О (𝑘0)-ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ И (𝑘0)-ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 4 (2022). С. 46-59.

О (^о)-ТРАНСЛЯЦИОННО-ИНВАРИАНТНЫХ И (к0^ПЕРИОДИЧЕСКИХ МЕРАХ ГИББСА ДЛЯ МОДЕЛИ ПОТТСА НА ДЕРЕВЕ КЭЛИ

Ж.Д. ДЕХКОНОВ

Аннотация. Решение задач, возникающих при исследовании термодинамических свойств физических и биологических систем, как правило, проводится в рамках теории мер Гиббса. Мера Гиббса — это фундаментальное понятие, определяющее вероятность микроскопического состояния данной физической системы (определенной конкретным гамильтонианом). Известно, что каждой мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы, и, если мера Гиббса не единственна, то говорят, что существует фазовый переход. В связи с этим особый интерес представляет изучение мер Гиббса. В рассматриваемой статье изучается (йо)-трансляционно-инвариантные и (&о ^периодические меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли. (йо)-трансляционно-инвариантные и (йо)-периодические меры Гиббса строятся с помощью трансляционно-инвариантных и периодических мер Гиббса. Для ферромагнитной модели Поттса, в случае ко = 3, доказано существование (йо^трансляционно-инвариантных (т.е. (З)-трансляционно-инвариантных) мер Гиббса. Для антиферромагнитной модели Поттса, также в случае ко = 3, доказано существование (ко)-(3)

Ключевые слова: дерево Кэли, мера Гиббса, модель Поттса, (йо)-трансляционно-инвариантная мера Гиббса, (йо)-периодическая мера Гиббса

Mathematics Subject Classification: 82В26, 60К35

1. Введение

Понятие меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли вводится стандартным образом (см. [1] [4]), В работе [5] изучена ферромагнитная модель Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли второго порядка и показано существование критической температуры Тс такой, что при Т < Тс существуют три транеляционно-инвариантные меры Гиббса и несчетное число мер Гиббса, не являющихся транеляционно-инвариантными, В работе [6] обобщены результаты работы [5] для модели Поттса с конечным числом состояний на дереве Кэли произвольного (конечного) порядка.

В работе [7] доказано, что на дереве Кэли трансляционно-инвариантная мера Гиббса антиферромагнитной модели Поттса с внешним полем единственна. Работа [8] посвящена модели Поттса со счетным числом состояний и с ненулевым внешним полем на дереве Кэли. Доказано, что эта модель имеет единственную транеляционно-инвариантную меру Гиббса.

В работе [9] была изучена модель Поттса (q = 3) на треугольной решетке с учетом взаимодействия вторых ближайших соседей. В данной работе изучены эффекты фрустрации в различных магнитных системах. Для выяснения наличия фрустраций в трехвершинной

J.D. dekhkonov, On (fc0)-translation-invariant and (fco)-periodic glbbs measures for Potts model on Cayley tree.

© Дехконов Ж.Д. 2022.

Поступила 10 ноября 2021 г.

антиферромагнитной модели Поттеа на треугольной решетке исследование проводилось на основе алгоритма Ванга-Ландау методом Монте-Карло,

В работе [10] показано, что переход из антиферромагнитной и коллинеарной фаз в парамагнитную является фазовым переходом первого рода, в то время как переход из фрует-рированной области в парамагнитную фазовым переходом второго рода,

В работе [11] изучена модель ферромагнетика Поттса на квадратичной решетке со спиновым значение (1,д) также использован метод Монте-Карло,

В работе [12] изучена векторная модель Поттса со спиновым значением д = 3, д = 4 и было рассмотрено одно основное состояние модели Поттса в магнитном поле. Также показано, что магнетизация ферромагнетика прямо пропорционально зависит от температуры, В работе [13] исследованы фазовые переходы в трехмерной слабо разбавленной ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина д = 5 на простой кубической решетке, В работе [15] на дереве Кэли для модели Поттса найдены все транеляционно-инвариантные расщепленные меры Гиббеа (ТИРМГ), в частности, показано, что при достаточно низких температурах их количество равно 29 — 1, Доказано, что существуют [д/2] критические температуры и дано точное количество ТИРМГ для каждой промежуточной температуры,

В работе [18] получены явные формулы для транеляционно-инвариантных мер Гиббеа ферромагнитной модели Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли порядка к = 3, Кроме того, доказано, что на некотором инварианте при некоторых условиях на параметры антиферромагнитной модели Поттса с ^-состояниями с нулевым внешним полем па дереве Кэли к ^ 3 существуют ровно две периодические (не транеляционно-инвариантные) меры Гиббеа с периодом два,

В работе [19] вводится слабо периодическая мера Гиббеа и для модели Изинга найдены некоторые такие меры, а в работе [20] для модели Поттса изучены слабо периодические основные состояния и слабо периодические меры Гиббеа, В работах [26], [27] изучены слабо периодические меры Гиббеа для модели Поттса с внешним полем,

В недавной работе [16] дан обширный анализ единственности и неединственности ТИРМГ модели Поттса со случайным и постоянным внешним полем, В некоторых частных случаях доказано, что верхняя граница количества таких мер равна 29 — 1, Детальный обзор результатов и применение модели Поттса можно найти в [17], В работе [21] авторы построили некоторые меры Гиббеа (далее называются меры Гиббеа, полученные АКГ-конструкцией) для модели Изинга на дереве Кэли. В работах [22], [23] для модели Изинга с помощью транеляционно-инвариантной меры Гиббеа на дереве Кэли порядка к0.; построена новая мера Гиббеа па дереве Кэли порядка к, (к0 < к) названная как (&0)-транеляционно-инвариантная мера Гиббеа,

