CC BY
10
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 17 Выпуск 3
УДК 519.40
ТЕОРЕМА О ПЛОЩАДИ ДИСКОВОЙ ДИАГРАММЫ
НАД С(3)-Т(6)-ГРУППОЙ
Н, В, Безверхний (г, Тула) Аннотация
Геометрические методы широко используются в комбинаторной теории групп. Теория групп с малыми сокращениями эффективно использует метод групповых диаграмм. Это позволяет решать, в частности, различные алгоритмические проблемы. Одной из таких проблем является проблема степенной сопряжённости. Будучи решённой в классе групп с условиями малого сокращения С(6)-Т(3), она остаётся открытой в близком классе С(3)-Т(6)-групп.
В данной статье исследуется структура односвязных диаграмм над С(3)-Т(6)-группами и указывается, как это исследование может быть использовано при решении проблемы степенной сопряжённости.
Основным результатом данной статьи является доказательство теоремы о нижней оценке площади дисковой диаграммы на группой с условиями С(3)-Т(6). Известно, что для групп с условиями С(р)-Т^) при (р, д) € {(3, 6), (4, 4), (6, 3)}, являющихся автоматными, изопериметрическое неравенство является квадратичным. То же самое утверждается в известной в теории групп с малыми сокращениями теореме о площади. Оба утверждения ограничивают сверху площадь односвязной приведённой диаграммы в рассматриваемом классе групп квадратичной функцией длины границы.
В данной статье доказано, что нижняя граница для площади диаграммы указанного типа тоже является квадратичной функцией длины границы. Важность этого результата видна с точки зрения оценки сложности алгоритма, решающего проблему равенства слов. Он оказывается не менее, чем квадратичной сложности от длины сравниваемых слов.
Ключевые слова: карта, диаграмма, дуальная карта, дэновская область, полоса, кольцевая диаграмма, условия малого сокращения, определяющее соотношение, образующие.
Библиография: 15 названий.
THE AREA THEOREM FOR THE DISC DIAGRAM OVER C(3)-T(6)-GROUP
N, V, Bezverkhniy (Tula) Abstract
Geometric methods are widely used in combinatorial group theory. The theory of small cancellation groups use the diagram method. In particular, it allows to approach various algorithmic problems. One of them is the power conjugacy problem. It is already solved for groups with a presentation satisfying the small cancellation conditions C(3) and T(6). However, it remains open for a similar class of groups, having a presentation satisfying the small cancellation conditions C(3) and T(3).
In this paper we investigate the structure of connected diagrams over presentations satisfying the small cancellation conditions C(3) and T(3) and we indicate how our results may be possible used in the power conjugacy problem.
The main result of this article is the proof of the theorem about lower bound on square of the reduced diagram on the group with small cancellation conditions C(3)-T(6). It is known that for groups with conditions C(p)-T(q) with (p, q) G {(3,6), (4,4), (6, 3)}, being automatic, isoperimetric inequality is quadratic. The same stated in well-known in small cancellation theory-theorem of the square. Both statements restrict the area of the simply connected diagrams in the considered class of groups by the quadratic function of the length of the boundary.
In this article it is proved that the lower bound for the area of the diagram of the specified type also is a quadratic function of the length of the border. The importance of this result is visible from the point of view of evaluation of complexity of the algorithm solves the word problem. It is not less than quadratic complexity of the length of the compared words.
Keywords: map, diagram, dual map, dehn region, band, ring diagram, small cancellation condition, defining relation, generators.
Bibliography: 15 titles.
1. Введение
Известная теорема о площади [1] ограничивает сверху число областей приведённой диаграммы M над C(p)-T(q) группой квадратичной функцией длины границы:
В этой статье доказывается, что площадь любой приведённой дисковой диаграммы М над С (3)-Т (б)-группой с гран ицей дМ = а иг и Л, Л-несократимыми метками <^(а), ) является квадратичной функцией длины границы дМ.
Свойство квадратичности изопериметрического неравенства для автоматных групп, коими являются и С(3) — Т(б)-группы, усиливается, и неравенство становится квадратичным уравнением.
