CC BY
0
Husanov F. O.
Samarqand iqtisodiyot va servis instituti Oliy matematika kafedrasi v.b. dotsenti
Samarqand iqtisodiyot va servis instituti
Sayfiddinov B.B. talabasi
Samarqand iqtisodiyot va servis instituti
Raximberdiyev T.T.
talabasi
TRANSPORT MASALASINING OPTIMAL YECHIMINI TOPISHDA
POTENSIALLAR USULI
Annotatsiya: ushbu maqolada matematika sohasidagi "transport masalasi" ning yechilishi haqida malumotga ega bo'lasiz. Shuningdek, bu masalani iqtisodiyotga bog'liqligini va iqtisodiy masalalarni yechishda foydalanilishi haqida ham bilib olasiz.
Kalit so 'zlar: transport masalasi, optimallik, minimum qiymat, maximum qiymat, punkt, yuk, fuksiya, summa.
Husanov F.O. associate professor Department of Higher Mathematics
Samarkand Institute of Economics and Service
Sayfiddinov B.B.
student
Samarkand Institute of Economics and Service
Rakhimberdiyev T.T.
student
Samarkand Institute of Economics and Service
METHOD OF POTENTIAL IN FINDING THE OPTIMAL SOLUTION OF THE TRANSPORTATION PROBLEM
Abstract. In this article you will get information about the solution of the "transportation problem" in the field of mathematics. You will also learn how this issue is related to economics and how it is used to solve economic problems.
Key words: transport problem, optimality, minimum value, maximum value, point, load, function, sum.
Yuk zaxiralari a1,2,...am bo'lgan m ta jo'natish punkti, yukka bo'lgan talab b1,b2,...bn bo'lgan n ta qabul punktlari berilgan bo'lib, jo'natish punktlaridan qabul punktlariga birlik yukni tashish harajatlari cij, i = 1 ...m; j =
1...,n bo'lsin.. Bu yerda i- jo'natish punkti nomeri, j- qabul punkti nomerini bildiradi. Umumiy yuk tashish xarajatlari quyidagi formula orqali beriladi:
m n
1=1j=l
Bu yerda x^ nomerli jo'natish punktidan j nomeгli qabul punktiga tashiladigan yuk hajmi. Yuk tashish harajatlarini iloji boricha kamaytirish uchun z funktsiyaning minimumini hisoblaymiz:
Z— l1T=1l1}=1cijxij — MIN (1) Yuqoridagi masala jadval ko'rinishida quyidagicha ifodalanadi:
Yuk tashishni shunday tashkil etish kerakki, jo'natish punktlaridagi barcha yuk olib chiqib ketilishi va qabul punktlaridagi yukka bo'lgan talab to'liq qondirilishi kerak. Bu talabni quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz:
X11 + x12 + " + x1n — a1 X21 + x22 + " + x2n — a2
Xm1 + xm2 + " + xmn (2)
X11 + X21 + " + Xm1 — bi
x12 + x22 + " + xm2 — Ь2
x1n + x2n + " + xmn ^n
3=1^=^=1^(4) (4) munosabat bajarilsa, transport masalasi yopiq masala deyiladi va masalani yechishga kirishish mumkin. Agar (4) shart bajarilmasa, masala ochiq deyiladi. Ochiq masalani yechish uchun u yopiq masalagi keltiriladi. Masalan,
m
n
bi
Za*>Z
¿=1 i=1
bo'lsin. Ushbu masalani yopiq masalagi keltirish uchun yukka bo'lgan talabi bn+1 = Ym=1 ai — ^n=1 bi bo'lgan qo'shimcha qabul punkti tuziladi. Ushbu punkt uchun birlik yukni tashish xarajatlarini 0 ga teng deb olamiz: c1n+1 = c2,n+i — — cm,n+1 — Natijada quyidagi yopiq masalani hosil qilamiz.
Qabul punktlari Jo'natish punktlari 1 2 ... n n+1 Yjk zajtiraiari
1 «ii ... 0 *Viti 3]
1 *H C21 ... "in 0 XJ.n+] aj
i ii i.i M i 111 111 ■ II
im cml ... 0
Yukka bo'lgan Lai ab b, ... K bn+]
Agar Ym=1 ai < Yj=1 bi bo'lsa, yuk zaxiralariam+1 = Yj=1 bi — Ei=1 ai bo'lgan qo'shimcha jo'natish punkti tuziladi va yuqoridagi kabi yopiq masalagi keltiriladi.
