ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТС-SOS Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517.51, 517.98

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 176

ТРАНСЛЯЦионно-инвариантные меры гиббса для

МОДЕЛИ ПОТТС-SOS

РахматуллаевМузаффар Мухаммаджанович, д.ф.-м.н., профессор,

[email protected] Расулова Мухайё Акбаржон кизи, старший научный сотрудник,

[email protected] Институт Математики имени В.И. Романовского Академии Наук Республики Узбекистан, Наманган, Узбекистан

Аннотация. Для модели Поттс-SOS на дереве Кэли порядка два доказано, что при выполнении найденных условий существует не более семи трансляционно-инвариантных мер Гиббса.

Ключевые слова: дерево Кэли, модель Поттса, модель SOS, модель Поттс-SOS, основные состояния, меры Гиббса, трансляционно-инвариантные меры Гиббса.

TRANSLATION-INVARIANT GIBBS MEASURES FOR THE POTTS-SOS MODEL

Raxmatullayev MuzaffarMuxammadjanovich, Dr Sc, professor,

[email protected] Rasulova Muhayyo Akbarjon qizi, PhD, [email protected] Institute of Mathematics named after V.I. Romanovsky of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan,

Namangan, Uzbekistan

Abstract. The translation-invariant Gibbs measures for the Potts-SOS model on the Cayley tree of order two are described.

Key words: Cayley tree, Potts model, SOS model, Potts-SOS model, Gibbs measures, translation-invariant Gibbs measures.

Теория гиббсовских мер представляет собой сравнительно новую область теории мер, хотя сами эти меры являются главным объектом изучения в статистической физике и квантовой евклидовой теории.

Основная проблема равновесной статистической физики - описать для данного гамильтониана все отвечающие ему предельные меры Гиббса. Эта проблема полностью решается лишь в отдельных сравнительно простых случаях.

Множество всех гиббсовских состояний с данным гамильтонианом является непустым компактным выпуклым подмножеством множества всех распределений, так что естественно возникновение задачи изучения крайних гиббсовских мер. Эта задача весьма за труднительная. Поэтому естественно, по крайней мере в самом начале, следует найти для гамильтониана трансляционно-инвариантные предельные меры Гиббса.

Мы рассматриваем модель, где спин принимает значения из множества

Ф = {0,1, 2,..., m}, m > 1.

Гамильтониан модели Поттс-SOS определяется следующем образом (см. [4]):

ни = -Js Zk(x)-^(y)|-jp , (1)

< x, y )eL < x, y )eL

где Js, Jp e R, {x, y) — ближайшие соседи, Suv — символ Кронекера.

В случае Jp = 0, Js ^ 0 модель (1) совпадает с моделью SOS. Трансляционно-инвариантные меры Гиббса для модели SOS были изучены в [3]. В случае J = 0 J Ф 0

s ' р

модель (1) совпадает с моделью Поттса. Для модели Поттса трансляционно-инвариантные меры Гиббса описаны в [2].

В [4] изучены трансляционно-инвариантные меры Гиббса для модели Поттс-SOS на дереве Кэли произвольного порядка, доказано существование не менее трех трансляционно-инвариантных мер Гиббса при некоторых условиях параметров.

В данной работе рассматривается модель Поттс-SOS с тремя состояниями на дереве Кэли. Для этой модели на дереве Кэли порядка два изучаются множество всех трансляционно-инвариантных мер Гиббса.

Известно [4], что каждой мере Гиббса для модели Поттс-SOS на дереве Кэли порядка к > 1 можно сопоставить совокупность векторов

И* = íh„ , h ,..., h , ), xeG,,

x y 0, x' 4, x' ' m-1, x P к*

удовлетворяющих уравнению

h* = E F {h'y, т,в, r), (2)

yeS (x)

где S(x) — множество прямых потомков точки x е Gk и

в = exp(Jsr = exp(jpfi\ /3 = T > 0, функция F(•,m,в,r): Rm ^ Rm определена следующим образом: F(h,m,0,r) = {F0(h,m,0,r),...,Fm1 (h,m,0,r)) с

f m-1

exp(h} ) + e

m-' rSmi

j=0

(3)

Fi (Ь, т,в, г) = 1п

ехр ^ ) + г

V 1=0 )

где Ь = (Ь0,Ь1,...,Ьт_1), . = 0,1, 2,..., т -1.

Пусть Ок / 0*к = {Н^ Н2,...,Нг,} — фактор группа, где Ск — нормальный делитель индекса г' > 1.

Определение 1. Совокупность векторов Ь = {Ьх, х е Ок} называется Ок-периодической, если Ьх = Ь1 при х е Н. для любого х е Ок. Ск -периодическая совокупность векторов называется трансляционно-инвариантной.