Таким образом, диаграммы указанного типа не могут быть "тонкими"и должны иметь структуру вложенных матрёшек. Поясним это примером.
Рассмотрим на плоскости Е 2 прямоугольник М1 из п клеток размера 1 х 1с вершинами А\(0, 0),В1(0,1), С1(п, 1),А(п, 0). Он содержится в прямоугольнике М2 с вершинами А-2(—1, —1), В2(—1, 2), С2(п + 1, 2), ^2(п + 1, —1), который, в свою очередь, содержится в прямоугольнике М3 с вершинами А3(—2, —2), В3(—2, 3), С3(п + 2, 3), ^3(п + 1, —2), и так далее. Прямоугольник Мт имеет вершины Ат(—(т — т), — (т — 1)),Вт(—т + 1,т),Ст(п + т — 1, т), ^т(п + т — 1, —(т — 1)).
Сравним площадь прямоугольника Мт с длиной его границы:
Таким образом, площадь |Мт| с ростом т растёт, как квадрат длины границы дМт. Похожую структуру имеют приведённые дисковые диаграммы над С(3) — Т(6) - группами.
Полученный результат может быть использован в исследовании разрешимости проблемы степенной сопряжённости слов в классе групп с условиями С(3)-Т(6). Соответствующий алгоритм представляет интерес при построении односторонних функций, применяющихся в криптографии для передачи информации по открытому каналу [12, 13, 14].
|Mm| = |AmBm||£mCm| = (2m - 1)(2m + n - 2) = 4m2 + 2m(n - 3) - n + 2;
|dMm| = 2|AmBm| + 2|BmCm| = 2((2m - 1) + (n + 2m - 2)) = 8m + 2n - 6.
2. Основные определения
Будем считать, что копредставление О = (X; Я) обладает следующими свойствами: IX| < те, |Я| < те, X содержит инверсии всех своих элементов, множество Я определяющих соотношений симметризовано: содержит инверсии и все циклические перестановки своих элементов.
Определение 1. Обозначим через Г = Г(X) свободную группу с базисом X. Непустое
О
копредставлением (X; Я) удовлетворяет условию С (р), если ни одно из слов множества Я не представимо в виде произведения менее, чем р кусков. Группа О удовлетворяет условию Т(д), если для любого набора слов Т\,... , т из Я, 2 < £ < д, т,аких, что соседние элементы в последовательности Т\, т2,..., Тг, тг+1,... тг, Т\, не являются взаимно обратными в Г(X), по крайней мере одно из произведений т1т2 ,..., тгт1 приведен о в Г (X).
Класс групп с условиями С(3) — Т(6) отличается от двух названных слабостью условия С(3) и спецификой уеловия Т(6). И тем не менее, работа в этом классе сильно упрощается, благодаря следующему элементарно доказываемому в статье [2] утверждению. Свойство копредставлений с условием Т(д) при д > 4.
Если группа О обладает копредставлением (X; Я) с условием Т(д) при д > 4, то длина любого куска равна единице. Доказательство.
Графическое равенство слов и, V будем обозначать и = V. Предположим, что Т1 = абт^, Т2 = аЬт^ — различные определяющие соотношения, где а, Ь, т1 , т2 — непустые слова в алфавите X.
Рассмотрим слова из Я, обратные к Т1, Т2, и их циклические перестановки: и1 = Ьт1 а, и2 = а-1 (т2)-1Ь-1, и3 = Ьт^а, и4 = а-1(т2)-1Ь-1. Последовательность и1,и2,и3,и4,и1 противоречит условию Т(6). Значит, общее начало аЬ двух различных определяющих соотношений из Я
имеет единичную длину. □
Понятия области, карты, диаграммы, кольцевой диаграммы, граничного цикла области
Б (дО) и граничного цикла связной односвязной диаграммы М граничной метки <^(р)
р
читается по часовой стрелке, граничная метка связной односвязной диаграммы — против.
Подпуть дО П дМ = р в граничных циклах области О и диаграммы М, либо в граничных циклах двух областей, называется последовательной частью границы как области О, так и М,
М
М.
