниченности теплового потока:

(в)

В зоне контакта записываются условия теплового контакта с источником

Мв и

дЩт, у, г)

дт

-\(Т)

дТ(т, у, г)

г=Й1

дт

= д(^)

=к2

\у\ < уо, (7)

Г

- т(^,у,г) = о, \у\ < (8)

где ! — длина подшипника.

По оси симметрии расчетной схемы выполняются условия периодичности как для подшипника, так и для вала:

дТ(г, у, г)

А {т)дт^

ду

хв{и)ди^

= А {ТУ

—п ду

ду

, т(г, = т(г,п,г),

(9)

= Ав{и)ди{гд^1) , Щг,-п,г) = Щг,п,г).

у

(10)

Начальные распределения температур в элементах узла трения считаем равными и однородными:

Т(г,у,0) = Щг,у,0) = То. (11)

Рассмотрим экстремальную постановку задачи. В качестве меры уклонения рассчитанных температур T(Rf, уf ,г) по заданному источнику у, г) от измеренных /(у, г) выберем среднеквадратичную невязку:

tm ¥0

= $ [Т{Щ, у, €)-№,€)? (12)

0 —ро

Тогда обратная граничная задача формулируется следующим образом. Требуется минимизировать функционал (12) при ограничениях в виде системы уравнений (1)—(11). Функция служит управ-

лением. Подобные обратные задачи относятся к классу некорректных задач, главной особенностью которых является неустойчивость их решения к погрешностям в температурных данных, неизбежно возникающим при измерениях. Для решения некорректных задач применяются методы регуляризации. В данной работе применяется предложенный в работе [3] метод итерационной регуляризации на основе градиентных методов минимизации функционала, который теоретически обоснован для линейных постановок обратных задач. Тем не менее метод используют и для решения нелинейных задач. Ниже приводятся основные

соотношения, необходимые для реализации метода итерационной регуляризации, в рамках подхода, предлагаемого в работе [3].

Центральный вопрос градиентной минимизации заключается в определении градиента функционала невязки (12), т. е. в нахождении первой производной Фреше [3].

Эффективным методом определения градиента является введение в рассмотрение сопряженной краевой задачи. Дадим управлению Q(y, t) приращение à.Q(y, t), при этом температуры T(r, y,t)nU (r, у, t)

получат приращения V(r,y,t) и W(r,y,t) соответственно. Из снсте-

Q Q Q

V(r, у, t) и W(r, у, t) получены уравнения

д(С ■ V)_ldfd(\ ■ V)\ 1 д2(Л ■ V)

dt

dr

dr

dy2

R2 <r < R4, —п <y <п, 0 < t < tm,

д(Св ■ W) _ 1 д ( д(Хв ■ Vm 1 д2(Хв ■ W) dt г дг\ dr ) г2 ду2

0<r<Иг, —п<у<п, 0 < t < tm, с граничными и начальными условиями

д(Лв W)

dr

d(XV)

r=R\

dr

*Q(y,t)

, \y\ < Уо,

:R2

WR,y,t) = VR,y,t), \y\ < y0, = a2V(R2,y,t), \y\>y0,

rR

= -a4V(R4,y,t), —п < у <п,

dr d(XV)

dr

rR

lim ( ] = g,

д(Лв W)

d(XV)

dy

dr

—П

r^oy dr

= —aiW(Ri, y,t), \у\ > у0,

rR

d(XV)

dy

V(r, —n,t) = V(r,n,t),

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20) (21)

r

д(\в W)

ду

д(\в W)

ду

W(г, -п,t) = W(г,п,t), (22)

У(г,у,0) = W(г,у,0) = 0. (23)

При этом линейная часть приращения функционала (12) примет вид

tm РО

дл = л(д+дд)-.т) = I | [т^,у,г)-/(у,г)]У^,у},г)!уА

—Р

П К^

[Т(г, у, г) - /(у, ЩУ{г, у, ^^г - х(у) !г!у!г, (24)

О —п д2

где

Х \о, х^О, х(у) \0, \у\ >у0. Применяя основную лемму вариационного исчисления и приравнивая к нулю каждую из групп слагаемых при различных вариациях, получим сопряженную систему уравнений относительно множителей Лагранжа:

<9Ф А д ( <9Ф\ А <92Ф 1

~С1Н=г1ГгЫ)+^+г№ " тЩГ ~ (25)

R2 <г < -п < у <п, о < г < гт,

с <9Ф _ А в д (гдФ\ , А в д2ф

дг г дг дг г ду 0<г<Иг, п < у < п, 0<г < гт,

Ф(г, 1р,гт) = Ф(г, 1р,гт) = о,

^ф

дг А

аФ

= — а4Ф(1?4, у, £), —-к<у<-к,

г=К4

дг

= а2Ф(Й2, М > Уо,

г=Я2

А

дг

= \у\ > уо,

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

г=Кг

Р —п

Рп

<9ФЧ

аФ аФ

дм —п дм

<9Ф дФ

дм —п дм

о Л <9Ф\

щ 1 Хв дг ) Г=Й1

Ф(г, —7Г, = Ф(г, 7Г,г),

Ф(г, —7Г, = Ф(г, 7Г,г),

-ш\Х

аФ

дг

= О, \м\ < Мъ

(31)