В работе [24] доказано существование мер Гиббеа, построенных аналогичным методом из [21] (далее называются мерой, полученной АКГ-конструкцией) и в случае к0 = 2, (&0)-транеляционно-инвариантных мер Гиббеа для модели Поттса на дереве Кэли,

Целью данной статьи является построение (&0)-транеляционно-инвариантных и (&0)-периодичееких мер Гиббеа для модели Поттса в случае к0 = 3, Работа имеет следующую структуру: в разделе 2 вводятся основные определения и известные факты; в разделе 3 приведены результаты, полученные для (&0)-транеляционно-инвариантных мер Гиббеа в случае к0 = 3] в разделе 4 приведены результаты, полученные для (&0)-периодичееких мер Гиббеа в случае к0 = 3,

2. Определения и известные факты

Дерево Кэли Тк порядка к ^ 1 — бесконечное дерево, т.е. граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно к + 1 ребро. Пусть Тк = (V, Ь,г) где V — есть множество вершин Тк, Ь — его множество ребер, г — функция инцидентности, сопоставляющая

каждому ребру I € Ь его концевые точки х,у € V. Если г(I) = {х,у}.;то х ъу называются ближайшими соседями, вершин и обозначаются I = (х,у).

Расстояние ¿(х,у), х,у € V на дереве Кэли определяется формулой

¿(х, у) = шт{^|3ж = х0,х1,..., ха-1,ха = у € V такой, что (х0,х\),..., (ха-1,ха)}.

Для фиксированного х° € V обозначим Шп = {х € V | ¿(х,х°) = п},

Vn = {х € V I й(х, х°) ^ п}, Ьп = {I = (х,у) € Ь I х,у € Vn}.

Для х € Шп положим 5(ж) = {у € Шп+1 : б,(х,у) = 1}.

Известно, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством V вершин дерева Кэли порядка к ^ 1 и групп ой С к, являющейся свободным произведением к + 1 циклических групп второго порядка с образующими а1,а2,..., ак+1, соответственно (см. [4]).

Мы рассмотрим модель, где спиновые переменные принимают значения из множества Ф = {1, 2,... ,о}, ^ ^ 2 и расположены на вершина дерева. Тогда конфигурация о на V определяется как функция х € V ^ а(х) € Ф; множество всех конфигураций совпадает сП = Фу.

Гамильтониан модели Поттса определяется как

Н (а) = ^ ba(x)a(y), (2.1)

(х,у)еь

где 7 € К, (х, у) — ближайшие соседи и — символ Кронекера:

'0, если г = ], 1, если г =

Определим конечномерное распределение вероятностной меры ^ в объеме Vn как

5ц =

^п(сп) = Я- 1 ехр < -@Нп(ап) + ^ К(х),х} , (2.2)

I хешп )

где ¡3 = 1/Т, Т > 0 — температура, Z-1 — нормирующий множитель, {кх = (И1,х,..., Ид,х) € К9,х € V} — совокупность векторов и

Нп(ап) = — 3 ^ 8а(х)а(у).

{х,у)еьп

Говорят, что вероятностное распределение (2.2) согласованное, если для всех п ^ 1 и ап-1 € Ф¥п-1

У^ ^п(&п-1 V шп) = уп-1(ап-1), (2.3)

ШпеФш"

здесь ап-1 V шп — объединение конфигураций. В этом случае, существует единственная мера ^ на Фу такая, что для всех п и ап € ФУп

МНк = ап}) = ^п(&п).

Такая мера называется расщепленной гиббеовекой мерой, соответствующей гамильтониану (2.1) и векторнозначной функции Их, х € V.

Следующее утверждение описывает условие на кх, обеспечивающее согласованность

Теорема 2.1 (см. [4]). Вероятностное распределение у(ап), п = 1, 2,... в (2.2) является, согласованным тогда, и только тогда, когда, для, любого х € V имеет место следующее

Кх = ^ ^(Ну,в), (2.4)

уеэ(х)

где функция Р : к = (Ь1, ..., Ья-1) Е Е9 1 ^ Р(к, в) = (Р1,..., Ря-1) Е К9 1 определяется как:

Рг = 1п ' -'-1

((в — 1) е^ + Е--1 ^ + 1 \

V )

в = ехр(/,5), 5(ж) — множество прямых потом,ков точки х икх = (И1,х,..., Ья-1,х) с условием

Ь1,Х Н1,Х Ьq,x, ^ 1,...,^ 1.

Каждому решению Ьх функционального уравнения (2,4) соответствует одна мера Гиббеа и наоборот.

Пусть С к — подгруппа гр уппы С к-

Определение 2.1. Совокупность векторов к = {Ьх,х Е С к} называется, Ск-периодической, если кух = Ьх для, Ух Е Ск, у Е Ск-

С^-периодичеекие совокупности называются трансляционно-инвариантными.

Определение 2.2. Мера ^называется Ск-периодической, если она соответствует Ск-периодической совокупности векторов к.

3. (&0)-трансляционно-инвариантная мера гиббса

Мы рассмотрим ферромагнитные модели Поттеа, т.е. ,] > 0 (9 > 1), При любых к и д транеляционно-инвариантные меры Гиббеа для модели Поттса изучены в работе [18],

В случае к = 3, 9 = 3 для транеляционно-инвариантных совокупностей векторов кх = к = (Н1, к2) из (2,4), получим следующую систему уравнений:

вен1 + ен2 + 1

Н1 = 31п к2 = 31п

в + ек1 + ек2 ; веН2 + еН1 + 1

(3.1)

в + еН1 + еН2 '

В работе [18] доказано, что эта система имеет следующие решения: (к?, 0), (0,^°), (—Ь^, — к?), (0, 0), г =1, 2,

где

Ь^ = 31п Хг,

2^в2 + в — 2 /1 3^3в4 + 24в3 + 18в2 — 1209 — 249 в — 1 х1 =---сое - агс1ап-———-——-—--— +

3 V3 203 + 302 — 129 — 47 3) 3 '

2^в2 + в — 2 {1 3^4 + 24в3 + 18в2 — 120в — 249 в — 1 . .

