CC BY
2
УДК: 621.3.082.782
Кодирова Н. стажер-преподаватель Наманганский государственный университет
Узбекистан, Наманган
О СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА C ТРЕИЯ СОСТОЯНИЯМИ НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ
Аннотация: Изучается модель Поттса с тремя состаяниями на дерева Кэли порядка два. При некоторых условиях на параметры доказано, что все слабо-периодические меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными.
Ключавая слова: дерево Кэли, мера Гиббса, трансляционно-инвариантная мера.
Kodirova N. trainee-teacher Namangan State University Uzbekistan, Namangan
WEAKLY PERIODIC GIBBS MEASURES FOR THE POTTS MODEL WITH THREE STATES ON A CAYLEY TREE
Annotation: We study Potts model on a Cayley tree of order two. Under some conditions for parameters proved that all weakly periodic Gibbs measures are translation invariant.
Key words: Cayley tree, Gibbs measure, translation-invariant measure.
ВВЕДЕНИЕ
Понятие меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли вводится стандартным оброзом [1-6]. В работе [7] изучена трансляционно-инвариантная мера Гиббса для ферромагнитная модель Поттса с тремя состаяниями на дерева Кэли. В работе [3] изучена периодическая мера Гиббса на дерева Кэли. В работах [4]-[7] изучена слабо-периодическая мера Гиббса для модели Поттса. Такие мера Гиббса появилась на дерева Кэли порядка щесть. Естественно возникает вопрос существуетли слабо-периодическах мерах Гиббса при менших порядках дерева Кэли. Настоящая работа посвяшена изучению слабо-периодических мер Гиббса на дереве Кэли порядка два.
Известно, что дерево Кэли гк можно представить как Gk - свободное произведение k +1 циклических групп второго порядка (см., например, работы [1]-[2]). Обозначим через S(x) множество всех ближайших соседей точки x е G, т.е.
S1(x) ={y е Gk ■(x у)}
Пусть ХХ = 3 (х) \ 3(х).
Гамильтониан модели Поттса определяется как
Н(а) = -3 у), (1)
(х, у)еЬ
где 3 е Я, - символ Кронекера.
Определим конечномерное распределение вероятностной меры ¡п в объеме V как
¡п (ап) = ехр
РНп (ап) + X К х), х
(2)
где р=1Т, Т > 0 - температура, 2- - нормирующий множитель, \кх = (И1х,..., Ид х) е Я4, х ^} - совокупность векторов и
Нп (ап ) = -3 Х8*{ х )а( у) .
х,у}е Ь„
Следующее утверждение описывает условие на К, обеспечивающее согласованность ¡п (а).
Теорема 1. [1]. Вероятностное распределение ¡п(а), п = 1,2,..., в (2) является согласованным тогда и только тогда, когда для любого х е V имеет место следующее соотношение:
К = X р (Ну ,0), (3)
х
уе3(х)
где Р : К = (К,..., ) еЯ41 ^р(И,в) = (р,..., ) е Я41 определяется как
\в- \)вк +х9:! еК + Г
р = 1п
=!
и 0 = езр, 3(х) - множество прямых потомков точки х.
Пусть О/О*к={Н1,.., Нг }-фактор-группа, где О * -нормальный делитель индекса г >!.
Определение 1. Совокупность векторов К = {кх, х е О} называется О * -периодической, если К^. = К для любых х еОк, у е О*. О -периодические совокупности называются трансляционно-инвариантными.
Определение 2. Совокупность векторов К = {кх, х е О} называется О* -слабо периодической, если К = К при х е Нг, х^ еHJ, Ух еОк .
Определение 3. Мера ¡и называется О* -периодической (слабо периодической), если она соответствует О * -периодической (слабо периодической) совокупности векторов К.
СЛАБО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА
Пусть А е{1,2,..., к +1} и Н^ = {х е О : (х) - четное число}, где (о} (х) -
число буквы а; в слове х еО, О(2) ={х е О : |х| - четное число}, где |х| - длина
>
хе
слова х еОк, и о£4) = НА п О= X е О^ (х) - четно, |х| - четно). Отметим,
что О [4) -являются нормальный делитель индекса 4(см. [1]).
Получим
= / (/к (^ 7)) • 1к 1 (г 2),
г 2 = / (/к (г8)) • - (г,), (4)
г 7 = / (/к (г,)) • /к(
г 8 = / (/' (г 2)) • /к - (г 7).
Заметим, что (4) есть уравнение г = Ж(г). Чтобы решить систему уравнений (4), необходимо найти неподвижные точки отображения г* = Ж(г).
Легко доказать следующая
Лемма 1. Отображение W имеет инвариантные множества следующих видов:
^ = ^ е ^ = z2 = z7 =
12 = Z7'Z8) е В4 :Z1 = Z7' ^ = ^
Изучая система уравнение (10) на инвариантных множествах описанных в Лемме 1 доказано следующая:
Теорема 1. 1) Для модели Поттса с q - состояниями все о(4) -слабо периодические меры Гиббса, соответствующие совокупности векторов из ^, являются трансляционно-инвариантными.
2) Пусть А = 1, q > 3, тогда не существует О(к4) -слабо периодической (не периодической) меры Гиббса, соответствующей совокупности векторов из /2, т.е. все О¿4) -слабо периодической меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными.
Доказательство теоремы 1. Очевидно что,
Е^тгИ = 0. (5)
Известно, что г = 1 является решением уравнение г = ср(г), следовательно, г = 1 является решением г = ф(ф(г)). Для решение г = 1 соответствует трансляционно-инвариантная мера Гиббса.
Рассмотрим
= 0 (6)
Легко видит, что (6) не имеет положительного решения. Отметим, что в работе [3] доказано, что для модели Поттса на дереве Кэли порядка два не
существует периодические меры Гиббса. Отсюда получим, что Ок(4) - слабопериодические меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными. Теорема доказана.
Использованные источники:
1. U.A.Rozikov, Gibbs measures on Cayley tree. World Scientific. 2013.
2. Ганиходжаев Н.Н., Розиков У.А. ТМФ, 1997, Т111, N1, с.109-117.
3. Rozikov U.A., Khakimov R.M. ТМФ, 2012, Т173, N1, с.1377-1386.
4. М.М.Рахматуллаев, Укр.мат.журнал, 2016, Т68, N4, с.529-541.
5. M.M.Rahmatullaev, Jurnal of Math. Phys., Ahal, Geom, 2016, V12, N4, pp.302-314.
6. M.M.Rahmatullaev, ТМФ, 2014, Т180, N3, с.307-317.
7. Н.Н. Ганиходжаев, ТМФ, 1990, Т85, N2, с.163-175
