О НОРМАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ ГРУППОВОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЕРЕВО КЭЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

Шоюсупов Ш.А.

доцент

Сайпиддинов Ш. старший преподаватель Наманганский инженерно-технологический институт

Республика Узбекистана, г. Наманган О НОРМАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ ГРУППОВОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

ДЕРЕВО КЭЛИ

Аннотация: Рассматривается группового представление дерево Кэли. Показано существование нормальные делители четного индекса группового представление дерево Кэли.

Ключевые слова: дерево Кэли, нормальные делители

Shoyusupov Sh.A. associate professor Namangan Institute of Engineering and Technology Republic of Uzbekistan, the city of Namangan

Saypiddinov Sh. senior lecturer

Namangan Institute of Engineering and Technology Republic of Uzbekistan, the city of Namangan ABOUT NORMAL DIVIDERS OF A GROUP REPRESENTATION

OF CALY'S TREE

Abstract: In this paper is considered group representation of Cayley tree. It is shown existence of the normal subgroups of the group representation of Cayley tree.

Keywords: Cayley tree, normal dividers.

Пусть Tk = (V,L, i), где V есть множество вершин, L - его множество ребер и i - функция инцидентности, сопоставляющая каждому ребру I Е L его концевые точки. Две вершины х и у называются ближайшими соседями, если существует ребро I соединяющие их и обозначается через I (х, у).

Пусть Gk - свободное произведение k+1 циклических групп второго порядка с образующими а1,а2,... ,ак+1, соответственно.

Предложение. [1]. Существует взаимно-однозначное соответствие между множеством вершин V дерево Кэли порядка к и группой Gk.

Таким образом, Gk есть групповое представление дерево Кэли.

Цель данной работы - вычислить значения нормальных делителей группового представление дерево Кэли при некоторых условиях на параметры нормальных делителей.

Пусть - есть групповое представление дерево Кэли Тк, к >1. Любой элемент х Е Gk имеет следующий вид:

х = at at ... ain , где 1 < im < к + 1, m = 1, п.

Экономика и социум" №6(61) 2019

www.iupr.ru

970

Число п называется длиной слова х и обозначается через 1(х). Число букв щ, i = 1, к + 1, участвующих в несократимой записи слова х, обозначим через Mx(ai). Обозначим Nk = {1,2, ...,к + 1} и для х Е {z Е Gk\ l(z) = п} введем vx(a{) = {т Е Nn-1\ im = j}. Например, если х = а1а3а4а3а2а3, то ^х(аз) = {2; 4; 6}. Обозначим через а(х) число образующих элемента х. Заметим, что а(х) Е {0,1,2, ...,к + 1}. Пусть е ^ х0 Е Gk и 1(х0) = п.

Теорема. 1) Если а(х0) = 2, то \fx (Gk)\ = \Gk. Нх \ = 2(п + 1). 2) Если а(Хо) = п, т.е. а(Хо) = 1(хо), то fXo(Gk) = Sn+i и \fXo(Gk)\ = (п + 1)!, т.е. fx . Gk ^ Sn+1 - гомоморфизм "на".

Пример. Если а(х0) = 3 и 1(х0) = 4, то fx = S5.

Действительно, чтобы показать утверждение можно рассмотреть только случай, зависящий от а1. Остальные случаи исследуются аналогично. Из этой пример следуют гипотезы: Гипотеза 1. Пусть l(x0) = п - четно.

а) Если MXo(ai) - четно для любого i = 1 , к + 1, то fXo(Gk) с An+i;

б) Если существует i Е Nk, для которого шХо(щ) нечетно, то fXo(Gk) =

Гипотеза 2. Если l(x0) = п - нечетно, то fXo(Gk) = Sn+1. Заметим, что в работах [2,5] построены все подгруппы индекса 2, а также некоторые другие подгруппы порядка больше 2. Вышеприведенная теорема дает возможность выяснить существование подгрупп индекса 2(п + 1) и (п + 1)!.

Использованные источники:

1. Liggett T.M. Multiple transition point for the contact process on a binary tree. Ann. Probab. 1996. V. 24. P. 1675-1710.

2. Ганиходжаев Н.Н., Розиков У.А. Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых моделей на дереве Кэли. ТМФ. 1997. Т. 111. № 1. С. 109-117.

3. Розиков У.А. Структуры разбиений дерева Кэли и их применения для описания периодических распределений Гиббса. ТМФ. 1997. Т. 112. № 1. С. 170-175.

4. Ганиходжаев Н.Н. Групповое представление и автоморфизмы дерева Кэли. Доклады АН РУз. 1994. № 4. С. 3-5.

5. Ганиходжаев Н.Н., Розиков У.А. Классы нормальных делителей конечного индекса группового представления дереве Кэли. УзМЖ. 1997. № 1. С. 31 -39.

Экономика и социум" №6(61) 2019

www.iupr.ru

971