НЕ ЕДИНСТВЕННОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА ГИББСА ДЛЯ ОДНОГО ТИПА ИЗ HC МОДЕЛИ НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98 - 519.21

Шоюсупов Ш.А., к.ф-м.н. доцент кафедры «Высшая математика» Наманганский инженерно-технологический институт

Узбекистан, Наманган

НЕ ЕДИНСТВЕННОСТЬ ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНАЯ МЕРА ГИББСА ДЛЯ ОДНОГО ТИПА ИЗ HC МОДЕЛИ НА ДЕРЕВЕ

КЭЛИ

Аннотация. В этом статье рассматривается одна из HC(hard-core) модели с тремя вершинами на дереве Кэли. Изучено существования и единственность трансляционно-инвариантные меры Гиббса для этого типа HC модели на дереве Кэли.

Ключевые слова: дерево Кэли, HC (hard-core) модель, мера Гиббса, трансляционно-инвариантные меры.

Shoyusupov Sh.A. docent of the department «Advanced mathematics» Namangan institute of engineering and technology

Uzbekistan, Namangan

NON-UNIQUENESS OF TRANSLATION-INVARIANT GIBBS MEASURES FOR ONE TYPE OF HC MODELS ON CAYLEY TREE

Abstract. In this paper is considered one of HC(hard-core) models with three vertices on the Cayley tree. The existence and uniqueness of translationinvariant Gibbs measures for this type of HC models on the Cayley tree are studied.

Keywords: Cayley tree, HC(hard-core) models, Gibbs measures, translation-invariant measures.

Пусть Tk = (V, L) - дерево Кэли, где V есть множество вершин и L -его множество ребер. Две вершины х и у называются ближайшими соседями, если существует ребро I соединяющие их и обозначается через 1(х,у).

Рассмотрим HC (hard-core) модель с взаимодействиями ближайшего соседа, с тремя состояниями на дереве Кэли. В этой модели каждой вершине x е V дерева Кэли ставится в соответствие одно из значений &(x) е {0,1,2}. Значения a(x) =1,2 означают, что вершина x "занята", и <x(x) = 0 означает, что вершина x "вакантна".

Конфигурация С на дереве Кэли, т.е. на V определяется как функция с(ху V ^ {0,1,2}. Аналогично определяется конфигурация на Vn и Жп .

Мы рассмотрим один из плодородных графов, называемая "петля" с тремя вершинами 0, 1, 2 (на множество значений с(х)), которые имеют вид:

1 0 2 "петля": {ОД}, {0,2}; петли в 0,1 и 2.

Обозначим через О = {ключ, жезл, петля, свисток] множество

плодородных графов [1]. Другие графы, которые неплодородные, называется бесплодные.

Для О е О мы назовем конфигурация С О -допустимой конфигурацией (на дереве, в Vn или Жп), если {с(х), с(у)} является ребром О для любых ближайших соседних пар х, у (в V, в Vn или Жп соответственно). Обозначим множество О -допустимых конфигураций через ПО (ПО и ПО )•

У'п

Для графа О рассмотрим функцию А:О^ Я+ (см. [1]). Значение А

функции А в вершине I е {0,1, 2} называется ее "активностью".

Для данных О и А мы определим гамильтониан (О -) НС модели, как

Е1п АС( х^ если СеПО> НАСС) = \xеV (1)

в противном случае.

НС модель вызывает интерес с точки зрения статистической механики, комбинаторики и теории нейронных сетей [2].

В работе [1] доказано, что 1) для каждого бесплодного графа О и некоторого множества с положительной активностью на О существует единственная инвариантная мера Гиббса на ПО; 2) для любого плодородного графа О есть множество активности А на О, для которого ПО имеет, по крайней мере, два простые, инвариантные меры Гиббса.

В этом статье мы рассмотрим случай А0 = 1, \= А2 =А> 0 и опишем

соответствующие трансляционно-инвариантные меры Гиббса.

Зафиксируем х° е V. Для х,у еV будем писать х< у, если путь от х0 до у проходит через х . Вершина у называется прямым потомком х , если

у > х и х, у являются ближайшими соседями. Через ад обозначим множество прямых потомков вершины х . Заметим, что в Тк всякая вершина

х е V, отличной от х0, имеет к прямых потомков, и х0 имеет к +1 потомков.

7 А А х)'х ' (2)

г хе^„

о( х ),х

Для мы определим: #о„ - X 1(о„(х) >1) (число занятых

" „ хеУ„

вершин в о.).