Определение 2. Мера /л называется трансляционно-инвариантной, если она соответствует трансляционно-инвариантной совокупности векторов Ь .

Теорема 1. [4] Пусть т = 2 . Для модели Поттс-SOS на дереве Кэли, определенной в (1), справедливы следующие утверждения:

а) пусть 3я, 3р < 0 . Тогда существует единственная симметричная трансляционно-

инвариантная мера Гиббса (СТИМГ) для всех г, О ;

б) пусть , 3 > 0, к > 2:

6.1) если 0 < г < г], то существует только одна СТИМГ;

6.2) если г > Г , то существуют ровно три СТИМГ,

1 о

где г = — с 2

(к -1)2

Количество трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Поттс-БОБ, возможно, может быть больше, чем найденно в [4]. В этой работе доказано, что возможное количество трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Поттс-БОБ на дереве Кэли порядка два может достигать семи.

Пусть т = 2, т.е. Ф = {0, 1, 2}. В этом случае уравнение (2) для трансляционно-инвариантных мер Гиббса имеет вид

к = к¥ (И, в, г),

где к = (И0, к) . Вводя обозначения 10 = ек0, 11 = вк1, получаем следующую систему уравнений

10 =

I =

Г г10 + 61, +в2 Лк

у02 10 + 61, + г у

г в!0 + г/1 + 6 Лк Кв210 + 61, + г у

(4)

Пусть к — 2. Обозначим *^Т0 = х, -^Т, = у. Тогда из (4) получим

гх2 +ву2 + 62

х

У

в2 х2 + 6у2 + г 6 х2 + г у2 + 6

(5)

(6)

62 х2 + 6у2 + г Система уравнений (5) сводится к следующей системе уравнений:

'62 х3 - гх2 + (в у2 + г) х - в у2 -б2 = 0, в у3 - г у2 + {б2 х2 + г) у -вх2 -6 = 0,

которая может быть переписана в виде:

'(х-1)(<92 х2 +в2 х + в2 - гх + 6у2) = 0, в у3 - г у2 + {в2 х2 + г) у -вх2 -6 = 0.

Очевидно, что решения системы уравнений (7) являются решениями следующих систем уравнений

Г х -1 = 0,

.3 2 ./^|2 2 .4 /п 2 г» (8)

(7)

в у3 - г у2 + {в2 х2 + г) у-вх2 -0 = 0

или

(9)

в2 х2 +в2 х + в2 - гх + ву2 = 0, вуъ - гу2 + {в2 х2 + г) у-вх2-в = 0.

Рассмотрим сначала систему уравнений (8). Подставив х = 1 во второе уравнение системы уравнений (8), получим

6 у3 - г у2 + (б2 + г) у - 26 = 0.

Введем обозначение

У = 2 +

Ъв

Тогда уравнение (10) можно свести к уравнению

г3 + рг + д = 0,

где

г п г

Р = ~ + 0---

У в Ъв

гг

д = т+

2 г3

- 2.

Решив уравнение Ъ ±79 + 120

р = 0

Ъ Ъв2 270 относительно г , имеем

(10) (11) (12) (1Ъ)

решения

Ъ + 49 +120 л

; 2 в . Так как г > 0, 0 > 0, то получаем г1 =---в. Подставляя г1

в выражение д в (13) и решив уравнение д = 0 относительно 9, получаем решение в, = ЪЭъУ2(^2 — 1). Подставив г1, 6Х в выражения р, д в (13), затем р, д в уравнение (12), получим уравнение 23 = 0. Отсюда следует, что уравнение (10) имеет один

положительный корень у =

Ъв,

Из (13) получаем

в(г, 0)

V

V Ъ у

+

V

ч2у

1 27

' 12 V 1

1 г г А 1

---- + - + в + -

Ъ в2 в , 4

2 г3 1 г2 1 „

---- +—- + - г - 2

27 03 Ъ 02 Ъ

2

1

(г4 + 2 гЗв2 + г2в4 -12 гъв-12 г2въ -12 въг - 4 в1 + Ъ6 02г2 +

108 вА +Ъ6 в4г-108 04).

Для 0 = 01 = Ъ\р2(\р2 -1) имеем 0(г, 6>) =

(14)

116 + 7Ъ^4 + 92^2

Ъ4992

•(-г2 + Ъ6 (1 -2^2 + ^4)г + Ъ24 -4^2 -5 Ъ/4))(г-18 + 9 ъ44)2. Используя формулу Кардано, докажем следующую лемму. Лемма 1. Пусть в = Ъ^2 (— 1) . Существует гс (« 4.22129Ъ186 ) такое, что

• Если г е. (0, гс), то уравнение (10) имеет одно положительное решение.

• Если г = гс, то уравнение (10) имеет два положительных решения.