х2 =-сое - агс1ап-—-—----1— +--. (3,2)

2 3 V3 2в3 + 3в2 — 120 — 47 3) 3 1 ;

В работах [22], [23] для модели Изинга с помощью транеляционно-инвариантных мер Гиббеа на дереве Кэли порядка к0 построена новая мера Гиббеа па дереве Кэли порядка к (к0 < к), названная как (&0)-транеляционно-инвариантная мера Гиббеа, В этом пункте для модели Поттса с помощью транеляционно-инвариантной меры Гиббеа на дереве Кэли порядка три (к0 = 3) как конструкции из [22], [23] докажем существование новых мер Гиббеа на дереве Кэли седьмого порядка, которые также назовем (^-трансляционно-инвариантными.

Пусть Ук — множество всех вершин Тк и вс = 2, 809107468, Доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. Для ферромагнитной модели Поттса на дереве Кэли седьмого порядка при д = 3 и 9 = 6с существуют не менее шести (3) -трансляционно-инвариантных мер Гиббса.

Доказательство. Рассмотрим дерево Кэли седьмого порядка. Напомним, что для х € Vк через 8к0(ж) обозначаются произвольные к0 (1 ^ к0 ^ к) штук элементов 5(ж). Сначала с помощью (к!"1, 0) и (к^, 0) построим совокупность векторов кх на V7, которые удовлетворяют функциональному уравнению (2,4), Эту совокупность векторов кх определим следующим образом:

(I]) Если та вершине х € V7 имеем кх = (к1\ 0), то вершинам в6(х) сопоставим вектор кх = (Ь1\ 0^, остальным вершинам (ж) сопоставим вектор кх = (к!1\ 0), Если па

вершине х € V7 имее м кх = (к!1\ 0^, то вершин ам в3(х) сопоставим ве ктор кх = (к\2), 0), остальным вершинам Б4(х) сопоставим ве ктор кх = (к1\ 0), В результате из (2,4) получим следующую систему уравнений:

(2)

к{1) = 61п

Ь{2 = 31п-

+ 2

и(2)

9 + 1 + е^ 9 + 1 + ен1 + 41п

+ 1п

+2

(2)

^ + 2

(2)

+2

(3.3)

9 + 1 + ен1

(1)

Учитывая

из (3,3) имеем

и«

к? = 31п

+2

9 + 1 + ек1

«

9 + 1 + ен1

1, 2,

(2)

(1)

3 1п

+2

(2)

9 + 1 + ен1) 9 + 1 + ен12

Отметим, что Ь() = Ь(^)(в), г = 1, 2, следовательно, имеем, что левая часть (3,5) зависит только от 9. При значениях 9, удовлетворяющих (3,5) и

+ 1п

+2

^(2)

0.

(3.4)

(3.5)

в>всг = ^9 + 6^3 — 2 ъ 2,

403669476,

совокупность векторов Ьх па V7, построенных по правилам (1^, удовлетворяет функциональному уравнению (2.4). Из (3.5) и (3.4) получим следующее:

кЧ + ь

(2)

3

0.

(3.6)

Следовательно из (3.6) и (3.2) имеем следующее уравнение:

& 1

Х2 = 1.

Решение этого уравнения есть 9 = 9с, т.е. при 9 = 9с совокупность векторов построенная по правилам (1^, удовлетворяет функциональному уравнению (2.4). Следуя работам [22], [23] для модели Поттса, меру, соответствующую совокупности векторов построенную по правилам (1^, назовем (З)-транеляционно-инвариантной мерой Гиббса. Аналогичным образом для векторов Ьх = (0,к1"1), г = 1, 2, доказывается существование еще одной (З)-транеляционно-инвариантной меры Гиббса при 9 = 9с.

Теперь с помощью (Ь^1, 0^ (к!"1, 0) и (—'1\ —Ь^) построим совокупность векторов Ьх на V7, которые удовлетворяют функциональному уравнению (2.4). Эту совокупность векторов кх определим следующим образом:

(12) Если та верш ине х € V7 имее м кх = (—к!\ —к!"1), то вершин ам Б3(х) сопоставим вектор кх = (—к1\ —к^1), вершин ам Б3(х) сопоставим ве ктор кх = (к!\ 0), остальным

1

1

1

1

1

вершинам (ж) сопоставим вектор Ьх = (Ь!2), 0) Если та вершине х Е V7 имеем (Ь!(), 0)

или Ьх = (Ь12), 0), то вершинам Б(х) сопоставим векторы (Ь\1), 0) и Ьх = (Ь\2), 0) по правилам (/1), В результате из (2,4) получим следующую систему уравнений:

(1)

(2)

к

(1)

3 1п

+ 1)е

-ы

(1)

+1

(1)

9 + 2е-н1

(1)

+ 3 1п

+2

(2)

9 + 1 + еы1

(1)

+ 1п

+2

9 + 1 + еы1

(2)

(1)

к

(1)

31п ■

(1)

Ь11) = 61п ■

+ 1)е 1 +1 9 + 2е-ы1 'еы11) + 2

(1)

