Исследование применимости упрощенных моделей тепловых процессов в радиальных подшипниках скольжения на основе численных экспериментов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.89:536.24

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИМЕНИМОСТИ УПРОЩЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В РАДИАЛЬНЫХ ПОДШИПНИКАХ СКОЛЬЖЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННЫХ ЭКПЕРИМЕНТОВ М, А. Васильева, А. С, Кондаков, Н, П, Старостин

При тепловой диагностике трения в подвижных сопряжениях, связанной с решением многомерных граничных обратных задач теплообмена, особую актуальность имеет проблема предельного упрощения математических моделей теплового процесса для удобства работы с ней и снижения затрат вычислительного времени при их использовании. Упрощенные математические модели (ММ) использовались нами при тепловой диагностике трения в радиальных подшипниках скольжения с вращательным и возвратно-вращательным движением вала [1—3]. При вращательном движении вала принималось допущение об однородности температуры на его поверхности вследствие высокой скорости вращения. Задача определения значения скорости вращения вала, выше которой распределение температуры на поверхности вала можно считать однородным, требует отдельного исследования. В подшипниках скольжения с возвратно-вращательным движением вала упрощенные ММ строятся при допущениях о малости амплитуды и высокой частоте колебаний. В то же время не определены лимитирующие условия применимости таких ММ. В связи с этим, в данной работе поставлена следующая цель: разработать методики определения условий применимости упрощенных ММ на основе моделирования тепловых процессов

© 2008 Васильева М. А., Кондаков А. С., Старостин Н. П.

Рис. 1. Схема подшипника. 1 — вал, 2 — вкладыш, 3 — обойма.

в подшипниках скольжения с учетом движения вала.

Рассмотрим тепловую модель, принятую в работе [4], в которой учитывается вращательное или возвратно-вращательное движение вала с угловой скоростью fi(t). Схема подшипника скольжения представлена на рис. 1. Втулка, изготовленная из полимерного композиционного материала, жестко соединена со стальной обоймой.

Распределение температуры T(r, <£>, t) в подшипнике описывается двумерным уравнением теплопроводности с разрывными коэффициентами C(T), A(T) па границе сопряжения втулки с обоймой при r = R:

dT Id / dT \ Id / dT \

R < r < R, -n < ^ < n, 0 < t ^ tm.

Температурное поле T(r,ip,t) в подшипнике связано с распределением

температуры и(г, р, Ь) в вале, описываемым уравнением

ди 1 д ( ,_ ди\ 1 д Л ,гг,ди

Св{и\

8Ь

1±(ГХВШ) —

г дг\ дг

ди

0<г<Дь -п<р<п, 0 < t < гт. (2)

На свободных поверхностях вала, втулки и обоймы задаются условия конвективного теплообмена с коэффициентами теплообмена а, а

ди (г, р,г)

Ав( и)

ЦТ)

дг

дТ(г, р,1)

= -а1(и(К1,ср,г) - Тср), р > р0, (3)

Й1

АТ

дг

дТ(г, р,1)

= - ТсР), М > р0,

(4)

Й2

дг

= -^{Т{^,р,Ь) - Тср), -п<р<п. (5)

Д4

В центре вала задается условие ограниченности теплового потока:

ш(гХв(и)^]=0.

(6)

В зоне контакта записываются условия неидеального теплового контакта с источником

Ав( и)

ди (г, р,1)

дг

- А(Т)

дТ(г, р,1)

Й1

дг

= Я(р,г), |р| < р0, (7)

Я'2

и{Еър,1) - Т(Я2,р,г) = 0. (8)

По оси симметрии расчетной схемы выполняются условия периодично-

сти как для подшипника, так и для вала:

АТ

дТ

др

АТ

—п

дТ

др

Т(г, —п, Ь) = Т(г, п, Ь),

(9)

— п

и {г, -п,г) = и(г,п,г). (ю)

Начальные распределения температур в элементах узла трения считаем равными и однородными:

Т г, р, и г, р, Т .

(П)

Задача (1)-(11) решается методом конечных разностей сведением к цепочке локально-одномерных с использованием безусловно устойчивых разностных схем [5,6].

Предлагаемую методику определения условий применимости упрощенных ММ изложим на конкретных примерах. Отметим, что выбор упрощенной модели диктуется целью проводимого исследования. В данном случае рассматривается возможность упрощения моделей тепловых процессов для восстановления мощности трения в достаточно широком временном интервале. Рассмотрим подшипник скольжения со следующими геометрическими размерами: Д1 = 0,0125 м, Д2 = 0,013 м, Дз = 0,016 м, Д4 = 0, 03 м, ^о = 15°. Втулка в подшипнике выполнена из наполненного фторопласта, для которого зависимости теплофизических свойств от температуры имеют вид

А = 0, 7(Т - 100)/150 + 0,35 (Вт/(м ^С)),

С = (6 • 10~3(Т -30) + 3) ^С)).