Пусть г: х ^ гх - (г0 х,^ х,г2 х) е Я1 - векторзначная функция на V . Для „ -1,2,..., Я>0 рассмотрим ¡(п) вероятностное распределение на QG , которое определяется как

„ V ) - — Я#о„ П гп

" V „> гу ± ± х),

где г„ есть:

г. - X л"„ П г

а„еОу„ хе]¥„

Говорят, что вероятностное распределение ¡!п„ согласовано, если V „ > и о _1 еО^„_1:

X ¡\оп_х V Ч)1(а„_1 V Ч е п£) -¡_ "(о^). (3)

®„еОиП

В этом случае существует единственная вероятностная мера ц на (о°, B) такая, что -ои}) -¡¡'п)(0) для всех „ и оп еО£ .

Определение. Мера ¡л, определенная равенствами (2), (3), называется (G -) НС мерой Гиббса с Л> 0, соответствующей функции г: х еV \{х0} ^ гх. Множество таких мер (для всевозможного выбора г) обозначается через SG.

Для графа G через L(G) обозначается множество его ребер, а через А = А<э - ()ч=012 - матрица смежности G, т.е.

G Г1, если {¡,у} е Ь(в),

а=а-1П

[0, в противном случае. Каждой мере Гиббса сопоставляется совокупность векторов

К, х е V}.

Следующая теорема дает условие на гх, гарантирующее согласованность распределения ¡Л„.

Теорема 1. Вероятностная мера ¡Лп), п -1,2,..., заданная формулой (2), согласована тогда и только тогда, когда для любого х е V имеют место следующие равенства:

=

АП

а

10

уеЗ(х) а00

22,х

АП

а

20

' а1121,у + а1272,у ' а0121,у + а0272,у

' а2121,у + а2272,у

уеЗ(х) а00 + а0^71,у + а02^2,у

где \х = А^,х / х, ' = 1,2 •

Мы полагаем, что z0x = 1 и 21х = z \х > 0, г = 1,2. Тогда в силу теоремы

1, для любых функций х е V ^ zx = (z1 х, z2 х), удовлетворяющих

,х' 2,х'

= АП а0 + ^у + а2z2,у , / = 1,2,

уеЪ (х) а00 + a01Z1,у + а02Z2,у

(5)

существует единственная О -НС мера Гиббса и наоборот. Естественно начать с трансляционно-инвариантные (ТИ) решения (7), т.е.

о2 0

считать, что zx = z е к+, х Ф х .

Случай петля.

В этом случае, предполагая zx = z, мы получим из (5) следующую систему уравнений:

z1 = А

1 + ^

лк

z2 = а

1 + ^ + z2 У

1 + Z^

к

(6)

v1 + z1 + z2 у

(5).

и доказана следующая

Теорема 2. Пусть к = 2, тогда в случае петля 9

1) при А< — существует единственная НС ТИ мера Гиббса ;

9

2) при А > — существуют три НС ТИ меры Гиббса г = 0,1,2. Следующая лемма дает оценки для произвольного решения системы

Лемма. Если zx = (z1x, z2x) является решением (5) в случае петля, то

z. < z. < z.

г г,х г

для

любого I =1,2, хеV, где (,2+,22,2+)

решение

следующей системы:

z_ = я

z; = a

z2 = я

Z2 = Я

1 + z_

v 1 + zr + z2 j

1 + ZX

\k

v1 + zl++ z2 j

1 + z_

\k

v 1 + z1++ z2 j

1 + zX

\k

v 1 + z1; + z2 j

Теорема 3. Пусть к = 2, тогда в случае петля 9

1) при X < — система (7) имеет единственное решение г*;

9 1 _ 1

2) при Л>— система (7) имеет три решения г* = (г ,—,г ,—).

4 г г '

* 1 1 ; * , ; ; 1 К _

Z2 = (—,—,z ,z ) и z3 = (z ,z ——), где z =

Z Z Z Z

1_V1_4a:

'\2

2a

9 1

Заметим, что для Я> — имеем 0 < a < — и z < 1.

4 2

9

Следствие. Если k = 2, Я > —, то для любого решения системы (5) (в случае петля) имеем z" < zix i = 1,2.

' z

Использованные источники:

1. Brightwell G., Winkler P. Graph homomorphisms and phase transitions. Jour. Combin. Theor. Series B. 1999. V. 77. p. 221-262.

2. Brightwell G., Haggstrom O., Winkler P. Non monotonic behavior in hardcore and Widom-Rowlinson models. Jour. Stat. Phys. 1999. V. 94. p. 415-435.

3. Martin J., Rozikov U.A., Suhov Yu.M. A three state hard-core model on a Cayley tree. J. Nonlinear Math. Phys. 2005. V. 12, № 3. p. 432-448.

4. Шоюсупов Ш.А., Сайпиддинов Ш.С. О нормальных делителей группового представления дерево Кэли. Экономика и социум, №2 6(61), 2019, 970-972 стр.

5. Шоюсупов Ш.А. О непериодические меры Гиббса для одного типа HC модели на дереве Кэли. "Экономика и социум", № 6(61), 2019, 972-975 стр.

k