CC BY
127
УДК 629.78+ 629.7
ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО САМОЛЁТА КАК ПЕРВОЙ СТУПЕНИ АВИАЦИОННО-КОСМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
© 2009 В. Л. Балакин, В. И. Потапов Самарский государственный аэрокосмический университет
Исследуется движение сверхзвукового самолёта как первой ступени авиационно-космической системы при выполнении манёвра «динамическая горка» с целью набора максимальной высоты при заданном угле наклона траектории.
Авиационно-космическая система, первая ступень, сверхзвуковой самолёт, манёвр «динамическая горка».
Расширение рынка пусковых услуг для вывода на околоземные орбиты малых полезных нагрузок привело к обсуждению и разработке проектов авиационно-космических систем (АКС) на базе сверхзвуковых самолётов, среди которых можно выделить «Ишим» (Россия - Казахстан) [1, 2] и RASCAL (Responsive Access, Small Cargo, Affordable Launch, США) [3, 4]. В проекте «Ишим» в качестве первой ступени АКС предлагалось использовать тяжёлый сверхзвуковой истребитель МиГ-31И. В рамках проекта RASCAL разрабатывается сверхзвуковой самолёт-разгонщик MPV (Mass Inj ection Pre-Compressor Coolinq -Powered Vehiecle) - «Аппарат с охлаждаемыми двигателями». Возможно использовать в качестве первой ступени АКС сверхзвуковой дальний барражирующий самолёт-перехватчик, проект которого приведён в [5].
Математическая модель движения самолета
Движение самолёта как материальной точки постоянной массы в вертикальной плоскости в однородном поле тяжести и неподвижной атмосфере определяется системой дифференциальных уравнений:
dV
dt
dq
dt
P • f x(M, H)- Cxa (M, C )q—- sine mg mg
Cya (a )q S
cose
V
mg V
dH V ■ e
-----= V • sine.
dt
Здесь V - скорость; в - угол наклона траектории; Н - высота; Р0 - статическая тяга (при Н=0 и Р=0); m - масса; g - ускорение свободного падения, f - постоянный коэффициент, учитывающий форсирование тяги; X (М, Н ) - высотно-скоростная характеристика двигателя; М - число Маха; Сш - коэффициент силы лобового сопротивления; Суа -коэффициент аэродинамической подъёмной
/"і /"і а /-і а
силы: Суа = Суа ■а , Суа - производная ко -эффициента подъёмной силы по углу атаки;
q =
скоростной напор; p - плотность
воздуха; £ - площадь крыла; t -время.
В качестве управления используется коэффициент подъёмной силы Суа, который не может превышать заданного предельного зна-
чения С
пред
Манёвр «динамическая горка»
Стандартная схема манёвра «горка» с целью набора высоты состоит из трёх участков.
Первый участок. «Вход в горку» - переход из режима установившегося горизонтального полёта в режим набора высоты. Он характеризуется двумя параметрами: постоянной перегрузкой пуа, с которой выполняется
манёвр и которая превышает единицу, и углом наклона траектории в конце первого
(1) участка Є
горки
Коэффициент подъёмной силы определяется следующим образом:
С = пуат8
уа д ■ £ •
(2)
Условием перехода ко второму участку является достижение углом наклона траектории значения 0горки. Если в процессе интегрирования дифференциальных уравнений (1) коэффициент Суа, определяемый согласно (2),
г пред
оказывается больше значения Суа , то принимается, что Суа = Су"ред. В этом случае второй участок отсутствует, и полёт самолёта будет происходить в соответствии с третьим участком.
Второй участок. Самолёт набирает высоту с постоянным углом наклона траектории 0 и. Из условия = 0 коэффици-
А
ент подъёмной силы определяется следующим образом:
Суа 2
mg ■ соб вгі д ■ £
Третий участок. «Выход из горки» начинается при достижении коэффициентом
подъёмной силы значения Суа и продол-
жается с этим значением до достижения нулевого угла наклона траектории (0к = 0).
Манёвр «динамическая горка» для достижения больших высот полёта реализуется с уменьшением скорости, т.е. за счёт перевода части начальной кинетической энергии самолёта в потенциальную. Желательно, чтобы на полученной в результате манёвра конечной высоте Нк скорость самолёта ¥к была не меньше так называемой эволютивной скорости, при которой ещё возможно управление самолётом с помощью аэродинамических поверхностей.