ренним ребром, в карте будем считать общую часть граничных циклов двух областей, гомео-морфную отрезку и являющуюся последовательной частью границы обеих областей. Область О называется граничной в карте М, если в её граничном цикле дО есть граничные вершины карты М, то есть дО П дМ = 0. Граничные ребра диаграммы М взаимно однозначно сопоставим множеству букв в слове ^>(дМ).
Определение 2. Пара областей (О1,02) с общим ребром, е в диаграмме М называется сократ,им,ой, если граничная м,ет,ка, односвязной, поддиаграммы О1 и О2 равна, единице в свободной группе Г(X). Если в диаграмме М нет сократимых пар областей, то диаграмма М
диаграммы О1 и О2 — см. [1].)
Очевидно, что в приведённой диаграмме метка внутреннего ребра всегда является куском, С(3) — Т(6)
С(3)
и Т(6). Рассмотрим произвольную группу О = (X; Я) с копредставлением, удовлетворяющим условиям С(3) — Т(6). Пусть М — приведённая диаграмма над группой О с данным копредставлением. Тогда условие С(3) означает, что если область О С М не имеет рёбер на границе дМ диаграммы М, то степень области О : ^(О) (число рёбер в её граничном цикле дО) не может быть меньше 3. Чисто внутренних рёбер области О обозначим через ¿(О).
Условие Т(6) означает, что степень (число инцидентных ей рёбер) любой внутренней вершины V диаграммы М не может быть меньше 6.
Циклические перестановки слова ш обозначаются ш*. Символ о м |ш| обозначают длину слова ш.
Связную односвязную диаграмму (карту) М над группой О = (X; Я) будем называть
дМ
дМ =
= а и т, где простые пути а, т имеют ровно две общие вершины А и В: а П т = {А, В}.
3. Понятия И, Й-сокращений
Определение 3. Рассмотрим диаграмму М над С(3) — Т(6)-г^ппой. Область О С М называется дэновской, если
1) дО П дМ — последовательная часть границы дМ (то есть дО П дМ = р — подпуть в граничных циклах области О и диаграммы М [1]);
2) ¿(О) е {0,1}. Понятие дэновской области аналогично определяется и для, карты М, в которой любая внутренняя область имеет не менее трёх рёбер и любое внутреннее ребро имеет степень не менее 6.
Определение 4. Будем говорить, что в слове ад есть Я-сокращение, если существует элемент г е Я такой, что:
1. г = г1 г2,
2. ад = ад1ад2ад3,
3. г1 = ад2,
слово г2 лмбо пусто, л,ибо является куском,
5. слова, ш1г_1,г_1ш3 несократимы в свободной группе;
6. в случае замены слова ш равным ему в группе О словом ад1 г-1ад3 будем, говорить, что в ш выполнено Я-сокращение.
1. Я-сокщщение в слове ш, являющемся степенью некоторого слова V : ш = V5, называется длинным,, если |ш2| ^ | V | для, ш2 из пункта 2 определения 4- Если же |ш2| < | V |, то Я
ш Я ш
Я
М С(3) — Т(6)
к
грамма П = и О со свойствами:
i=1
1) дDi П дМ = р — последовательная часть границы, дМ; дП П дМ дМ;
3) при к = 3 ¿(О1) = ¿(О2) = ¿(О3) = 2, причём соседние области имеют общее ребро, а, все три области полосы имеют общую вершину;
прик> 3, к = 21 + 1 ¿(О1) = ¿(О2) = г(Ои) = ¿№1+1) = 2, ¿(£>3) = ¿(А>) = ... = ¿(Ои_3) = г(О2г_1) = 3, ¿(О4) = ¿(Об) = ¿(Ои_4) = ¿(Ои_2) = 2; ^ дА П дА+1 - ребро ^ = 1,..., к — 1).
М.
М
группе, циклически Я-несократимой граничной меткой ^>(дМ) являеся приведённой диаграммой.
Действительно, предположив, что две соседние области в полосе образуют сократимую пару, приходим в выводу о свободной сократимости слова ^>(дМ), либо к выводу о том, что в слове ^>(дМ) есть Я-сокращение. Достаточно рассмотреть два случая: 1) сократимые области О1, О2 имеют внутренние степени г(О1) = 2,г(О2) = 2; 2) г(О1) = 2,г(О2) = 3.
