Трансляционные числа и проблема корня в группах с условием $c(3)-t(6)$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 5-12

= Математика =

УДК 519.40

Трансляционные числа и проблема корня в группах с условием С(3) — Т(6)

Н. В. Безверхний

Аннотация. Доказано, что группы с условием С(3) — Т(6) являются строго трансляционно дискретными, что в этом классе групп разрешима проблема корня, то есть для любого элемента д € О можно выяснить, существуют ли п € М, п =1, Н € О, для которых Нп = д.

Ключевые слова: трансляционное число, карта, диаграмма над группой, условия малого сокращения, дэновская область.

В статье доказывается, что группы с условиями малого сокращения С(3) — Т(6) являются сторого трансляционно дискретными, что в этом классе групп разрешима проблема корня, то есть для любого элемента д такой группы можно установить, существуют ли натуральное число п > 1 и элемент Н той же группы, для которых в данной группе верно равенство Нп = д. При этом существует алгоритм, вычисляющий все такие пары (Н,п).

Тем самым усиливается аналогичный результат, полученный в [1] , для групп с условиями малого сокращения С(3) — Т(6) — Р, где смысл условия Р заключается в следующем. Будем говорить, что слово и в порождающих X группы О = (X, Я) с симметризованным множеством Я определяющих соотношений (то есть содержащим все циклические перестановки и инверсии своих элементов) является куском, если и является общим началом двух различных слов из Я. При этом условие Р означает, что все куски имеют единичную длину, то есть являются элементами множества X, и ни одно соотношение г из Я не является степенью: не существует к > 1, для которого г = вк для непустого слова в, где последнее равенство означает графическое совпадение слов.

Поясним теперь смысл условий С(3) и Т(6). Группа О удовлетворяет условию С (3), если она обладает копредставлением О = (Х,Я) с симметризованным множеством Я, в котором любое определяющее соотношение не представимо в виде произведения менее, чем трёх кусков. Здесь под произведением кусков следует понимать операцию умножения в свободной группе Р (X).

Соответственно группа G удовлетворяет условию T(6), если для любого натурального t Е (2; 6) и любого набора слов rl,...,rt из R таких, что в последовательности rl,r2,..., Ti, ri+l,... ,rt,rl соседние слова не являются взаимно обратными в F(X), по крайней мере одно из произведений TiT2, ...

..., rtrl приведено в F(X).

Геометрически условие C(3) означает, что в приведенной диаграмме M [2] (не содержащей зеркальных пар областей) над группой G = (X, R) любая внутренняя область содержит в граничном цикле не менее трёх рёбер. Условие T(6) означает, что в диаграмме M любая внутренняя вершина имеет степень не менее шести.

Теперь необходимо отметить следующее свойство всех копредставлений, удовлетворяющих условиям T(q) при q > 4. Доказательство этого свойства можно найти в статье [3], или рассмотреть в качестве простого упражнения.

Итак, если группа G = (X,R) удовлетворяет условию T(q),q > 4, то длина любого куска равна 1.

Отсюда следует, что результат [1] И.Каповича усиливается тем, что доказываемые утверждения о трансляционной дискретности C(3) — T(6)-групп (Теорема 1), разрешимости в них проблемы корня (Теорема 2) оказываются верны не только для групп без кручения, но и для групп, содержащих элементы конечного порядка.

Действительно, как доказано в статье [4], C(3) — T(6)-группа G = (X, R) содержит элементы конечного порядка тогда и только тогда, когда в множестве R есть соотношение кручения, то есть вида r = sk, а именно таких соотношений не должно быть в R в соответствии с условием P, фигурирующим в [1].

Определение 1. Пусть G — группа, порожденная конечным

множеством X. Тогда каждый элемент g Е G может быть представлен как произведение g = xlx2... xn, где xi Е X,i Е 1,.. .n. Минимальное n с таким свойством назовем X-длиной элемента g и обозначим lx (g).

Тогда для любого g Е G определим трансляционное число элемента g относительно X как предел

( ) у lx (gn)

Tx (g) = lim —^^.

n^-ж n

Доказано, что этот предел всегда существует [5].

Лемма 1 [5]. Пусть С = (X; Е) — конечно порожденная группа. Тогда

(a) тх(д) = тх(ЬдЬ-1);

(b) если д — элемент конечного порядка, то тх(д) = 0;

(c) тх(дп) = птх(д) для любого п Е N и любого д;

(й) для любого другого конечного порождающего множества У существуют положительные константы Оі,С2 такие, что С\ту (д) ^ тх(д) ^ С2ту (д) для любого д Е С.