Birinchi Transport masalasini yechish ikki bosqichda olib boriladi: 1) bosqichda (2)-(3) shartlarni qanoatlantiruvchi boshlang'ich Xij i = 1,2, ...,m;j = 1,2,..., n yechim topiladi. Boshlang'ich rejani topishning bir necha usullari bo'lib, ularga shimoliy-g'arb usuli, minimal element usuli va boshqalar kiradi. Shimoliy-g'arb usulida (1,1) katak tanlab olinib, x11 = min (a1, b1) deb olinadi. Agar min a1,b1 = a1bo'lsa, bu 1-jo'natish punktidagi barcha yuk 1 -qabul punktiga yuborilishini, 1- jo'natish punktidan qolgan qabul punktlariga yuk yuborilmasligini bildiradi. Shuning uchun a1 joylashgan satrdagi boshqa kataklarga minus qo'yiladi. 1- qabul punktidagi yukka bo'lgan talab b\ = a1 — b1 bo'lib qoladi. Agar mina1,ö1 = b bo'lsa, 1- qabul punktidagi yukka bo'lgan talab to'liq qondirilganligini, 1-jo'natish punktida esa a\= (a1 — b1) miqdor yuk qolganligini bildiradi. 1- qabul punktiga boshqa jo'natish punktlaridan yuk keltirilmaydi
Qabul punktlari Jo'natish punktlari 1 2 ... n Yuk zaxirala ri
1 cn xn C12 x12 ... Cln Xln ai 0
2 C21 x21 C22 X22 ... C2n X2n a2
... ... ... ... ... ...
m Cml Xml Cm2 Xrn2 ... ^mn y rrn am
Yukka bo'lgan talab bi ...
bi
Qabul punktlari Jo'natish punktlari 1 г ... П Yuk zaxiralari
1 Си hi Cl2 х12 ... ¿In xla а/ ь\
г C¿1 Х21 C22 X22 ... Cün X2n аг
... ... ... ...
Ill Cini xml X№2 ... с Чпи Y лпш ат
Yukka boïgan talab Ь, b2 ... к
0
Xisoblashlarni 1-jadval bo'yicha davom ettirib, (2,1) katakka o'tamiz. x21 = m\n(a1,b^) = b^ bo'lsin. Jadvalni yuqoridagi usul bilan to'ldirib, quyidagini hosil qilamiz.
Qabul punktlari Jo'imtisii punktlari 1 2 ... 11 Yuk zaxiralari
1 Cll xn C12 X12 ... cm Xln ai 0
2 C21 X21 C22 X22 ... C2n X2n a2 ai
• . . .. . ... ...
171 Cml xml Cm2 xm2 ... c Vmn y .mn am
Yukka bo'lgan talab bi b2 ... b„
bl
Shu tariqa hisoblashlarni jadvalning quyi o'ng bo'rchagigacha davom ettirib, jadvadagi barcha xtj,i = 1,2, ...,m; j = 1,2, ...,nlarni aniqlaymiz. Bunda (2)-(3) shartlar bajarilishi kerak. Masalaning ikkinchi bosqichida boshlang'ich reja asosida (1) shartni qanoatlantiruvchi optimal yechim topiladi. Optimal yechimni topishning potentsiallar, taqsimot kabi bir necha usullari mavjud bo'lib, biz potentsiallar usulini qarab chiqamiz. Ushbu usulni qarashdan oldin hisoblash jarayonida tushunchalar bilan ishlatiladigan tanishamiz. ayrim Jadvaldagi ixtiyoriy nuqtalar to'plami nabor deyiladi.
Naborni tashkil qiluvchi nuqtalar har bir qatorda ikkitadan oshib ketmasa, bunday nabor zanjir deyiladi.
Agar zanjir yopiq bo'lsa, u sikl deyiladi.
Agar jadvaldagi ta nuqtalar to'plami sikl tashkil qilmasa, ularga bitta nuqta qo'shish orqali sikl hosil qilsak, bunday ta nuqtalar to'plami atsiklik rejani tashkil qiladi deyiladi.
Agar transport masalasida XI} > Obo'lsa, (i,j) katak belgilangan katak deyiladi. Agar transport masalasida barcha kataklar uchun Vj -Ui< c^ (5) shartni, belgilangan kataklar uchun esa Vj — ut = c^ shartni qanoatlantiruvchi Vjj = 1,2, ...,n; Ui,i = 1,2, ...,m sonlari mavjud bo'lsa, x^, i = 1,2 .... ,m;j = 1,2,...,n reja optimal bo'ladi Vj,j = 1,2,... ,n; ut,i = 1,2,... ,m sonlari esa potentsiallar deyiladi.
