CC BY
30
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 6-25
Математика
УДК 519.40
Нормальные формы для элементов бесконечного порядка в группах с условием
Аннотация. Целью статьи является построение нормальных форм для представителей элементов бесконечного порядка в группах с условиями С(3)-Т(6). Разработанная техника может быть использована для решения проблем сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу и степенной сопряжённости в рассматриваемом классе групп.
Ключевые слова: карта, диаграмма над группой, условия малого сокращения, дэновская область.
В статье доказывается существование алгоритма, преобразующего представители элементов бесконечного порядка С(3)—Т(6)-группы к неприводимому в определённом ниже смысле виду. Кроме того, для этих представителей строятся нормальные формы, любые степени которых обладают свойством неприводимости. Возможность построения таких нормальных форм для элементов бесконечного порядка позволяет решить проблему сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу в указанном классе групп. Решение последней задачи выходит за рамки данной статьи.
Будем считать, что копредставление О = (X; К) обладает следующими свойствами: |Х| < то, |К| < то, X содержит инверсии всех своих элементов, множество К определяющих соотношений симметризовано: содержит инверсии и все циклические перестановки своих элементов.
Определение 1. Непустое общее начало двух различных определяющих соотношений называется куском. Группа О с копредставлением (X; К) удовлетворяет условию С (р), если ни одно из слов множества К не представимо в виде произведения менее, чем р кусков.
Обозначим через ^ ^ (X) свободную группу с базисом X. Графическое
равенство слов и, V будем обозначать и = V.
Группа О с копредставлением О = (X; К) удовлетворяет условию Т(д), если для любого набора слов п,..., г* из К, 2 <Ь<д, таких, что последова-
Н.В. Безверхний
Введение
тельные элементы Г1, Г2, . . . , r'i, ri+1, . . . rt, Г1, не являются взаимно обратными в F(X), по крайней мере одно из произведений Г1Г2,..., г*Г1 приведено в F (X).
В статьях [1-3] доказано следующее характеристическое свойство элементов конечного порядка в группах с условиями C(6),C(4)-T(4), C(3)-T(6).
Слово w в алфавите X тогда и только тогда представляет в группе G одного из названных классов элемент конечного порядка, когда w = vs, ив множестве R существует определяющее соотношение вида r = u*, причём слова u, v сопряжены в группе G.
Таким образом, представляется возможным начинать построение нормальной формы для элемента с представителем w с проверки конечности порядка этого элемента. Заметим, что в контексте решаемой проблемы сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу рассмотрение элементов конечного порядка в качестве порождающих элементов этой подгруппы не представляет интереса.
В работах [1, 2] дано описание элементов бесконечного порядка в группах с условиями C(6), C(4) — T(4). А именно, приводится конструктивное доказательство существования алгоритма, строящего для данного представителя w элемента g бесконечного порядка приведённое в определённом ниже смысле слово wo, сопряжённое с w, любая степень которого тоже является приведённым словом. Слово wo мы называем нормальной формой элемента с представителем w.
Интересно, что данный алгоритм вычисляет и сопрягающий элемент z: w = z 1w0z.
Возможность построения приведённой формы для представителя любого элемента бесконечного порядка и её свойства позволяют решить проблему вхождения в циклическую подгруппу, проблему сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу в рассматриваемых классах групп.
Для решения названных проблем в классе групп с условиями C(3)—T(6) в работе даётся описание элементов бесконечного порядка в данном классе групп.
Данный класс отличается от двух названных слабостью условия C(3) и спецификой условия T(q) (здесь q = 6). И тем не менее, работа в этом классе сильно упрощается по сравнению с двумя названными, благодаря следующему элементарно доказываемому в статье [4] утверждению.
Свойство копредставлений с условием T(q) при q > 4. Если группа G обладает копредставлением (X; R) с условием T(q) при q > 4, то длина любого куска равна единице.
Предположим, что Г1 = abr1, Г2 = abr2 — различные определяющие соотношения, где a, b, r1, r2 — непустые слова в алфавите X.
Рассмотрим слова из R, обратные к r1, r2, и их циклические перестановки: u1 = br^a, u2 = a-1(r2)-1b-1, u3 = br1 a, u4 = a-1(r2)-1b-1. Последователь-
ность ui, U2, из, U4, Ul противоречит условию T(6). Значит, общее начало ab двух различных определяющих соотношений из R имеет единичную длину.
Понятия области, карты, диаграммы, кольцевой диаграммы, граничного цикла области D (3D) и граничного цикла связной односвязной диаграммы M (3m), граничной метки ^>(p) пути p будем считать известными [5]. Кроме того, считаем, что граничная метка области читается по часовой стрелке, граничная метка связной односвязной диаграммы — против, внешняя граница кольцевой диаграммы ориентирована против часовой стрелки, а внутренняя — по часовой стрелке.
Подпуть 3d П дМ = p в граничных циклах области D и диаграммы M, либо в граничных циклах двух областей называется последовательной частью границы как области D, так и карты M, или двух областей, соответственно [5].
Граничной вершиной в карте M называется любая вершина, принадлежащая граничному циклу карты M. Вершины, не являющиеся граничными, называются внутренними. Внутренним ребром в диаграмме будем считать общую часть граничных циклов двух областей, гомеоморфную отрезку и являющуюся последовательной частью границы обеих областей. Область D называется граничной в карте М, если в её граничном цикле 3D есть граничные вершины карты М, то есть 3D П дМ = 0. Граничные ребра диаграммы М взаимно однозначно сопоставим множеству букв в слове ^>(дМ).
Определение 2. Пара областей (Dl, D2) с общим ребром e в диаграмме M называется сократимой, если поддиаграмма Dl U D2 является связной односвязной, причём её граничная метка равна единице в свободной группе F(X). Если в диаграмме М нет сократимых пар областей, то диаграмма М называется приведённой.
Очевидно, что в приведённой диаграмме метка внутреннего ребра всегда является куском.
Скажем несколько слов о геометрической интерпретации условий малого сокращения C(З) и T(6).
