CC BY
40
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
— Математика —
УДК 621.89:536.24 М. А. Васильева, А. С. Кондаков, Н. П. Старостин
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ФУНКЦИИ ФРИКЦИОННОГО ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ В РАДИАЛЬНЫХ ПОДШИПНИКАХ СКОЛЬЖЕНИЯ
ПО ТЕМПЕРАТУРНЫМ ДАННЫМ
Предлагается определять распределенное по зоне трения фрикционное тепловыделение в радиальном подшипнике скольжения по температурным данным. Соответствующая граничная обратная задача решена методом итерационной регуляризации. Вычислительными экспериментами показана устойчивость решения нелинейной обратной задачи к погрешностям в температурных данных.
Ключевые слова: трение, тепловыделение, температура, теплопроводность, подшипник скольжения, обратная задача, момент трения, устойчивость, регуляризация, метод сопряженных градиентов.
При диагностике триботехнического состояния узлов трения в цилиндрических сопряжениях необходимо определение момента трения, который характеризуется коэффициентом трения, действующей нагрузкой и скоростью взаимного движения элементов узла трения. В условиях эксплуатации узлов трения и при проведении стендовых испытаний практически невозможно получить данные о моменте трения. Компактность реальных конструкций не позволяет размещать приспособления с упругими элементами, необходимые для замера момента трения. Это приводит к необходимости определять момент трения по замерам других величин, достаточно хорошо коррелирующих с искомым моментом трения. Перспективным является использование предложенного нами метода тепловой диагностики, позволяющий определить функцию фрикционного тепловыделения и соответственно момента трения по замерам температур [1]. При этом для определения момента трения по температурным данным в подвижных сопряжениях возникает обратная задача восстановления функции фрикционного тепловыделения, представленного в виде сосредоточенного источника тепла в уравнении теплопроводности. Обратные задачи относятся к классу
ВАСИЛьЕВА Мария Александровна - инженер ИПНТ СО РАН
КОНДАКОВ Алексей Аланович - к.ф.м.н., в.н.с. ИПНТ СО РАН
СТАРОСТИН Николай Павлович - д.т.н., зав. лаб. № 5 ИПНТ СО РАН
некорректных задач, заключающихся в неустойчивости решения к малым погрешностям во входных данных. Подобные некорректные задачи в линейной постановке успешно решаются методами регуляризации [2]. Для решения нелинейных обратных задач формально привлекаются методы решения линейных некорректных задач. При таком подходе возникает необходимость исследования разработанного алгоритма на устойчивость решения по входным данным путем проведения вычислительных экспериментов.
Ранее метод был разработан для подшипников скольжения вращательного движения при допущении высокой скорости вращения вала, «размазывания» теплового потока по внешней поверхности вала и однородности температуры по зоне контакта [3, 4]. Учитывая существенное различие теплопроводностей металла и полимерного материала, из которого изготавливается антифрикционная втулка, вал считался тепловым стоком. Соответствующее уравнение теплопроводности не содержало конвективного члена, учитывающего движение источника тепла по поверхности вращающегося вала. Скорость вращения вала учитывалась при вычислении коэффициента теплообмена со средой.
Рассмотрим схему подшипника скольжения, представленную на рис. 1. Втулка, выполненная из полимерного композиционного материала, жестко соединена со стальным корпусом. Будем считать, что угол контакта вала со втулкой 2ф 0 за время испытания остается неиз-
менным. Предположим, что металлический вал совершает вращательное движение с угловой скоростью 0(/) или возвратно-вращательное движение с некоторой частотой V и с угловой амплитудой в. В случае возвратновращательного движения вала его угловая скорость О(г) = ±2в V будет менять знак на каждом полупериоде ^ . В силу подвижности вала на вал действует источник тепла с шириной по углу 2ф 0, движущийся с угловой скоростью 0(0.
С (Т) — =1— дt г д '
гХ (Т)
дТ
х (Т)
дт
(і)
R2 < г < Х4, -гс<ф<гс, 0 < t < tm
На свободных поверхностях втулки и обоймы задаются условия конвективного теплообмена:
дТ (г,ф, t)
Х (Т)-
дг
дТ (г ф,
с, (и)ди=I э (д, (и)ди + .1 гф[ х, (и)дЦ. +одс, (и)дФ, (4)
дt г дгI дг I г дф I дф I дф
0 < г < R1, -п<ф<п, 0 < t < tm.
На свободной поверхности вала задается конвективный теплообмен со средой
Х, (и )
ди (г,ф, 1)
Э г
= (^ф ,1) -ТСр ), | ф | >ф о. (5)
В центре вале задается условие ограниченности теплового потока
Ііт
г —>0
Х д и
гХв (и)^Т~ дг
= 0.