+ 1п

1 +2

(3.7)

к

(2)

3 1п

9 + 1 + ен1 Л ы11) + 2

9 + 1 + ен1

(2)

9 + 1 + еы11) 9 + 1 + еы12

Учитывая (3.4), из (3.7) получим уравнение (3.5), а уравнение (3.5) имеет решение 9 = 9с, т.е. при 9 = 9с совокупность векторов, построенная по правилам (12), удовлетворяет функциональному уравнению (2.4). Аналогичном образом

+ 4 1п

(2) г1 +2

Зы(2) •

для множества векторов {(0, Ь^), (0, Ь!2)), (—Ь(1), —Ь(1))}, {(0, Ь(1)), (0, Ь!2)), (—Ь(2), —Ь(2))}, {(Ь1!), 0), (Ь!2),0), (—Ь(2), —Ь(2))} можно показать существование еще трех совокупностей векторов, удовлетворяющих функциональному уравнению (2.4).

(2)

(1)

,(1Ь

(1)

(2)

(2)

(2)

Из всего сказанного следует, что при 9 инвариантных мер Гиббеа.

Введем обозначения

Ь1 = (Ь1);0),

9с существуют шесть (3)-трансляционно-" " □

Ь2 = (Ь(12);0).

Совокупность векторов Непостроенных по правилам (/() на дереве Кэли порядка семь изображено на (Рис. 1).

Ь( Ь( Ь( Ь( Ь( Ь( Ь2

Ь( Ь( Ь( Ь2 Ь2 Ь2 Ь2

Ь( Ь( Ь( Ь2 Ь2 Ь2 Ь2

Ь( Ь( Ь( Ь( Ь( Ь(

РИС. 1. Совокупность векторов построенных по правилам (/1) па дереве Кэли порядка к = 7.

1

1

1

1

1

2

Замечание 3.1. Отметим, что в работе [31] с помощью известных мер Гиббса построена мера Гиббса, полученная АЕТ-конструкцией. На, дереве Кэли порядка к, к ^ 8 при в = вс с помощью (3)-трансляционно-инвариантных мер Гиббса, описанных в Теореме 3.1, можно построить меру Гиббса, полученную АЕТ-конструкцией.

Рассмотрим дерево Кэли порядка к = а + Ь+3 а,Ъ Е N. Введем следующие обозначения:

В(а, Ь) = [в Е Е+ : в > 9 + 6^3 - 2 « 2.403669476, ак{1] + Ьк^ = 0}.

Теорема 3.2. Для, ферромагнитной .модели, Поттса, на, дереве Кэли порядка к = а + Ь + 3 а,Ь Е N при д = 3 и в Е В(а,Ь) существуют не менее шести (3)

Доказательство. С помощью (к^, 0) и (к12), 0) построим совокупность векторов кх па Ук, к = а + Ь + 3 а,Ь Е М, которые удовлетворяют функциональному уравнению (2,4), Эту совокупность векторов кх определим следующим образом:

(/3) Пусть к = а + Ь + 3 а,Ь Е N. Если та вершине х Е Ук имеем кх = (к^, 0), то вершинам б^+з(ж) сопоставим вектор кх = (к^, 0), остальным вершинам Бь(х) сопоставим вектор кх = (к12), 0) Если та вершине х Е Ук имеем кх = (к12), 0), то вершинам Бь+3(х) сопоставим вектор кх = (к12), 0), остальным верш инам ва (х) сопоставим ве ктор кх = (к^, 0), В результате из (2,4) получим следующую систему уравнений:

I о

,(1^ ™11 +2 , м Ре"1 +2 к\' = (а + 3) 1п-+ Ь 1п-^,

1 в + 1 + е"11) в + 1 + е"1

(1) (2) к(2) 1 вен1 + 2 + , 3)1 ве"1 +2

к1 ) = а 1п "-ГоТ + (Ь + 3)1п --Л2Т.

(3.8)

в + 1 + е"1Т в + 1 + е"1'

Учитывая (3,4), из (3,8) получим

п ^г11Т +2 ве"^ +2 . .

а 1п-тгг + Ь 1п-7^ = 0. (3,9)

"(1) "(2)

в + 1 + е"1 в + 1 + е"1

•12)

[18]), Уравнение (3,9) перепишем в следующем виде:

Отметим, что

к(11)

к12) зависят от 9 и они вещественны при в >всг = \/9 + 6^3 -2

ак^ + Ьк12) = 0. (3.10)

Следовательно, совокупность векторов, построенных по правилам (/2) при

в Е В (а, Ь) = [в Е Е+ : в > \! 9 + 6^3 - 2 « 2.403669476, ак^ + Ък^ = 0},

удовлетворяет функциональному уравнению (2.4).

Подобно предыдущему случаю для модели Поттса меру, соответствующую совокупности векторов, построенных по правилам (/3), назовем как (З)-транеляционно-инвариантная мера Гиббса. Аналогичным образом для векторов кх = (0,к1г)), г = 1, 2 доказывается существование еще одной (З)-транеляционно-инвариантной меры Гиббса при 9 Е В(а,Ь).