Рассмотрим произвольную группу G = (X; R) с копредставлением, удовлетворяющим условиям C(З)—T(6). Пусть М — приведённая диаграмма над группой G с данным копредставлением. Тогда условие C(З) означает, что если область D С М не имеет рёбер на границе дМ диаграммы М, то степень области D : d(D) (число рёбер в её граничном цикле 3D) не может быть меньше З. Число внутренних рёбер области D обозначим через i(D).
Условие T(6) означает, что степень d(v) (число инцидентных ей рёбер) любой внутренней вершины v диаграммы M не может быть меньше 6.
Циклические перестановки слова w обозначаются w*. Символами |w|, ||w|| обозначают соответственно длину слова w и минимальное число кусков, на которое разбивается слово w. Поскольку в рассматриваемом классе групп все куски имеют единичную длину, то для любого слова w в алфавите X |w| = | w| .
1. Основные результаты. Понятия Д, Д-сокращений
Определение 3. Рассмотрим диаграмму М. Область В с М называется дэновской, если
1) дВ П дМ — последовательная часть границы дМ (то есть дВ П дМ = = р — подпуть в граничных циклах области В и диаграммы М [5]);
2) *(В) е {0,1}.
Понятие дэновской области аналогично определяется и для карты М.
Определение 4. Будем говорить, что в слове т есть К-сокращение, если существует элемент г е К такой, что
1) г = Г1Г2;
2) т = т1т2тз;
3) Г1 = т2;
4) слово г2 либо пусто, либо является куском;
5) слова т1Г—1,г-1тз несократимы в свободной группе;
6) в случае замены слова т равным ему в группе О словом т1г-1тз будем говорить, что в т выполнено К-сокращение.
К-сокращение в слове т, являющемся степенью некоторого слова V : т = = V5, называется длинным, если |т21 ^ Н для т2 из пункта 2 определения 4. Если же |т21 < |V|, то К-сокращение называется коротким.
Если в любой циклической перестановке слова т нет К-сокращений, то слово т называется циклически К-несократимым.
Определение 5. Полосой в диаграмме М называется поддиаграмма к
П = У В^ со свойствами:
г=1
1) дВ^ П дМ = р — последовательная часть границы дМ;
2) дП П дМ — последовательная часть границы дМ;
3) при к = 3 *(В1) = *(^2) = *(Вз) = 2, причём соседние области имеют общее ребро, а все три области полосы имеют общую вершину;
при к > 3, к = 21 + 1 г(А) = *№) = г(В2г) = *(^21+1) = 2, *(Вз) = = *(Вб) = ... = *(В21-з) = *(^21-1) = 3, *(В4) = *(Вб) = *(^21-4) = = = *(В21-2) = 2;
4) дВ^ П дВ^+1 — ребро (* = 1,..., к — 1).
Понятие полосы аналогично определяется и для карты М.
Любая полоса в диаграмме М с циклически несократимой в свободной группе, циклически К-несократимой граничной меткой ^>(дМ) является приведенной диаграммой. Действительно, предположив, что две соседние области в полосе образуют сократимую пару, приходим в выводу о свободной
сократимости слова ^>(дМ), либо к выводу о том, что в слове ^>(дМ) есть К-сокращение. Достаточно рассмотреть два случая: 1) сократимые области В1, В2 имеют внутренние степени *(^1) = 2, *(В2) = 2; 2) *(В1) = 2, *(В2) = 3. В первом случае из сократимости пары (В1,В2) следует свободная сократимость слова ^>(дМ). Во втором случае рассмотрим три соседние области в полосе: В1,В2,Вз. Ясно, что *(Вз) = *(В1) = 2,*(В2) = 3. Из сократимости пары В1, В2 и из того, что кусок в Т(6)-группе имеет длину 1 следует, что в слове ^>(дМ) есть К-сокращение: метка ребра дВ2 П дВз является подсловом в метке пути дВ П дМ, и область Вз можно наклеить по указанному ребру на границу дМ, в результате чего будет получена область, реализующая К-сокращение в граничной метке диаграммы М.
Понятие К-сокращения можно определять в рассматриваемом классе групп аналогично тому, как это сделано для К-сокращения (см. также [1,2] — К-сокращение для групп с условием С(6) и С(4)—Т(4)). Но из-за громоздкости такого определения в группах, удовлетворяющих условиям С(3)—Т(6), будем пользоваться другим, эквивалентным определением.
Определение 6. Пусть П — полоса в диаграмме М. Граничным словом области В* С П называется метка пути дВ* П дМ, прочитанная в соответствии с ориентацией области В*. Граничным словом полосы П называется метка пути дП П дМ, прочитанная в направлении, противоположном ориентации границы дМ. Аналогично определяется граничное слово дэновской области.
Понятиям К, К-сокращений дадим определения, использующие только язык диаграмм, и лишённые громоздких соотношений между определяющими словами. Эти определения и будем в дальнейшем использовать.
Определение 7. Будем говорить, что в слове V есть К-сокращение, если существует связная односвязная диаграмма М над копредставлением О = (X; К), в которой существует дэновская область, граничное слово которой является подсловом в V. В слове V есть К-сокращение, если существует связная односвязная диаграмма М над копредставлением О = (X; К), в которой существует полоса П, граничное слово которой является подсловом в V.
Следствие. Для любого циклически несократимого в ^(X) слова т, не равного единице в группе О, существует циклически К, К-несократимое слово то, сопряжённое с т в О.
Действительно, из определения 7 следует, что в результате К, К-сокра-щения длина слова строго уменьшается.
Поэтому, записав произвольное слово т на окружности С и выполняя в его циклических перестановках К, К-сокращения, получим либо пустое слово, что невозможно, поскольку т = 1 в О, либо непустое слово то, в циклических перестановках которого нет К, К-сокращений.
Заметим, что о единственности К, К-несократимого представителя речь не идёт.