(6)
В зоне контакта записывается условие сосредоточенного источника тепла:
хв (и)
дг
-Х (Т)
г=Яі
дТ (г,ф ,1) г
|ф|<ф о, (7)
где S - площадь зоны контакта и условие равенства температур
и(^,ф, 1) -Т^2,ф, 1) = 0, |ф| <фо.
(8)
По вертикальной оси симметрии расчетной схемы выполняются условия периодичности:
Рис. 1. Схема подшипника скольжения:
1 - вал, 2 - втулка, 3 - обойма
Введем неподвижную систему полярных координат (г,ф) с началом отсчета угла в середине зоны контакта. Распределение температуры Т (г,ф, t) во втулке с обоймой описывается двумерным уравнением теплопроводности с разрывными коэффицие с(Т) х(Т) на границе со-
пряжения втулки с обоймой при г = Я3:
Х (Т)
дТ (г,ф, 1)
Хв (и )
дф
ди (г,ф,1)
Х(Т)
дТ (г,ф ,1)
дф
= Хв (и )
ф
ди (г,ф,1)
ф
Т (г,-п ,1) = Т (г,п, 1), (9)
и (г,-п, 1) = и (г,п, 1). (10)
Начальные распределения температур в элементах узла трения считаем равными и однородными
Т (г ,ф,0) = и (г ,ф,0) = Т0. (11) Теперь сформулируем обратную задачу по определению функции в(ф,0. Пусть в подшипнике скольжения во втулке по окружности с радиусом Я ( заданы замеры температуры в пределах угла контакта
= а2(Т^,ф,1)-ТСр) |ф|>ф0, (2) Тк, (ф, 1) = I(ф, 1) R2 < ^ ^ 0 <ф<ф 0. (12)
= -а (7 {Я ,ср 0 - ср ) - л: < ф < к. (3)
г=R4
В той же неподвижной системе координат (г ,ф) нестационарное температурное поле в вале и (г,ф, 1) с подвижным источником тепла описывается уравнением теплопроводности с конвективным членом [4]:
Рассмотрим экстремальную постановку задачи. В качестве меры уклонения рассчитанных при известном приближении функции Q(ф, t) температур Т,фг, t) и измеренных / (ф , t) выберем среднеквадратичную невязку
т(в) = 1 £т [ф Т(Ху ,ф, 1) -1(ф, 1) ( 1 3 )
г=Х
S
г=К
ф=-П
г=Я
2
Тогда обратная граничная задача формулируется следующим образом. Требуется минимизировать функционал (13) при ограничениях в виде системы уравнений (1) - (11). Функция Q(ф, t) служит управлением.
Для решения поставленной нелинейной граничной обратной задачи теплопроводности воспользуемся методом итерационной регуляризации на основе градиентных методов минимизации функционала, теоретически обоснованным для линейных постановок. Ниже приводятся выводы основных соотношений, необходимых для реализации метода итерационной регуляризации, в рамках подхода предлагаемого в работе О. М. Алифанова и др. [5].
Центральный вопрос градиентной минимизации заключается в определении градиента функционала невязки (13), т. е. в нахождении первой производной Фреше. Функция J'[9(ф, t)] называется градиентом функционала (13), если приращение функционала можно представить в виде
J(2 + ДQ)- J(2)= [tm [ф0 J'|Q(ф,t)J\Q(ф,t)dфtd + а(А0\), (14)
J0 J-фo
где при уцдоц ^ о при цд^! ^ о.
Эффективным методом определения градиента является введение в рассмотрение сопряженной краевой задачи. Дадим управлению Q(ф, 0 приращение АQ(ф, t), при этом температуры Т (г,ф,0 и и (г,ф, t) получат приращения V(г,ф, t) и ^(г,ф, t) соответственно. Из системы уравнений (1) - (11) при управлениях Q и Q + ДQ для приращений У(г, ф,t) и W(г, ф,t) получены уравнения
д(С • V) = і_д_ д1 г дг Я2 < г < Я4,
,д(Х- V)
дг
+
1 д 2(Х^ V)
дф2
-п <ф <п, 0 < 1 < 1
т " т
д(Св •У )_1 д
(
д1
• дг
д(Хв 'У) дг
дф
дф
0 < г < Я1, -п<ф<п, 0 < 1 < 1т с граничными и начальными условиями
д(ХУ)
д г
-а4У(Я4,ф,1), -п <ф <п , (20)
г=Я4
1ІШ
г—0
дХвУ
дг
= 0
д(ХвУ )
дг
= -аіУ(Яі,ф,1) |ф| >фо
(21)
(22)
г=Я
д(ХV)
д(ХV)
дф
д(ХвУ)
дф
дф
д(ХвУ)
дф
, V(г,-п, 1) = V(г,п, 1), (23)
У (г ,-П, 1) = У (г ,п, 1) , (24)
V(г,ф ,0) = У (г,ф ,0) = 0 .