Теперь с помощью (к11), 0) (к12), 0) и (—к11), — к11)) построим совокупность векторов кх на Ук, которые удовлетворяют функциональному уравнению (2.4). Эту совокупность век-

к х

(/4) Если та верш ине х Е Ук имеем кх = (—к1\ — к^), то вершин ам Б2 (х) сопоставим вектор кх = (—к11), — к!1*1), вершин ам Ба(х) сопоставим ве ктор кх = (к11), 0), остальным вершинам Бь(х) сопоставим ве ктор кх = (к12), 0) Если та верш ине х Е Ук имее м (к^, 0)

или Ьх = {ь!^2, 0), то вершинам Б(х) сопоставим векторы (Ь^, 0) и Ьх = (Ь[2\ 0) по правилам (13). В результате из (2,4) получим следующую систему уравнений:

(1)

(1)

= (а + 3) Ы^^—^ + Ь 1п

1 9 + 1 + ен1Ч

3 1п

3 1п

+ 1)е

-н

(1)

+1

,(1)

9 + 2е-н1

(1)

+ а 1п ■

+ 2

9 + 1 + ен1

(1)

(1)

+ 1)е 1 +1

(1)

9 + 2е-н1

Н11) + 2

„н(2)

1 (2)

+ Ь 1п

+2

9 + 1 + ен1

(2)

1 +2

(2)

Ь2 = а 1п ■

(1)

г1 +2

9 + 1 + ен1

н(1)

+ {Ь + 3) 1п

9 + 1 + ен1

(2)

" н1) +2

9 + 1 + ен1

н( 2

(3.11)

Учитывая (3.4), из (3.11) получим уравнение (3.10), что эквивалентно (3.9). Следовательно, при 9 Е В (а, Ь) совокупность вект оров Ьх, построенная по правилам (14), удовлетворяет функциональному уравнению (2.4). Аналогичным образом

для множества векторов {(0, Ь^), (0, Ь\2)), (—Ь^2, — Ь^2)}, {(0, Ь^2), (0, Ь\2)), (—Ь\2), —к\2))}, {(Ь^, 0), (Ь^2, 0), (—Ь^2, —Ь,^)} можно показать существование еще трех совокупностей векторов, удовлетворяющих функциональному уравнению (2.4).

В результате получим, что при 9 Е В(а, 6) на дереве Кэли порядка к = а + Ь + 3 о,,Ь Е N существуют шесть (З)-транеляционно-инвариантных мер Гиббса. □

Замечание 3.2. 1. Заметим,, что множество В(а,Ъ) - не пустое, так как случай а = 3,Ь = 1 в Теореме 3.1, доказано, что 9 = 9С Е В(3,1).

2. Отметим, что построенные по правилам, (и), г = 1, 2, 3, 4 меры Гиббса, отличаются от ранее известных мер (см. [15], [29], [30], [24]).

(2)

(1) (1)

(1)

(2)

(2) (2)

1

1

1

4. (¿^-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ МЕРЫ ГИББСА

В этом пункте рассмотрим антиферромагнитную модель Поттса, с помощью периодических мер Гиббса на дереве Кэли порядка три доказывается существование новых мер Гиббса (далее назовем (&0)-периодическими).

Следующая теорема характеризует периодические меры Гиббса.

Теорема 4.1 ([14]). К — нормальный делитель конечного индекса, в Ск- Тогда, для модели Поттса, все К-периодические меры Гиббса являются либо С^ -периодическими, либо трансляционно-инвариантными, где = {х : 1x1 — четная}.

При любых к ^ 3 и д

> 3, -периодические меры Гиббса для модели Поттса изучены

в работе [18].

В случае к = 3, д = 3, т.е, а : V ^ Ф = {1,2,3}, в силу Теоремы 4.1 имеются только С^2-периодические меры Гиббса, которые соответствуют совокупности векторов Ь = {Ьх Е К2 : х Е Ск} вида

Ь, есл и|ж| — четно, /, есл и|ж| — нечет но.

Здесь к = (к1, к2), I = (/1, /2), Тогда в силу (2,4) имеем:

в ехр(^) + ехр(^) + 1 ехр(^) + ехр(^) + в в ехр(/2) + ехр(^) + 1

к1 = 3 1п к2 = 3 1п

11 = 31п

12 = 31п

ехр(^) + ехр(^) + в в ехр(к1) + ехр(к2) + 1 ехр(к1) + ехр(к2) + в в ехр(к2) + ехр(к1) + 1 ехр(к1) + ехр(к2) + в

(4.1)

Введем следующие обозначения: ехр(к1) = ехр(к2) = х2, ехр(/1) = 23, ехр(/2) Тогда последнюю систему уравнений можно переписать

Zl

¿2

¿3

¿4

вгз + ¿4 + 1 \3

^3 + ¿4 + В

+ ¿3 + 1 \3

¿3 + ¿4 + в вХ1 + ¿2 + 1 \3

(4.2)

¿1 + ¿2 + в вХ2 + ¿1 + 1 \3

¿1 + ¿2 + О

Рассмотрим отображение Ш : К4 ^ К4, определенное в следующем виде:

вХ3 + ¿4 + 1 \3

¿3 + ¿4 + О вХ4 + ^3 + 1 \3

4

¿3 + ¿4 + О 0*1 + ¿2 + 1 \3

(4.3)

¿1 + ^2 + в вХ2 + ¿1 + 1 \3

¿1 + ^2 + О

Система (4.2) эквивалентна система уравнений г = Ш(г),

Лемма 4.1 (см. [18]). Отображение Ш имеет инвариантные множества следующих видов:

/1 = [г = (¿1,2:2, £3, ¿4) е к4 /2 = [г = (¿1,2:2, £3, ¿4) е к4 /3 = [г = (^1,^2, ¿3, ¿4) е к4

£1 £1 £1

¿2

/4 = [г = (¿1,^2, £3, ¿4) е к4 1) Система уравнений (4.2) на 12 имеет следующий вид

(вХ3 + ¿3 + 1 \3 * =1 2^3 + 0 ) , = / 9X1 + + 1

*3 v 2^1 + в

¿2 = ¿3 = ¿4}.,

= Z4}, ¿3 = 1}, ¿4 = 1}.