Понятия дэновской области, полосы были введены В.Н. Безверхним в работе [7] на языке групповых диаграмм. Независимо аналогичные понятия использовались в работе [4] при исследовании кусочно евклидовых комплексов. Работая с диаграммами, мы будем придерживаться терминологии Р. Линдона, П. Шуппа и В.Н. Безверхнего.
В данной работе доказаны две основные теоремы. В первой из них утверждается, что существовует алгоритм, строящий из любого циклически Д, Д-несократимого слова ад сопряжённое его степени слово, любая степень которого Д-несократима.
Во второй доказано существование алгоритма, строящего из циклически Д, Д-несократимого слова ад, любая степень которого Д-несократима, сопряжённое ему в группе О слово адо, любая степень которого Д, Д-несократима.
При этом из доказательства обеих теорем следует, что очевидной явля-
—і
ется возможность построения сопрягающего слова г: ад = zvJоz
Представитель адо слова ад, обладающий свойством Д, Д-несократимости всех своих степеней, называется нормальной формой слова ад. Отметим, что мы не утверждаем единственности нормальной формы.
Теорема 1. Пусть слово ад представляет в группе О = (X; Д), удовлетворяющей условиям С(3)-Т(6) элемент бесконечного порядка, причём само слово ад циклически несократимо в свободной группе и циклически Д, К-несократимо, т = тажгЄд|г|. Тогда
1) если для некоторого и' Є N слово тп' Д-сократимо, то существует и Є N и ^ т, для которого слово адп Д-сократимо;
2) если число т' удовлетворяет неравенствам 1 < т' ^ т, и для некоторой циклической перестановки ад* слово (ад*)т Д-сократимо, причём ни при каком т'' < т' в слове (ад*)т нет Д-сокращений, то в результате выполнения этого сокращения получается слово адо = (ад*)т (равенство в группе О), любая степень которого Д-несократима.
Теорема 2. Если слово ад представляет в группе О = (X; Д), удовлетворяющей условиям С(3)-Т(6), элемент бесконечного порядка, причём само слово ад циклически Д-несократимо, а все его степени адп Д-несокра-тимы, то
— если слово ад2 Д-несократимо, то любая степень адп Д-несократима;
— если же в слове ад2 есть Д-сокращение, то либо
1) все степени слова аді = ад2 (равенство в группе О), полученного из ад2 в результате этого Д-сокращения, Д, Д-несократимы;
либо
2) существует конечный алгоритм, строящий последовательность сопряжённых в группе О слов ад,аді,...,ад^, в которой ^ < |ад|, и слово ад^ Д, Д-несократимо вместе со своими степенями.
2. Доказательство теоремы 1
Пусть в слове тп есть К-сокращение, определённое соотношением г = = Г1Г2, где п — подслово в тп. Если |п| > т|т|, то |г| > т|т| ^ т, что противоречит максимальности т. Значит, |п| ^ т|т|, и тем самым доказана первая часть теоремы 1.
Далее будем считать, что К-сокращение имеет место в степени т7 слова т, не превышающей т. Только в пункте 3 закрепим для максимальной длины определяющего соотношения обозначение т.
2.1. Предположим, что |г21 = 0. Тогда Г1 является подсловом в слове тт'.
Если |т| = 1, то г = Г1 = т5, и тогда т представляет в О элемент конечного порядка, что противоречит условию теоремы 1.
Далее считаем, что |т| > 1.
Предположим, что |г| ^ 2|т|.
Рассмотрим два соотношения: г7 = ттт1 и г" = тт1т, являющиеся циклическими перестановками друг друга. Если эти соотношения различны, то т — кусок, что противоречит условию |т| > 1.
Если же г7 = г", то существует слово п : т = и9, тт1 = пр, и тогда г7 = = п9+р = 1 в группе О. А тогда т9+р = 1 в группе О, и т представляет элемент конечного порядка, что противоречит условию теоремы 1.
Пусть теперь |т| < |г| < 2|т|.
Пусть г = г7г77, где |г7| = |т|. Если |г77| = 1, то в циклической перестановке т* слова т, содержащей подслово г7, есть К-сокращение, что противоречит условию теоремы.
Пусть |г771 > 1. Поскольку г7г77 — подслово в (т*)2, г7 = г77г777 , и тогда соотношения г77г777г77 и г77г77г777 могут либо совпадать, либо не совпадать. В первом случае, как и выше, приходим к выводу о конечности порядка т. Во втором делаем вывод: г77 — кусок, и, значит, |г77| = 1, что приводит к К-сократимости слова т и противоречию с условием теоремы 1.
Итак, случай |г2| = 0 невозможен.
2.2. Пусть |г21 > 0. Пусть существует натуральное число т7 < т такое, что для любой циклической перестановки т* слова т и для любого т77 < т7 слова (т*)т являются К-приведёнными. Предположим, что при этом в слове тт есть К-сокращение и В — область с граничной меткой ^>(дВ) = Ши, соответствующая этому сокращению: Ш — подслово в тт , ||и|| = 1, |Ш| > |т|(т7 — 1).
Чтобы доказать К-несократимость произвольной степени п слова, полученного из тт выполнением рассматриваемого К-сокращения, рассмотрим кольцевую диаграмму М, полученную наклеиванием п экземпляров области В на внутреннюю сторону окружности с меткой тпт , записанной по часовой стрелке.
Граничные метки диаграммы М имеют вид: (дМ) = и и г, ^(и) = т пт', ^>(г) = (тги-1тг)п, где тг,тг — подслова в слове т : тт = тгШтг.
Надо доказать, что на внутреннюю границу т кольцевой диаграммы М нельзя наклеить дэновскую область.
Обозначим копии области В, из которых построена диаграмма М, через В1,..., Вп. Пусть и П дВ* = [А*, В*] — пути с началами А* и концами В* : ^>([А*, В*]) = Ш,* = 1,.. .п. Ориентация этих путей противоположна ориентации внешнего граничного цикла и диаграммы М.