Определение 2. Группа называется трансляционно сепарабельной, если любой элемент с трансляционным числом 0 имеет конечный порядок.

Определение 3. Группа называется трансляционно дискретной, если она трансляционно сепарабельна, и 0 является изолированной точкой множества тх (д) ^ М.

Определение 4. Группа О строго трансляционно дискретна, если она трансляционно сепарабельна и для любого вещественного числа г количество классов сопряженности а таких, что тх (а) ^ г, конечно.

Свойства, перечисленные в трёх последних определениях, зависят от группы, но не от выбора системы порождающих.

Сформулируем в виде теорем основные результаты статьи.

Теорема 1. Пусть О = (X; Я) — группа с условием С(3) — Т(6). Тогда

О строго трансляционно дискретна.

Теорема 2. Пусть О = (X; Я) — группа с условием С(3) — Т(6). Тогда в ней разрешима проблема корня, то есть существует алгоритм, выясняющий для любого слова V, представляющего элемент группы О, существуют ли целое п = 1, и слово ш, для которых верно равенство V = шп.

1. Сокращения в С(3) — Т(6)-группах

Все результаты данной работы получены методом групповых диаграмм. Будем использовать следующие обозначения для границы области О и диаграммы М, соответственно: дО и дМ.

Определение 5. Рассмотрим диаграмму М. Область О с М называется дэновской, если

1) дО П дМ — последовательная часть границы дМ (то есть дО П дМ = р — подпуть в граничных циклах области О и диаграммы М [2]);

2) число внутренних рёбер области О, обозначаемое через г(О), удовлетворяет условию г(О) € {0,1}.

Понятие дэновской области аналогично определяется и для карты М.

Определение 6. Будем говорить, что в слове -ш есть Я-сокращение, если существует элемент г € Я такой, что

1) г = Г\Г2,

2) ш =

3) Г1 = Ш2,

4) слово г2 либо пусто, либо является куском,

5) слова ш\г2,1,г2,1 ш3 несократимы в свободной группе;

6) в случае замены слова ш равным ему в группе О словом г-1шз будем говорить, что в ш выполнено Я-сокращение.

Если в любой циклической перестановке слова ш нет Я-сокращений, то слово ш называется циклически Я-несократимым.

Определение 7. Полосой в диаграмме М называется поддиаграмма к

П ^ У Ог со свойствами:

1=1

1) дОг П дМ = р — последовательная часть границы дМ;

2) дП П дМ — последовательная часть границы дМ;

3) при к = 3 г(О1) = г(О2) = г(О3) = 2, причём соседние области имеют общее ребро, а все три области полосы имеют общую вершину;

при к > 3,к = 21 + 11(О{) = г(О2) = г(О2г) = г(О2г+1) = 2, г(Оз) = г(О5) =

= ... = г(О21-3) = г(О21-1) = 3, г(О4) = г(О6) = г(О21-4) = г(О21-2) = 2';

4) дОг П дОг+1 — ребро (г = 1,... ,к — 1).

Замечание. Легко проверить, что любая полоса в диаграмме М с циклически несократимой в свободной группе, циклически Я-несократимой граничной меткой ф(дМ) является приведенной диаграммой.

Понятие Я-сокращения можно определять в рассматриваемом классе групп аналогично тому, как это сделано для Я-сокращения.

Но из-за громоздкости такого определения в группах, удовлетворяющих условию Т(6), будем пользоваться другим, эквивалентным определением.

Определение 8. Пусть П — полоса в диаграмме М. Граничным словом области Ог с П называется метка пути дОг П дМ, прочитанная в соответствии с ориентацией области Ог. Граничным словом полосы П называется метка пути дП П дМ, прочитанная в направлении, противоположном ориентации границы дМ. Аналогично определяется граничное слово дэновской области.

Понятиям Я-, Я-сокращений дадим определения, использующие только язык диаграмм, и лишенные громоздких соотношений между определяющими словами. Эти определения и будем в дальнейшем использовать.

Определение 9. Будем говорить, что в слове V есть Я-сокращение, если существует связная односвязная диаграмма М над копредставлением О = = (X; Я), в которой существует дэновская область, граничное слово которой является подсловом в V. В слове V есть Я-сокращение, если существует связная односвязная диаграмма М над копредставлением О = (X; Я), в которой существует полоса П, граничное слово которой является подсловом в V.

Следствие из определений. Для любого циклически несократимого в Р(X) слова ш, не равного единице в группе О, существует циклически Я, Я-несократимое слово шо, сопряженное с ш в О.