(4.4)

2

2

Г

ь

(4.5)

Введя обозначения = х, = у, перепишем (4.4):

'х = f(У),

:у = f(x),

где ¡(х) = (е+х1)+3/1. Из (4.5) получим

ж = /№)). (4.6)

Ясно, что корпи уравнения х = ¡(х) также являются корнями уравнения (4.6). Поэтому, чтобы найти корни (4.6), отличные от корней уравнения х = /(ж), рассмотрим уравнение

Л /(*)) — X

0.

!(х) — X

Разделив числитель на знаменатель левой части этого уравнения, получим уравнение (в3 + 3 в2 + 7в + 1)ж6 + (2в2 + 2 в — 4)ж5 + (в3 + 2 в2 — в — 2)х4 + (6 в2 + 4в + 2)ж3

+ (в3 + в2 — 2 в)х2 + (в2 + в — 2)х + в3 + 0 + 1 = 0.

(4.7)

Если 0 < в < 4, то легко видеть, что уравнение (4.7) имеет по крайней мере два положительных корня (см. [18]). Обозначая эти корпи через х\ и х2, получаем, что решения системы (4.1) имеют следующий вид:

(к11), к

(1), 2,

^ 121)),

(к12), к

(2) 2,

/52), I 22)),

здесь

к«

к2г) = 3 1пЖг,

( 1

( )

( ) 2

3 1п

+ 1К3 +1 2x3 + в

\

1, 2.

(4.8)

Напомним, что каждому из совокупности векторов вида:

к х

/(к11),к21)), Ь (Л 4"),

х еС

(2)

х Е С к \ С к

(2)

удовлетворяющие функциональному уравнению (2.4), соответствует Ск2)-периодическая мера Гиббеа,

Мы будем строить &о-периодичеекие решения с помощью этих решений. С помощью (к11),к21)) и (/(1), 41)) построим совокупность векторов кх на У\ к = с + с1 + 3, с,с1 Е М, которые удовлетворяют функциональному уравнению (2.4). Эту совокупность векторов

к х

(15) Пусть к = с + й + 3 с,<3 Е N. Если та вершине х Е V имеем кх = (к11),к21)), то вершинам Бс(х) сопоставим вектор кх = (к^, к21)) остальным вершинам 5^+3(ж) сопо-

ставим вектор кх = (/(1), I^.Ес^нъ вершине х Е V имеем кх = (/(1), /21)); т0 вершинам 5С+3(ж) сопоставим ве ктор кх = (к11), к21)) остальным вершинам Ба(х) сопоставим вектор кх = (/(1), 121)). В результате (2.4) получим следующую систему уравнений:

(1) ,(1Ъ

к

(1) _

1п

+ 1)ехр(к11)) + 1

2ехр(к11)) + в

+ ^ + 3) 1п

1(11) = (с + 3) 1п

+ 1)ехр(к11)) + 1 2ехр(к11)) + в

+ 1п

Учитывая

к11) = 31п

+ 1) ехр(I(1)) + 1 2 ехр( I (1)) + в

(1)

3 1п

+ 1) ехр(I(1)) + 1 2ехр( I (1)) +в + 1) ехр(I(1)) + 1 2ехр( I (1)) +в

+ 1)ехр(к11)) + 1 2ехр(к11)) + в

(4.9)

к

1

1

из (4,9) имеем

с]ац±21е:рЬ:)>±1 + л 1пИ±Ле!рт±1 = 0. (4.10)

2ехф\1)) + в 2 ехр (I Г) + 0

Отметим, что и /(1) зависят от 0 и они вещеетвенны при 0 < 0 < 4 (см, [18]), Уравнение (4,10) перепишем в следующем виде:

с1[1] + ¿Ь! = 0. (4.11)

Подставляя (4.8) в (4.11), получаем

+ 1)х1 + 1

Г (1+^1 + 1 у

V 2х! + 0 )

2x1 + 0 ' Хл =1. Следовательно, совокупность векторов, построенных по правилам (14) при

в ЕВ (с,д) = е К+ : 0 <^< 4, ( )С ^ =1} ,

удовлетворяет функциональному уравнению (2.4).

Аналогичным образом для множества векторов {(Ь^,^"1), (I^, I22))}, {(Ь^,^2), (11!), I2!))}, {(Ь^,^2), Фх2, можно показать существование еще трех совокупностей векторов, удовлетворяющих функциональному уравнению (2.4). В результате получаем следующую теорему.

Теорема 4.2. Для антиферромагнитной модели, Поттеа на дереве Кэли порядка к = с + + 3 с, Е N при д = 3 и в Е В (с, ¿) существуют не менее четырех (3)

Теперь систему уравнений (4.2) рассмотрим на инвариантном множестве 13. 11) Система уравнений (4.2) на 13 имеет следующий вид:

0гъ + 2 \з

1

з

¿з + 0 + 1 0 + 2

(4.12)

и

(4.13)

1 + + 1

Введя обозначения = х, = У, перепишем (4.12):

= f{У), .У = f{x),

где ¡(х) = ■

Из (4.13) получим

Я = 1(1(х)). (4.14)

Ясно, что корни уравнения х = ¡(х) также являются корнями уравнения (4.14). Поэтому, чтобы найти корни (4.14), отличные от корней уравнения х = /(х), рассмотрим уравнение

Л ¡(х)) — X =0

/(Х) — х .

Разделив числитель на знаменатель левой части этого уравнения, получим уравнение: (03 + 0 + 1)х6 + (02 + 0 — 2)х5 + (03 + в2 — 2 в)х4 + (6 02 + 4 0 + 2)х3

+ (03 + 202 — 0 — 2)х2 + (202 + 20 — 4)х + О3 + 302 + 70 + 1 = 0.