В первом случае из сократимости пары (^1,^2) следует свободная сократимость слова ^>(дМ). Во втором случае рассмотрим три соседние области в полосе: О1,О2,Оз. Ясно, что г(Оз) = ¿(О^ = 2,2(^2) = 3. Из сократимости пары О,О и из того, что кусок в Т(6)-группе имеет длину 1 следует, что в слове ^>(дМ) есть Я-сокращение: метка ребра дО П дОз является подсловом в метке пути дО П дМ, и область Оз можно наклеить по указанному дМ,
М.
Понятие Я-сокращения можно определять в рассматриваемом классе групп аналогично тому, как это сделано для Я-сокращения (см. также [3,4] — Я-сокращение для групп с условием С(6) С(4) — Т(4)
условию Т(6), будем пользоваться другим, эквивалентным определением.
Определение 6. Пусть П — полоса в диаграмме М. Граничным словом области Ог с П называется м,ет,ка, пути дОг П дМ, прочитанная в соответствии с ориентацией области Ог. Граничным словом полосы П называется м,ет,ка, пути дППдМ, прочитанная в направле-
дМ.
дэновской области.
Понятиям Я-, Я-сокращений дадим определения, использующие только язык диаграмм.
Определение 7. Будем говорить, что в слове V есть Я-сокращение, если существует связная односвязная диаграмма, М над копредставлением О = (X; Я), в которой существует дэновская, область, граничное слово которой является подсловом в V. В слове V есть Я-сокщщение, если существует связная односвязная, диаграмма М над копредставлением О = (X; Я), в которой существует полоса П, граничное слово которой является подсловом в V.
Следствие (из определения 7.) Для любого циклически несократимого в Г (X) слов а ш, не равного единице в группе О, существует циклически Я, Я-несократимое слово Шо, сопряжённое сиО.
Доказательство. Действительно, из определения 7 следует, что в результате Я, Я-сокращения длина слова строго уменьшается. Записав произвольное слово ш на окружности С и выполняя в его циклических перестановках Я, Я-сокращения, получим либо пустое слово, что невозможно, поскольку ш = 1 в О, либо непустое слово Шо, в циклических перестановках которого нет Я, Я-сокращений. □
Так же просто доказывается утверждение о существовании Я, ^-несократимого слова, равного данному.
Понятия дэновской области, полосы были введены в работе [5] на языке групповых диаграмм. Независимо аналогичные понятия использовались в работе [1] при исследовании кусочно евклидовых комплексов. Работая с диаграммами, мы будем придерживаться терминологии, использованной в [1,5].
4. Свойства дисковых диаграмм
ММ дМ М
имеют, степень не меньше 6, а все внутренние области имеют степень не меньше 3.
М
дМ = а и т, причём а П т = {А, В} — две вершины. Определим, граничные слои Ка и КТ карты Ма т,
В этой статье считаем, что слои Ка, КТ не содержат полос и дэновских областей карты М.
Определение 10. Пару областей в слое Ка (КТ) карты М внутренней степени г, имеющих общее внутреннее ребро, будем называть г-парой. При различных г,] г-пару и,]-па,ру будем называть разноимёнными. Область внутренней степени г будем называть г-облает,ью.
Определение 11. Область О С М называется простой, если множество дО П дМ связно и является последовательной, частью границы, области О.
М дМ = а и т
а П т = {А, В} — две вершины, и все области в М простые.
М1 М
М, М = М1 и М2 и р, р дМ,
М1 М2
в циклах дМ1 и в дМ2, |М1| > 0, |М2| > 0. Будем говорить, что М1 — остров на участке в границы, карты М, если граничный, цикл дМ1 является подпутём, в в.
М1 М
вом, в М, если существует область О0 С М : М = Мо и О0 и М1, |М1| > 0, |М2| > 0, причём карт,а, М1 и М0 не является связной. Будем говорить, что М1 — полуостров на, уч,астке в М, дМ1 в.