Определение параметров управления.
При фиксированном значении перегрузки пуа
для поиска оптимального угла 0горки, при котором обеспечивается максимальная конеч-
пред
ная высота полёта Нк при нулевом угле наклона траектории 0к, используется метод градиентов.
В качестве целевой функции принята зависимость конечной высоты от угла 0горки, т.е. функция одной переменной:
Нк = / (0 горки ).
Первоначально определяется градиент целевой функции, то есть её производная по независимой переменной
gradHк (в горки ) =
дНк
Так как данная функция получена в результате численного интегрирования и поэтому не может быть задана аналитически, производная определяется через конечные разности:
дН„
АН к Нк (вгорки + 5в'горки ) - Нк (вгорки )
дв 5в
горки горки
где 50горки - приращение по независимой переменной 0 горки .
После того, как градиент найден, совершается шаг в направлении антиградиента:
- §гаАН к (0горки ) .
Переход из одной точки в другую в направлении антиградиента осуществляется по соотношению
вм = вк -нк дНк
горки горки
дв
горки
где 0 горки - значение 0 горки на к+1-ом шаг^
0корки - значение 0горки на к-ом Шаг^ ^ - величина, характеризующая длину к-го шага, к = 0, 1, 2, ...
Результаты моделирования набора высоты
В качестве базового варианта первой ступени АКС был принят аналог самолёта МиГ-31И. Начальные условия манёвра (высота и скорость) соответствуют горизон-
тальному полёту для форсажного режима работы двигателей и должны обеспечивать полную энергию самолёта, близкую к максимальной. Методом потребных и располагаемых тяг определены следующие начальные
условия манёвра: Нн=17,5 км и Мн = 2,8. При наборе высоты двигатели работают до высоты Н = 21 км, значение Суапред принято равным единице.
Нулевой угол наклона траектории. Рассмотрим возможный случай запуска ракеты в верхней точке траектории манёвра при
вк = 0.
Для определения начального приближе-
а0
ния вгорки проведён параметрический анализ конечной высоты Нк от величины перегрузки пуа (от 2 до 5) и значения угла наклона траектории в горки (от 20° до 40° ).
Моделирование показало, что наилучшим начальным приближением является
в°орки = 30° и пуа = 2. Соответствующие зависимости высоты Н, числа М, угла наклона траектории в и коэффициента подъёмной силы Суа от времени ^ представлены на рис 1.
С использованием метода градиентов получено, что наибольшая конечная высота
Н к = 28,9 км достигается при перегрузке
Пуа = 2,02 и угае набора вгорКи = 30,6° . С°°Т-
ветствующие зависимости высоты Н, числа М, угла наклона траектории в и коэффициента подъёмной силы Суа от времени I представлены на рис. 2.
Сравнительный анализ траекторий, параметры которых приведены на рис. 1 и 2, показывает, что, несмотря на небольшое различие в параметрах манёвра, они принципиально отличаются друг от друга. Для наилучшего начального приближения имеется второй участок набора высоты с постоянным углом наклона траектории (АВ на рис. 1). При максимальной конечной высоте коэффициент
пред
уа достигает предельного значения Суа
на первом участке - «входе в горку». Второй участок отсутствует, и происходит переход к третьему участку - «выходу из горки» (рис. 2).
Таким образом, анализ результатов моделирования показывает, что максимальная конечная высота достигается при «плавном» входе самолёта в траекторию манёвра с небольшими перегрузками (пуа » 2) и углом
наклона траектории (вгорки » 30° ). Это объясняется тем, что при «крутом» входе с большими перегрузками резко увеличивается тре-
Н
км
35
9, град.
30
25
20
15
А в
Л * У
* Л \ ч \ \
н / / / 1 ч ч ч
ё У / f ч > \ М
“V \ ч Л с* \
/ / \ \ %
3.5 М,
2,5
1.5
0,5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 Ї. сек
Рис. 1. Зависимости Н, М, в и С уа от времени для Пуа = 2 и вуа = 30°
Рис. 2. Зависимости Н, М, вы С от времени для п = 2,02 и 6 = 30,6°
буемое значение угла атаки. Это вызывает значительное увеличение коэффициента силы лобового сопротивления и, как следствие, большие потери кинетической энергии, которая должна перейти в потенциальную.