Наклеим на граничный цикл и копии В1,... Вп области В так, чтобы они получались сдвигом вдоль и областей В1 , . . . Вп в направлении от вершин А* к вершинам В* на путь с меткой т*. Поскольку |Ш| > |т|, а |^>([В*, А*+1])| < |т|,* = 1,...,п — 1, |^([Вп, А1])| < |т| (иначе слово (т*)т'-1 К-сократимо, что невозможно), то в полученной диаграмме М1 вершины А1, В1, А2, В2, Аз, Вз,... Ап-1, Вп-1, Ап, Вп являются внутренними вершинами путей дВ* П и, * = 1,..., п.
Поэтому, предположив, что в слове ^>(т) есть К-сокращение, то есть на внутренний граничный цикл т диаграммы М1 можно наклеить дэновскую область Во, приходим к противоречию либо с условием С(3), либо с условием Т(6), либо со свободной несократимостью определяющих соотношений и слова тпт , либо с циклической К-несократимостью слова т.
Заметим, что циклическая К-несократимость слова т используется при рассмотрении случая, когда область Во пересекается с участком границы т по тому же подпути, что и с участком и, то есть дВо П т = дВо П и = дВо П П [В1,А2].
Теорема 1 доказана.
3. Кольцевые сокращения
В этом пункте будет определён ещё один тип сокращений — кольцевые сокращения, — позволяющий строить для К, К-несократимых слов т приведённые формы то, степени которых К, К-несократимы.
Определение 8. К-сокращение в слове тт называется длинным, если граничное слово полосы, определяющей это сокращение, не короче слова т. Соответственно, эта полоса называется длинной. Длиной длинного К-со-кращения и длиной соответствующей ему полосы П будем называть число к е N для которого выполнены условия: длина граничного слова полосы П не меньше, чем к|т| и строго меньше (к + 1)|т|.
Будем считать слово т циклически несократимым в свободной группе, циклически К, К-несократимым, и кроме того, все его степени тп К-несо-кратимыми. Также будем предполагать, что слово т представляет элемент бесконечного порядка в группе О.
Определение 9. Циклическим сдвигом длинной полосы П, длина которой равна (т — 1), назовём кольцевую диаграмму Ст(т)(П), построенную
следующим образом. На внутреннюю границу окружности Ст(т) с меткой тт наклеиваем полосу П, а на внешнюю границу полученной кольцевой диаграммы наклеиваем копию П7 этой полосы со сдвигом вдоль Ст(т) по часовой стрелке на путь с меткой т*. Области в П7 будем обозначать так же, как их прототипы в полосе П, добавляя штрих: В7 (рис. 1).
В дальнейшем нижний индекс т, характеризующий длину полосы, и слово т будем опускать в тех записях, в которых понятно о каком т идёт речь, и в которых точное значение т роли не играет.
Заметим, что диаграмма С(П) не обязана быть приведённой, то есть в ней могут быть сократимые пары областей.
Определение 10. Длинное К-сокращение, определённое полосой П = = В1 и ... и Вп, назовём точным, если в диаграмме С(П) = С и П и П7 начальная вершина граничного пути полосы П7 не является внутренней вершиной граничного пути ни для какой области В* полосы П. В противном случае К-сокращение называется неточным. На рис. 1 — пример неточного К-сокращения.
Определение 11. Пусть в слове и есть К-сокращение, определённое полосой П = В1 П ... П Вг. Рассмотрим циклический сдвиг Ст(п)(П) полосы П. Рассмотрим вершины диаграммы Ст(п)(П), принадлежащие окружности С. Две из них назовём концевыми вершинами полосы П: это начало и конец пути дП П С. Вершины С П дВ1 П дВ2 и С П дВг— П дВг назовём крайними. Наконец, все вершины вида С П дВ* П дВ*+1, 1 < * < 1 — 1 назовём внутренними вершинами полосы П.
На рис. 6 N — концевая вершина полосы П, М, К — крайние в П, Ь = = дВ4* П дВз — внутренняя.
Заметим, что в полосе из трёх областей нет внутренних вершин, крайних вершин две, концевых тоже две.
В соответствии с приведённой классификацией вершин полосы приведём классификацию её областей.
Определение 12. Область называется концевой в полосе, если на её границе есть концевая вершина этой полосы. Область называется крайней в полосе, если хотя бы одна из её вершин является крайней в этой полосе. Наконец, область называется внутренней в полосе, если на её границе нет ни крайних, ни концевых вершин полосы.
Заметим, что внутренние области бывают двух типов: с двумя и с тремя внутренними рёбрами.
В полосе из трёх областей нет внутренних областей, единственная крайняя и две концевых области.
Теперь можно определить кольцевое сокращение.
Определение 13. Пусть слово и циклически К, К-несократимо, а в его квадрате и2 есть К-сокращение, определённое полосой П1 = В^ и ... и В^ со
Рис. 1. Неточное Д-сокращение
следующим свойством. Область В^1-1 является копией области В1, то есть их граничные метки совпадают и граничные слова совпадают, в следствие чего часть В1 и ... и В^ 2 полосы П1 можно замкнуть в кольцевую диаграмму
М1 с внешним граничным циклом и и внутренним — и1. Метка ^(и) = (п*)-1, поскольку, как говорилось во введении (п. 1), внешняя граница кольцевой диаграммы ориентирована против часовой стрелки, ^(и) = П1. Замену слова п словом щ будем называть кольцевым сокращением слова и, полосу П1 будем называть полосой, определяющей это кольцевое сокращение, а диаграмму М1 — диаграммой этого сокращения.
Определение 14. Рассмотрим последовательность слов и,и1,...,и5, в которой каждое следующее получается из предыдущего в результате кольцевого сокращения с диаграммой М*, определённого полосой П* = В* и ...
... и В*. (* = 1,..., в). Если в слове и5 невозможно кольцевое сокращение, то слово и5 называется полным кольцевым сокращением слова и. Так же называется и процедура замены слова и словом и5. Кольцевая диаграмма М5 = М1 и ... и М5 называется диаграммой полного кольцевого сокращения.