Лемма 1 (5). (О полосах.) Пусть М — связная односвязная (6, 3)-карта, не содержащая | М| > 0.
М
в дМ М
а, т М дМ = а и т.
в карте М нет, полос П и дэновских областей О, для которых дП П дМ — подпуть в в, дО П дМ — подпуть в в, то в М нет островов и полуостровов на, участке границы в.
М
карт,а, типа (6, 3) и граничные слои Ка, КТ не содержат, полос и дэновских областей, то верно следующее:
1) для каждой, из вершин {А, В} в карте М существует единственная область , соответственно, такая, что А е дО^,В е дОв;
2) ¿(Оа) = ¿(Ов) = 2;
3) слои Ка, КТ содержат, только области внутренней степени 2 и 3, причём, в каждой, из подкарт Ка\(ДвиОа),Кт\(ДвиОа) областей первого типа на две больше, чем второго.
4) в слоях Ка, КТ могут встречаться только 2-пары и З-пары, и нет, 2-троек, 3-троек, и т. д., причём, в каждом, из слоёв число 2-пар на 1 больше, чем З-пар, а, разноимённые пары, чередуются в каждом, из слоёв Ка, КТ. То же верно и для обла стей: в Ка, КТ могут встречаться только 2- и 3-области.
Лемма 4 (6). (О длине граничных слоев дисковой ка,рт,ы.) Пусть в граничных слоях Ка, КТ дисков ой (6, 3)-карт ы М нет полос и дэновских областей. Тогда, в карте М число областей с рёбрами на а не превышает числа областей с рёбрами на т, умноженного на 5, и наоборот,.
5. Доказательство основной теоремы
М С(3) — Т(6)
ницей дМ = а и т и Я, Я-несокщтимыми м,етками <^(а), ^>(т). Тогда диаграмма М1 = М\КСТ тоже является дисковой.
Доказательство.
М1
ем нескольких дисков N1,..., N3, соединённых простыми путями ро,..., р5, причём концы пути рг принадлежат границам дисков N1, N¿+1, а пути ро, рг являются в диаграмме М1 шипами, то
дМ1
рг
Из Я, Я-несократимости слов ^(а),^(т) следует отсутствие полос и дэновских областей в слое Кст. Значит, их нет в дисках N1 на участках границ дNi П а при г € {1,...,«}.
Те же рассуждения позволяют сделать вывод об отсутствии полос и дэновских областей в дисках N1 на участках гр аниц дNi П т при г € {1,..., з}. Значит, ди ски N1 удовлетворяют условию леммы 3.
Пусть граница диска N состоит го двух путей аг,тг. По доказанному метки этих путей Я, Я-несократимы. В соответствии с леммой 3 пунктом 1 в диске N1 существуют области Оа , Ов , внутренней степени 2.
Обозначим путь дО^ П аг как АС. Концевая вершина С этого пути является внутренней в карте М. Значит, по условию Т(6) её степень ^(С) не меньше 6. Но в карте Ni она инцидентна
С
Ка 2-пару областей (О1,О2).
Ближайшей в карте N1 к вершине С вдоль пути аг является не 3-пара областей, а 2-пара, что также гарантирует лемма 3. Этой 2-паре соответствует 2-пара (Оз,О4) в слое Ка.
Таким образом, в слое Кст, а значит, и в карте М на участке границы а есть полоса состоящая из всех областей слоя Кст, расположенных между парами (О1, ^2), (Оз, Д^), включая эти пары. Этот вывод противоречит Я-несократимости граничных меток исходной диаграммы М.
В этом рассуждении мы никак не использовали соседние с N1 диски. Поэтому оно применимо и к случаю, когда после удаления из М стоя Ка остаётся один диск N1 с одним или двумя шипами.
□
Мо С(3) — Т(6)
ницей, дМ0 = а0 и т0 и Я, Я-несокщтимыми метками ^>(а0), ^>(т0). Тогда диагра,мма М1; полученная из М удалением граничных слоёв Као ,КТ0; тоже является дисковой, а, граничные метки ^(а1), Я, Я-несокщтимы (здесь а1 = д(М\КСТ0) П дКСТ0; т1 = д(М\КТ0) П дКТ0у).