Если 0 < в < 4, то легко видеть, что уравнение (4,15) имеет по крайней мере два положительных корпя (см, [18]), Обозначая эти корпи через х1 и х2, получаем, что решения системы (4,1) имеют следующий вид:

(2) (2)

Здесь

к1г) = 31п Хг,

( )

(к11), 0,/(1), 0)

6x3 + 2

(к12), 0,/12), 0).

3 1п

ж,3 + в + 1

к2) = I 2)

0, = 1, 2.

(4.16)

Напомним, что каждому из совокупности векторов вида

к х

(к ( 1

11), 0)-(1) 0),

X Е С

(2)

х Е Ск \С

(2)

(2)

удовлетворяющих функциональному уравнению (2,4), соответствует Ск )-периодическая мера Гиббеа,

Мы будем строить /¡^-периодические решения через эти решения, С помощью (к11), 0) и (/(1), 0) построим совокупность векторов кх па Ук, к = с + й + 3 Е М, которые удо-

к х

следующим образом:

(16) Пусть к = с + с1 + 3, с,с1 Е N. Если та вершине х Е V имеем кх = (к^, 0), то вершинам Бс(х) сопоставим вектор кх = (к^, 0), остальным вершинам 5?+3(:г) сопоставим вектор кх = (/(1), 0) Если та вершине х Е V имеем кх = (/(1), 0), то вершинам 8с+3(х) сопоставим вектор кх = (к11), 0), остальным вершинам Б?(х) сопоставим ве ктор кх = (/(1), 0), В результате (2,4) получим следующую систему уравнений:

(1)

к(1

(1)

1п

0ехр(к11)) + 2 ехр(к11)) + в + 1

+ ^ + 3) 1п

(с + 3) 1п

Учитывая

из (4,17) имеем

к11) = 31п

0ехр(к11)) + 2 ехр(к11)) + в + 1

вехр(1 (1)) + 2 (1)

+ 1п

вехр(111)) + 2 ехр( I (1)) + 0 + 1:

вехр(111)) + 2 ехр( I (1)) + 0 + 1'

(4.17)

ехр(/ (1)) + 0 + 1

п 0ехр(к11)) + 2 с 1п-л 1 '--+ в, 1п

3 1п

0ехр(к11)) + 2 ехр(к11)) + в + 1

0ехр(1 (1)) + 2

0.

(4.18)

ехр(к11)) + 0 + 1 ехр( I !1)) + 0 + 1

Отметим, что

к(11)

и /(1) зависят от 9 и они вещеетвенны при 0 < в < 4 (см. [18]). Уравнение (4.18) перепишем в следующем виде:

с/(1) + ¿к^ = 0. (4.19)

Подставляя (4.16) в (4.19), получаем

( вх3 + 2 V + 0 + 1/

■х? = 1.

( 4)

в Е В (с, б) = { 0Е К+ : 0 <9< 1

( 0x3 + 2 V ? = Д

и+е+1) /,

к

к

1

удовлетворяет функциональному уравнению (2,4), Аналогичным образом для множества векторов {(0, h^1), (0, l^)}, {(h^2, 0), (1^^, 0)} {(0, h^2), (0, можно показать существование еще трех совокупностей векторов, удовлетворяющих функциональному уравнению (2.4).

В результате получаем следующую теорему.

Теорема 4.3. Для, антиферромагнитной модели Поттса на дереве Кэли порядка к = с + d + 3 c,d Е N при q = 3 и 9 Е В (с, d) существуют не менее четырех (3)-периодических мер Гиббса.

Замечание 4.1. 1) Отметим, что для, м,одели Поттса на дереве Кэли порядка два, не существуют периодические (не трансляционно-инвариантные) меры Гиббса, (см. [31]). Поэтому для, антиферромагнитной м,одели Поттса также не существуют

(2)-периодические меры Гиббса.

(3)

мер (см. [15], [29], [30], [24];.

5. Заключение

В статье изучаются (ко)-трансляционно-инвариантные и ( ко)-периодичеекие меры Гиббса для модели Поттса на дереве Кэли. Для ферромагнитной модели Поттса на дереве Кэли седьмого порядка при q = 3 и 9 = 9С доказано существование не менее шести

(3)

реве Кэли порядка к = а + b + 3, a,b Е N при q = 3 и в Е В (а, Ь) доказано суще-

(3)

к = + + 3 , Е N = 3

и 9 Е В (с, d) на инвариантных множествах 12,13 и 14 доказано существование не менее (3)

Все эти результаты можно применить как к экспериментальной проверке свойств магнитных материалов, соответствующих рассмотренным моделям Поттса, так и к тестированию алгоритмов вычислительной физики на суперкомпьютерах (см. [9]—[13]),

Благодарность.

Автор выражает глубокую признательность профессору М.М. Рахматуллаеву за постановку задачи и полезные советы по работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Х.О. Георги. Гиббсовские меры, и фазовые переходы. М.: Мир. 1992.

2. C.J. Preston. Gibbs States on Countable Sets. Cambridge Tracts Math., 68. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1974.

3. Я.Г. Синай. Теория фазовых переходов. Строгие результаты. М.: Наука. 1980.

4. U.A. Rozikov. Gibbs measures on Cayley trees. World scientific. 2013.

5. N.N. Ganikhodzhaev. Pure phases of the ferromagnetic Potts model with three states on a second-order Bethe lattice // Theor. Math. Phvs. 85:2, 1125-1134 (1990).