Замечание. Очевидно, что в результате кольцевого сокращения длина слова уменьшается, поэтому всегда можно говорить о полном кольцевом сокращении.
4. Длинные неточные Д-сокращения в слове 'шп
В этом пункте будут изучены длинные неточные К-сокращения в степенях циклически К-несократимого слова т, любая степень которого К-несо-кратима.
Лемма 1. Пусть в слове т2 есть длинное неточное К-сокращение. Тогда любая степень слова т1, полученного из т2 в результате этого сокращения, К, К-несократима.
Приступим к доказательству леммы 1. Пусть полоса П определяет длинное неточное К-сокращение. Рассмотрим циклический сдвиг длинной полосы П = В1 и ... и Вп : С(П) = С и П и П7. Поскольку сокращение неточное, то концевая вершина полосы П7, принадлежащая границе области В17 , является внутренней вершиной граничного пути некоторой области В* С П.
1. Предположим, что к < п — 2 (рис. 1).
Заметим, что вершина А = дВ* П дВ*+1 П дВ*+2 должна быть общей для областей В 7 , В27 . Действительно, в противном случае вершина В = дВ 7 П П дВ2 П С является внутренней вершиной одного из путей: дП П дВ*+2, либо дП П дВ*.
Если В е дП П дВ*+2, то при вершине В нарушается условие Т(6), либо в диаграмме С(П) есть сократимая пара областей при вершине В : либо (В7, В*+2), либо (В2, В*+2). Обе эти ситуации невозможны, поскольку приводят к наличию свободного сокращения в определяющем соотношении.
Если В е дП П дВ*, то всё аналогично предыдущему случаю: либо при вершине В нарушается условие Т(6), либо в одном из определяющих соотношений есть свободное сокращение.
Итак, А = В. В диаграмме С(П) й(А) = 5 < 6 (рис. 1). Значит, при вершине А в С(П) должна быть пара сократимых областей. Поскольку слово тт циклически К-несократимо, свободно несократимо, то сократимую пару в С(П) могут образовывать только области В* и В 7, или В*+2 и В2.
Пусть (В*, В7) — сократимая пара в С(П). Тогда |^>(дВ*)| = |^>(дВ7)|, что неверно, поскольку рёбра областей В*, В 7, не принадлежащие С, имеют метки длины 1, а метки ^>(дВ7 П С) и ^>(дВ* П С) имеют разную длину.
Если (В*+2, В2) — сократимая пара, то рассмотрим диаграмму Мо, состоящую из областей В*+1, В 7, В*. Из сократимости пары (В*+2,В2) следует, что в областях В*+1, В7 можно склеить в Мо ребра, исходящие из вершины А.
В полученной после склейки диаграмме М вершина А имеет степень 3, что влечёт наличие сократимой пары в М1. Сократимость пары (В* ,В 7) была рассмотрена в предыдущем случае. Сократимость пары (В*,В*+1) невозможна, поскольку в полосе нет сократимых областей. Из сократимости в М1 пары (В 1, В*+1) следует сократимость в свободной группе слова ^>(дВ*), что невозможно.
Итак, рассмотренное на рис. 1 неточное К-сокращение при к < п — 2 невозможно.
2. Рассмотрим неточную длинную полосу П в случае к = п — 2. Заметим, что при к = п — 2 полоса П может оказаться точной, поскольку область Вп-2 в полосе из п областей имеет внутреннюю степень 3, а значит, может иметь на дМ (и следовательно на окружности С) лишь одну вершину. Рассмотрение этой ситуации отложим до леммы 3, в которой исследуются длинные точные К-сокращения. Здесь же будем считать, что область Вп-2 имеет рёбра на границе дМ (рис. 2). Как и в случае 1, определим вершину А : А = С П П дВп-2 П Вп- 1.
Предположив, что общее для областей В 7, В2 ребро е = дВ 7 П дВ2 не имеет своим концом вершину А, придём к противоречию. Действительно, обозначим вершину С П дВ 7 П дВ27 через В.
Если В — внутренняя вершина пути дВп-2 П С, то либо (В1, Вп-2) — сократимая пара, и тогда в слове тт есть К-сокращение, либо (В2, Вп-2) — сократимая пара, и тогда слово ^>(дВ7) свободно сократимо.
С
Рис. 2. Область Вп_2 с ребрами на границе
Если В — внутренняя вершина пути дВп- П С, то рассматривая сократимые пары областей при вершине А приходим к выводу о свободной сократимости определяющего соотношения.
Если В е дВп П С, то повторяются рассуждения для вершины А.
Итак, В = А. Рассмотрим пары сократимых областей при вершине А. Сократимость (В 7, Вп-2) приводит к К-сократимости слова т2. Из сократимости (В2, Вп- 1) следует либо сократимость (В 7, Вп-2), что невозможно, либо несократимость этой пары областей, что снова невозможно, поскольку тогда метка двух последовательных ребер из дВ 7 была бы куском, то есть одной буквой, что невозможно.
Значит, неточной при к = п — 2 и |^>(дВп_2 П С)| > 0 полоса П быть не может.
3. Рассмотрим неточную длинную полосу П в случае к = п — 1. Как и выше в 1, 2, простая проверка показывает, что вершина В = С П дВ 1 П дВ2 должна совпадать с вершиной А = С П дВп_1 П дВп (рис. 3).
В этом случае й(А) < 6, из чего следует наличие сократимой пары областей при вершине А.
Сократимость пары (В 7, Вп_ 1) противоречит равенству длин граничных меток этих областей.
Из сократимости пары (В2, Вп) следует либо сократимость (В7, Вп_ 1), либо противоречие с условие С(3) для области В 7.
Так заканчивается доказательство противоречивости случая 3.
4. Рассмотрим длинную неточную полосу П в случае к = п (рис. 4).
Рассмотрим вершины А, В, где В = С П дВ 7 П дВ27 , и А — концевая вершина
полосы П, принадлежащая границе области Вп.