Доказательство.
Несократимость граничных меток <^(а1), ^(71) следует из отсутствия полос и деповских областей в слоях КСТ0, КТ0.
Остальное является следствием леммы 5.
□
Теорема 1. (о площади дисковой диаграммы). Пусть M — приведённая дисковая, диаграмма, над C(3) — T(6)-группой G = (X; R). Пусть граница dM = ст0 U то) имеет R, R-несократимые метки ^>(ст0), ^>(т0). Тогда, площадь диаграммы M0 является квадратичной, функцией длины, границы, дМ0.
Доказательство.
Рассмотрим последовательность вложенных диаграмм: M D Mi D M2 ... D Mfc, получен-
M
Mi = M\(KCT0 U KT0), M2 = Mi\(KCT1 U Kn),..., Mk = Mfc-i\(KCTfe_1 U k^).
При этом последняя диаграмма в этой последовательности либо 1-слойная, либо 2-слойная, то есть на следующем шаге после удаления граничных слоёв остаётся пустое множество.
В соответствии с леммой 6 все эти диаграммы являются дисковыми, а метки ^(ст^), <^(тг), i = 1,..., k R, R-несократимы.
Кроме того, из леммы 3, описывающей строение граничных слоёв дисковой диаграммы, следует, что число областей в Kao U KT0 на 6 больше, чем в Kai U KT1, и так далее.
Найдём площадь диаграммы M, предполагая, что в диаграмме Mk-i число граничных областей равно s.
|M | = |Mfc | + s + (s + 6) + ... + (s + (k — 1)6) = |Mfc | + ks + 3k(k — 1).
k
dM. Пусть N — число граничных областей в диаграмме M. Тогда выполняется равенство N = s + 6(k — 1), и k = 1 + (N — s)/6. Подставляя это выражение вместо k в формулу для M
|M| = |Mk| + s (1 + (N — s)/6) + 3 (1 + (N — s)/6) ((N — s)/6).
Нетрудно оценить число областей, имеющих рёбра на границе dM через длину границы |^>(dM)|: N ^ |^>(dM)|/|r0|, где Г0 — самое длинное определяющее соотношение в копредстав-лении группы G = (X; R). Эта оценка вместе с предыдущей формулой для площади |M | даёт
M
ней от длины границы. □
6. Заключение
Доказанная теорема о площади дисковой диаграммы в рассматриваемом классе групп интересна тем, при рассмотрении кольцевых диаграмм сопряжённости слов в С(3)-Т(6)-группах такие дисковые диаграммы могут быть выделены как поддиаграммы кольцевых.
В случае, когда граничные метки кольцевой диаграммы являются степенями фиксированных слов, из выделенных дисковых диаграмм удаётся склеивать односвязную диаграмму с быстро растущей площадью. Всё это может быть использовано для исследования проблемы степенной сопряжённости в данном классе групп.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Линдон Р., Шупп П., 1980, "Комбинаторная теория групп". М.: Мир.
2. Gersten S.M., Short Н., 1990, "Small cancellation theory and automatic groups". Inventiones mathematicae 102, pp. 305-334.
3. Безверхний И. В., 1999, "Разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в группах с условием C(6)."Фундаментальная и прикладная математика, т. 5, N 1, с. 39-46.
4. Паршикова Е. В., 2001, "Проблема слабой степенной сопряжённости в группах с условием С(4)-Т(4)". Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Изд-во Тгпу им. Л. И. Толстого, с. 179-185.
5. Безверхний В. Н., 1994, "О нормализаторах элементов в C(p)-T(q)-rpvnnax". Алгоритмические проблемы теории групп и полугрупп. Изд-во Тгпу им. Л. Н. Толстого, с.4-58.
6. Безверхний И. В., 2012, "Проблема сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу в группах с условиями С(3)-Т(6)". Дискретная математика., т. 24. выпуск 4. с. 27-46.
7. Безверхний Н. В., 2010, "Нормальные формы для элементов бесконечного порядка в группах с условиями С(3)-Т(6)". Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Выпуск 1, с. 6-25.