6. N.N. Ganikhodzhaev. Pure phases of the ferromagnetic Potts model on the Bethe lattice // Dokl. AN RUz. 6 , 4-7 (1992).

7. H.H. Ганиходжаев, У.А. Розиков. Описание периодических крайних гиббсовских мер некоторых решеточных моделей на дереве Кэли // ТМФ. 111:1, 109-117 (1997).

8. N.N. Ganikhodjaev, U.A. Rozikov. On Potts model with countable set of spin values on Cayley tree 11 Letters in Math. Phvs. 75:1, 99-109 (2006).

9. А.Б. Бабаев, M.A. Магомедов, А.К. Муртазаев, Ф.А. Кассан-Оглы, А.И. Прошкин. Фазовые Переходы в двумерной Антиферромагнитной модели Поттса на, треугольной решетке с учетом взаимодействий вторых ближайших соседей // ЖЭТФ. 149:2, 357-366 (2016).

10. М.А. Магомедов, А.К. Муртазаев, Л.К. Магомедова. Фазовые переходы в модели Поттса на треугольной решетке // Вестник ДГУ. Серия 1: Естественные науки. 32:4, 14-23 (2017).

11. Л.Н. Щур, Л.В. Щур. Масштабное моделирование - алгоритм параллельного отжига // Proceedings of the VIII International Conference «Distributed Computing and Grid-technologies in Science and Education» (GRID 2018), Dubna, Moscow region, Russia, September 10-14, 2018.

12. F.A. Kassan-Oglv. One-dimensional 3-state and 4--state standard Potts models in magnetic field // Phase Transitions. 71:1, 39-55 (2000).

13. A.K. Муртазаев, А.Б. Бабаев. Фазовые переходы в трехмерной слабо разбавленной модели Поттса, с q = 5 // Физика твердого тела. 63:10, 1644-1647 (2021).

14. У.А. Розиков, P.M. Хакимов. Периодические меры Гиббса для модели Поттса на, дереве Кэли // ТМФ. 175:2, 300-312 (2013).

15. С. Kiilske, U.A. Rozikov, R.M. Khakimov. Description of translation-invariant splitting Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree // Jour. Stat. Phvs. 156:1, 189-200 (2014).

16. L.V. Bogachev, U.A. Rozikov. On the uniqueness of Gibbs measure in the Potts model on a Cayley tree with external field // J. Stat. Mech. Theory Exp. 7:073205, pp. 76 (2019).

17. U.A. Rozikov. Gibbs measures of Potts model on Cayley trees: a survey and applications // Rev. Math. Phvs. 33:2130007, pp. 58 (2021).

18. P.M. Хакимов, Ф.Х. Хайдаров. Трансляционно-инвариантные и периодические меры Гиббса для, модели Поттса на, дереве Кэли // ТМФ. 189:2, 286-295 (2016).

19. У.А. Розиков, М.М. Рахматуллаев. Слабо периодические основные состояния и меры Гиббса для, модели Пзинга с конкурирующим,и взаимодействиями на дереве Кэли // ТМФ. 160:3, 507-516 (2009).

20. М.М. Рахматуллаев. Слабо периодические меры Гиббса и основные состояния для модели Поттса с конкурирующим,и взаимодействиями на дереве Кэли // ТМФ. 176:3, 477-493 (2013).

21. Н. Akin, U.A. Rozikov, S. Temir. A new set of limiting Gibbs measures for the Ising model on a Cayley tree // Jour. Stat. Phvs. 142:2, 314-321 (2011).

22. М.М. Рахматуллаев. (k0)-периодические меры Гиббса для, модели Пзинга, на, дереве Кэли // Доклады АН РУз. 3, 9-12 (2016).

23. М.М. Rahmatullaev. Ising model on trees: (k0)-non translation-invariant Gibbs measures // Journal of Physics: Conference Series. 819, 012019 (2017).

24. M.M. Rahmatullaev, F.K. Rafikov , Sh.Kh. Azamov. On constructive description of Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree // Ukr. Mat. Zh. 73:7, 938-950 (2021).

25. U.A. Rozikov, M.M. Rahmatullaev. On free energies of the Potts model on the Cayley tree // Theor. Math. Phvs. 190:1, 98-108 (2017).

26. M.M. Rahmatullaev. On weakly periodic Gibbs measures for the Potts model with external field on the Cayley tree // Ukr. Mat. Zh. 68:4, 529-541 (2016).

27. M.M. Rahmatullaev. Weakly Periodic Gibbs Measures of the Potts Model with a Special External Field on a Cayley Tree // J. Math. Phvs. Analysis, Geometry. 12:4, 302-314 (2016).

28. M.M. Rahmatullaev, D. Gandolfo, U. A. Rozikov, J. Ruiz. On free energies of the Ising model on the Cayley tree // J. Stat. Phvs. 150:6, 1201-1217 (2013).

29. У.А. Розиков, P.M. Хакимов. Периодические меры Гиббса для, модели Поттса на, де-реве Кэли // ТМФ. 175:2, 300-312 (2013).

30. М.М. Rahmatullaev. The existence of weakly periodic Gibbs measures for the Fotts model on the Cayley tree // Theor. Math. Phvs. 180:3, 1019-1029 (2014).

31. P.M. Хакимов, M. Т. Махаммадалиев. Трансляционная, инвариантность периодических мер Гиббса для, модели Поттса на, дереве Кэли // ТМФ. 199:2, 291-301 (2019).

Жасурбек Дилмурод угли Дехкоиов,

Андижанский государственный университет,

ул. Университетская, 129,

170100, Андижан, Узбекистан

E-mail: dehqonov. j asur@bk. ru