4.1. Предположим, что В е дВп, и А = В. Чтобы при вершине В не нарушалось условие Т(6) (й(В) = 3 < 6), одна из двух пар (В7, Вп), (В2, Вп) должна быть сократимой. Сократимость пары (В 7, Вп) противоречит нера-
Рис. 3. Совпадение крайних вершин А и В
венству |^>(дВ / )| < |^>(дВ„)|. Сократимость второй пары влечёт свободную сократимость слова ^>(дВ /).
Таким образом, ситуация, рассмотренная в пункте 4.1, противоречива, и соответствующих ей Е-сокращений не бывает.
Рис. 4. Совпадение крайней и концевой вершин 4.2. А = В (рис. 4). _
Рассмотрим слово т2. В нём есть К-сокращение, определённое полосой П. Пусть слово т1 получено из т2 в результате этого сокращения. Тогда т2 = т 1 в группе С. В утверждениях 1, 2 мы докажем К, К-несократимость любой степени слова т .
М
Рис. 5. Д-несократимость слова и>і
Утверждение 1. Все степени слова ші Е-несократимы.
Рассмотрим кольцевую диаграмму Ст(ш2)(П). Наклеим на С с внутренней стороны ещё т — 1 копий полосы П так, чтобы они отстояли друг от друга на путь с меткой и = ^>(С П (ЗВ2 и ЗВ3 и ... и ЗВга- і и (ЗВДдВ/))).
Копии полосы П, наклеенные на внутреннюю границу Ст(ш2)(П), будем обозначать П і,..., Пт.
На внешнюю границу С тоже доклеим (т — 1) копий полосы П1 и обозначим их Пі,..., Пт, причём друг от друга эти копии тоже отделены путями с меткой и. Области в штрихованных и нештрихованных полосах будем нумеровать двумя индексами: верхний — номер полосы, нижний — номер области в полосе: В2 С Щ, В/3 С П3.
Полученную кольцевую диаграмму в дальнейшем будем обозначать Ст(ш2)(П), или, для краткости, просто С.
1) Предположим, что в ш т при некотором т есть короткое Е-сокра-щение.
Из предположения об R-несократимости степеней слова w следует, что граница определяющей это сокращение дэновской области D должна иметь рёбра либо
1) на дП* и на дП* — путь MAN на рис. 5, либо
2) на дП* и на дП'_i, либо
3) только на дП* при некотором i = 1, 2,... ,m.
В ситуации 1), рассмотренной на рис. 5, d(A) < б, значит, при вершине A должна быть сократимая пара. Если сократимой является пара (D,D/2), то H^^D^)!! < 3. Сократимость пары (D,D^) влечёт свободную сократимость слова wm. Пара (D/i, D^) не может быть сократимой, поскольку I^^D^) <
< D |.
Таким образом, дэновская область не может граничить одновременно с П* и с П'.
Аналогично рассматривается ситуация 2).
Если же граничный цикл дD содержит рёбра только на границе полосы П* (даже если в П* всего три области), то существуют три области D£_i,D|,Dt+i полосы П, образующие вместе с дэновской областью D связную односвязную диаграмму L с единственной внутренней вершиной K. При вершине K нарушается условие T(б). Если же при K есть сократимая пара областей, то легко сделать вывод об R-сократимости или свободной сократимости слова wm, что невозможно.
Итак, ни в каких степенях слова wi нет коротких R-сокращений.
2) Противоречивость предположения о наличии в степени слова wi длинного R-сокращения доказывается точно так же, как для короткого.
Утверждение І доказано.
Утверждение 2. Все степени слова wi R-несократимы.
Предположим, что в некоторой степени слова wi есть R-сокращение. Как и в доказательстве утверждения 1, рассмотрим диаграмму CТО^2)(П) при достаточно большом m.
пі / \ / V ' '
\D,i Dsi/\ Di /\ D /Ср\\М v ^/Di\ /A Пі
П
Рис. 6. Д-несократимость слова и>±
Из Д-несократимости слова ад следует, что полоса П, определяющая это Д-сокращение, должна иметь рёбра:
1) либо только на дП* при некотором г = 1,..., т (на рисунке 6 полоса П состоит из пяти областей: А,..., А),
2) либо на дП* и на дП* при некотором г = 1,..., т,
3) либо на дП* и на дП'_ 1 при некотором г = 1,..., т.
Ситуация 3) разбирается аналогично 2), поэтому рассмотрим только 1) и 2).
1) Рассмотрим крайние вершины полосы П : М, К. Каждая из них может принадлежать либо границам концевой и крайней областей полосы П*, как вершина М на рис. 6, (будем говорить, что она на краю полосы П*), либо принадлежать границам трёх внутренних областей той же полосы, как вершина N на рис. 6, (будем говорить, что она внутри полосы П*).
Очевидно, при выполнении условия 1) третьей возможности у крайних вершин полосы П нет: они могут находиться либо на краю, либо внутри полосы П*.
Обе эти ситуации противоречат условию Т(6). В диаграмме П и П* й(М) = й(К) < 6. Значит, при этих вершинах должны быть сократимые пары областей.
Если (^4,^5) сократима, то выполнив сокращение, делаем вывод о сократимости в полученной диаграмме одной из пар: (А, А), (А, А*). Если сократима пара (А, А), то слово ^(дА*) свободно сократимо. Если сократима пара (^5,^7), то слово ^>(д^6) свободно сократимо.
Аналогично доказывается противоречивость утверждений о сократимости пар (^5,^7), (А,^1), (^2,В*).
Таким образом, случай 1) невозможен.
2) Пусть М, К — крайние вершины в полосе П. В соответствии с предположением 2) одна из них, например М, обязана принадлежать границе полосы П* при некотором г = 1,..., т.
Докажем противоречивость этого утверждения.
Если М внутри полосы П*, то ссылаясь на пункт 1), делаем вывод о противоречивости этого предположения. То же самое можно сказать, если М на краю полосы П*.