^a^port masalasini potentsiallar usulida yechish quyidagi tartibda bajariladi: 1) Belgilangan kataklar uchun Vj —ut = ctj,Vj = j = 1,2, ...,n; Ui;i = 1,2,... ,m shartni qanoatlantiruvchi tenglamalar sistemasi tuziladi. Bunda tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan bitta kam bo'lgani uchun
sistema cheksiz ko'p yechimga ega bo'ladi. Sistemaning bitta xususiy yechimini topib, potentsiallarning qiymatini aniqlaymiz;
2) Belgilanmagan kataklar uchun Vj — Uj < c^ shartni tekshiramiz. Agar ushbu shart barcha kataklar uchun bajarilsa, optimal yechim topilgan hisoblanadi va Y?IL1 CijXij.funktsiya qiymati hisoblanadi; 3) Agar Vj — Ui< c^shart bir nechta kataklar uchun bajarilmasa, Ushbu kataklar uchun = vt — ut — c^ ayirma hisoblanadi va Siojo = max topiladi;
4) (i0j0) katak belgilangan kataklar qatoriga qo'shiladi va belgilangan kataklardan sikl tuziladi; 5) (i0j0) katakdan boshlab siklni tashkil qiluvchi kataklarga "-" va "+" ishoralari navbat bilan qo'yilib chiqiladi; ni 6) "-" ishorali kataklar uchun 0 = min(xi;-) aniqlaymiz; 7) "-" ishorali kataklardan 0 ni ayirib, "+" ishorali kataklarga 0 ni qo'shamiz; 8) 0 joylashgan katakni belgilangan kataklar qatoridan chiqazamiz. Natijada yangi planni hosil qilamiz va bu plan uchun (1)-(7) amallarni takrorlaymiz. Yuqoridagi hisoblashlar barcha kataklar uchun Vj —Ui< ctj shart bajarilib, optimal plan topilguncha davom ettiriladi. Quyidagi misolni qaraymiz: Transport masalasi quyidagi jadval ko'rinishida
Qabul punktlari jo'natish punktlari \ VJ 1 2 3 4 Yuk
ui \ Vl V3 V4 Zaxiralari
1 Ui 2 4 6 10 90
2 U2 1 3 7 4 100
3 U3 4 8 13 7 140
Yukka bo'lgan talab 110 100 80 40 330
Boshlang'ich planni tuzish uchun shimoli-g'arb usulidan foydalanamiz.
(1,1) katakka mos zaxira va talabning kichigini x11=100 deb olamiz.
Qabul punktlari jo'natish punktlari \ vi 1 2 3 4 Yuk Zaxiralari
ui \ Vi V3 V4
1 U1 2 90 4 6 10 90
2 U2 1 3 7 4 100
3 U3 4 8 13 7 140
Yukka llQ lQQ BQ 4Q ззо
bo'lgan
talab
2Q
Yuqoridagi jadvalga ko'ra 1-jo'natish punktidan 1-qabul punktiga 9Q birlik yuk yuboriladi, l-jo'natish punktida boshqa yuk qolmaydi, shuning uchun 1 -jo'natish punktidan boshqa qabul punktlariga yuk tashilmaydi, 1- qabul punktiga yana 30 birlik yuk keltirish kerak. (2,1) katakka o'tib, shu katakka mos talab va zaxiralarning kichigini x21=2Q deb olamiz._
Qabul punktlari jo'natish punktlari \ vi l 2 З 4 Yuk Zaxiralari
ui \ V1 V3 V4
l U1 2 9Q 4 6 1Q 9Q
Q
2 U2 l З 7 4 1QQ
З Щ 4 В 1З 7 14Q 8Q
Yukka bo'lgan talab llQ lQQ BQ 4Q ззо
2Q
(2,3) katakka o'tib, yuqoridagi qoida bo'yicha x21=BQ ni aniqlaymiz.