• Если г &(гс; , то уравнение (10) имеет три положительных решения. Теперь рассмотрим систему уравнений (9). Из (9) получим

ву [в2 - у + гу - г) -в3у + в2 +вгу- г' Подставляя (15) в первое уравнение системы уравнений (9), получим в2(6 + 1) (г2 -26г +63-62 +б)у4-б(г-02) (г2 +(б2 + 1)г-Ъ62)у3 +

х =

г

2

+ ((0 + 1)г + в3) (г-в2 )2 у2-(г + в2) (г-в2 )2 у + в(г-в2 )2 = 0. (16) В уравнении (16) введем следующие обозначения: / (у, г, в) = 02(0 +1) (г2 -2вг +в3-в2 +в)у4-в(г-в1) (г2 +{в2 + 1)г-3#2)у3 +

+ ((0 + 1)г + въ)(г -02)2у2 -(г + 02)(г -02)2у + в(г -в2)2. (17) Функцию (17) можно переписать в виде

/(у, г, 0) = (ау2 + Ьу + е) (с/у2 + еу + /),

где

а / = 02 (в+1) (г2 - 2 0 г +03-02 + в),

ае + Ь/ = -в(г-в2 )(г2 + (02 + 1)г - 3в2),

а/ + Ье + е/ = ((<9 + 1)г + 03) (г -02)\

Ь/ + ее = -(г + 02) (г-02 )2,

е/ = в(г-в2 )2.

Пусть Д(г, в) = Ь2 - 4ае и В2 (г, 0) = е2 - 4//. Обозначим следующие множества:

В = {(г, 0)е Я2: Д(г, 0)> 0, ^2(г, в)> 0 },

В2 = {(г, 0) е Я+2: Д(г, 0) > 0, В2 (г, 0) = 0 V Д (г, 0) = 0, Д (г, 0) > 0 }, В3 = {(г, 0) е Я2 : Д(г, 6) = 0, В2(г, б) = 0 V Д(г, 6) > 0, В2(г, б)< 0 V V В1 (г, 0)< 0, В2(г, 0)> 0},

В4 = {(г, 0)еЯ+2: Д(г, 0) = 0, В2(г, 0)<0 V Д(г, 0)<0, В2(г, 0) = 0},

В5 = {(г, 0) е Я2: В,(г, 0) < 0, В2(г, 0) < 0 }. Таким образом, доказана следующая

Лемма 2. Пусть 9 = 3^2(^2 -1), тогда справедливы следующие утверждения:

• Если (г, 0) е В1, то уравнение (16) имеет четыре положительных решения.

• Если (г, 0) е В2, то уравнение (16) имеет три положительных решения.

• Если (г, 0) е В3, то уравнение (16) имеет два положительных решения.

• Если (г, 0) е В4, то уравнение (16) имеет одно положительное решение.

• Если (г, 0) е В5, то уравнение (16) не имеет решения. Введем следующие обозначения:

А = {(г,0)е Я2: г < 302, 0 > 0}и{(г,0)е Я2: р = 0, д = 0}, А ={(г, 0)е Я2: г < 302, 0 = 0 }п{(г, 0)е Я2: р Ф 0 v д * 0 }, А ={(г, 0)е Я2: г < 302, 0 < 0 }, Л4 ={(г, 0)е Я2: г>302, 0>0},

А5 ={(г, 0)е Я+2 : г > 302, 0 = 0 }^{(г, 0)е Я+2 : р Ф 0 V д Ф 0 }, Лб ={(г, 0)е Я2: г > 302, 0 < 0 }.

Пусть N — количество трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Поттс-БОБ.

Теорема 2. Пусть k = 2, m = 2. Следующие отношения справедливы для N:

1, если (г, д)е A1,

2, если (г, в)е A2 ^(A4 п^^ пв5), Ъ, если (г, в)е AЪ ^(A4 пвЪп),

N = <¡4, если (г, ^е^ п£2пвЪ)и(4 пв4),

5, если (г, в) е(A4 п Д) пB2) пBЪ),

6, если (г, 0)е(Д пB1 )^(A6 пB2),

7, если (г, е A6 п B1.

Доказательство. Рассмотрим первое уравнение системы уравнений (9). Запишем это в следующем виде

в2 х2 +(в2 - т)х + в2 =-ву2. (18)

Правая часть (18) отрицательна, поэтому

в2 х2 +(в2 - г)х + 62 < 0. (19)

Для левой части (19) вычислим ее дискриминант D = {02 — г) — 46А. Если дискриминант положителен, то неравенство (19) имеет действительные решения. Поэтому мы должны решить следующее неравенство:

(- г -в2) (Ъ02 - г )> 0.

Поскольку - г -92< 0 , то г > Ъ92.