(25)
(15)
Применяя метод множителей Лагранжа и условие стационарности вариационной задачи минимизации функционала (13), получена сопряженная задача относительно неизвестных У(г,ф ,1) для втулки с обоймой и Ф(г,ф, 1) для вала:
ХЭГ дУ'і Х д2¥ 1Г^ ,
-С^-= --Н ^ +~Т(г,ф, 1)-/(Ф, 1)]з(г-Я/)Х(ф),(26)
д1 г дг I Эг I г дф г
Я2 < г <Я4, -п <ф <п, 0 < 1 < 1т,
ГУ, х = 0, Г1, |ф|<ф0,
где О (х) = / X (ф) = / ,
/0, х Ф 0, [0, |ф|>ф0.
_ с дф=.Хв _э_
в д1 г дг
ґ дФЛ
г----
дг
V
Хв д2Ф
дФ
+^В —^ -0(1 )Св —, (27) г дф дф
0 < г < Я1, -п<ф<п, 0 < 1 < 1т .
Ф(г,ф, 1т ) = У (г,ф, 1т ) = 0
(28)
д(ХвУ )
дг
дг
= ^в(ф,1) |ф|<ф
5
0 , (17) Х
У (Я1,ф, 1) = V (Я2,ф, 1), ф < ф0, (18)
д^)
дг
= а2V(Я2,ф,1), ф >ф0 , (19)
дУ
Х
дг
дУ
-=Ял
д г
= -а 4 У (Я4,ф, 1), -п < ф < п , (29)
= а 2У (Я2,ф ,1), |ф|>ф 0 , (30)
Х
дФ
дг
г=Я.2
-=Я1
= -а1Ф(Я1,ф,1), ф >ф0
(31)
ф=-п
ф=п
ф=-п
ф=п
г
г =Я
г=Я
г =Я
дУ
дф
дФ
Нш
г ——о
дУ
г дФл
д г
= 0
(32)
ф=-П
дф
ф=-П
дф
дФ
дф
ф=П
У (г,-п, О = У (г,п, £), (33)
Ф (г,-П, t) = Ф (г,П, I), (34)
ф=П
Я
\ дФЛ Х,
дг
Л г=Я
- Я-
ЧдУ'1
дг
V
= 0, |ф|<ф0, (35)
г=Я2
Ф (Я1 ,ф, t) = У (Я2 ,ф, t), |ф| <фо.
(36)
J '^(ф, t )]= Я2 у (Я2,ф, t)
(37)
{т фо
'ШХф, ?)])^ф dt
о -фо
Iт фо
'[Ок1(ф, ()])2dф dt
о -фо
Шаг спуска в к определяется, используя решение задачи для приращений температур (15) - (25)
[ [[Тк(Я/ ,ф,t) - /(0]^(Я/ ,ф,t)dфdt
в к =
о -ф о
[ [У/ (Яу ,ф, t)dфdt
о -ф о
Решение сопряженной задачи зависит от разности решения прямой задачи, полученной при некотором приближении искомой функции и заданной экспериментальной температуры (12). При неизменных теплофизических характеристиках других внешних факторов, действующих на решение сопряженной задачи, в системе нет. Таким образом, решение сопряженной задачи служит функцией, четко реагирующей на отклонения расчетных температур от экспериментальных.
Используя сопряженную краевую задачу, получена формула для вычисления градиента функционала (13):
Для нахождения градиента функционала невязки при известной функции Q(ф, t) необходимо решить две краевые задачи: прямую и сопряженную. Решением прямой задачи определяется нестационарное температурное поле в подшипнике скольжения. Используя полученные распределения температур Т(г,ф, t) и и(г,ф,(), решаем сопряженную задачу (26) - (36) и определяем градиент функционала по формуле (37), что позволяет восстанавливать функцию мощности тепловыделения Q(ф, t) в подшипнике скольжения одним из градиентных методов минимизации функционала.
Минимизацию функционала (13) с использованием метода сопряженных градиентов можно представить следующей цепочкой перехода от к-ой итерации к (к+1)-ой:
Qk (ф, 0 — Тк (г ,ф, t) — У (г,ф, t) — 0 [2к]—у к —
— 5к (ф, 0 — Гк (г,ф, t) — р к — Qk+, (ф, t) ,
Qk+1 (ф, t) = ^ (ф, t) -р к 5к (ф, 0 к = о,1,...;
5к (ф, t) = 0' [<2к] + у к 5к-1 (ф, 0 у о = о;
Начальное приближение Q 0(ф, t )задается произвольно. Уточнение решения обратной задачи прекращается по условию итерационной регуляризации [5].