Действительно, в результате Я, Я-сокращения длина слова строго уменьшается. Поэтому, записав произвольное слово ш на окружности С и выполняя в его циклических перестановках Я, Я-сокращения, получим либо пустое слово, что невозможно, поскольку ш = 1 в О, либо непустое слово шо, в циклических перестановках которого нет Я, Я-сокращений.

Заметим, что о единственности Е-, Е-несократимого представителя речь не идёт.

В [6] доказаны две основные теоремы. В первой из них утверждается, что существует алгоритм, строящий из любого циклически Е, Е-несократимого слова ш сопряженное его степени слово, любая степень которого Е-несократима.

Во второй доказано существование алгоритма, строящего из циклически Е, Е-несократимого слова ш, любая степень которого Е-несократима, сопряженное ему в группе С слово шо, любая степень которого Е, Е-несократима.

При этом из доказательства обеих теорем следует, что очевидной

і

является возможность построения сопрягающего слова г : ш = гшог 1.

Представитель шо слова ш, обладающий свойством Е-, Е-несократимости всех своих степеней, называется нормальной формой слова ш. Отметим, что мы не утверждаем единственность нормальной формы.

Теорема 3 [6]. Пусть слово ш представляет в группе С = (X; Е), удовлетворяющей условиям С(3) — Т(6), элемент бесконечного порядка, причём само слово ш циклически несократимо в свободной группе и циклически Е, Е-несократимо. Пусть

т = шахг^и\т\.

1. Если для некоторого П Е N слово шп Е-сократимо, то существует п Е N п ^ т, для которого слово шп Е-сократимо.

2. Если число т' удовлетворяет неравенствам 1 < т' ^ т, и для некоторой циклической перестановки ш* слово (ш*)т Е-сократимо, причём ни при каком т" < т' в слове (ш*)т нет Е-сокращений, то в результате выполнения этого сокращения получается слово ш0 = (ш*)т (равенство в группе С), любая степень которого Е-несократима.

Теорема 4 [6]. Если слово ш представляет в группе С = (X; Е), удовлетворяющей условиям С(3) — Т(6), элемент бесконечного порядка, причём само слово ш циклически Е-несократим,о, а все его степени шп Е-несократимы, то:

если слово ш2 Е-несократим,о, то любая степень шп Е-несократима;

если же в слове ш2 есть Е-сокращение, то либо

1) все степени слова ш1 = ш2 (равенство в группе С), полученного из ш2 в результате этого Е-сокращения, Е, Е-несократимы;

либо

2) существует конечный алгоритм, строящий последовательность сопряженных в группе С слов ш,ш1,... ,шг, в которой £ < \ш\, и слово шг Е, Е-несократим,о вместе со своими степенями.

Фактически в этих теоремах доказано существование алгоритма, строящего по любому циклически несократимому в ^(X) слову ш, представляющему элемент бесконечного порядка группы С = (X; Е) с

условием C(3) — T(6), слово w0 ~ wm',m' ^ m = maxreR\r\, любая степень которого R, R-несократима.

2. Доказательство теорем

Начнём со свойств трансляционных чисел с C(3) — T(6)-группе G = = (X, R). Будем предполагать, что слово g = х\.. .х\ представляет элемент бесконечного порядка в группе G. Пусть vo — нормальная форма элемента д, то есть такое слово, для которого в соотвествии с теоремами 2, 3 существует натуральное m' ^ т = maxreR\r\, и gm ~ v0 : gm = z-lv0z, где \g\ = l — число букв в слове g.

Пусть n = m'k + r, 0 ^ r < m'. Рассмотрим две последовательности:

x = lx (gn) y = lx (gm'k)

xn — ,yk — n ■

n m'k

Очевидно, что {yk} является подпоследовательностью в {хп}. Из существования Tx(g) (см. лемму 1) следует равенство пределов последовательности и её подпоследовательности:

lim Хп = lim yк.

п^ж к^ж

По определению

Tx(g) = lim Хп,

n—>оо

( ) л. lx(gmk) v lx(z 1v0¡z 1) 1 lx(z lvkz)

TX (g) = lim yk = lim ———— = lim ----—----- = — lim

к^ж к^ж m'k к^ж m'k m' к^ж k

1

1 v lx((z 1v0z)k) 1 ( _1 ) 1 ( )

= — lim ------------------- = — Tx(z v0z) = — Tx(vo).

m' к^ж к m' m'

Итак, доказано следующее равенство:

тх (д) = т Тх (vо),

которое можно доказать, используя общие свойства трансляционных чисел. По свойству (а) леммы 1 из сопряженности элементов ио,дт следует равенство тх^о) = тх(дт ), откуда по свойству (с) той же леммы тх(дт ) = = т'тх (д).