(32)

(33)

(34)

Г = К2

Ф(ДЬ^) = Ф(Д2,^), М^У'о. (35)

Градиент функционала (12) определяется решением сопряженной задачи (25)-(35) по формуле

Л<3(</М)] = Д2Ф(Д2, <£>,£). (36)

Для восстановления функции д(м,г) методом итерационной регуляризации на основе градиентного метода минимизации функционала (12) необходимо решить три краевые задачи: прямую (1)—(11), сопряженную (25)-(35) и задачу в приращениях (13)-(23). Заметим, что прямая задача является нелинейной и предполагает применения метода итераций по нелинейности.

Минимизацию функционала (12) с использованием метода сопряженных градиентов можно представить следующей цепочкой перехода из к-й итерации к (к + 1)-й:

Як(ср,¿) тк(г, у,¿) Ф(г, у,¿)

^ 1к ^

Б к( М,^ ^ Ук г ^ вк ^ м,г),

где

дк+1 Мг) = дкМ,г) -вкбк&,г), к = о, 1,...-,

Б к( = [дк] + 1кБк-М,г), 7о = 0;

tm Ч><1

/ / (.гдкмМ^М^

_ о -УО_

~ (т

0 -^о

□ 0-1 □ 1-2 □ 2-3 □ 3-4 □ 4-5 □ 5-6 □ 6-7 17-8

Рис. '2. Функция удельной мощности тепловыделения.

Шаг спуска /Зк определяется с учетом решения задачи для приращений температур (13) (23):

tm Ч><1

I I [тк(Е}- ,

о _ 0 -У0_

!)к --йГТо-•

/ / У2 Щ, у,

О -р0

Начальное приближение задается произвольно. Уточнение ре-

шения обратной задачи прекращается по условию итерационной регуляризации [3].

Алгоритм численного решения прямой задачи будет основой для разработки алгоритмов решения сопряженной краевой задачи и задачи в приращениях температуры и будет использован при разработке метода тепловой диагностики трения в подшипниках скольжения возвратно-вращательного движения. Прямая задача решается методом конечных разностей сведением к цепочке локально-одномерных с использованием безусловно устойчивых разностных схем.

Приведем результаты численного решения прямой задачи. Все

Рис. 3. Распределение температуры по углу в момент времени 4 = 3 мин. Т&1 — температура на поверхности вала, Тд2 — температура на внутренней поверхности подшипника.

Рис. 4. Поле температуры вала и подшипника при 4 = 30 мин.

расчеты проводились для подшипника скольжения, представленного на рис. 1, при следующих геометрических размерах:

Й1 =0,0125, Д2 = 0,013, Д3 = 0,016, Д4 = 0,03м; мо = 15°.

Втулка в подшипнике выполнена из наполненного фторопласта, для которого зависимости теплофизических свойств от температуры имеют вид

Х = 0,07(Т - 100)/150 + 0,35 (Вт/(м • °С)),

0— (Т -30) + 3] • 10е (Дж/(м3 • °С)). Материалом для вала и обоймы служит сталь:

Хв , Т - / , / • ° ,

Св = [1,2 • 10— (Т -30) + 3, 7] • 10е (Дж/(м3 • °С)). Коэффициенты теплообмена брались следующими:

а = а = Ю, а = 5 (Вт/(м2 • °С)).

Мощность тепловыделения определялась функцией, заданной на рис. 2.

На рис. 3 даны температуры на поверхности вала и на внутренней поверхности втулки при г = 3 мин. На рис. 4 даны поля температуры по угловой координате и по радиусу при г = 30 мин. Модельная мощность тепловыделения бралась симметричной по углу относительно луча, проходящего через центр зоны контакта. Поэтому распределения температур вала и подшипника также имеют симметрию относительно этого луча, что показывает правильность численного решения температурной задачи.

Анализ численных результатов решения прямой задачи показывает хорошую работоспособность и сходимость по нелинейности разработанной программы на среде «Ве1рЬу».

ЛИТЕРАТУРА

1. Старостин Н. П., Кондаков А. С., Кондаков А. А. Восстановление момента силы трения в полимерном подшипнике скольжения по замеру температуры // Трение и износ. 2002. Т. 23, №5. 498-508.

2. Старостин Н. П., Тихонов А. Г., Моров В. А., Кондаков А. С. Расчет триботех-нических параметров в опорах скольжения. Якутск: янЦ СО РАН, 1999.

3. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

г. Якутск

22 июня 2007 г.