CC BY
2
УДК 512.6
Шоюсупов Ш.А.
доцент
Наманганский инженерно-технологический институт
Республика Узбекистана, г. Наманган О НЕПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ ОДНОГО ТИПА HC МОДЕЛИ НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ
Аннотация: Рассматривается одного типа плодородные hard-core (HC) модели с тремя состояниями на дереве Кэли. Построено несчетное множество непериодических мер Гиббса.
Ключевые слова: меры Гиббса, дерево Кэли, модель.
Shoyusupov Sh.A.
associate professor Namangan Institute of Engineering and Technology Republic of Uzbekistan, the city of Namangan ON NON-PERIODIC GIBBS MEASURES FOR ONE TYPE HC MODELS ON CALY'S TREE
Abstract: In this paper is studied one type of the fertile hard-core (HC) models with three states on the Cayley tree. It is shown existence of the set of non-periodic Gibbs measures.
Keywords: Gibbs measures, Cayley tree, model.
Дерево Кэли Tk порядка к > 1 есть бесконечное однородное дерево (т.е. граф без циклов), из каждой вершины выходит, ровна к + 1 ребер. Пусть Тк = (V,L), где V множество вершин и L множество ребер. Две вершины х и у называются ближайшими соседями, если существует ребро I соединяющие их и обозначается через 1(х,у). Фиксируем х0 и положим Vn = {х Е V: dist(x0,x) < п}, Wn = {х Е V: dist(x0,x) = п}, где расстояние между х,у Е V является число ребер, наименьший путь от х до у.
Рассмотрим hard-core (HC) модель с взаимодействиями ближайшего соседа, с тремя состояниями на дереве Кэли. В этой модели каждой вершине х Е V дерева Кэли ставится в соответствие одно из значений &(х) Е {0,1,2}. Значения &(х) = 1,2 означают, что вершина х "занята", и &(х) = 0 означает, что вершина х "вакантна". Конфигурация а на дереве Кэли, т.е. на V определяется как функция &(x):V ^ {0,1,2}. Аналогично определяется конфигурация на и . Конфигурация называется а - допустимой конфигурацией, если а(х) + &(у) Ф 3 для любой ближайшей соседней пары х,у. Условие допустимости конфигурации, т.е. &(х) + &(у) Ф 3, соответствует HC модели "петля" с тремя состояниями спина [1]. Обозначим множество а - допустимых конфигураций через П.
Для графа G рассмотрим функцию X:G ^ R+ [1]. Значение функции Я в вершине i Е {0,1, 2} называется ее "активностью". Для данных G и Я мы определим гамильтониан HC модели как
если а е П с,
в противном случае.
НС модели вызывает интерес с точки зрения статистической механики, комбинаторики и теории нейронных сетей.
В этом статье рассмотрим непериодические меры Гиббса для случая "петля". Как следует из общих результатов работы в этом области, если периодическая мера Гиббса не единственна, то существует, по крайней мере, счетное число непериодических мер Гиббса.
Возьмем произвольный бесконечный путь п = (х0 = Хр < Х^ < Х2 < •••} на дереве Кэли, начинающийся с х0 = х0. Можно установить взаимнооднозначное соответствие между таким путем и действительными числами £ е [0; 1]. Отображаем путь п в функцию л::х е V ^ . Заметим, что п разделяет дерево Кэли 7к на два подграфа 71 и 7к.
Для к = 2, Я > - функция определяется следующим образом:
4
. „ , если х е 71, — 1
—/ пг
если х е 79к.
где г
_ /1-Т4"а2\
= ( 2 а /
2
Лемма. Для к = 2, Я > - и для любого Л = (Я1, Л2) е
4
—/ пг ]
-2
верно:
а)
з^
зл
<
,2,
зл
<
1+г- + (г-)
2
3^,
зл
<
1+г-+(г-)2'
3^,
зл
<
2
Ь) — <
2
1+2-+(г-):
Если
1+г- + (г-)2
< 1, т.е. - >
МЛ — гп.
Т5-1
2
-, то с помощью выше приведенного
леммы легко доказать следующую теорему
Теорема 1. Если к = 2, - < Я < 2(Т5 — 1), тогда для любого бесконечного пути п существует единственная функция .
Стандартным образом можно доказать, что функции Ля(с) различны для различных £е[0;1]. Теперь через обозначим меру Гиббса,
соответствующую функции Ля(с), £ е [0; 1] и мы можем доказать следующую теорему.
Теорема 2. Если условия теоремы 1 выполнено, то для любого £ е [0; 1] существует единственная мера Гиббса д(£). Кроме того, меры Гиббса д15 д2 точно определяется как д(0) = и д(1) = д2.
Поскольку меры различны для различных £ е [0; 1], мы получим несчетное число мер Гиббса, которое являются непериодическими.
1
1
1
1
2
Использованные источники:
1. Brightwell G. and Winkler P. Graph homomorphisms and phase transitions. J.Combin. Theor. Series B, 77, 1999, 221-262.
2. Rozikov U.A., Suhov Yu.M. A hard-core model on a Cayley tree: an example of a loss network. Queueing Syst., 46, 2004, 197-212.
3. Martin J., Rozikov U.A., Suhov Yu.M. A three state Hard-Core model on a Cayley tree. J.Nonlinear. Math. Phys., 12:3, 2005, 432-448.
4. Ганиходжаев Н.Н., Розиков У.А. Описание непериодических крайних гиббсовских мер некоторых моделей на дереве Кэли. ТМФ, 111:1, 1997, 109117.
5. Розиков У.А., Шоюсупов Ш.А. Плодородные HC-модели с тремя состояниями на дереве Кэли. ТМФ, 156:3, 2008, 412-424.