Qabul punktlari jo'natish punktlari \ vj l 2 З 4 Yuk Zaxiralari
ui \ V1 V3 V4
Q
l U1 2 9Q 4 6 1Q 9Q
2 U2 l З 7 4 1QQ
BQ Q
З Щ 4 В 1З 7 14Q
Yukka bo'lgan talab llQ lQQ BQ 4Q ззо
2Q 2Q
Q
Hisoblashlami shu taгiqa davom ettiгamiz va oxirigi jadval quyidagi
ko'rinishga keladi:
Qabul punktlari jo'natish punktlari 4 1 2 3 4 Yuk
ui V Vi V3 Щ Zaxiralari
1 U1 2 90 4 б 10 90 0
2 U2 1 3 7 4 100 80 0
3 Щ 4 В 13 7 140 12
Yukka bo'lgan talab 110 100 80 40 330 0
20 20
0 0
Qabul punktlari jo'natish punktlari \ V1 1 2 3 4 Yuk
ui \ Vi V3 v4 Zaxiralar i
0
1 U1 2 90 4 6 10 90
2 U2 1 20 3 80 7 4 100 80 0
3 u3 4 8 20 13 80 7 40 140 120 40 0
Yukka bo'lgan talab 110 100 80 40 330
0 A
0 02 0
Shu tariqa boshlang'ich planni hosil qildik: x11 = 90 x21 = 20 x22 = 80 X32 = 20 X33 = 80 X34 = 40 X12 = x±3 = %14 = x23 = *24 = X31 = 0, z = 90 • 2 + 20 • 1 + 80 • 3 + 20 • 8 + 80 • 13 + 40 • 7 = 180 + 20 + 240 + 160 + 1040 + 280 = 1920. Masalaning optimal yechimini topish uchun oxirgi jadvalni
quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz:
Qabulx \ VJ 1 2 3 4 Yuk
punktlari Zaxiralari
jo'natish ui \ Vi V3 v4
punktlari \
1 U1 2 4 6 10 90
90 - - -
2 U2 1 3 7 4 100
20 80 - -
3 u3 4 8 13 7 140
- 20 80 40
Yukka 110 100 80 40 330
bo'lgan talab
Belgilangan kataklar uchun vj - ui = cij, vj,j = 1,2,3,4; ui, i = 1,2,3 shart bo'yicha tenglamalar sistemasini tuzamiz: v1 - ul = 2; v1 - u2 = 1; v2 - u2 = 3; v2 - u3 = 8; v3 - u3 = 13; v4 - u3 = 7; Tenglamalar sistemasidagi noma'lumlar 7 ta, tenglamalar esa 6 ta bo'lgani uchun sistema cheksiz ko'p yechimg a ega. Xususiy yechimni topish uchun o'zgaruvchilardan biriga ixtiyoriy qiymat beramiz, masalan u1 = 0 bo'lsin. U holda v1 = 2, u2 = 1, v2 = 4, u3 = -4, v3 = 9, v4 = 3 kelib chiqadi. Potentsiallarning qiymatlarini jadvalga qo'yamiz:
Qabul N \ VJ 1 2 3 4 Yuk
punktlari jo'natish punktlari ui\ Vi V3 Щ Zaxiralari
1 u\ 2 90 4 б 10 90
2 U2 \ 1 20 3 80 7 4 100
3 U3 4 8 20 13 80 7 40 140
Yukka bo'lgan talab 110 100 80 40 330
Belgilanmagan kataklar uchun vj - ui < cij shartni tekshiramiz: v2 - ui = 4 - 0 = 4 = c12; уЗ-ui = 9 - 0 = 9 > 6 = c13 v4 - ui = З - 0 = З < 10 = c14; уЗ-и2 = 9 - 1 = 8 > 7 = c12 v4 - u2 = З - 1 = 2 < 4 = c24; vl-иЗ = 2 - -4 = 6 > 4 = c31 Uchta (1,3), (2,3), (3,1) kataklar uchun vj - ui < cij shart bajarilmaydi. Ushbu kataklar uchun Sij = vj - ui - cij larni hisoblaymiz: 513 = v3 - ui - c13 = 9 - б = 3; 523 = рЗ - u2 - c23 = 8 - 7 = 1; 531 = vi - иЗ - c31 = б - 4 = 2;
S larning eng kattasini topamiz. Bu 513 = 3 bo'lib, unga mos katakni belgilangan kataklaг qatoгiga qo'shib, belgilangan kataklaг yoгdamida sikl tuzamiz. Siklni tashkil etuvchi kataklaгga (1,З) katakdan boshlab '+' va '-' ishoralarini navbat bilan qo'yib chiqamiz:
Qabul 4 \ VJ 1 2 3 4 Yuk
punktlari jo'natish punktlari ui\ Vi V3 Щ Zaxiralari
1 2 4 б 10 90
90- - +
2 U2 \ 1 20 - 3 80 7 4 100
