Транспортная сеть массового обслуживания: теория и эксперименты Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2:004.421.5:004.7

Б Л. Задорожный, V.N. Zadorozhnyi, zwn@yandex.rii

Омский государственный технический университет, г Омск, Россия

Omsk State Technical University, Omsk, Russia

ТРАНСПОРТНАЯ СЕТЬ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ: ТЕОРИЯ II ЭКСПЕРИМЕНТЫ

TRANSPORT NETWORK QUEl'EING: THEORY AND EXPERIMENTS

Излагается подход к аналишко-нмнтацнонному моделированию и оптимизации транспортных сетей как специфических сетей массового обслуживания.

An approach to the simulation and optimization of transport networks as a specific queuing network. Ключевые слова: моделирование, сеть с очередями, транспортная сеть. Keywords: modeling, queuing network, transport network. Введение

Задачи, поставленные Транспортной стратегией Российской Федерации до 2030 г., предполагают перевод практики транспортного планирования развития городов, регионов и страны в целом на качественно иной уровень. В соответствии с задачами Транспортной стратегии в России должна оыгь создана единая интегрированная комплексная сбалансированная

162

транспортная система. Транспоргную инфраструктуру России необходимо поднять на качественно новый уровень, сделать ее конкурентоспособной по отношению к лучшим мировым аналогам и обеспечить потребности развития экономики и общества в качественных транспортных услугах.

Решение этих стратегических задач требует более широкого применения математического моделирования транспортных сетей и потоков. В качестве примера можно привести опыт внедрения информационно-аналитической системы PTV Vision® VISUM с мощной математической базой теории транспортного моделирования в структуру государственных органов Германии [1]. В последние годы система PTV Visum® VISUM аналогичным образом используется в Москве, в Санкт-Петербурге и, все более широко, в других городах России.

Система PTV Vision® VISUM [2] позволяет решать обширное множество задач теории транспортного моделирования на основе представления: транспортной сети города с детальностью, соответствующей детальности ГИС-карты города или превышающей ее (в части геометрии и географической привязки дорог, остановок и т.д.). В состав исходных данных, задающих транспортную инфраструктуру, входят также точки порождения спроса на транспортные услуги, расписание движения общественного транспорта (для всех его видов и для всех маршрутов) и множество других данных. Поэтому использование PTV Vision® VISUM требует, как правило, напряженной работы достаточно большого отдела программистов и служб, обеспечивающих этот отдел необходимыми данными, требующими непрерывного обновления, актуализации.

Столь высокая трудоемкость получения (в конечном счете - значительного) экономического аффекта - это одно из двух основании для поиска новых подходов к решению задач оптимизации транспортных сетей. Другое основание состоит в том, что PTV Vision® VISUM не исчерпывает, разумеется, множества всех возможных на практике решений, которые могут приниматься для оптимизации транспортных сетей и потоков (ТСП).

Один из возможных новых подходов к моделированию и оптимизации ТСП, предлагаемый в настоящей статье, состоит в представлении ТСП в виде специфической сети массового обслуживания (СеМО)3 а именно - в виде транспортной СеМО (ТСеМО). Этот подход, с одной стороны, обеспечивает возможность применения для моделирования и оптимизации ТСП хорошо развитого математического аппарата теории сетей с очередями, с другой - вводит в классические представления таких сетей с очередями специфику, соответствующую специфике ТСП.

1. Транспортная сеть массового обслуживания

В простейшем случае единственным отличием ТСеМО от обычной СеМО является то. что заявки переходят по дутам сети не мгновенно, т.к. дуги сети соответствуют дорогам. Перемещение заявок по дугам происходит за время, равное длине дуги, деленной на скорость заявки. Скорости заявок выбираются случайно из заданного распределения, которое масштабируется с учетом числа заявок на дуге (т.е. с учетом плотности потока заявок). Масштабирование происходит в соответствии с фундаментальной диаграммой (ФД) дороги [3], которая моделируется этой дугой. Из грех возможных вариантов представления ФД используется вариант, описываюший зависимость средней скорости Vq, от плотности к потока. Таким образом, каждая дуга ТСеМО имеет два параметра: длину и ФД.

2. Квазнсташюиарные режимы

В экспериментах с имитационными моделями ТСеМО выяснилось, что при использовании типичной ФД стапнонарного режима в классическом смысле в ТСеМО не существует. Дело в том, что на типичной ФД при достижении плотностью к некоторого критического значения средняя скорость vcp снижается до нуля, из-за чего рано или поздно движение в ТСеМО останавливается навсегда, чего в реальности не бывает. Поэтому мы используем скорректированные ФД. у которых vcp с ростом к сходится к нулю асимптотически. Кроме того, при анализе и оптимизации ТСеМО аналитико-имитационными методами [4] мы ори-

енгнруемся на эксперименты с квазнстщионарным режимом, соответствующим большому числу «суток» с переменной в течение суток интенсивностью поступления заявок в сеть. Интенсивность движения изменяется периодически, начинаясь каждые сутки с некоторого минимума (соответствующего глубокой ночи), проходя чере* два максимума (в утренний и вечерний часы пик) и снова снижаясь до минимума.