Остаётся последняя возможность: М — концевая вершина полосы П*. Будем считать, что П* = А и ... и А, П* = и ... и Впг, П = А и ... и и А. Тогда М е д.0* П д£'1 П дАп2 П дА П дДг.
Поскольку Й(М) < 6, то при этой вершине должна существовать сократимая пара.
Если (^1, А) — сократимая, то ребро, общее для областей А, ^2, имеет метку, являющуюся подсловом в ^(дА;1 П дАГ). Значит, область А определяет Д-сокращение в слове ад*, что невозможно.
Предположим, что сократимой является пара (^2,^2). Тогда, удалив эту пару, замечаем, что внутренняя в поддиаграмме А и А и А1 вершина М имеет степень й(М) < 6, и при ней снова есть сократимая пара. Из на-
личия же сократимой пары следует свободная сократимость определяющих соотношений, что невозможно.
Пара (А*.,А71) не может быть сократимой, так как длины граничных меток данных областей различны.
Итак, вершине М нет места на границе полосы П*. Значит, в слове 'Ш™ при всех т нет Д-сокращений.
Утверждение 2 доказано.
4.3. А — внутренняя вершина пути С П дА1.
Так же, как и в случае 4.2, доказывается, что любая степень слова, полученного из ад2 с помощью Д-сокращения, определённого полосой П, Д, Д-несократима.
Тем самым заканчивается доказательство леммы 1.
Следствие 1. Из доказательства леммы 1 следует, что в степенях т5 слова т при в > 2 не может быть неточного Д-сокращения.
5. Полные кольцевые сокращения
В дальнейшем нам понадобится следующее свойство кольцевых сокращений.
Лемма 2. Результатом, полного кольцевого сокращения в циклически Д, Д-несократимом слове и, любая степень которого Д-несократима, и представляющем в группе О элемент бесконечного порядка, является слово, любая степень которого Д, Д-несократима.
Пусть слово щ получено из слова и в результате кольцевого сокращения (не обязательно полного).
1) В степенях слова щ нет неточных Д, Д-сокращений. Это следует из того, что любой кусок над группой с условием Т(6) имеет длину 1, а внутренняя граница кольцевой диаграммы, реализующей кольцевое сокращение в слове щ, является путём из рёбер, метки которых по определению полосы являются кусками.
2) В степенях слова щ нет Д-сокращений и коротких Д-сокращений. Предположим, что в слове и™ есть Д-сокращение, определённое дэновской областью А. Рассмотрим диаграмму М1 кольцевого сокращения в слове и : дМ1 = а и ^1, ^(ст) = и-1, ^(01) = иь Разрежем её по ребру, граничащему с а и с 01 Склеим т копий полученной диаграммы в кольцевую диаграмму М1,т с граничными метками ^(ато) = (и™)-1, ^(ст1;ТО) = (и™).
Предположим, что на внутреннюю границу диаграммы М1,т можно приклеить область А. В полученной диаграмме А и М1,т нарушено условие Т(6), либо есть сократимая пара областей, одна из которых — А, что приводит к Д-сократимости слова и, либо к свободной сократимости определяющего соотношения.
Предположив, что в слове и™ есть Д-сокращение, приходим к выводу о том, что для выполнения условий С(3) и Т(6) определяющая это Д-со-
кращение полоса П должна иметь свои крайние вершины только на краю полосы П1 (терминология была введена в доказательстве утверждения 2), определяющей рассматриваемое кольцевое сокращение, то есть П должна быть длинной полосой.
3) Рассмотрим слово щ — результат полного кольцевого сокращения в слове и. Рассуждения, приведённые в 2), позволяют утверждать, что степени
слова щ Д-несократимы. Докажем их Д-несократимость.
— (*)
Предположим, что в степени и™ есть Д-сокращение. Пусть М* = А1' и ...
... и — кольцевая диаграмма, реализующая кольцевое сокращение в слове и*—1. Её граничные метки ^>(ст*_1) = и*-1, ^(а*) = и*, г = 1,..., в. При всех г = 1,..., в разрежем диаграммы М* по рёбрам дА(г) П дА>г).
Для каждого г = 1,..., в из т экземпляров разрезанной диаграммы М* склеим кольцевую диаграмму с граничными метками — степенями граничных меток исходной диаграммы М* : и™ 1,...,и™. Полученные кольцевые диаграммы можно склеить по граничным циклам с этими метками в одну кольцевую диаграмму М™ с граничными циклами 0о,05.
Поскольку, по предположению, в слове и™ есть Д-сокращение, то на внутреннюю границу диаграммы Мто можно наклеить полосу П, определяющую это сокращение. Из 1) и 2) следует, что полоса П длинная и точная.
Рассмотрев циклический сдвиг полосы П, нетрудно прийти к выводу о том, что она определяет кольцевое сокращение в слове и5, что противоречит определению полного кольцевого сокращения. Лемма 2 доказана.
Следствие 2. Доказано, что степени слова, полученного в результате кольцевого сокращения, Д-несократимы.
6. Длинные точные И-сокращения
Приступим к изучению длинных точных Д-сокращений в степенях циклически Д, Д-несократимого слова т, любая степень которого Д-несократима.
Лемма 3. Пусть все степени циклически Д, Д-несократимого слова т Д-несократимы, и в слове т5 при в > 1 есть длинное точное Д-сокращение. Тогда слово т2 Д-сократимо и
1) либо к слову т применимо кольцевое сокращение, и тогда результатом полного кольцевого сокращения является слово т1, сопряжённое в группе О с т, любая степень которого Д, Д-несократима;
2) либо к слову т2 применимо Д-сокращение, в результате которого получается слово т1 ~ т2, любая степень которого Д, Д-несократима.
Пусть в некоторой степени т™ слова т есть длинное точное Д-сокра-щение, определённое полосой П = А и ... и Ап. Рассмотрим циклический сдвиг этой полосы: Сто(т)(П), представляющий собой кольцевую диаграмму, в которой на окружность С с граничной меткой т™ наклеены полоса П и её копия П7. (Подробнее см. определение 9.)