Неравенство (19) имеет положительное решение, как только О2—г < 0 или г > О2 . Если г > Ъв2, то также выполняется г > 02 . Если г > ЪО2, то решение неравенства (19)

состоит из следующего интервала:

/

г

в2-4о г-в2 +4Ь*

2в2 2в2

V У

Кроме того, в этом интервале уравнение (18) имеет смысл.

Следовательно, если г > Ъв2, то первое уравнение системы уравнений (9) имеет положительное действительное решение. Если г < Ъв2, то первое уравнение системы уравнений (9) не может иметь положительного решения, т. е. для любой положительной действительной пары (х, у), являющейся решением первого уравнения системы уравнений

(9), не выполняется неравенство г < Ъв2. Тогда трансляционно-инвариантные меры Гиббса, соответствующие корням уравнения (9), не существуют при условии г < Ъ#2.

По теореме Декарта, количество положительных корней уравнения (10) не меньше 1 и не больше 3.

Если Q > 0, то уравнение (12) имеет один положительный действительный корень и два сопряженных комплексных корня. Если Q = 0, то все корни уравнения (12)

вещественные положительные и два из них равны, или если p = q = 0, то (12) имеет один положительный действительный корень (один нуль кратности три). Если Q < 0, то

уравнение (12) имеет три различных положительных действительных корня. Следовательно, можно говорить о количестве трансляционно-инвариантных мер Гиббса, соответствующих положительным корням уравнения (10).

Таким образом, из лемм 1 и 2 видно, что множество A6 о Б1 не пусто, т.е. количество трансляционно-инвариантных мер Гиббса, соответствующих положительным решениям системы уравнений (6), для модели Поттс-SOS достигает семи. Теорема доказана.

Замечание 1. Заметим, что теорема 1 (при к = m = 2) обобщает результаты исследований [2], [3].

Если Js = 0, то модель Поттс-SOS совпадает с моделью Поттса. В этом случае теорему 2 можно переформулировать следующим образом.

Теорема 3. Пусть к = m = 2 . Следующие утверждения справедливы для количества трансляционно-инвариантных мер Гиббса (пП ) для модели Поттса

1, если r е(о, 1 + 2^2), пП = < 4, если r = 1 + 2 V2 или r = 4, 7, если r e(l + 2л/2,4)и(4, да)

(см. [2] для более подробной информации).

Если то гамильтониан (1) модели Поттс-SOS совпадает с гамильтонианом

модели SOS. В этом случае теорему 2 можно переформулировать следующим образом.

Теорема 4. Пусть к = 2, m = 2. Следующие утверждения справедливы для количества трансляционно-инвариантных мер Гиббса (nS ) для модели SOS

1, если 6 е (б2, да), 3, если в = 02,

5, если ве(в1, в2),

6, если 6 = 6,,

7, если 0е(О, 61),

где 6, ~ 0.1414 и 62 ~ 0.2956 (см. [3] для более подробной информации).

Литература

1. Rozikov, U. A. Gibbs measures on Cayley trees. [Тех^/ Rozikov U. A. // World scientific. 2013.

2. Kuelske, C.. Description of the translation-invariant splitting Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree. [Тех^/ Kuelske C., Rozikov U. A., Khakimov R. M. // Jour. Stat. Phys. - 2014. Том 156. № 1. - С. 189-200.

3. Kuelske, C.Extremality of translation-invariant phases for a three-state SOS-model on the binary tree. [Тех!]/ Kuelske C., Rozikov U. A. // Jour. Stat. Phys. - 2015. Том 160. № 3. - С. 659-680.

4. Saygili, H. Gibbs measures for the Potts-SOS model with three states of spin values.

ns =

[Text]/ Saygili H. // Asian Journal of Current Research. - 2017. Том 1. № 3. - С. 114-121.

5. Рахматуллаев, М. М. Периодические меры Гиббса для модели Поттса-SOS на дереве Кэли. [Текст]/ Рахматуллаев М. М., Расулова М. А. // Доклады Академии Наук Республики Узбекистан. - 2018. № 1. - С. 15-17.

6. Расулова, М. А. О периодических мерах гиббса для модели Поттса-SOS на дереве Кэли. [Текст]/ Расулова М. А. // Теоретическая и Математическая Физика. - 2019. Том 199. № 1. - С. 134-141.

7. Rahmatullaev, M. M. Extremality of translation-invariant Gibbs measures for the PottsSOS model on the Cayley tree. [Тех^/ Rahmatullaev M. M., Rasulova M. A. // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. - 2021. № 7. - С. 1-18.

8. Rasulova, M. A. Periodic Gibbs measures for the three-state Potts-SOS model on a Cayley tree. ^xt]/ Rasulova M. A. // Uzbek Mathematical Journal. - 2022. Том 66. № 2. - С. 150-155.