Ненулевой угол наклона траектории. Рассмотрим основной вариант запуска ракеты под некоторым положительным углом
наклона траектории. В этом случае манёвр имеет только два первых участка: «вход в горку» и прямолинейный набор высоты, а третий участок - «выход из горки» - отсутствует.
Результаты расчётов для базового варианта первой ступени приведены в табл. 1 и на рис. 3.
Таблица 1. Максимально возможные углы запуска и конечные условия движения
Пуа 6к, град V м/ у к’ /с Н к, км к
2 30,6 455 24,9
3 38,5 415 24,4
4 41,5 378 23,5
5 42,2 370 22,9
Из этих результатов следует, что с ростом перегрузки максимальный угол наклона траектории существенно увеличивается (на
12°), а конечные значения высоты и скорости рассматриваемого участка манёвра уменьшаются (соответственно на 2 км и на 85 м^ек) в силу причин, указанных при анализе набора высоты с нулевым конечным углом наклона траектории.
Поэтому если для оптимальной траектории второй (ракетной) ступени АКС при её запуске требуется сравнительно небольшой начальный угол наклона траектории, равный
примерно 30°, то целесообразно использовать небольшую перегрузку (пуа = 2), так как
при этом обеспечиваются большие конечные значения высоты и скорости. Для больших значений угла наклона траектории при запус -ке второй ступени необходимы и большие перегрузки (пуа = 5) при соответствующем
уменьшении конечных значений высоты и скорости.
Таким образом, для критерия максимума полезной нагрузки, выводимой на орбиту конкретной АКС, требуется совместная оптимизация программ управления первой (самолётной) и второй (ракетной) ступеней.
В заключение обсудим влияние улучшения аэродинамических характеристик (в со-
ответствии с проектом дальнего барражирующего перехватчика) и характеристик двигателей (в соответствии с проектом RASCAL) на траектории первой ступени АКС.
Как и следовало ожидать, улучшение аэродинамических характеристик приводит к увеличению максимального конечного угла
наклона траектории (от 1° до 11° в зависимости от перегрузки) с одновременным увеличением конечной высоты и конечной ско -рости (рис. 4).
Для проектируемого сверхзвукового са-молёта-разгонщика MPV за счёт увеличения тяговооружённости до двух единиц и улучшения высотно-скоростных характеристик существующего двигателя Pratt & Whitney F100-PW-229 предполагается возможность набора высоты 40 км при достижении ско -рости, соответствующей 4 М. Для этих принципиально новых по сравнению с существующими сверхзвуковыми самолётами условий полёта целесообразно определение оптимальных траекторий (вне схемы манёвра «динамическая горка») с использованием методов оптимального управления, например принципа максимума Понтрягина, как это сделано в [6, 7] при рассмотрении набора высоты с разгоном гиперзвукового летательного аппарата с ракетно-турбинным пароводородным двигателем.
Рис. 4. Увеличение значений вк, Нк, Ук для самолёта с улучшенной аэродинамикой по сравнению с базовым вариантом
Библиографический список
1. Балашов, В. В. Возможности использования сверхзвуковых самолетов-носителей для запуска малых, мини- и микроспутников [Текст]/ В. В. Балашов, В. М. Бузулуков, Б. Х. Давидеон, Е. А. Свириденко // Труды ХХХУТТТ чтений, посвященных разработке научного наследия и развитию идей К. Э. Ци-оловского (Калуга, 2003). Секция «Проблемы ракетной и космической техники». - Казань: Казанский государственный университет им. В. И. Ульянова-Ленина, 2004. - C.132-142.
2. http://www.airwar.ru.
3. Responsive Access Small Cargo Affordable Launch (RASCAL) Independent Performance Evaluation David Young AE8900 Special Project Report May 3, 2004 School of Aerospace Engineering Space System Design Laboratory Georgia Institute of Technology Atlanta, Georgia 30332-0150.
http://hdl.handle.net/1853/8372.