Поскольку Д-сокращение точное, то концевая вершина А е дА71 полосы П7 является крайней, или внутренней вершиной полосы П, но не концевой, поскольку слово т циклически Д-несократимо.
1. Пусть А — внутренняя вершина полосы П : А е д^— П д^ П дА^+1 П П дА71, ] < п — 1. Здесь г(А^-1) = г(А^+1) = 2, г(А) = 3.
Применяя уже знакомые по доказательству леммы 1 рассуждения, с лёгкостью получаем: области (А71, ^+1) образуют сократимую пару. В данном случае из сократимости этой пары областей следует Д-сократимость слова т2, и кольцевая сократимость слова т.
Действительно, области А,..., А , А71, А72 можно склеить в длинную полосу, определяющую сокращение в слове т2, а области А,... А, можно склеить в кольцевую диаграмму, так как области А, А являются копиями друг друга: имеют одну граничную метку и общее граничное слово.
Выполнив полное кольцевое сокращение в слове т, получим слово т1 ~ ~ т, любая степень которого Д, Д-несократима.
2. Пусть А — крайняя вершина полосы П, то есть определяемое полосой П Д-сокращение имеет место в слове т2 (или в его циклической перестановке т*): т = ^ (дП П (А1 и ... и Ап-1)) .
При этом либо |^>(дА71)| = |^(дА„)|, либо |^>(дА71)| > |^(дА„)|.
2.1. Пусть |^>(дА71)| = |^(дА„)|. Если пара (А, Ап) не является сократимой, то все дальнейшие рассуждения в этом случае аналогичны приведённым в утверждениях 1, 2, и, как в этих утверждениях, приходим к Д, Д-несократимости степеней слова т1.
Пусть пара областей (А, Ап) является сократимой. Тогда области Ап-1, Ап, А могут быть склеены в полосу Пз из трёх областей. Если граничное слово этой полосы не длиннее слова т, то Пз определяет Д-сокращение в слове т*, что невозможно.
Пусть граничное слово полосы Пз длиннее слова т. Рассмотрим циклический сдвиг С (Пз) полосы П3. Есть две возможности: определяемое Пз Д-сокращение точное, или неточное.
В случае неточного сокращения либо, как в доказательстве леммы 1, приходим к противоречивости этого предположения, либо повторяя рассуждения из доказательства утверждений 1, 2 и приходим к построению слова т1 ~ т2, все степени которого Д, Д-несократимы.
Остаётся рассмотреть случай с точным Д-сокращением, определённым полосой Пз в степени слова (т*).
Если в диаграмме С (Пз) области и соответственно 1, А и АП имеют совпадающие граничные пути, то одна из этих пар областей должна быть сократимой. Если сократима пара (А2,АП), то поскольку область является копией области А, то и А — копия А. А из последнего вытекает свободная сократимость слова тП, что невозможно. Аналогично рассмати-вается сократимость пары (Ага,АП_ 1).
Заметим, что в диаграмме C(Пз) концевая область диаграммы П1, принадлежащая границе области Di С Пз, не может принадлежать границе области D2 полосы Пз. Для пояснения этого факта достаточно вспомнить, как появилась полоса Пз в наших рассуждениях.
2.2. Пусть I^^D^)! > I^^Drc)!. Рассуждая как при доказательстве утверждений І, 2 и выполняя построения, аналогичные указанным на рисунках 5, б, делаем вывод об R, R-несократимости степеней слова wi = w2, полученного из w2 в результате R-сокращения, определённого полосой П. Тем самым заканчивается доказательство леммы З.
Следствие З. Если слово w2 циклически R-несократимо, а все степени слова w R-несократимы, то и любая степень слова w R-несократима.
Длинное R-сокращение может быть точным или неточным. Ситуация с неточными сокращениями рассмотрена в лемме І. Из неё следует, что если слово w2 R-несократимо, то в его степенях нет неточных R-сокращений. (Следствие І.)
Если же в степени слова w есть длинное точное R-сокращение, то, ссылаясь на лемму З, делаем вывод об R-сократимости слова w2, что невозможно. Утверждение теоремы 2 следует из лемм І,2,З и следствия З.
Следствие 4. Из теорем 1 и 2 следует, что существует алгоритмм, строящий для любого циклически R, R-несократимого слова w, представляющего в группе G с условием C(3)-T(б) элемент бесконечного порядка, приведённую форму — слово wo, равное в группе G степени слова w с показателем m, не превышающим максимума длин определяющих соотношений: wo = wm, или сопряжённое с w или с w2, причём все степени слова wo R, R-несократимы. При этом, сопрягающий элемент z і wo = z-1w2z может быть получен при построении wo.
Список литературы
1. Безверхний Н.В. О кручении и о разрешимости проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(6) // Деп. ВИНИТИ. 1995. 2033-В95.
2. Паршикова Е.В. Проблема слабой степенной сопряжённости в группах с условием C(4)-T(4) // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. 2001.
С.179-185.
3. Bogley W.A., Pride S.J. Aspherical relative presentations // Pros. of the Edinburg Math. Soc. 1992. V.35. P.1-39.
4. Gersten, Short. Small cancellation theory and automatic groups // Invent. math. 1990. V.102. P.305-334.
5. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980. 447 c.
6. Безверхний Н.В. Разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(6) // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т.4. №1. С. 39-46.
7. Безверхний В.Н. О нормализаторах элементов в C(p) — T(q) группах // Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Тула: ТГПУ, 1994. С. 4-58.
Безверхний Николай Владимирович (nbezv@mail.ru), к.ф.-м.н., кафедра математического моделирования, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана.
Elements of infinite order in a group with C(3)—T(6)-condition
N.V. Bezverkhnii
Abstract. The aim of this paper is to construct the reduced forms for elements of finite and infinite order in a group with C(3)-T(6)-condition.
Keywords: map, group diagram, small cancellation condition, dehn region.
Bezverkhnii Nikolai (nbezv@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical modelling, Bauman Moscow State Technical University.
Поступила 15.01.2010