3. Распределения скоростей и фрактальная теория очередей

Нетрудно показать, что случайные скорости V 1аявок на дуге длины / и время тс прохождения ими этой дуги связаны следующим соотношением:

а)

t V' /

где - плотность вероятностей (п.в.) времени прохождения дущДО - П Е- скоростей V заявок на дуге.

Общий анализ связи (1) между плотностями /п и/- приводит к желательности наложения достаточно жестких ограничений на вид используемых в ТСеМО распределений скорости V. Рассмотрим два простых примера, показывающих, к чему приводят равномерное и экспоненциальное распределения скоростей и почему эти распределения «нежелательны».

Если скорости автомобилей принадлежат равномерному распределению вероятностен V е ЩО, ¿], (Ь > 0), то/-(0 = УЬ , (0 < г < Ь). Тогда в соответствии с формулой (1) получаем:

<>1 ь

(2)

Мы получили для времени проезда по дороге распределение Парето - степенное распределение с нижним граничным параметром МЪ. Это распределение относится к классу распределений с тяжелыми хвостами (РТХ), называемых также фрактальными (самоподобными) распределениями. Степень «тяжести» хвоста конкретного распределения (2) характеризуется тем, что математическое ожидание данного распределения бесконечно:

" " 1 / ! - 1 / М(7Г)= \rf^f)dt= t~dt = y\-dt=j

t Ь b'i b

1 lb

1 !b

1 !b

(-

, 1

w - m— b

= OO

Такта: образом, даже при отсутствии помех движению заявки, при любой сколь угодно малой плотности потока заявок, среднее время прохождения дуги получается равным бесконечности для дуги любой сколь угодно малой конечной длины I > 0 и при .любой сколь угодно большой средней скорости М(у) = Ы2.

Покажем, что аналогичный несовместимый со «здравым смыслом» результат гарантирован и при использовании экспоненциального распределения скоростей V заявок. Действительно. если п.в./:(?) = це"'", то с учетом соотношения (1) для времени прохождения дуги получаем п.в.

(3) _

которая задает РТХ с асимптотически степенным хвостом (здесьfiff) ~ t ' при i —> а») и с м.о. M(jt) = и». Получаем бесконечное среднее время прохождения дуги любой конечной длины при любой (конечной) средней скорости движения.

В общем случае бесконечное среднее время проезда М(л) = оо получается дня любой которая при t = 0 положительна и непрерывна справа. Действительно, в этом случае

00 т 00 £

М(7Г) = M(//v) = y-mdî = i\rl№dt > i]rlfv(f)dt

>

В S

> l\t~lUc^)dt = Ucz^\t-ldt = « (4)

о о

Здесь в > 0 - некоторая достаточно малая величина, m = argmiii[/Xi)] при 0 < г < е.

Появление фрактальных распределений времени «обслуживания}} заявок дугами приводит к необходимости дополнить теорию ТСеМО методами анализа и оптимизации фрактальных очередей [5].

Заключение

Результаты анализа и моделирования ТСеМО. приведенные в статье, являются частью полученных на сегодняшний день результатов. Здесь не рассмотрены, например, результаты оптимизации ТСеМО анатигико-имитаиионным методом, разработанным в [4]. Но и приведенная часть результатов позволяет составить представление о том, сколь своеобразным и интересным объектом математического исследования являются ТСеМО.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 12-07-00149, РФФИ 14-01-31551

мол-а.

Библиографический список

1 Задорожныи. В. Н. Имитационное и статистическое моделирование : учеб. пособие. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2013 - 136 с.

2. А+С Консалт © 2012. Руководство пользователя PTV Vision® VISUM 11.5. - Дрезден ; Санкт-Петербург. 2012. - 916 с.

3. Дрю. Д. Теория транспортных потоков и управление ими / Д. Дрю , пер. с англ. , под ред. И. Н. Коваленко. - М. : Транспорт, 1972. - 424 с.

4 Задорожныи, В Н. Оптимизация однородных немарковских сетей массового обслуживания / В. Н. Задорожныи // Проблемы управления. - 2009. - № 6. -С. 68-75.

5. Задорожныи. В. Н. Предпосылки создания фрактальной теории массового обслуживания / В. Н. Задорожныи // Омский научный вестник. - 2010. - № 2(90) - С. 182-187.

165