Материалом для вала и обоймы служит сталь:

Ав =30,5(Т - МО)/150+ 55,5 (Вт/(м ^С)),

Св = (1,2 • 10~3(Т -30) + 3, 7) •◦С)).

Коэффициенты теплообмена брались следующими: а = « = 20, « = •◦

Проведены расчеты нестационарных температурных полей в подшипнике с учетом скорости скольжения вала, сохраняющего постоянную абсолютную величину в расчетном интервале времени. Численные результаты показали, что увеличение скорости вращательного движения вала приводит к однородному распределению температуры по сечению вала по истечении некоторого времени. Максимальное значение температуры в вале достигается на поверхности трения. Оно со временем все меньше отличается от минимального значения температуры, и это отличие уменьшается тем быстрее, чем больше скорость вращения.

Рис. 2. Распределения температур по поверхности вала при различных скоростях его вращения.

Расчетные зависимости температур поверхности вала, приведенные на рис. 2, показывают динамику стремления к однородности температуры вала с увеличением скорости вращения.

На рис. 3. приведены температурные поля в вале с подшипником скольжения при скорости вращения вала П = 5 рад/с « 48об/мин в различные моменты времени. Приведенная скорость вращения соответствует скорости, выше которой температура вала по сечению может считаться однородной, как принималось нами ранее, например, в работе [7]. Правомерность рассмотрения вала как одномерного стержня подтверждается проведенными расчетами. Однако при использовании такой упрощенной модели необходимо помнить, что однородность температуры поверхности вала достигается примерно за 7 минут, что может отразиться на точности восстановления функции момента трения в этот период времени.

Далее нами приводятся результаты расчетов в случае возвратно-вращательного (качательного) движения вала. Методика определения условий применимости упрощенных математических моделей в этом

Рис. 3. Температурные поля в вале с подшипником скольжения при фиксированной скорости вращения вала в различные моменты времени.

случае также сводится к проведению численных экспериментов и анализу результатов расчетов при различных частотах и амплитудах колебаний. Допустим, что металлический вал совершает возвратно-вращательные движения с некоторой частотой / и с угловой амплитудой в-Угловая скорость равна = ±2в/. Будем считать, что угол контакта вала с втулкой 2^>о не изменяется по времени. Поскольку зона трения вала больше зоны трения втулки, для проверки правомерности допущения о неподвижности вала необходимо сравнить распределения температур на поверхности вала, полученных по модели с учетом движения вала и без него.

Приведенные на рис. 4 и 5 расчетные распределения температур по поверхности вала при его качательном движении показывают, что уменьшение амплитуды и увеличение частоты колебания приводят к уменьшению влияния конвективного члена в уравнении (2). Как видно из рис. 5, при амплитуде 3 градуса и частоте 2 Гц результаты расчетов с учетом конвективного члена в уравнении (2) и без его учета практически не отличаются. Следовательно, при достаточно малых амплитудах

М сак

-м*-

^ X

-00 -00 -40 -20 0 20 40 (0 10 Угол, градус

-л-р-Г,МГц -»-дом Гц

■«•бииштютит»

Рис. 4. Распределения температур по поверхности вала при различных амплитудах и скоростях качения.

1*1 с»«, М Гц

Рис. 5. Распределения температур по поверхности вала при различных амплитудах и при фиксированной скорости качения.

и высоких частотах качения можно воспользоваться упрощенной моделью теплообмена в подшипнике скольжения, принимая допущение о неподвижности вала, как в работах [2,4].

Разработанные методики могут быть рекомендованы для определения режимов эксплуатации подшипников скольжения из различных антифрикционных материалов, при которых можно воспользоваться упрощенными ММ для проведения тепловой диагностики трения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Старостин Н. П., Кондаков А. С., Кондаков А. А. Восстановление момента силы трения в полимерном подшипнике скольжения по замеру температуры // Трение и износ. 2002. Т. 23, № 5. С. 498-508.

2. Старостин Н. П., Кондаков А. С., Васильева М. А. Тепловая диагностика трения в самосмазывающихся радиальных подшипниках скольжения возвратно-вращательного движения. Ч. 1. Алгоритм определения функции мощности тепловыделения // Трение и износ. 2007. Т. 28, № 4. С. 351-360.

3. Васильева М. А. Алгоритм восстановления мощности тепловыделения в радиальных подшипниках скольжения возвратно-вращательного движения с высокой частотой // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 2. С. 93-103.

4. Старостин Н. П., Кондаков А. С., Васильева М. А. Построение алгоритма восстановления плотности сосредоточенного источника тепла в двумерном уравнении теплопроводности в цилиндрических координатах // Мат. заметки ЯГУ. 2007. Т. 14, вып. 1. С. 138-150.

5. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1997.

6. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М.: Еди-ториал УРСС, 2003.

7. Старостин Н. П., Тихонов А. Г., Моров В. А., Кондаков А. С. Расчет триботех-нических параметров в опорах скольжения. Якутск: янЦ СО РАН, 1999.

г. Якутск

16 апреля 2008 г.