Лемма 2 [7]. Пусть М — приведенная, связная, односвязная диаграмма над группой С = (X,Е) с условиями С(3) — Т(6), дМ = а и т, ^(а) = и, ф(т) = V, где и, V — Е, Е-несократимые слова. Тогда существуют числа С\,С2 > 0, не зависящие от и, V, такие, что С\\V\ ^ \и\ ^ С2\V\.

Ниже через ип будем обозначать слово, удовлетворяющее двум условиям: 1) їхV) = Ы, 2) ип = у'п в группе С.

Из равенства 2) следует существование связной односвязной диаграммы Мп с границей дМп = а и т и граничными метками ^>(а) = у'П, ф(т) = уп. По определению нормальной формы слово уЩ является Я, Я-несократимым. Слово ьп тоже Я, Я-несократимо, поскольку при выполнении Я, Д-сокращений длина слова строго уменьшается, а ьп — самый короткий представитель элемента ьЩ. Значит, к диаграмме М применима лемма 2. По лемме 2 С-^уЩ ^ \ьп\ ^ С2\у0п\. Очевидно, \ьп\ = и\у0\.

Поделим последнее неравенство на и и перейдём к пределу при и ^ ж :

С\\ьо\ ^ тх(у0) ^ С2\у0\.

Эти неравенства означают, что для любого числа г > 0 существует лишь конечное число нормальных форм Уо, трансляционные числа которых меньше г. Из связи 1

тх(д) = т тх (щ)

следует такой же вывод и для тх (д). При этом число 0 оказывается изолированной точкой множества {тх(д)\д Е С}.

Действительно, верно следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть д — элемент группы С с условиями С(3) — Т(6), и тх(д) = 0. Тогда д имеет конечный порядок в группе С.

Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда для элемента д бесконечного порядка существует нормальная форма у0 и

0 = тх (д) = тх (ьо) > ——,

т т

что невозможно, поскольку константа С\ из леммы 2 строго положительна, как и длина слова ьо. Этим завершается доказательство теоремы 1.

Для доказательства теоремы 2 достаточно рассмотреть, как и выше, связную односвязную диаграмму М с граничными метками ^(а) = у,р(т) = шп. Здесь слово у дано, а слово ш и показатель и могут и не существовать. Таким образом, мы предполагаем, что из у извлекается корень степени и. Для применения неравенств из леммы 2 надо добиться несократимости граничных меток диаграммы М. Снова воспользуемся нормальными формами.

Пусть ш0 — нормальная форма для ш : шт = г-1ш0г. Тогда

шпт' = ут, (г-1шог)п = ут шп = хьтх-1.

Выполнив все Я, Д-сокращения в слове гьтг-1, получим равное ему в группе С несократимое слово Уо. По определению нормальной формы слово тоже несократимо. Значит, для этой пары слов применима лемма

2 (существование диаграммы М следует из леммы Ван Кампена). Из леммы 2 делаем вывод об ограниченности длины слова ш'п : \ш'3\ ^ С2\ь0\, а значит, конечным перебором с помощью известного алгоритма, решающего

проблему равенства слов в рассматриваемом классе групп, можно выяснить, существуют ли wo и n с указанными свойствами. Теорема 2 доказана.

Список литературы

1. Kapovich I. Small cancellation groups and translation numbers // Amer. Math. Soc. 1997. V. 349, № 5. P. 1851-1875.

2. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.

3. Gersten S., Short H. Small cancellation theory and automatic groups // Invent. math. 1990. V.102. P.305-334.

4. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Proc. of Edinburg Math. Soc. 1992. V.35. P.1-39.

5. Gersten S., Short H. Rational subgroups of biautomatic groups // Ann. Math. 1991. V.134. P.125-158.

6. Безверхний Н.В. Нормальные формы для элементов бесконечного порядка в группах с условиями C(3) — T(6) // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып.1. С.6-25.

7. Безверхний Н.В. Проблема сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(3) — T(6) // Дискретная математика (Принято к печати).

Безверхний Николай Владимирович (nbezv@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического моделирования, Московский государственный университет им. Н.Э. Баумана.

Normal forms of elements of infinite order in a group with C (3) — T (6)-condition

N.V. Bezverkhnii

Abstract. In this paper we prove that C(3) — T(6) small cancellation groups are strongly translation discrete and that in these groups for any g and any n there is an algorithm deciding whether or not the equation xn = g has a solution.

Keywords: translation number, map, group diagram, small cancellation condition, dehn region.

Bezverkhnii Nikolai (nbezv@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor, department of mathematical modelling, Bauman Moscow State Technical University.

Поступила 17.05.2012