4. Launch Condition Deviations of Reusable
Launch Vehicle Simulations in Exo-Atmospheric Zoom Climbs Peter H. Urschel and Timothy H. Cox NASA Dryden Flight Research Center Edwards, California September 2003. http://dtrs.dfrc.nasa.gov/archive/00000023/.
5. Арутюнов, А. Г. Создание сверхзвукового дальнего барражирующего перехватчика нового поколения [Текст]/А. Г. Арутюнов //Создание перспективной авиационной техники. - М.: Изд-во МАИ, 2004. - С. 25-29.
6. Балакин, В. Л. Оптимизация движения гиперзвукового маршевого самолёта при наборе высоты [Текст]/В. Л. Балакин, А. А. Бебяков//Полёт: Общероссийский научно-технический журнал. - 2007. - №3. - С.15-19.
7. Бебяков, А. А. Задача оптимального управления движением гиперзвукового летательного аппарата на этапе разгона-набора высоты [Текст]/А. А. Бебяков//Вестник Самарского государственного аэрокосмическо -го университета. - 2007. - №1. - С. 15-21.
References
1. Balashov, V. V. Possibilities of using supersonic carrier aeroplanes for the launch of small, mini- and microsatellites // V. V. Balashov, V. M. Buzulukov, B. Kh. Davideon, Ye. A. Svi-ridenko // Transactions of the XXXVIII conference devoted to the development of K. E. Tsiolkovsky’s scientific heritage and ideas (Kaluga, 2003). “Problems of rocket and space engineering” section. - Kazan: Kazan State University named after V. I. Ulianov-Lenin, 2004. - 132 - 142 pp.
2. http://www.airwar.ru.
3. Responsive Access Small Cargo Affordable Launch (RASCAL) Independent Performance Evaluation David Young AE8900 Special Project Report May 3, 2004 School of Aerospace Engineering Space System Design Laboratory Georgia Institute of Technology Atlanta, Georgia 30332-0150. http://hdl.handle.net/1853/ 8372.
4. Launch Condition Deviations of Reusable
Launch Vehicle Simulations in Exo-Atmospheric Zoom Climbs. Peter H. Urschel and Timothy H. Cox NASA Dryden Flight Research Center Edwards, California September 2003. http:// dtrs.dfrc.nasa.gov/archive/00000023/.
5. Arutyunov, A. G. Development of a supersonic long-range barrage interceptor of the new generation / A. G. Arutyunov // Development of promising aviation engineering. - Moscow: Publishing house of Moscow Aviation Institute, 2004. - 25 - 29 pp.
6. Balakin V. L. Optimization of hypersonic aircraft motion during climb/V. L. Ba-lakin, A. A. Bebyakov // Polyot (Flight): All-Russian scientific and technical journal - 2007. - No. 3. - 15-19 pp.
7. Bebyakov A. A. The task of optimal control of a hypersonic aircraft motion at the stage of acceleration-climb / A. A. Bebyakov // Vestnik of Samara State Aerospace University. - 2007. -No. 1. - 15 - 21 pp.
FLIGHT PATH OF A SUPERSONIC AEROPLANE AS THE FIRST STAGE OF AN AEROSPACE SYSTEM
© 2009 V. L. Balakin, V. I. Potapov
Samara State Aerospace University
The paper analyses the motion of a supersonic aeroplane as the first stage of an aerospace system when performing the “dynamic zoom” manoeuvre with the aim of maximum climb at a given slope of the flight path.
Aerospace system, first stage, supersonic aeroplane, “dynamic zoom” manoeure.
Информация об авторах
Балакин Виктор Леонидович, заведующий кафедрой динамики полёта и систем управления, д.т.н., профессор, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева, e-mail: [email protected]. Область научных интересов: динамика и управление движением летательных аппаратов.
Потапов Валентин Иванович, аспирант, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева, e-mail: [email protected]. Область научных интересов: динамика и управление движением летательных аппаратов.
Balakin Victor Leonidovitch, head of the department of flight dynamics and control systems, professor, doctor of technical science, Samara State Aerospace University named after academician
S. P. Korolyov, e-mail: [email protected]. Area of research: dynamics and control of aircraft motion.
Potapov Valentin Ivanovitch, post-graduate student, Samara State Aerospace University named after academician S. P. Korolyov, e-mail: [email protected]. Area of research: dynamics and control of aircraft motion.