Все расчеты проводились для подшипника скольжения, представленного на рис.1, при следующих геометрических размерах: Я = 0,0125; Я2 = 0,013; Я3 = 0,016;
Я4 =0,03 м фф0 = 150 Втулка в подшипнике выполнена из наполненного фторопласта, для которого зависимости теплофизических свойств от температуры имеют вид:
Х = 0,07(Т -100)/150 + 0,35 (Вт/(м°С)),
с = [6 • 10-3 (Т -30) + 3] • 106 (Дж/(м3°С)).
Материалом для вала и обоймы служит сталь:
Хл = 30,5(Т -100)/150 +-55,5 (Вт/(м°С)),
Сл = [1,2 • 10 -3(Т -30) + 3,7] • 106 (Дж/(м3°С)).
Коэффициенты теплообмена брались следующими: а! =а 4 = 10, а 2 = 5 (Вт/(м2°С)).
В вычислительных экспериментах задавали модельную функцию мощности тепловыделения Q(ф, I), используя ее, решалась прямая задача, и ее точные решения в соответствующих точках замера во втулке брались в качестве «экспериментальных» температурных данных. Далее, считая функцию Q(ф, t) неизвестной, решалась обратная задача ее восстановления по известным температурным данным.
Численные результаты по восстановлению функции мощности тепловыделения Q(ф, t) с точными температурными данными, приведенные на рис. 2, показали, что точность восстановления увеличивается с увеличением номера итерации, что показывает устойчивость метода к вычислительным погрешностям.
На рис. 3 и 4 приведены результаты решения обратной задачи восстановления функции мощности тепловыделения с погрешностями в температурных данных. Погрешности в температурных данных имитировались
г
датчиком случайных чисел. Максимальный уровень возмущения температурных данных равнялся 1 С°. Как видно из графиков, увеличение числа итераций приводит к увеличению неточности восстановления. Поэтому в этом случае итерации прекращаются, согласуя значение функционала невязки с уровнем неточности температурных данных.
Предлагаемый алгоритм восстановления функции фрикционного тепловыделения по температурным данным может быть использован для тепловой диагностики трения в реальных узлах трения.
14
олг
Рис. 2. Восстановление функции мощности тепловыделения для вращательного движения вала по точным температурным данным: 1, 2, З - модельная Q^,t) при ф=0°, 9°, 12°, соответственно; 1’, 2’, З’ - восстановленная Q^,t) (2З-ая итерация); 1”, 2”, З” - восстановленная Q^,t) (2б2-ая итерация)
Рис. 3. Сравнение модельной и восстановленной по возмущенным температурным данным функции мощности тепловыделения по времени при ф=0° для возвратно-вращательного движения вала: 1 - модельная Q(ф,t), 2 - восстановленная Q(ф,t) (24-ая итерация), 3 - восстановленная Q(ф,t) (28-ая итерация)
ю -
я
6
2 -
Рис. 4. Сравнение модельной и восстановленной по возмущенным температурным данным функции мощности тепловыделения по времени при ф=0° для вращательного движения вала: 1 - модельная Q(ф,t), 2 -восстановленная Q(ф,t) (33-яя итерация), 3 - восстановленная Q(ф,t) (55-ая итерация)
Л и т е р а т у р а
1. Старостин Н.П., Тихонов А.Г., Моров В.А., Кондаков А.С. Расчет триботехнических параметров в опорах скольжения. Якутск: ЯНЦ СО РАН, 1999. 27б с.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. 224 с.
3. Старостин Н.П. Кондаков А.С., Кондаков А.А. Восстановление момента силы трения в полимерном подшипнике скольжения по замеру температуры // Трение и изпос, 2002, Т 2З, №З. С. 498-З08.
4. Ling F., Yang C. Temperature Distribution in a Semi-Infinite Solid Under a Fast-Moving Arbitrary Heat Source // Int. J. Heat Mass Transfer. 1971, Vol. 14. P. 199-20б.
З. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988. 288 с.
M. A. Vasilyeva, A S. Kondakov, N. P. Starostin
Identification of the function of frictional thermal emission in radial sliding bearings on temperature data
The frictional thermal emission distributed on a zone of friction in radial sliding bearing is offered to be defined on temperature data. The corresponding boundary inverse problem is solved by the method of iterative regularization. Computing experiments show stability of the decision of a nonlinear inverse problem to errors in temperature data.
Key words. Friction, thermal emission, temperature, heat conductivity, siding bearing, inverse problem, friction moment, stability, regularization, conjugate gradient method.