8. Магнус Д., Каррас А., Солитэр Д., 1974, "Комбинаторная теория групп". Перевод с английского, М.: Наука.
9. Ольшанский А. Ю., 1989, "Геометрия определяющих соотношений в группах". М: Наука.
10. Новиков П. С., 1955, "Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов в теории групп". Труды Математического ин-та АН СССР, т. 44. с. 1-444.
11. Kapovich I., may 1997, "Small cancellation groups and translation numbers". Transactions of the American Mathematical Society, V. 349, N 5, pp. 1851-1875.
12. Глухов M. M., 2010, "К анализу некоторых систем открытого распределения ключей, основанных на неабелевых группах". Математические вопросы криптографии, т. 1, № 4, с. 5-22.
13. Коо К. Н., Lee S. J., Cheon J. H., Han J. W., Kang J., Park C., 2000, "New publickev criptosistem using braide groups". CRIPTO 2000, Lect. Notes Comput Sci., v. 1880, pp. 166183.
14. Paeng S. H., На К. C., Kim J. H., Chee S., Park C., 2001, "New public key criptosistem using finite nonabelian groups". CRIPTO 2001, Lect. Notes Comput. Sci., v. 2139, pp. 470-485.
15. Boglev W. A., Pride S. J., 1992, "Aspherical relative presentations". Pros, of the Edinburg Mathematical Society, v. 35, pp. 1-39.
REFERENCES
1. Lindon R., Schupp P., 1980, "Kombinatorial group theory". M.: Mir.
2. Gersten S. M., Short H., 1990, "Small cancellation theory and automatic groups". Inventiones mathematicae 102, pp. 305-334.
3. Bezverkhniv N. V., 1999, "The solvability of the membership problem into the cyclic subgroup of C(6)-group". Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, v. 5, N 1, pp. 39-46.
4. Parshikova E. V., 2001, "The solvability of the weak power conjugacv problem in C(4)-T(4)-group". Algoritmicheskie problemi teorii grupp i polugrupp. Publishing house of the Tula state pedagogical University, pp. 179-185.
5. Bezverkhniv V. N., 1994, "The normalizers of elements of C(p)-T(q)-group". Algoritmicheskie problemi teorii grupp i polugrupp. Publishing house of the Tula state pedagogical University, c.4-58.
6. Bezverkhniv N. V., 2012, "The solvability of the weak power conjugacv problem in C(3)-T(6)-group". Diskretnaya matematika., v. 24, issue 4, pp. 27-46.
7. Bezverkhniv N. V., 2010, "Normal forms for the elements of infinite order in C(3)-T(6)-groups". Izvestiya Tulskogo gosudarstvennogo universiteta, issue 1, pp. 6-25.
8. Magnus W., Karrass A., Solitar D., 1965, "Combinatorial group theory". Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York.
9. Ol'shanskii, A. Yu., 1991, "Geometry of Defining Relations in Groups". Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht.
10. Novikov P. S., 1955, "On algorithmic unsolvabilitv of the word problem in the group theory". Trudi Matematicheskogo instituta AN SSSR, v. 44. pp. 1-444.
11. Kapovich I., may 1997, "Small cancellation groups and translation numbers". Transactions of the American Mathematical Society, V. 349, N 5, pp. 1851 — 1875.
12. Gluhov M. M., 2010, "The analysis of some publickev criptosistems using nonabelian groups". Matematicheskie voprosi kriptografii., v.l, № 4, pp. 5-22.
13. KooK.H., LeeS.J., CheonJ.H., HanJ.W., KangJ., ParkC., 2000, "New publickev criptosis-tem using braide groups". CRIPTO 2000, Lect. Notes Comput Sci., v. 1880, pp. 166-183.
14. Paeng S. H., На К. C., Kim J. H., Chee S., Park C., 2001, "New public key criptosistem using finite nonabelian groups". CRIPTO 2001, Lect. Notes Comput. Sci., v. 2139, pp. 470-485.
15. Boglev W. A., Pride S. J., 1992, "Aspherical relative presentations". Pros, of the Edinburg Mathematical Society, v. 35, pp. 1-39.
МГТУ им. H. Э. Баумана.