3 U3 4 8 20 13 7 40 140
- 80 -
Yukka bo'lgan talab 110 100 80 40 330
'-' ishorali kataklar uchun# = minx ij= min 90,80,80ni topamiz. Ushbu shartni qanoatlantiruvchi kataklar ikkita (2,2) va (3,3) kataklari bo'lib, ulardan birini, masalan (3,3) katakni tanlaymiz. '-' ishorali kataklar uchun# = minx ij = min 90,80,80ni topamiz. Ushbu shartni qanoatlantiruvchi kataklar ikkita (2,2) va (3,3) kataklari bo'lib, ulardan birini, masalan (3,3) katakni tanlaymiz. Oni □+□ ishorali kataklarga qo'shib, '-' ishorali kataklardan ayiramiz va 0joylashgan (3,3) katakni belgilangan kataklar qatoridan chiqarib tashlaymiz. Natijada quyidagi
Qabul N \ vi 1 2 3 4 Yuk
punktlari jo'natish punktlari ui Vi V3 v4 Zaxiralari
1 U1 2 90 4 6 10 90
2 U2 1 20 3 80 7 4 100
3 U3 4 8 20 13 80 7 40 140
Yukka bo'lgan talab 110 100 80 40 330
Hosil bo'lgan yangi planda belgilangan kataklar uchun vi-ui=cij shart orqali yuqoridagi usul bilan tenglamalar sistemasi tuzib u1=0 dep olib, qolgan patensiallarni aniqlaymiz. v1-u1 = 2, v3-u1 = 6, v1-u2 = 1,v2-u3 = 8, v4-u3 = 7.
V1=2 V2=4 V3=6 V4=3 Zaxira
U1=0 2 4 6 10 90
10 80
U2=1 1 3 7 4 100
100 0
U3=4 4 8 13 7 140
100 40
talab 110 100 80 40
Belgilangan kataklar uchun Vj—Ui < ctjoptimallik shartini tekshiramiz. Bu shart (3 1) katakda o'zini qanotlantirmagani uchun shu katakni belgilangan kataklar qatoriga qo'shib yuqoridagi usul bilan sikl hosil qilamiz. Siklni ishoralab '-' ishorali kataklar uchun 6 ni anqilaymiz '+' ishorali kataklarda bir xil 100 bo'lganligi uchun ulardan birini masalan (3,2) katakni tanlaymiz. Natijada
V1= 2 V2= 4 V3= 6 V4= 3 Zaxir a
U1= 0 2 10 4 6 80 10 90
U2= 1 1 100 3 7 4 100
0 +
U3= 4 +4 - 8 13 7 40 140
100
talab 110 100 80 40
6 ni '-' ishoralali kataklardan ayirib '+' ishorali kataklarga qo'shamiz. (3,2) katakni belgilangan kataklar qatoridan chiqarib tashlab, yangi reja uchun patentsiallarni yuqoridagi usul bilan aniqlaymiz. Natijada quyidagi jadval hosil bo'ladi.
V1=2 V2=4 V3=6 V4=3 Zaxira
U1=0 2 4 6 10 90
10 80
U2=1 1 3 7 4 100
0 100
U3=4 4 8 13 7 140
100 40
talab 110 100 80 40
Yuqoridagi jadvaldagi rejada barcha kataklar uchun Vj—Ui < ctj patentsiallik sharti bajariladi. Demak, demak masalaning optimal yechimi topildi va u quyidagicha bo'ladi: x11 = 10,x13 = 80,x22 = 100, x31 = 100, x34 =
40,x12 = x14 = X21 = x23 = x24 = x33 =
0. z=10*2+80*6+100*3+100*4+40*7=20+480+300+400+280=1480. Shuning bilan transport masalasini yechish jarayoni yakunlanadi.
Foydalanilgan adabiyotlar:
1. A. Schrijver (2012), "On the History of the Transportation and Maximum Flow Problems", Documenta Mathematica, Extra Volume ISMP (2012) 169-180.
2. Hamdy A. Taha. "Operations Research: An Introduction", Prentice Hall, 7 editions 5, USA,2006.
3. Husanov F.O. "Transport masalasi" International journal of scientific researchers. VOLUME 5, ISSUE 1, 2024
